Mines Maths MPSI 2009

Thème de l'épreuve Équations différentielles, suites, courbes associées à une famille de fonctions. Étude d'un endomorphisme de R[X].
Principaux outils utilisés équations différentielles, courbes paramétrées, suites, équivalents, polynômes, produit scalaire, coniques
Mots clefs raccordement de solution, comparaison des suites, hyperboles

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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CONCOURS COMMUN 2009
DES ÉCOLES DES MINES D'ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES
Épreuve Spécifique de Mathématiques
(filière MPSI)

Mardi 19 mai 2009 de 08h00 à 12h00

Instructions générales :
Les candidats doivent vérifier que le sujet comprend 4 pages numérotées 1/4, 
2/4, 3/4, 4/4.
Les candidats sont invités à porter une attention particulière à la rédaction : 
les copies illisibles ou mal
présentées seront pénalisées.
Les candidats colleront sur leur première feuille de composition l'étiquette à 
code à barres
correspondant à l'épreuve spécifique de Mathématiques.

L'emploi d'une calculatrice est interdit.
Remarque importante :
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé, il le
signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les 
raisons des initiatives qu'il
a été amené à prendre.

Problème 1.
1
On rappelle que le nombre e = exp(1) | 2,72 ,
| 0.61,
e

2 | 1,41 et ln(3) | 1,10.

I Etude d'une fonction.
Soit f définie sur § par : x·§, f(x) = 3x exp( x ²) 1 3 xe x ² 1 .
1 Etudier les variations de f sur §, ainsi que les limites aux bornes du 
domaine de définition.
Donner le tableau de variations de f. Préciser les branches infinies de la 
courbe
représentative Cf de f.
2 Calculer f cc(x) . Qu'en déduit-on pour le point de Cf d'abscisse 0 ?
Donner l'équation de la tangente en 0. Etudier la position de la courbe Cf par 
rapport à la
tangente au point d'abscisse 0. Quel résultat retrouve-t-on ?
4 Donner l'allure de la courbe Cf de f.
5
a) Pourquoi f admet-elle des développements limités en 0 à n'importe quel ordre 
?
b) Donner le développement limité de f au voisinage de 0 à l'ordre 5.
3

CONCOURS COMMUN SUP 2009 DES ÉCOLES DES MINES D'ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES
Épreuve Spécifique de Mathématiques (filière MPSI)
Page 1/4

II Etude d'une équation différentielle.
Soit n un élément de £*. Soit En l'équation différentielle xy'­(n­2x ²)y = n­2x 
². Soit Hn
l'équation homogène (dite aussi sans second membre) associée à En.
6 Résoudre Hn sur ]0, +f[ et sur ]­f, 0[.
7 En déduire les solutions de En sur ]0, +f[ et sur ]­f, 0[.
8

Donner toutes les fonctions f définies, de classe C1 sur § et solutions de En 
sur §. On
distinguera les cas n = 1 et n t 2.
III Etude de deux suites.

On suppose désormais dans toute la suite du problème que l'entier naturel n est 
supérieur ou
égal à 2. Soit fn(x) = 3 x n e x ² ­1 = 3xnexp(­x²)­1.
9 Quel est le signe de fn(0), de fn(1) ?
10 Etudier les variations de fn sur l'intervalle [0, +f[. Donner la limite de 
fn(x) quand x tend
vers +f. En déduire que fn s'annule sur [0,+f[ en deux réels notés un et vn , 
qui vérifient
un< 1  0, gn(x) = ln3+nlnx­x².
Soit t >0. Montrer que gn(t)=0 si et seulement si fn(t) = 0.
On suppose que : l z 1. Trouver une contradiction en utilisant ce qui précède.
Conclusion ?
c) Soit la suite (wn)nt2 définie par : n t 2 wn = un­1. Trouver en utilisant un 
développement
limité de gn(1+wn) = gn(un) un équivalent simple de wn.

b)
c)
d)
13
a)
b)

