Mines Maths toutes filières 2000

Thème de l'épreuve Étude de la fonction arctanh et résolution d'équations différentielle et fonctionnelle autour de cette fonction. Équations matricielles.
Principaux outils utilisés analyse usuelle, trigonométrie hyperbolique, nombres complexes, algèbre linéaire

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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CONCOURS COMMUN SUP 2000
DES ÉCOLES DES MINES D'ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES

Épreuve de Mathématiques
(toutes filières)

Lundi 22 mai 2000 de 14h00 à 18h00

Instructions générales :

Les candidats doivent vérifier que le sujet comprend :

o 4 pages numérotées 1/4, 2/4, 3/4 et 4/4

0 23 questions en Analyse et 18 questions en Algèbre.
Les candidats sont invités à porter une attention particulière à la rédaction : 
les copies illisibles ou mal
présentées seront pénafisées.
Les candidats colleront sur leur première feuille de composition l'étiquette 
correspondant à l'épreuve et
figurant sur leur convocation.

ANALYSE

Partie I : Étude dela réciproque de la fonction tanh.
On notera respectivement cosh, sinh et tanh les fonctions co sinus hyperboüque, 
sinus hyperboüque et
tangente hyperbofique définies par :

VxeR,cosh(x>=e--Ëî--, sinh(x)=e "8 et mn)--:...") --3 "6

cosh(x) e" + e"" '

l. -- Montrer, en étudiant ses variations, que tanh est une bijection de IR sur 
un intervalle I de [R à préciser.
On note @__nh (« argument tangente hyperbofique ») sa réciproque.

2. -- Exprimer la dérivée de tanh en fonction de tanh.

3. -- Démontrer que artanh est impaire.

4. -- Démontrer que artanh est dérivable sur I et calculer sa dérivée.

5. --- Exprimer artanh à l'aide de fonctions usuelles.

6. -- Déterminer un développement limité à l'ordre 5 de artanh en O.

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CONCOURS COMMUN SUP 2000 DES ÉCOLES DES MINES D'ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES

Partie II : Étude d'une équation différentielle
1

Soit l'équation difi'érentiefle (E) : x y ' + 3 y = 1
-- x

2 .

7. -- Résoudre (E) sur l'intervalle J = ]O, 1[.
Partie III : Étude d'une équation fonctionnelle

Le but de cette partie est de résoudre le problème suivant :
déterminer les fonctions f définies sur IR, à valeurs réelles et dérivables en 
zéro qui vérifient :

VXGR, f(ZX) =Îäîäî.

8. -- Déterminer les fonctions constantes solutions du problème posé.
9. -- Déterminer les valeurs possibles de f (0) si f est solution.
10. -- Montrer que, si f est solution, on a : Vxe R, --1 S f (x) 5 1

( on pourra exprimer f (x) en fonction de f (%) .)

Il. -- Montrer que, si f est solution, -- f est aussi solution.
12. - Montrer que tanh est solution du problème posé.

Dans les questions 13. à 17., on suppose que f est une solution du problème 
posé, que f (0) = 1
et que f n'est pas constante.

On considère xoe IR, tel que f (xe) # f (0) et l'on définit la suite (un) par : 
Vne N, un = f ( âî ] .
13. -- Montrer que la suite (un) est convergente et préciser sa limite.
14. -- Établir une relation entre u,] et u ,, ... ; en déduire que la suite 
(un) garde un signe constant, puis
étudier sa monotonie suivant le signe de uo.
15. --- En utilisant les résultats des questions 13. et 14., aboutir à une 
contradiction.
16. ---- Que peut-on dire si l'hypothèse « f(0) = 1 » est remplacée par 
l'hypothèse << f (0) = --1 » ?
17. -- Conclusion ?

Dans les questions 18. à 22., on suppose que f est une solution du problème 
posé et que f (0) = 0.

18. -- En raisonnant par l'absurde et en considérant une suite du même type que 
celle des questions
13. à 17., montrer que : Vxe IR, f(x) $ -- 1 et f(x) # 1.

On définit alors la fonction g par : Vxe [R, g (x) = artanh (f (x)).

19. -- Montrer que : Vxe IR, g (2x) = 2 g (x).
20. -- Montrer que g est dérivable en zéro.

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gg")

2"
Montrer que (v,) est convergente et déterminer sa limite.

21. -- Soit xelR* ; on définit la suite (v,) par : VneN, v,, =

22. -- En déduire que g est linéaire.

23. --- Déterminer toutes les fonctions solutions du problème po sé.

ALGÈBRE

Les parties I, II et III sont, dans une large mesure, indépendantes.
Soit n un entier naturel non nul.

Partie I :
On pose : A = (X + 1)" -- 1 , polynôme de IR[X].

