Mines Maths MPSI 2005

Thème de l'épreuve Étude de courbes dans le plan. Étude d'un endomorphisme de R2.
Principaux outils utilisés fonction exponentielle, géométrie élémentaire du plan, courbes paramétrées, matrices, symétries

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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CONCOURS COMMUN 2005
DES ÉCOLES DES MINES D'ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES

Épreuve Spécifique de Mathématiques
(filière MPSI)

Vendredi 20 mai 2005 de 08h00 à 12h00

Instructions générales :

Les candidats doivent vérifier que le sujet comprend 4 pages numérotées l/4, 
2/4, 3/4, 4/4.

Les candidats sont invités à porter une attention particulière à la rédaction : 
les copies illisibles ou
mal présentées seront pénalisées.

Les candidats colleront sur leur première ' feuille de composition l'étiquette 
à code à barres
correspondante.

L'emploi d'une calculatrice est interdit

Barème indicatif : Premier problème 1/2 - Deuxième problème 1/2

Premier problème

Partie A.

On se propose dans cette partie d'étudier la fonction définie pour tout nombre 
réel t par :
f(t) = e'Îcos(t)

et de donner une allure de sa courbe représentative.

1. Etudier, sur l'intervalle {%,--gg] , les variations de la fonction f .
. . -TE 37I
2. Expr1mer f (t + 2k7c) en fonction de f(t) pour k 5 Z , et t & [Î'Îl .

En déduire les variations de f sur [Ï--2--7-Ï-- + 2k7t,3Î7t + 2kn]

3. Soient u et v les fonctions définies sur R par : u(t) = e " et v(t) = - e "
(C1) et (C2) leurs courbes représentatives dans un repère orthonormé (O, i, ]) .

Soit encore (C) la courbe représentative de f dans (O, i, 5).

Déterminer les points d'intersection de (C) et (C1) puis de (C) et (C2) ; que 
dire alors de la limite
de la fonction f en -- oo .

4. Comparer les tangentes à (C) et (C1) aux points d'intersection trouvés à la 
question précédente ;
faire de même pour (C) et (C2).

5. Etudier la limite de f en + oo .

6. Utiliser ce qui précède pour représenter graphiquement (C) , (C1) et (C2) 
sur [%,--3%} .
On pourra utiliser les valeurs numériques suivantes:
--Tt n' --37t _
e 4 z 0,46 e4 % 2,19 e 4 % 0,09 e"'t % 0,04
3 E -3_,,
e2 z0,21 e2 z4,81 e 2 z0,01 «/îoe1,41

ak : e"t .cos(t).dt

Calculer cette intégrale (on pourra utiliser deux intégrations par parties).

8. Montrer que (an ) n GN est une suite géométrique dont on déterminera la 
raison et le premier

terme.

; calculer sn : Zbk en fonction de n, puis étudier la limite de sn
k=0

quand n tend vers + oo . Interpréter géométriquement ce résultat.

9. Onpose: VkeN , bk =|ak

Partie B.

On se propose maintenant de tracer la courbe paramétrée définie pour t & 
[0,+oe[ par :

X : e"t cos(t)
y = e_' sin(t)

----> -->

10. Déterminer les vecteurs vitesse V(t) et accélération A(t) à la date t.

-->

11. Exprimer OM(t) en fonction de t.

12. Démontrer que l'angle (p = {OM,V] que fait levecteur OM(t) avec le vecteur 
vitesse V(t) à la

date t est constant et en donner une mesure.

13. Donner une équation polaire de la courbe puis la représenter pour t E 
[0,27c[.
(On nedemande pas d'étude supplémentaire)

Partie C.

Soit E = R2 , muni de sa base canonique. Pour tout réel t, on appelle F t 
l'endomorphisme de E dont
e't cos(t) --- e"t sin(t))

la matrice dans la base canonique est : Mt = _ t _ _t
e s1n(t) e cos(t)

14. Déterminer la nature de F" .

15. Montrer que Ft est la composée de deux endomorphismes simples de E, dont on 
donnera les
éléments caractéristiques. (On peut utiliser soit le cours d'algèbre linéaire, 
soit les complexes)

16. Soit F = {Ft , t e R } : ensemble des endomorphismes Ft , quand t décrit R. 
Montrer que la

composition des applications, notée c, est interne sur F , puis montrer que (F, 
0) est un groupe
isomorphe au groupe (R,+).