IV Etude d'une courbe paramètrée.
G G
Soit R = (O, i , j ) un repère orthonormé. Soit M la courbe paramétrée définie 
sur ]0, +f[ tel
que pour tout t strictement positif, M(t) ait pour coordonnées dans le repère 
R, (x(t), y(t)) avec
- x(t ) g 2 (t ) ln 3 2 ln(t ) t ²
°
1 3
®
y (t ) t
t
°
3
14
a) Etudier les variations de x et y ainsi que leurs limites aux bornes du 
domaine de définition.
b) Etudier les branches infinies de la courbe M.
c) Etudier la nature du point M(1). Donner un vecteur directeur de la tangente 
en M(1) à la courbe.
15 Tracer l'allure de la courbe M.
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Épreuve Spécifique de Mathématiques (filière MPSI)
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Problème 2.
On notera ~[X] l'ensemble des polynômes à coefficients complexes et ~n[X] 
l'ensemble des
polynômes de ~[X] de degré inférieur ou égal à n où n est un entier naturel non 
nul. On note
§2[X] l'ensemble des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal 
à 2. On
confondra polynôme et fonction polynôme. On notera deg(P(X)) le degré d'un 
polynôme
P(X).
I Etude d'un polynôme.
16 Soit U(X) le polynôme de ~2[X] suivant : U(X) = X 2+(1­2i)X­2i.
a) Donner les racines carrées de ­3+4i.
b) Trouver les racines dans ~ du polynôme U(X).
17 Soit le complexe z, z = x+iy avec x et y réels.
a) Calculer la partie réelle et la partie imaginaire de U(z) en fonction de x 
et de y.
G G
G
G
b) Soit le plan rapporté à un repère orthonormé R = (O, i , j ). (On prendra i 
= j =1 cm. )
i)
ii)

Soit *1 l'ensemble des points M de coordonnées (x, y) tels que U(x+iy) est 
imaginaire
pur. Donner la nature de *1, son centre et son excentricité. Tracer *1.
Soit *2 l'ensemble des points M de coordonnées (x, y) tels que U(x+iy) est réel.
Donner sa nature et son centre. Tracer *2 sur le même dessin que *1.
II Définition d'une application.

Soit n un entier naturel non nul fixé pour toute la suite du problème. Soit 
T(X) un
polynôme fixé de ~[X] de degré n. Soit f l'application définie sur ~[X] qui à 
tout P(X) de
~[X] associe Q(X)+XR(X) où Q(X) et R(X) sont respectivement le quotient et le 
reste de la
division euclidienne de P(X 2) par T(X). ( On a donc P(X 2) = Q(X)T(X)+R(X) avec
deg(R(X)) < deg(T(X))). On notera fn la restriction de f à ~n[X].
18 Montrer que f est une application linéaire.
19
20
a)
b)

Montrer que fn est un endomorphisme de l'espace vectoriel (~n[X], +, .).
Dans cette question uniquement n = 2 et T(X) = X 2.
Donner la matrice A de f2 sur la base canonique (1, X, X 2).
Calculer A 2. En déduire que f2 est bijective et donner son application 
réciproque. En
déduire la nature de f2.
21 Dans cette question uniquement n = 2 et T(X) = (X­1­i)(X+i). Donner l'image 
du
polynôme U(X) = X 2+(1­2i)X­2i par l'application f.
III Etude d'un cas particulier.
Soit a un complexe fixé. Dans cette partie uniquement, n = 3 et T(X) = X 3+X 
2+a.
22 Montrer que f3 a pour matrice sur la base canonique (1, X, X 2, X 3) de 
~3[X] :
1
a 1 ·
§0 0
¨
¸
¨ 1 0 a 1 1 a a² ¸
.
B= ¨
0 0
a
a 1 ¸
¸
¨
¸
¨0 1
1
2
2
a
©
¹
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23
24
25
a)
b)
c)

Calculer le déterminant de f3.
Donner les valeurs de a pour lesquelles f3 n'est pas bijective.
Dans cette question a = ­1.
Donner une base de ker f3 , le noyau de f3.
Donner une base de Im f3 , l'image de f3.
Le noyau et l'image de f3 sont-ils supplémentaires ?
IV Etude du noyau.

