Mines Maths MPSI 2008

Thème de l'épreuve Convergence d'une suite de triangles. Une famille de suites récurrentes.
Principaux outils utilisés nombres complexes, géométrie élémentaire, calcul matriciel, algèbre linéaire, fonctions, suites récurrentes
Mots clefs barycentre, inégalité triangulaire, (p:q) point, sous-triangle

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Rapport du jury

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CONCOURS COMMUN 2008
DES ECOLES DES MINES D'ALBI, ALES, DOUAI, NANTES
Epreuve Specifique de Mathematiques
(filiere MPSI)

Mardi 20 mai 2008 de 8h00 a 12h00

Instructions generales :
Les candidats doivent verifier que le sujet comprend 4 pages numerotees 1/4, 
2/4, 3/4, 4/4.
Les candidats sont invites a porter une attention particuliere a la redaction : 
les copies illisibles ou mal
presentees seront penalisees.
Les candidats colleront sur leur premiere feuille de composition l'etiquette a 
code a barres correspondant
a l'epreuve specifique de Mathematiques.

L'emploi d'une calculatrice est interdit

Remarque importante :
Si au cours de l'epreuve, un candidat repere ce qui lui semble etre une erreur 
d'enonce, il le signalera
sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il a ete
amene a prendre.

Les deux problemes sont independants.
Bareme indicatif : 10 points pour chaque probleme.
Premier probleme
Dans le plan euclidien R2 , au point M de coordonnees (x, y) on associe 
l'affixe m = x + iy.

z+z
Le conjugue de z est note z, son module |z| = zz, et sa partie reelle Re(z) =
.
2

2
3
-1
+i
le complexe solution de X 2 + X + 1 = 0, et on rappelle que j = j 2 .
On note j = ei 3 =
2
2

Etude d'une inegalite
1. Soit a  C. Montrer que |a| = Re(a)  a  R+ .

¡
¢
2. Soit z, w  C, montrer l'egalite suivante : (|z| + |w|)2 - |z + w|2 = 2 |zw| 
- Re(zw) .

3. En deduire l'inegalite suivante : |z + w| 6 |z| + |w| et montrer qu'il y a 
egalite si, et seulement si, z
et w sont les affixes de deux points situes sur une meme demi-droite issue de 
l'origine.

La notion de (p : q) point
Soient A et B deux points du plan d'affixes respectives a et b.
Soient p et q deux reels strictement positifs.
p
z-a
= , on l'appelle le (p : q)
b-z
q
point de A a B. Donner son affixe ainsi qu'une interpretation geometrique.

4. Pour A 6= B, montrer qu'il existe un unique point d'affixe z verifiant

5. Soit  ]0, +[, montrer que le (p : q) point de A a B et le (p : q) point de A 
a B coincident.
6. Caracteriser le (1 : 1) point de A a B.
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7. A, B, C designent trois points distincts deux a deux, on notera c l'affixe 
de C. Soient X le (p : q)
point de A a B et Y le (p : q) point de A a C. Montrer que la droite (XY ) est 
parallele a la droite
(BC).

La notion de (p : q) sous-triangle
On appelle (p : q) sous-triangle du triangle (ABC), le triangle (A B  C  ) ou
A est le (p : q) point de A a B d'affixe a ,
B  est le (p : q) point de B a C d'affixe b ,
C  est le (p : q) point de C a A d'affixe c .
8. Donner l'affixe de l'isobarycentre (ou centre de gravite) du triangle (ABC).
9. Montrer que le (p : q) sous-triangle du triangle (ABC) a le meme 
isobarycentre que (ABC).

Etude de suites
On va considerer une suite de triangles (Ak Bk Ck ) construits de la maniere 
suivante.
Le triangle (A0 B0 C0 ) est fixe (les points deux a deux distincts). Et pour 
tout k  N, (Ak+1 Bk+1 Ck+1 )
est le (p : q) sous-triangle du triangle (Ak Bk Ck ).
On note, pour k  N, par ak , bk et ck les affixes respectives des points Ak , 
Bk et Ck .

ak
ak+1
q p 0
1 
0 q p  bk  =  bk+1 .
10. Montrer que les affixes verifient la relation matricielle suivante :
p+q
ck+1
ck
p 0 q
11. On pose, pour tout k  N, k = ak + bk + ck , k = ak + jbk + j 2 ck , k = ak 
+ j 2 bk + jck . Verifier
q + j2p
q + jp
que les suites (k )k , (k )k et (k )k sont geometriques de raison 1,
et
respectivement, et
p+q
p+q
qu'elles sont toutes convergentes en precisant leur limite. (On pourra utiliser 
la question 3..)