Deuxième problème

On note AJ; l'ensemble des matrices carrées d'ordre 2 à coefficients réels.
O 0 1 O

00 01

On rappelle que (M; , + , .) est un espace vectoriel réel et que (% , + , ><) 
est un anneau.

On note 9 = ( ) la matrice nulle, et l=( ) la matrice unité.

Partie A.

A est une matrice fixée de M 2, différente de I et 9 , on considère 
l'application f de % vers lui-

même définie par:
fZMI--)f(M)=MXA--AXM

]. Quelle est la dimension de Al; ? (On ne demande pas de justifier cette 
réponse)

2.-- Montrer que f est un endomorphisme de l'espace vectoriel %.

3. Soit K={Me MAAXM=MXA }.

Montrer que K est un sous-espace vectoriel de (NI; , + , .).

4. Montrer que I et A appartiennent à Ker f.

5. Montrer que Ker f est stable pour la multiplication des matrices, 
c'est--à-dire
A & Ker f et B & Ker f :> A x B EUR-- Ker f (La démonstration sera détaillée)

6. Montrer que (Ker f , + , x ) est un anneau.

Partie B.

. 0 1 a c _
On pose maintenant A = et M = d une matr1ce quelconque de M .

0 1 b

7. Calculer f(M).
8. a) Montrer que Ker f est le sous-espace vectoriel engendré par I et A.

b)Trouver une base de Ker f et préciser la dimension de Ker f ainsi que le rang 
de f.
9. Déterminer An pour tout ne N*.
10. Soit N = X.I + y.A un élément de Ker f ; déterminer Nn pour tout ne N *.
ll. Résoudre dans Ker f l'équation : N2 = 1.
Partie C.

Le plan (P) est rapporté à un repère orthonorrné direct (0, i, ]) . On désigne 
par s l'application de
(P) vers lui-même qui au point m de coordonnées (X , y) fait correspondre le 
point m' de
coordonnées (X' , y'), définies par :

12.

13.

14.

15.

16.

17.

{f=x--2y
Y'= --y

Calculer s o s , puis reconnaître s et préciser ses éléments caractéristiques.

Soit A le projeté orthogonal de m sur Oy ; trouver l'équation y = F(X) de 
l'ensemble des
points m du plan vérifiant la relation :

----------> ---->
Am.Om' : 4
Etudier la fonction trouvée, construire cet ensemble, avec ses asymptotes.

Soit 1" le cercle de centre O et de rayon 1 du plan (P). Déterminer une 
équation de son
image F '= s(F).

Soit (O, 1, Î) un nouveau repère orthonormé direct tel qu'une mesure de l'angle 
(Î,Î) soit le
réel oc. Ecrire les formules de passage de (0, i, ]) à (0,1, Î) , c'est à dire 
exprimer les
coordonnées (x , y) d'un point dans (0, i, ]) en fonction des coordonnées (X , 
Y) de ce

même point dans (0, Î, Î).

._>-p

Trouver une équation de F ' dans (0, I, J ) en fonction de cos 2 or et de sin 2 
ou .

. rc , . , , ---- =
On suppose mamtenant ou = ---- , donner une equation de F dans le repere (O, I, 
J ) ; en

8
déduire la nature de la conique F ' et préciser ses paramètres a et b. Tracer F 
' dans le

repère (0, i, _j).

Onpourrautiliser: 3+2JÎ=(JÏ+1)2 ; 3--2«/Ï=(«/Ï--1)2 et «/îzl.4

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Mines Maths MPSI 2005 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Thomas Vidick (ENS Ulm) ; il a été relu par Thomas
Chomette (Professeur en CPGE) et David Lecomte (Université de Stanford).