]. --- Montrer que l'on peut écrire : A = X x B où B est un polynôme de [R[X] 
dont on précisera le degré,

le coefficient dominant et le terme constant noté b 0.
2. -- Déterminer les racines de A dans (C. On posera zo = 0 et les autres 
racines z ;, zz, , 22 ,,-1 seront

mises sous forme tfigonométfique.

n--l

On pose P,, = Hsink--fl.
2n
k=l
2n---l kfl'
3. -- Montrer, à l'aide d'un changement d'indice, que P ,, = Hsin 2--.

n

k=n+l

2n--l k
En déduire que, si Q,, = Hsîn ----2--{[--, alors P,, = 1/Qn .
n

k=l
2n--l

4. -- Calculer de deux façons : H zk . Puis, en déduire Q ,, et enfin, P ,.
k=1

5. -- On pose F = --1--. Déterminer la décomposition de F en éléments simples 
sur (C.

A

M
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CONCOURS COMMUN SUP 2000 DES ECOLES DES MINES D'ALBI, ALES, DOUAI, NANTES

Partie II :
On travaille dans un C-espace vectoriel E supposé non réduit au vecteur nul. 58 
(E) désigne l'ensemble des

endomorphismes de E, IE est l'application identité de E et 9 désigne 
l'application nulle.
Par convention : er £ (E), f 0 = IE.

On étudie, sur quelques cas particuliers, l'équation : (f + IE )2" -- IE = 6 où 
f 653 (E) est l'inconnue.

6. -- Déterminer les homothéties vectorielles qui sont solutions de l'équation 
proposée.

n n--l
7. _ En développant (1 + 1)" et (1 -- l)2n déterminer les sommes S = Z(ÊZ) et 
S' =Z(2n )-
k=0

k=0
n!

k!(n--k)! ')

(la notation (;) désigne le coefficient binomial :

8. -- Si s est une symétrie de E, exprimer (s + IE )2" -- I E en fonction de s 
et IE.
En déduire les symétries de E solutions de l'équation proposée.

Partie III :
On travaille dans M3 ((C) ensemble des matrices carrées d'ordre 3 à 
coeflicients dans (C.
I désigne la matrice identité et 0 la matrice nulle.

a b b
On pose G = {M... & Mg, ((C) l (a, b) 6 (C2} où M... désigne la matrice b a b .
b b a

9. -- Montrer que G est un sous--espace vectoriel de fil:, ((C) dont on 
précisera la dimension et une base ;
vérifier que G est stable pour le produit matriciel.

On cherche à résoudre l'équation matricielle (*) (M + I)2"--I = 0, avec M, 
matrice inconnue, dans G.

On note E le C-espace vectoriel (: 3 et EUR?) = (e 1, e 2, e 3) la base 
canonique de E.

Soient M = M.,, ;, un élément de F tel que b # 0, u l'endomorphisme de E 
canoniquement associé à M et IE,
l'application identité de E.

10. -- Déterminer une base (e'1) de E 1 = Ker (u -- (a + 2b).I E).
11. -- Déterminer une base (eh, e'3) de E; = Ker (u -- (a -- b).I E).
12. -- Montrer que (e'1, e';, 63) est une base de E ; on la note £B'.
13. -- Déterminer la matrice D de u dans la base 93'.
14. -- On note P la matrice de passage de 93 à 93'.
Écrire P et déterminer P _1 en précisant la méthode utilisée et en détaillant 
les calculs.
15. -- Exprimer M en fonction de P, D et P" '.
16. -- Montrer que : M est solution de l'équation (*) si et seulement si D est 
solution de l'équation (*).
17. -- Déterminer toutes les matrices D solutions de l'équation (*).
18. -- En déduire toutes les solutions de l'équation (*) dans G.

Épreuve de Mathématiques (toutes filières) Page 4/4

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Mines Maths toutes filières 2000 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Pierre-Yves Rivaille (ENS Lyon) ; il a été relu par
Yacine Dolivet (ENS Ulm) et Vincent Nesme (ENS Ulm).

L'épreuve se compose de deux problèmes indépendants.
Le premier problème, d'analyse, consiste en l'étude de plusieurs problèmes dans
lesquels intervient la fonction artanh. On définit et étudie tout d'abord cette 
fonction
(partie I), puis on résout une équation différentielle la faisant intervenir 
(partie II),
enfin on cherche les solutions d'une équation fonctionnelle dont elle fait 
partie (partie
III).
Le second problème, d'algèbre, a pour but la résolution d'une équation 
matricielle.
On étudie, pour cela, les racines d'un polynôme, grâce auxquelles on établit 
quelques
égalités trigonométriques. Enfin, on utilise l'algèbre linéaire pour résoudre 
l'équation
proprement dite.

