CONCOURS COMMUN SUP 2000
DES ÉCOLES DES MINES D'ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES
Épreuve de Mathématiques
(toutes filières)
Lundi 22 mai 2000 de 14h00 à 18h00
Instructions générales :
Les candidats doivent vérifier que le sujet comprend :
o 4 pages numérotées 1/4, 2/4, 3/4 et 4/4
0 23 questions en Analyse et 18 questions en Algèbre.
Les candidats sont invités à porter une attention particulière à la rédaction :
les copies illisibles ou mal
présentées seront pénafisées.
Les candidats colleront sur leur première feuille de composition l'étiquette
correspondant à l'épreuve et
figurant sur leur convocation.
ANALYSE
Partie I : Étude dela réciproque de la fonction tanh.
On notera respectivement cosh, sinh et tanh les fonctions co sinus hyperboüque,
sinus hyperboüque et
tangente hyperbofique définies par :
VxeR,cosh(x>=e--Ëî--, sinh(x)=e "8 et mn)--:...") --3 "6
cosh(x) e" + e"" '
l. -- Montrer, en étudiant ses variations, que tanh est une bijection de IR sur
un intervalle I de [R à préciser.
On note @__nh (« argument tangente hyperbofique ») sa réciproque.
2. -- Exprimer la dérivée de tanh en fonction de tanh.
3. -- Démontrer que artanh est impaire.
4. -- Démontrer que artanh est dérivable sur I et calculer sa dérivée.
5. --- Exprimer artanh à l'aide de fonctions usuelles.
6. -- Déterminer un développement limité à l'ordre 5 de artanh en O.
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Partie II : Étude d'une équation différentielle
1
Soit l'équation difi'érentiefle (E) : x y ' + 3 y = 1
-- x
2 .
7. -- Résoudre (E) sur l'intervalle J = ]O, 1[.
Partie III : Étude d'une équation fonctionnelle
Le but de cette partie est de résoudre le problème suivant :
déterminer les fonctions f définies sur IR, à valeurs réelles et dérivables en
zéro qui vérifient :
VXGR, f(ZX) =Îäîäî.
8. -- Déterminer les fonctions constantes solutions du problème posé.
9. -- Déterminer les valeurs possibles de f (0) si f est solution.
10. -- Montrer que, si f est solution, on a : Vxe R, --1 S f (x) 5 1
( on pourra exprimer f (x) en fonction de f (%) .)
Il. -- Montrer que, si f est solution, -- f est aussi solution.
12. - Montrer que tanh est solution du problème posé.
Dans les questions 13. à 17., on suppose que f est une solution du problème
posé, que f (0) = 1
et que f n'est pas constante.
On considère xoe IR, tel que f (xe) # f (0) et l'on définit la suite (un) par :
Vne N, un = f ( âî ] .
13. -- Montrer que la suite (un) est convergente et préciser sa limite.
14. -- Établir une relation entre u,] et u ,, ... ; en déduire que la suite
(un) garde un signe constant, puis
étudier sa monotonie suivant le signe de uo.
15. --- En utilisant les résultats des questions 13. et 14., aboutir à une
contradiction.
