CONCOURS COMMUN SUP 2002
DES ÉCOLES DES MINES D'ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES
Épreuve de Mathématiques
(toutes filières)
Mardi 21 mai 2002 de 14th à 18hQO
instructions générales :
Les candidats :
. doivent vérifier que le sujet comprend 4 pages numérotées 1/4, 2/4, 3/4 et
4/4,
. sont invités à porter une attention particulière à la rédaction : les copies
illisibles ou mal présentées
seront pénalisées,
. colleront sur leur première feuille de composition l'étiquette à code à
barres correspondante.
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Problème d'Analyse
Arctan(t)
1. Soit f l'application de R dans IR définie par : f (0) = 1 et Vt # 0, f (t) a
t
1.1 Montrer que f est continue sur ]R et paire.
1.2 Donner le développement limité à l'ordre 1 de f(t} au voisinage de 0. En
déduire que f est
dérivable en 0, et donner f(0).
1.3 Justifier que f est dérivable sur R, et calculer f'(t), pourt EUR R'".
w2
1 ,
t
1.4 A l'aide d'une intégration par parties, montrer que : Vt EUR R*, /
0
En déduire le sens de variation de f.
1.5 Tracer la courbe représentative de f dans un repère orthonormé ( unité : 2
cm).
( On ne demande pas l'étude des points d'infleæion}
2. Soit çb l'application de R dans R définie par : d)(0) : 1 et Va: % O, qä(x)
: %] f(t)dt.
0
2.1 Montrer que 45 est continue sur ]R et paire.
2.2 Montrer que : V:}: EUR R, f (sc) _<_ d>(æ) _<_ 1. ( on pourra commencer par supposer a: > 0 )
2.3 Montrer que : Va: EUR R'", df(x) : â(f(æ) --- <}5(æ)) Montrer que çà est dérivable en 0, avec q5'(0) : 0. Donner les variations de qb. x--++oo a: x-->+oo
2.4 Montrer que : lim 1/ f{t)dt : 0. En déduire que lim " cp(æ) "S le).
2.6 Soit go EUR £(E). On suppose qu'il existe une base orthonormée de E dans
laquelle la matrice
de go est diagonale, à éléments diagonauæ strictement inférieurs à 1 en valeur
absolue.
Montrer que 90 EUR 8.
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3 1 ---1
3. Soit u l 'endomorphisme de E dont la matrice relativement à B est M = EUR 1
3 1
----1 1 1
310 d'fi 't ' 1(e e e) e' 1(e1+e2)etel-- 1(e1 e2+2e3)
. TLZ .' EUR = _ --- ---- , :: --- __ ...--_. .... .
Vérifier que (el, e'2,eg) est une base orthonormée B, de E.
3.2 Déterminer la matrice de n dans la base B,. En déduire que M EUR 8 .
1 ----1 0
4. Soit (pa l 'endomorphisme de E dont la matrice relativement à B est Ma = a 0
1 1
1 0 ----1
. , 1
On se propose de prouver que 900 EUR 5 Si et seulement sz la|< -2--. Soit 113 : x1e1 + @@ + x3e3 un vecteur de E de norme 1. 4.1 Montrer que : |] +oo
5.4.2 Soient (mn), (yu) et (en) les suites réelles définies par : a:... yo et
zo sont des réels, et :
OEn+1 = z$n "" zyn + 1
v N ... 1 .1_ .1_
"' EUR ; yn+l ""' 41171 + 4211, + 2 --
zn+1 == %:L'n --- zZn + 1
Montrer que (mn), (yn) et (Zn) sont convergentes, et préciser leurs limites
respectives.
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