1 1 1
1 0 0
On pose V = 1 j j 2  et Q = 0 0 1, on va prouver que V est inversible, et 
preciser son
1 j2 j
0 1 0
inverse.
12. Soit B  M3 (C), on pose C = BQ. Comment se deduit la matrice C de la 
matrice B ?
13. Montrer que le determinant de V vaut 3j(j - 1). Montrer que V est 
inversible. Calculer V 2 , en
1
V Q, avec m  N a preciser.
deduire que V -1 est de la forme m

k
ak
14. En remarquant que  k  = V  bk , en deduire que les suites (ak )k , (bk )k 
et (ck )k sont toutes les
ck
k
trois convergentes, et preciser leur limite.

Etude d'une application lineaire
On definit l'application suivante :

 : M3 (C) - M3 (C)
M
7- V -1 M V

15. Montrer que  est une application lineaire qui verifie (M, N )  M3 (C)2 , (M 
N ) = (M )(N ).
16. On considere l'application
 est une application bijective.

q
1 
0
17. On pose A(p,q) =
p+q
p

 de M3 (C) definie par (M ) = V M V -1 . Calculer   . Montrer que

1
1
p 0
1
q + jp  

q p . Calculer A(p,q) 1 , montrer que A(p,q) j =
j ,
p+q
j2
0 q
j2
1
 
1
et donner une expression similaire pour A(p,q) j 2 .
j

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18. En deduire, sans calcul, que (A(p,q) ) = D ou D est une matrice diagonale 
dont on precisera les
coefficients diagonaux.
19. On rappelle que l'ensemble des matrices diagonales
de M3 (C) estª un anneau commutatif, en deduire
©
que deux matrices quelconques de l'ensemble A(p,q) /(p, q) ]0, +[ commutent.

20. Montrer que A(1,n) . . . A(1,2) A(1,1) = V Dn V -1 ou Dn est une matrice 
diagonale ayant pour coeffià n
!
à n
!
n
n
Y k+j
Y k + j2
Y
k + j Y k + j2
,
). Montrer que les suites
et
sont
cients diagonaux (1,
k+1
k+1
k+1
k+1
k=1
k=1
k=1
k=1
n
n
¯
¯
¯
¯
¯
¯
j 2 ¯¯
j ¯¯
¯
¯
convergentes vers 0. (On pourra admettre que ¯1 + ¯ 6 1 et ¯1 + ¯ 6 1.)
k
k

Deuxieme probleme

Etude d'une fonction
1

21. Etudier sur ]0, +[ la fonction f : x 7 x x . On precisera le domaine de 
definition, les limites aux
bornes, les extrema et asymptotes eventuels.
22. Montrer que l'on peut prolonger par continuite f en 0. Ce prolongement sera 
encore note f . Preciser
la valeur de f en 0.
23. La fonction f est-elle derivable en 0 ?
24. Montrer que f est une bijection de ]0, e] sur ]0, e1/e ].
25. La fonction reciproque de f est-elle continue, derivable sur ]0, e1/e ] ?

Etude d'une suite
Soit x un reel fixe strictement positif. On pose x (t) = xt , et on definit la 
suite (tn )n de la maniere
suivante
t0 = 1, tn+1 = x (tn ) pour n  N.
Lorsque la suite (tn )n est convergente on note h(x) sa limite dans R.
26. Si x = 1, que peut-on dire sur la convergence de la suite (tn )n ?
27. Justifier que si h(x) existe (c'est-a-dire la suite (tn )n est convergente) 
alors h(x) = x (h(x)), en
deduire dans ce cas que f (h(x)) = x.
On va traiter le cas x > 1 :
28. Montrer que pour x ]1, +[, la fonction x : t 7 xt est strictement 
croissante sur R.
29. Soit x > 1, montrer par recurrence : n  N, tn < tn+1 .
30. On suppose que x ]1, e1/e ], montrer par recurrence : n  N, tn 6 e. En 
deduire que dans ce cas la
suite (tn )n est convergente.
31. On suppose x > e1/e , et on veut montrer que la suite (tn )n a pour limite 
+. On pourra supposer
que la suite est convergente vers h(x) et en utilisant les questions 27. et 21. 
aboutir a une contradiction.
Conclure.
On va etudier le cas x ]0, 1[ :
32. Montrer que pour x ]0, 1[, la fonction x : t 7 xt est decroissante sur R. 
Que peut-on en deduire
sur la monotonie de x  x sur R ?
33. Pour 0 < x < 1, montrer par recurrence que : n  N, t2n+1 < t2n .
34. On suppose que 0 < x < 1. Montrer par recurrence que la suite extraite (t2n 
)n est decroissante, puis
que la suite extraite (t2n+1 )n est croissante.
35. En deduire qu'elles sont toutes les deux convergentes, et que leur limite 
ne peut etre qu'un point
fixe de x  x dans [0, 1], c'est-a-dire une solution de (x  x ) (t) = t dans [0, 
1].
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Determination des points fixes
La suite du probleme consiste a determiner l'ensemble des points fixes de x  x 
dans [0, 1]. Pour
cela on pose g(t) = (x  x ) (t) - t, on admettra le resultat suivant :
¡
¢
g  (t) = x (t). x  x (t) - 1 = (ln x)2 .x (t). (x  x ) (t) - 1
1
36. Dans le cas x  [ , 1[ on admet que l'on obtient le tableau suivant :
e
t 0

