CONCOURS COMMUN 2008
DES ECOLES DES MINES D'ALBI, ALES, DOUAI, NANTES
Epreuve Specifique de Mathematiques
(filiere MPSI)
Mardi 20 mai 2008 de 8h00 a 12h00
Instructions generales :
Les candidats doivent verifier que le sujet comprend 4 pages numerotees 1/4,
2/4, 3/4, 4/4.
Les candidats sont invites a porter une attention particuliere a la redaction :
les copies illisibles ou mal
presentees seront penalisees.
Les candidats colleront sur leur premiere feuille de composition l'etiquette a
code a barres correspondant
a l'epreuve specifique de Mathematiques.
L'emploi d'une calculatrice est interdit
Remarque importante :
Si au cours de l'epreuve, un candidat repere ce qui lui semble etre une erreur
d'enonce, il le signalera
sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des
initiatives qu'il a ete
amene a prendre.
Les deux problemes sont independants.
Bareme indicatif : 10 points pour chaque probleme.
Premier probleme
Dans le plan euclidien R2 , au point M de coordonnees (x, y) on associe
l'affixe m = x + iy.
z+z
Le conjugue de z est note z, son module |z| = zz, et sa partie reelle Re(z) =
.
2
2
3
-1
+i
le complexe solution de X 2 + X + 1 = 0, et on rappelle que j = j 2 .
On note j = ei 3 =
2
2
Etude d'une inegalite
1. Soit a C. Montrer que |a| = Re(a) a R+ .
¡
¢
2. Soit z, w C, montrer l'egalite suivante : (|z| + |w|)2 - |z + w|2 = 2 |zw|
- Re(zw) .
3. En deduire l'inegalite suivante : |z + w| 6 |z| + |w| et montrer qu'il y a
egalite si, et seulement si, z
et w sont les affixes de deux points situes sur une meme demi-droite issue de
l'origine.
La notion de (p : q) point
Soient A et B deux points du plan d'affixes respectives a et b.
Soient p et q deux reels strictement positifs.
p
z-a
= , on l'appelle le (p : q)
b-z
q
point de A a B. Donner son affixe ainsi qu'une interpretation geometrique.
4. Pour A 6= B, montrer qu'il existe un unique point d'affixe z verifiant
5. Soit ]0, +[, montrer que le (p : q) point de A a B et le (p : q) point de A
a B coincident.
6. Caracteriser le (1 : 1) point de A a B.
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7. A, B, C designent trois points distincts deux a deux, on notera c l'affixe
de C. Soient X le (p : q)
point de A a B et Y le (p : q) point de A a C. Montrer que la droite (XY ) est
parallele a la droite
(BC).
La notion de (p : q) sous-triangle
On appelle (p : q) sous-triangle du triangle (ABC), le triangle (A B C ) ou
A est le (p : q) point de A a B d'affixe a ,
B est le (p : q) point de B a C d'affixe b ,
C est le (p : q) point de C a A d'affixe c .
8. Donner l'affixe de l'isobarycentre (ou centre de gravite) du triangle (ABC).
9. Montrer que le (p : q) sous-triangle du triangle (ABC) a le meme
isobarycentre que (ABC).
Etude de suites
On va considerer une suite de triangles (Ak Bk Ck ) construits de la maniere
suivante.
Le triangle (A0 B0 C0 ) est fixe (les points deux a deux distincts). Et pour
tout k N, (Ak+1 Bk+1 Ck+1 )
est le (p : q) sous-triangle du triangle (Ak Bk Ck ).
On note, pour k N, par ak , bk et ck les affixes respectives des points Ak ,
Bk et Ck .
ak
ak+1
q p 0
1
0 q p bk = bk+1 .