26 Soit P(X) un polynôme non nul de degré p tel que : 2p < n. Montrer que 
f(P(X)) est non
nul.
27 Soit P(X) un polynôme. Montrer qu'il appartient au noyau de f si et 
seulement si il existe un
polynôme R(X) de degré strictement inférieur à n tel que : P(X 2) = 
R(X)(1­XT(X)).
28 En déduire que si P(X) est un élément du noyau de f alors il appartient à 
~n[X].
29 Déduire de la question 27 que pour tout élément P du noyau de f et que pour 
tout k de £
tel que deg (P(X))+k d n alors X k P (X) appartient au noyau de f.
30 On suppose dans cette question que le noyau de f n'est pas réduit au 
polynôme nul. Soit I
l'ensemble des entiers naturels k tel qu'il existe un polynôme du noyau de f 
qui a pour
degré k.
a) Montrer que I possède un plus petit élément d.
b) Soit P0(X) un polynôme du noyau ayant pour degré d. Soit P1(X) un autre 
polynôme du
noyau ayant pour degré d. Montrer qu'il existe c de ~ tel que P1(X) = cP0(X).
c) Montrer qu'un polynôme P(X) appartient au noyau de f si et seulement s'il 
existe un
polynôme S(X) de degré inférieur ou égal à n-d tel que P(X) = S(X)P0(X).
31 On suppose dans cette question que T(X) = X 3+X 2­1. Donner le noyau de f.
V Etude d'un produit scalaire.
Dans cette partie on prendra T(X) = X 2 et on considérera g = f2 la restriction 
de f à §2[X].
32 Montrer que g est bien un endomorphisme de l'espace vectoriel réel (§2[X], 
+, .). Donner
sa matrice A sur la base canonique de §2[X].
33 Soit < . , .> définie sur §2[X] ² à valeurs dans § par :
(U(X), V(X))·§2[X]²,  = U(1)uV(1)+ U c (1)u V c (1)+ U cc (1)u V cc 
(1).
(Où U c (X) et V c (X) sont les fonctions polynômes dérivées de U(X) et V(X) et 
U cc (X) et
V cc (X) sont les fonctions polynômes dérivées secondes de U et V. )
Montrer que < . , . > est un produit scalaire sur (§2[X], +, .).
34 Montrer que la matrice A de g sur la base canonique est une matrice 
orthogonale. (C'est-àdire AutA=I3 où tA est la matrice transposée de A et I3 la 
matrice identité. )
35 L'application g est-elle une isométrie vectorielle pour le produit scalaire 
< . , . > ?
On pourra calculer < 1, 1> et .

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Épreuve Spécifique de Mathématiques (filière MPSI)
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Mines Maths MPSI 2009 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Sophie Rainero (Professeur en CPGE) ; il a été relu
par Denis Conduché (ENS Ulm) et Vincent Puyhaubert (Professeur en CPGE).

Ce sujet est composé de deux problèmes indépendants, l'un d'analyse et l'autre
d'algèbre, chacun abordant de nombreux points du programme de première année.
· Le problème d'analyse est constitué de quatre parties globalement 
indépendantes. Dans la première, on effectue une classique étude de fonction : 
variations,
branches infinies, tracé de courbe, développement limité. Dans la deuxième, on
résout une famille d'équations différentielles en faisant un raccordement de
solutions. La troisième partie consiste en l'étude de deux suites définies 
implicitement. Enfin, la quatrième partie propose d'étudier et de tracer une 
courbe
paramétrée.
· Le problème d'algèbre, plus long et plus difficile, porte principalement sur 
les
polynômes. Après avoir déterminé les racines d'un polynôme de degré 2, on
étudie deux hyperboles définies à l'aide de ce polynôme, pour lesquelles on
trouve des équations réduites par la méthode de Descartes. Puis on définit
un endomorphisme du C-espace vectoriel C[X] des polynômes à coefficients
complexes faisant intervenir la division euclidienne. Dans un premier temps,
cette application linéaire est étudiée dans des cas particuliers (recherche de 
sa
matrice, de son image, de son noyau). On s'intéresse ensuite à la structure de
son noyau dans le cas général. La dernière partie de ce problème est consacrée
à l'étude d'un produit scalaire.
L'intérêt principal de cette épreuve est d'aborder de nombreuses notions du 
programme de MPSI : elle constitue donc un excellent outil de révision. On peut 
cependant regretter un manque apparent de concertation entre les concepteurs de 
l'épreuve
commune et ceux de cette épreuve spécifique, dont la conséquence est une 
ressemblance très forte entre les deux sujets (courbes paramétrées, équations 
différentielles
avec raccordement de solutions, suites définies implicitement dont on détermine 
des
équivalents, hyperboles équilatères...). À part la quatrième partie du deuxième 
problème, ce sujet est extrêmement calculatoire.

Indications
Problème 1
6 Mettre l'équation différentielle sous forme résolue.
7 Chercher une solution particulière constante.
8 Raisonner par analyse-synthèse en utilisant le résultat de la question 7.
12.c Utiliser la croissance stricte de la fonction fn+1 et les résultats des 
questions 10
et 12.b.
13.b Déterminer deux limites différentes pour la suite de terme général n ln(un 
)
à l'aide des questions 12.d et 13.a.
14.b Étudier la limite quand t tend vers + du quotient y(t)/x(t).