1

(ln x)2 x - 1
g  (t)
(ln x)2 xx+1 - 1
xx - 1

g(t) x

Preciser le signe de g  (0). Quelle est la monotonie de g sur [0, 1] ? Montrer 
que x  x n'a qu'un seul
point fixe dans [0, 1]. Conclusion pour la convergence de la suite (tn )n .
1
37. Dans le cas x ]0, [ on admet que l'on a le tableau suivant :
e
t 0

1

g  (t)
(ln x)2 x - 1
g(t) x

(ln x)2 xx+1 - 1
xx - 1

ou  est l'unique racine de g  sur ]0, 1[ et  = g  () = -e-1 ln x - 1. Preciser 
le signe de  lorsque
1
1
x  [e-e , [. Que peut-on en deduire sur la convergence de la suite (tn )n 
lorsque x  [e-e , [ ?
e
e
-e
38. On suppose a partir de maintenant et jusqu'a la fin que x ]0, e [. Et on 
admet que le tableau de
variation est de la forme suivante :
t 0

g  (t)

>0

0
(ln x)2 x

1

0

(ln x)2 xx+1 - 1 < 0

-1<0

x

g()

g(t)
g()

xx - 1

1
avec  <  <  et g  () = g  () = 0. On admet aussi que x possede un unique point 
fixe dans ]0, [ que
e
l'on note p, donc x (p) = p. Montrer que g  (p) = (ln p)2 - 1 et en deduire le 
signe de g  (p). En deduire
que x  x possede trois points fixes p1 , p, p2 verifiant 0 < p1 <  < p <  < p2 
< 1.
39. Montrer que pour tout n  N on a p2 6 t2n , et que la suite (t2n )n est 
convergente vers p2 .
40. On veut montrer que n  N on a t2n+1 6 p. Pour cela, on supposera qu'il 
existe n0  N tel que
p < t2n0 +1 et on aboutira a une contradiction. Que peut-on conclure sur la 
convergence de (t2n+1 )n ? La
suite (tn )n est-elle convergente ?

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Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Mines Maths MPSI 2008 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Sophie Rainero (Professeur en CPGE) ; il a été relu
par Romain Bordier (École Polytechnique) et Benoît Chevalier (ENS Ulm).

Ce sujet est composé de deux problèmes totalement indépendants.
· Le premier aborde plusieurs aspects du programme d'algèbre et de géométrie
de première année. La première partie est une question de cours (preuve de
l'inégalité triangulaire dans le corps des complexes). La deuxième et la 
troisième
portent sur des barycentres de deux points. La quatrième définit une suite de
triangles dont on établit la convergence à l'aide de l'outil matriciel. Enfin, 
la
dernière partie de ce problème étudie une application linéaire dans un espace
de matrices.
· Le second problème est un sujet d'analyse dont la finalité est l'étude de la
convergence d'une famille de suites récurrentes dépendant d'un paramètre x,
en fonction de la valeur de ce paramètre. Ces suites sont définies par
t0 = 1 et, pour tout naturel n, tn+1 = x (tn )
où x est la fonction qui à t associe xt . Le problème commence par une étude
de fonction tout à fait classique, puis aborde la discussion de la convergence
en fonction du paramètre. Cette partie, qui examine les comportements de la
suite selon la monotonie de la fonction x , est très proche du cours sur les 
suites
récurrentes. La fin du problème est consacrée à l'analyse de la convergence des
suites extraites des termes d'indices pairs et impairs à l'aide de la 
détermination
des points fixes de la fonction x  x .

Sans grande difficulté, cette épreuve n'est pas non plus particulièrement 
longue. Il
convenait donc d'être précis et rigoureux dans la rédaction, mais aussi 
attentif dans
la mise en oeuvre des calculs afin de faire la différence avec les autres 
candidats.