10. Montrer que les affixes verifient la relation matricielle suivante :
p+q
ck+1
ck
p 0 q
11. On pose, pour tout k N, k = ak + bk + ck , k = ak + jbk + j 2 ck , k = ak
+ j 2 bk + jck . Verifier
q + j2p
q + jp
que les suites (k )k , (k )k et (k )k sont geometriques de raison 1,
et
respectivement, et
p+q
p+q
qu'elles sont toutes convergentes en precisant leur limite. (On pourra utiliser
la question 3..)
1 1 1
1 0 0
On pose V = 1 j j 2 et Q = 0 0 1, on va prouver que V est inversible, et
preciser son
1 j2 j
0 1 0
inverse.
12. Soit B M3 (C), on pose C = BQ. Comment se deduit la matrice C de la
matrice B ?
13. Montrer que le determinant de V vaut 3j(j - 1). Montrer que V est
inversible. Calculer V 2 , en
1
V Q, avec m N a preciser.
deduire que V -1 est de la forme m
k
ak
14. En remarquant que k = V bk , en deduire que les suites (ak )k , (bk )k
et (ck )k sont toutes les
ck
k
trois convergentes, et preciser leur limite.
Etude d'une application lineaire
On definit l'application suivante :
: M3 (C) - M3 (C)
M
7- V -1 M V
15. Montrer que est une application lineaire qui verifie (M, N ) M3 (C)2 , (M
N ) = (M )(N ).
16. On considere l'application
est une application bijective.
q
1
0
17. On pose A(p,q) =
p+q
p
de M3 (C) definie par (M ) = V M V -1 . Calculer . Montrer que
1
1
p 0
1
q + jp
q p . Calculer A(p,q) 1 , montrer que A(p,q) j =
j ,
p+q
j2
0 q
j2
1
1
et donner une expression similaire pour A(p,q) j 2 .
j
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18. En deduire, sans calcul, que (A(p,q) ) = D ou D est une matrice diagonale
dont on precisera les
coefficients diagonaux.
19. On rappelle que l'ensemble des matrices diagonales
de M3 (C) estª un anneau commutatif, en deduire
©
que deux matrices quelconques de l'ensemble A(p,q) /(p, q) ]0, +[ commutent.
20. Montrer que A(1,n) . . . A(1,2) A(1,1) = V Dn V -1 ou Dn est une matrice
diagonale ayant pour coeffià n
!
à n
!
n
n
Y k+j
Y k + j2
Y
k + j Y k + j2
,
). Montrer que les suites
et
sont
cients diagonaux (1,
k+1
k+1
k+1
k+1
k=1
k=1
k=1
k=1
n
n
¯
¯
¯
¯
¯
¯
j 2 ¯¯
j ¯¯
¯
¯
convergentes vers 0. (On pourra admettre que ¯1 + ¯ 6 1 et ¯1 + ¯ 6 1.)
k
k
Deuxieme probleme
Etude d'une fonction
1
21. Etudier sur ]0, +[ la fonction f : x 7 x x . On precisera le domaine de
definition, les limites aux
bornes, les extrema et asymptotes eventuels.
22. Montrer que l'on peut prolonger par continuite f en 0. Ce prolongement sera
encore note f . Preciser
la valeur de f en 0.
23. La fonction f est-elle derivable en 0 ?
24. Montrer que f est une bijection de ]0, e] sur ]0, e1/e ].
25. La fonction reciproque de f est-elle continue, derivable sur ]0, e1/e ] ?
Etude d'une suite
Soit x un reel fixe strictement positif. On pose x (t) = xt , et on definit la
suite (tn )n de la maniere
suivante
t0 = 1, tn+1 = x (tn ) pour n N.
Lorsque la suite (tn )n est convergente on note h(x) sa limite dans R.
26. Si x = 1, que peut-on dire sur la convergence de la suite (tn )n ?
27. Justifier que si h(x) existe (c'est-a-dire la suite (tn )n est convergente)
alors h(x) = x (h(x)), en
deduire dans ce cas que f (h(x)) = x.
On va traiter le cas x > 1 :
28. Montrer que pour x ]1, +[, la fonction x : t 7 xt est strictement
croissante sur R.