Indications

Analyse
I.7 Chercher un changement de fonctions inconnues de la forme z = x y.
I.12 Réviser ses formules de duplication en trigonométrie hyperbolique. Par 
exemple :
cosh(2x) = cosh2 (x) + sinh2 (x) = 2 cosh2 (x) - 1 = 1 + 2 sinh2 (x)
sinh(2x) = 2 cosh(x) sinh(x)
I.13 Caractériser de manière séquentielle (c'est-à-dire à l'aide de suites) le 
fait que
f est continue en 0.
I.16 Utiliser la question I.11.
I.20 Utiliser le fait que tanh est solution du problème posé.
x
I.21 Remarquer que n est le taux d'accroissement de g entre 0 et n , puis 
utiliser
2
la question I.20.
I.22 Montrer que la valeur de n est constante (indépendante de n et de x).

Algèbre
II.1 Utiliser la formule du binôme de Newton.
II.2 Faire intervenir les racines (2n)es de 1 dans C.
II.7 Appliquer la formule du binôme de Newton et séparer les termes pairs et 
impairs.
II.8 Utiliser la question II.7 et la caractérisation des symétries (s2 = IE ).
II.12 Montrer que le système est libre puis générateur.
II.13 Utiliser les questions II.10 et II.11.
II.14 Il est très simple de calculer P-1 si P est orthogonale.

Analyse

Partie I

Étude de la réciproque de la fonction tanh

I.1 La fonction tangente hyperbolique tanh est définie, continue et dérivable 
sur R
puisque :
­ elle est le quotient des termes ex -e-x et ex +e-x qui sont des fonctions 
définies
continues dérivables sur R ;
­ le dénominateur ex + e-x est strictement positif sur R.
Sa dérivée est :
sinh (x) cosh(x) - sinh(x) cosh (x)
tanh (x) =
cosh2 (x)
=
tanh (x) =

cosh2 (x) - sinh2 (x)
cosh2 (x)
1
>0
cosh2 (x)

x  R

Donc la fonction tanh est strictement croissante sur R, d'où son injectivité.
Déterminons l'intervalle I image de R par cette fonction. On a
tanh(x) 

+

C'est-à-dire

ex - e-x
ex

 1
ex + e-x + ex +

lim tanh(x) = 1

x+

De la même façon,
tanh(x) 

-

C'est-à-dire
Ainsi,

e-x
ex - e-x
 - -x  -1
x
-x
-
-
e +e
e

lim tanh(x) = -1

x-

tanh est une bijection de R sur l'intervalle I = ] -1 ; 1 [
Connaître quelques formules de trigonométrie hyperbolique est utile :
cosh (x) = sinh(x)
sinh (x) = cosh(x)
2
cosh (x) - sinh2 (x) = 1
On peut en retrouver d'autres à partir des formules de trigonométrie classiques 
et, en utilisant les formules suivantes :
cos(x) = cosh(ix)
sin(x) =

sinh(ix)
i

I.2 Reprenons le calcul de la dérivée tanh que nous avons fait à la question 
I.1 à
partir de sa deuxième ligne :
tanh (x) =

cosh2 (x) - sinh2 (x)
sinh2 (x)
=1-
2
cosh (x)
cosh2 (x)
tanh (x) = 1 - tanh2 (x)

soit

I.3 L'intervalle de définition de artanh est symétrique par rapport à 0. De 
plus,
quel que soit x dans ] -1 ; 1 [ , on a x = tanh(artanh(x)) d'où
artanh(-x) = artanh(-tanh(artanh(x)))
Or, la fonction tanh est impaire. Par conséquent,
artanh(-x) = artanh(tanh(-artanh(x)))
Finalement,

artanh(-x) = -artanh(x)
La fonction artanh est impaire.

Ne pas oublier de vérifier que l'intervalle de définition d'une fonction paire 
ou
impaire doit être symétrique par rapport à 0 (c'est-à-dire x  D, -x  D.)

I.4 Comme la fonction tanh est une bijection de R sur ] -1 ; 1 [ , dérivable, 
dont la
dérivée ne s'annule nulle part, on peut affirmer que sa réciproque, à savoir la 
fonction
artanh, est dérivable sur ] -1 ; 1 [ . Sa dérivée vaut, pour tout x dans ] -1 ; 
1 [ ,
artanh (x) =

d'où

1
1
=
tanh (artanh(x))
1 - tanh2 (artanh(x))
artanh (x) =

1
1 - x2

Si l'on a oublié la formule f -1 (x) =

1
, on peut la retrouver
f  (f -1 (x))

facilement en dérivant f  f -1 :
f  f -1

f  f -1

f -1 × f   f -1

f -1

= id
=1
=1
=

1
f   f -1

I.5 On sait que tanh (artanh (x)) = x . On en déduit que