16. ---- Que peut-on dire si l'hypothèse « f(0) = 1 » est remplacée par
l'hypothèse << f (0) = --1 » ? 17. -- Conclusion ? Dans les questions 18. à 22., on suppose que f est une solution du problème posé et que f (0) = 0. 18. -- En raisonnant par l'absurde et en considérant une suite du même type que celle des questions 13. à 17., montrer que : Vxe IR, f(x) $ -- 1 et f(x) # 1. On définit alors la fonction g par : Vxe [R, g (x) = artanh (f (x)). 19. -- Montrer que : Vxe IR, g (2x) = 2 g (x). 20. -- Montrer que g est dérivable en zéro. Épreuve de Mathématiques (toutes filières) Page 2/4 CONCOURS COMMUN SUP 2000 DES ÉCOLES DES MINES D'ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES gg") 2" Montrer que (v,) est convergente et déterminer sa limite. 21. -- Soit xelR* ; on définit la suite (v,) par : VneN, v,, = 22. -- En déduire que g est linéaire. 23. --- Déterminer toutes les fonctions solutions du problème po sé. ALGÈBRE Les parties I, II et III sont, dans une large mesure, indépendantes. Soit n un entier naturel non nul. Partie I : On pose : A = (X + 1)" -- 1 , polynôme de IR[X]. ]. --- Montrer que l'on peut écrire : A = X x B où B est un polynôme de [R[X] dont on précisera le degré, le coefficient dominant et le terme constant noté b 0. 2. -- Déterminer les racines de A dans (C. On posera zo = 0 et les autres racines z ;, zz, , 22 ,,-1 seront mises sous forme tfigonométfique. n--l On pose P,, = Hsink--fl. 2n k=l 2n---l kfl' 3. -- Montrer, à l'aide d'un changement d'indice, que P ,, = Hsin 2--. n k=n+l 2n--l k En déduire que, si Q,, = Hsîn ----2--{[--, alors P,, = 1/Qn . n k=l 2n--l 4. -- Calculer de deux façons : H zk . Puis, en déduire Q ,, et enfin, P ,. k=1 5. -- On pose F = --1--. Déterminer la décomposition de F en éléments simples sur (C. A M Épreuve de Mathématiques (toutes filières) Page 3/4 CONCOURS COMMUN SUP 2000 DES ECOLES DES MINES D'ALBI, ALES, DOUAI, NANTES Partie II : On travaille dans un C-espace vectoriel E supposé non réduit au vecteur nul. 58 (E) désigne l'ensemble des endomorphismes de E, IE est l'application identité de E et 9 désigne l'application nulle. Par convention : er £ (E), f 0 = IE. On étudie, sur quelques cas particuliers, l'équation : (f + IE )2" -- IE = 6 où f 653 (E) est l'inconnue. 6. -- Déterminer les homothéties vectorielles qui sont solutions de l'équation proposée. n n--l 7. _ En développant (1 + 1)" et (1 -- l)2n déterminer les sommes S = Z(ÊZ) et S' =Z(2n )- k=0 k=0 n! k!(n--k)! ') (la notation (;) désigne le coefficient binomial : 8. -- Si s est une symétrie de E, exprimer (s + IE )2" -- I E en fonction de s et IE. En déduire les symétries de E solutions de l'équation proposée. Partie III : On travaille dans M3 ((C) ensemble des matrices carrées d'ordre 3 à coeflicients dans (C. I désigne la matrice identité et 0 la matrice nulle. a b b On pose G = {M... & Mg, ((C) l (a, b) 6 (C2} où M... désigne la matrice b a b . b b a 9. -- Montrer que G est un sous--espace vectoriel de fil:, ((C) dont on précisera la dimension et une base ; vérifier que G est stable pour le produit matriciel. On cherche à résoudre l'équation matricielle (*) (M + I)2"--I = 0, avec M, matrice inconnue, dans G. On note E le C-espace vectoriel (: 3 et EUR?) = (e 1, e 2, e 3) la base canonique de E. Soient M = M.,, ;, un élément de F tel que b # 0, u l'endomorphisme de E canoniquement associé à M et IE, l'application identité de E. 10. -- Déterminer une base (e'1) de E 1 = Ker (u -- (a + 2b).I E). 11. -- Déterminer une base (eh, e'3) de E; = Ker (u -- (a -- b).I E). 12. -- Montrer que (e'1, e';, 63) est une base de E ; on la note £B'. 13. -- Déterminer la matrice D de u dans la base 93'. 14. -- On note P la matrice de passage de 93 à 93'. Écrire P et déterminer P _1 en précisant la méthode utilisée et en détaillant les calculs. 15. -- Exprimer M en fonction de P, D et P" '. 16. -- Montrer que : M est solution de l'équation (*) si et seulement si D est solution de l'équation (*). 17. -- Déterminer toutes les matrices D solutions de l'équation (*). 18. -- En déduire toutes les solutions de l'équation (*) dans G. Épreuve de Mathématiques (toutes filières) Page 4/4