29. Soit x > 1, montrer par recurrence : n N, tn < tn+1 . 30. On suppose que x ]1, e1/e ], montrer par recurrence : n N, tn 6 e. En deduire que dans ce cas la suite (tn )n est convergente. 31. On suppose x > e1/e , et on veut montrer que la suite (tn )n a pour limite
+. On pourra supposer
que la suite est convergente vers h(x) et en utilisant les questions 27. et 21.
aboutir a une contradiction.
Conclure.
On va etudier le cas x ]0, 1[ :
32. Montrer que pour x ]0, 1[, la fonction x : t 7 xt est decroissante sur R.
Que peut-on en deduire
sur la monotonie de x x sur R ?
33. Pour 0 < x < 1, montrer par recurrence que : n N, t2n+1 < t2n . 34. On suppose que 0 < x < 1. Montrer par recurrence que la suite extraite (t2n )n est decroissante, puis que la suite extraite (t2n+1 )n est croissante. 35. En deduire qu'elles sont toutes les deux convergentes, et que leur limite ne peut etre qu'un point fixe de x x dans [0, 1], c'est-a-dire une solution de (x x ) (t) = t dans [0, 1]. CONCOURS COMMUN SUP 2008 DES ECOLES DES MINES D'ALBI, ALES, DOUAI, NANTES Epreuve Specifique de Mathematiques (filiere MPSI) Page 3/4 Determination des points fixes La suite du probleme consiste a determiner l'ensemble des points fixes de x x dans [0, 1]. Pour cela on pose g(t) = (x x ) (t) - t, on admettra le resultat suivant : ¡ ¢ g (t) = x (t). x x (t) - 1 = (ln x)2 .x (t). (x x ) (t) - 1 1 36. Dans le cas x [ , 1[ on admet que l'on obtient le tableau suivant : e t 0 1 (ln x)2 x - 1 g (t) (ln x)2 xx+1 - 1 xx - 1 g(t) x Preciser le signe de g (0). Quelle est la monotonie de g sur [0, 1] ? Montrer que x x n'a qu'un seul point fixe dans [0, 1]. Conclusion pour la convergence de la suite (tn )n . 1 37. Dans le cas x ]0, [ on admet que l'on a le tableau suivant : e t 0 1 g (t) (ln x)2 x - 1 g(t) x (ln x)2 xx+1 - 1 xx - 1 ou est l'unique racine de g sur ]0, 1[ et = g () = -e-1 ln x - 1. Preciser le signe de lorsque 1 1 x [e-e , [. Que peut-on en deduire sur la convergence de la suite (tn )n lorsque x [e-e , [ ? e e -e 38. On suppose a partir de maintenant et jusqu'a la fin que x ]0, e [. Et on admet que le tableau de variation est de la forme suivante : t 0 g (t) >0
0
(ln x)2 x
1
0
(ln x)2 xx+1 - 1 < 0 -1<0 x g() g(t) g() xx - 1 1 avec < < et g () = g () = 0. On admet aussi que x possede un unique point fixe dans ]0, [ que e l'on note p, donc x (p) = p. Montrer que g (p) = (ln p)2 - 1 et en deduire le signe de g (p). En deduire que x x possede trois points fixes p1 , p, p2 verifiant 0 < p1 < < p < < p2 < 1. 39. Montrer que pour tout n N on a p2 6 t2n , et que la suite (t2n )n est convergente vers p2 . 40. On veut montrer que n N on a t2n+1 6 p. Pour cela, on supposera qu'il existe n0 N tel que p < t2n0 +1 et on aboutira a une contradiction. Que peut-on conclure sur la convergence de (t2n+1 )n ? La suite (tn )n est-elle convergente ? CONCOURS COMMUN SUP 2008 DES ECOLES DES MINES D'ALBI, ALES, DOUAI, NANTES Epreuve Specifique de Mathematiques (filiere MPSI) Page 4/4
