CONCOURS COMMUN 2005
DES ÉCOLES DES MINES D'ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES
Épreuve Spécifique de Mathématiques
(filière MPSI)
Vendredi 20 mai 2005 de 08h00 à 12h00
Instructions générales :
Les candidats doivent vérifier que le sujet comprend 4 pages numérotées l/4,
2/4, 3/4, 4/4.
Les candidats sont invités à porter une attention particulière à la rédaction :
les copies illisibles ou
mal présentées seront pénalisées.
Les candidats colleront sur leur première ' feuille de composition l'étiquette
à code à barres
correspondante.
L'emploi d'une calculatrice est interdit
Barème indicatif : Premier problème 1/2 - Deuxième problème 1/2
Premier problème
Partie A.
On se propose dans cette partie d'étudier la fonction définie pour tout nombre
réel t par :
f(t) = e'Îcos(t)
et de donner une allure de sa courbe représentative.
1. Etudier, sur l'intervalle {%,--gg] , les variations de la fonction f .
. . -TE 37I
2. Expr1mer f (t + 2k7c) en fonction de f(t) pour k 5 Z , et t & [Î'Îl .
En déduire les variations de f sur [Ï--2--7-Ï-- + 2k7t,3Î7t + 2kn]
3. Soient u et v les fonctions définies sur R par : u(t) = e " et v(t) = - e "
(C1) et (C2) leurs courbes représentatives dans un repère orthonormé (O, i, ]) .
Soit encore (C) la courbe représentative de f dans (O, i, 5).
Déterminer les points d'intersection de (C) et (C1) puis de (C) et (C2) ; que
dire alors de la limite
de la fonction f en -- oo .
4. Comparer les tangentes à (C) et (C1) aux points d'intersection trouvés à la
question précédente ;
faire de même pour (C) et (C2).
5. Etudier la limite de f en + oo .
6. Utiliser ce qui précède pour représenter graphiquement (C) , (C1) et (C2)
sur [%,--3%} .
On pourra utiliser les valeurs numériques suivantes:
--Tt n' --37t _
e 4 z 0,46 e4 % 2,19 e 4 % 0,09 e"'t % 0,04
3 E -3_,,
e2 z0,21 e2 z4,81 e 2 z0,01 «/îoe1,41
ak : e"t .cos(t).dt
Calculer cette intégrale (on pourra utiliser deux intégrations par parties).
8. Montrer que (an ) n GN est une suite géométrique dont on déterminera la
raison et le premier
terme.
; calculer sn : Zbk en fonction de n, puis étudier la limite de sn
k=0
quand n tend vers + oo . Interpréter géométriquement ce résultat.
9. Onpose: VkeN , bk =|ak
Partie B.
On se propose maintenant de tracer la courbe paramétrée définie pour t &
[0,+oe[ par :
X : e"t cos(t)
y = e_' sin(t)
----> -->
10. Déterminer les vecteurs vitesse V(t) et accélération A(t) à la date t.
-->
11. Exprimer OM(t) en fonction de t.
12. Démontrer que l'angle (p = {OM,V] que fait levecteur OM(t) avec le vecteur
vitesse V(t) à la
date t est constant et en donner une mesure.
13. Donner une équation polaire de la courbe puis la représenter pour t E
[0,27c[.
(On nedemande pas d'étude supplémentaire)
Partie C.
Soit E = R2 , muni de sa base canonique. Pour tout réel t, on appelle F t
l'endomorphisme de E dont
e't cos(t) --- e"t sin(t))
la matrice dans la base canonique est : Mt = _ t _ _t
e s1n(t) e cos(t)
14. Déterminer la nature de F" .
15. Montrer que Ft est la composée de deux endomorphismes simples de E, dont on
donnera les
éléments caractéristiques. (On peut utiliser soit le cours d'algèbre linéaire,
soit les complexes)
16. Soit F = {Ft , t e R } : ensemble des endomorphismes Ft , quand t décrit R.
Montrer que la
composition des applications, notée c, est interne sur F , puis montrer que (F,
0) est un groupe
isomorphe au groupe (R,+).
Deuxième problème
On note AJ; l'ensemble des matrices carrées d'ordre 2 à coefficients réels.
O 0 1 O
00 01
On rappelle que (M; , + , .) est un espace vectoriel réel et que (% , + , ><) est un anneau. On note 9 = ( ) la matrice nulle, et l=( ) la matrice unité. Partie A. A est une matrice fixée de M 2, différente de I et 9 , on considère l'application f de % vers lui- même définie par: fZMI--)f(M)=MXA--AXM ]. Quelle est la dimension de Al; ? (On ne demande pas de justifier cette réponse) 2.-- Montrer que f est un endomorphisme de l'espace vectoriel %. 3. Soit K={Me MAAXM=MXA }. Montrer que K est un sous-espace vectoriel de (NI; , + , .). 4. Montrer que I et A appartiennent à Ker f. 5. Montrer que Ker f est stable pour la multiplication des matrices, c'est--à-dire A & Ker f et B & Ker f :> A x B EUR-- Ker f (La démonstration sera détaillée)
6. Montrer que (Ker f , + , x ) est un anneau.
Partie B.
. 0 1 a c _
On pose maintenant A = et M = d une matr1ce quelconque de M .
0 1 b
7. Calculer f(M).
8. a) Montrer que Ker f est le sous-espace vectoriel engendré par I et A.
b)Trouver une base de Ker f et préciser la dimension de Ker f ainsi que le rang
de f.
9. Déterminer An pour tout ne N*.
10. Soit N = X.I + y.A un élément de Ker f ; déterminer Nn pour tout ne N *.
ll. Résoudre dans Ker f l'équation : N2 = 1.
Partie C.
Le plan (P) est rapporté à un repère orthonorrné direct (0, i, ]) . On désigne
par s l'application de
(P) vers lui-même qui au point m de coordonnées (X , y) fait correspondre le
point m' de
coordonnées (X' , y'), définies par :
12.
13.
14.
15.
16.
17.
{f=x--2y
Y'= --y
Calculer s o s , puis reconnaître s et préciser ses éléments caractéristiques.
Soit A le projeté orthogonal de m sur Oy ; trouver l'équation y = F(X) de
l'ensemble des
points m du plan vérifiant la relation :
----------> ---->
Am.Om' : 4
Etudier la fonction trouvée, construire cet ensemble, avec ses asymptotes.
Soit 1" le cercle de centre O et de rayon 1 du plan (P). Déterminer une
équation de son
image F '= s(F).
Soit (O, 1, Î) un nouveau repère orthonormé direct tel qu'une mesure de l'angle
(Î,Î) soit le
réel oc. Ecrire les formules de passage de (0, i, ]) à (0,1, Î) , c'est à dire
exprimer les
coordonnées (x , y) d'un point dans (0, i, ]) en fonction des coordonnées (X ,
Y) de ce
même point dans (0, Î, Î).
._>-p
Trouver une équation de F ' dans (0, I, J ) en fonction de cos 2 or et de sin 2
ou .
. rc , . , , ---- =
On suppose mamtenant ou = ---- , donner une equation de F dans le repere (O, I,
J ) ; en
8
déduire la nature de la conique F ' et préciser ses paramètres a et b. Tracer F
' dans le
repère (0, i, _j).
Onpourrautiliser: 3+2JÎ=(JÏ+1)2 ; 3--2«/Ï=(«/Ï--1)2 et «/îzl.4