14.c Former des développements limités à l'ordre 3 des fonctions t 7 x(t) et
t 7 y(t) au voisinage de 1.
Problème 2

17.b.ii Effectuer un changement de repère pour reconnaître une hyperbole 
équilatère.
21 Utiliser la question 16.b et exprimer les racines carrées de 2 i.
23 Le déterminant de f3 est égal à celui de sa matrice dans la base (1, X, X2 , 
X3 )
de C3 [X].
25.b Penser au théorème du rang afin de connaître la dimension de Im (f3 ).
30.a Que peut-on dire d'une partie non vide de N ?
30.b Effectuer la division euclidienne de P1 par P0 et démontrer par l'absurde 
que
le reste est nul.
30.c Procéder comme à la question 30.b.
31 Utiliser la question 25.a.

Problème 1
I.

Étude d'une fonction

1 La fonction x 7 -x2 est de classe C  sur R à valeurs réelles, la fonction 
exponentielle est C  sur R donc, par composition, la fonction x 7 exp(-x2 ) est 
de
classe C  sur R. On en déduit par produit puis différence que f est de classe C 
sur R. En particulier, elle est dérivable sur R et, pour tout réel x,
2

2

f  (x) = 3 e -x + 3 x (-2 x) e -x

2
= 3 1 - 2 x2 e -x

2
f  (x) = 3 1 - 2 x 1 + 2 x e -x

La dérivée de f s'annule ainsi en - 2/2 et en 2/2. De plus,
#   "
2
2

x  R
f (x) > 0  x  -
;
2
2
Par conséquent,

La fonction f est strictement décroissante sur les intervalles - ; - 2/2 et

2/2 ; + et strictement croissante sur l'intervalle - 2/2 ; 2/2 .

Déterminons les limites de f aux bornes de son ensemble de définition, 
c'est-à-dire
en - et +. Les croissances comparées des fonctions exponentielle et puissances
permettent d'écrire
2

lim x e -x = 0

et

lim f (x) = -1

et

x-

d'où

x-

2

lim x e -x = 0

x+

lim f (x) = -1

x+

On peut désormais donner le tableau de variation de f .

-
x
- 2/2
0
f  (x)

f (x)

où
et

-

-1

0

f - 2/2

+

-1

0

f

+

-

 !

2
3 2
1
3 2
f -
=-
exp -
-1=-  -1
2
2
2
2 e
 !

2
3 2
1
3 2
f
=
exp -
-1=  -1
2
2
2
2 e

-1

Précisons maintenant les branches infinies de f . Notons Cf la courbe 
représentative de f . D'après les limites calculées précédemment et l'étude des 
variations de f ,
La droite d'équation y = -1 est asymptote à Cf en -
et + ; de plus la courbe est au-dessous de son asymptote en - et au-dessus de 
son asymptote en +.
2 L'application f est de classe C  sur R et y est donc en particulier deux fois
dérivable. Pour tout réel x,

2
2
f  (x) = 3 (-2 x) e -x 1 - 2 x2 + 3 e -x (-4 x)

2
= -6 x e -x 1 - 2 x2 + 2
f  (x) = 6 x e -x

x  R

2

2 x2 - 3

2
Au voisinage de 0, la fonction x 7 6 e -x 2 x2 - 3 est de signe constant, 
strictement négatif. La fonction f  a donc le même signe que l'application 
identité et elle
s'annule ainsi en 0 en changeant de signe, ce qui signifie que
Le point de Cf d'abscisse 0 est un point d'inflexion.

Plus précisément,
x  R

f  (x) = 6 x e -x
= 6 x e -x

2
2

On en déduit le signe de la fonction f  :
p
-
x
- 3/2
f  (x)

-

0

2 x2 - 3

2x - 3
2x + 3
0

+

0 -

p
0

+

+

p
p
Les points de Cf d'abscisses - 3/2, 0 et 3/2
sont des hpoints
d'inflexion,h
i p
ip
f est strictement convexe sur les intervalles - 3/2 ; 0 et
3/2 ; +
i
h i p
h
p
et strictement concave sur les intervalles - ; - 3/2 et 0 ; 3/2 .
3 La fonction f étant dérivable en 0, sa courbe représentative Cf admet au point
d'abscisse 0 une tangente d'équation
y = f  (0) x + f (0)
c'est-à-dire

y = 3x-1

Étudions la position de la courbe Cf par rapport à cette tangente. Pour tout 
réel x,
2

f (x) - (3 x - 1) = 3 x e -x - 1 - 3 x + 1
2

= 3 x (e -x - 1)