Indications
Premier Problème
10 Appliquer le résultat de la question 4 pour obtenir les relations de 
récurrence.
11 Pour déterminer la convergence d'une suite géométrique, comparer la valeur 
absolue de sa raison avec 1.
14 Utiliser l'inverse de V afin d'obtenir l'expression de ak , bk et ck en 
fonction de
k , k et k .
18 Penser à la formule de changement de base.
19 Exploiter le résultat de la question 18 et la bijectivité de .
20 Utiliser encore le résultat de la question 18, ainsi que la propriété de  
démontrée
à la question 15.
Deuxième Problème
25 Appliquer le théorème de dérivation d'une bijection réciproque.
27 Se servir de la continuité de x pour passer à la limite dans la relation de 
récurrence. Vérifier que h(x) > 0 avant de calculer f (h(x)).
31 Suivre l'indication de l'énoncé !
35 Utiliser le théorème de convergence des suites monotones.
36 Dans cette question et les suivantes, noter que les points fixes de x  x 
sont les
zéros de g.
39 Passer à la limite dans l'inégalité pour déterminer lequel des points fixes 
de x x
est limite de (t2n )nN .
40 Montrer que les suites extraites (t2n )nN et (t2n+1 ) convergent vers des 
limites
différentes.

Premier Problème

Étude d'une inégalité

1 Soit a  C. Comme le module de a est positif,

|a| = Re (a)  |a|2 = Re (a)2 et Re (a) > 0
 Re (a)2 + Im (a)2 = Re (a)2 et
 Im (a) = 0 et Re (a) > 0

Re (a) > 0

|a| = Re (a)  a  R+

Il s'ensuit

2 Soient z et w deux nombres complexes. Par définition du module,
(|z| + |w|)2 - |z + w|2 =
=
=
Ainsi

|z|2 + |w|2 + 2|z|
 |w| - (z + w)(z + w)
zp
z +ww +2 zzww -zz -ww -zw -wz
2 (z w)z w - (z w + z w)

(|z| + |w|)2 - |z + w|2 = 2(|z w| - Re (z w))

3 Pour tout nombre complexe u,
p
|u| = Re (u)2 + Im (u)2 > Re (u)

De plus, la question 1 assure qu'il y a égalité dans cette inégalité si et 
seulement si u
est un réel positif. Appliquons-la avec le complexe u = z w, il vient |z w| > 
Re (zw)
soit, d'après la question 2,
|z + w|2 6 (|z| + |w|)2

Les deux membres de l'inégalité étant positifs, on en déduit l'inégalité 
triangulaire
|z + w| 6 |z| + |w|
Il y a égalité dans cette inégalité triangulaire si et seulement si u = z w est 
réel
positif, autrement dit si et seulement si il existe   R+ tel que z w = . Si w = 
0,
cette condition est réalisée et si w est non nul, elle équivaut à

  R+
z=
w
|w|2
soit encore à

  R+

z =w

En conclusion, il y a égalité dans l'inégalité triangulaire si et seulement si
w=0

ou

  R+

z =w

Géométriquement, cette condition signifie que z et w sont les affixes de deux 
points
situés sur une même demi-droite issue de l'origine.

La notion de (p : q) point
4 Soient A et B deux points distincts du plan, d'affixes respectives a et b. 
Ainsi a
et b sont deux nombres complexes distincts. Pour tout z  C supposé différent de 
b,
z-a
p
=  q(z - a) = p(b - z)
b-z
q
 (q + p)z = p b + q a
 z =

p
q
b+
a
p+q
p+q

Il existe alors un unique point M dont l'affixe z vérifie
d'affixe
z=

car p > 0 et q > 0

p
z-a
= , c'est le point
b-z
q

p
q
b+
a
p+q
p+q

Géométriquement, le (p : q) point de A à B est le barycentre des points A et B
affectés respectivement des poids q/(q + p) et p/(p + q).
5 Soit   ] 0 ; + [. Notons z1 l'affixe du (p : q) point de A à B et z2 l'affixe 
du
( p :  q) point de A à B. C'est légitime car  p et  q sont des réels strictement
positifs comme , p et q. D'après la question 4,
z2 =

p
q
b+
a = z1
p + q
p + q

Le (p : q) point de A à B est égal au ( p :  q) point de A à B.
On retrouve ainsi la propriété d'homogénéité du barycentre.
6 Le (1 : 1) point de A à B est le barycentre des points A et B affectés tous 
les
deux du poids 1/2. Par suite,
Le (1 : 1) point de A à B est le milieu du segment [AB].
7 Considérons les trois points A, B et C d'affixes respectives a, b et c. On 
note X le
(p : q) point de A à B et Y le (p : q) point de A à C. Le point X est sur la 
droite (AB),
le point Y sur la droite (AC), et la définition du (p : q) point entraîne les 
égalités de
quotients de mesures algébriques suivantes :
AX
AX
p
AY
AY
=
=
=
=
p+q
AB
AX + XB
AY + YC
AC
C

B
Y
A

Le théorème de Thalès permet de conclure que
Les droites (XY) et (BC)
sont parallèles.

X