Cette épreuve est composée de deux problèmes indépendants, chacun découpé
en trois parties. Les domaines abordés sont très variés, allant de l'algèbre 
linéaire
à l'intégration et à la géométrie. On trace en particulier plusieurs courbes, 
définies
d'abord par une équation de la forme y = f (x), puis par une équation 
paramétrique, puis par une équation du type F(x, y) = 0. Dans l'ensemble, les 
questions
ne présentent pas de grosses difficultés, et plusieurs d'entre elles consistent 
en une
application directe du cours.
Mise à part la partie B du deuxième problème, qui reprend des notations de la
partie A, les six parties de ce sujet sont indépendantes et peuvent donc être 
traitées
dans un ordre quelconque. Une même thématique réunit cependant les trois parties
de chaque problème.
· Les trois parties du premier problème sont indépendantes les unes des autres.
Dans la première, on étudie la fonction f : t 7 e-t cos t. On trace sa courbe
représentative, puis on calcule l'aire du plan délimitée par cette courbe et 
l'axe
des abcisses en introduisant une suite d'intégrales. Dans la deuxième partie,
on étudie une courbe paramétrée et on la représente après en avoir donné une
équation simple en coordonnées polaires. Dans la troisième partie, on étudie
un sous-ensemble F de L (R2 ), et on montre que, muni de la composition des
endomorphismes, F est un groupe isomorphe à (R, +).
· Les deux premières parties du deuxième problème sont consacrées à l'étude
de l'endomorphisme f : M 7 M × A - A × M de M2 (R), où A est une
matrice fixée. Dans la première partie on montre que le noyau de f est un
anneau. Dans la deuxième, on étudie un cas particulier, et on calcule les 
puissances n-ièmes de certaines matrices avant de résoudre une équation 
matricielle.
Dans la troisième partie, indépendante des deux premières, on étudie une 
symétrie du plan, et on représente l'image du cercle unité par cette symétrie.

Indications

Premier problème
3 Montrer que f n'admet pas de limite en - en considérant deux
suites (uk )kN

et (vk )kN tendant vers - et telles que f (uk ) kN et f (vk ) kN ont des limites
différentes.
4 Le coefficient directeur de la tangente à (C) en (t, f (t)) est f  (t).

9 sn est la somme des n + 1 premiers termes d'une suite géométrique.
!
--
--
cos(t + )
te
.
12 Écrire V(t) sous la forme V(t) = C
sin(t + )
----

13 Remarquer que (-
i , OM(t)) = t.
16 Montrer que Ft  Ft = Ft+t en effectuant un produit matriciel.
Deuxième problème
3 Remarquer que K = Ker f .
5 Utiliser l'associativité du produit matriciel.
6 Montrer que c'est un sous-anneau de M2 en rassemblant les résultats des
questions précédentes.
8.a Procéder par double inclusion, et utiliser les questions 4 et 7.
8.b Montrer que la famille (I, A) est libre.
9 Calculer les premières puissances de A.
10 Utiliser le binôme de Newton.
11 Exprimer N, puis N2 , en tant que combinaison linéaire de I et de A.
14 Exprimer les coordonnées de m   en fonction de celles de m = s(m).
 -
-

15 Exprimer I et J en fonction de -
i et de -
 . Pour cela, un dessin peut être utile.

Premier problème
Partie A
1 Calculons la fonction dérivée de f :
t  R

f  (t) = -e-t cos t + e-t (- sin t) = -e-t (cos t + sin t)

Pour étudier
 le signede la dérivée, cherchons ses points d'annulation : soit t dans
 3
l'intervalle - ;
. Alors
2 2
f  (t) = 0  cos t + sin t = 0

 2 cos t -
=0
4
n  3 o
f  (t) = 0  t  - ,
4 4
Toute expression de la forme a cos x + b sin x, où a et b sont des réels, peut
se mettre sous la forme  cos(x - ), ce qui permet d'en étudier facilement
le signe et les zéros. En effet,
a
= 
a2 + b 2

et

b
= 
a2 + b 2

satisfont 2 +  2 = 1, ce qui prouve qu'il existe un unique   [ 0 ; 2 [
tel que
et

 = cos 

 = sin 

a2 + b2 ( cos x +  sin x)

= a2 + b2 (cos  cos x + sin  sin x)

a cos x + b sin x = a2 + b2 cos(x - )

En posant  = a2 + b2 , on a bien la forme annoncée.
D'où

a cos x + b sin x =

Pour avoir le signe de f  sur chaque intervalle, on prend des valeurs 
particulières :

 3 
f -
= e/2 > 0
f
= -e-/2 < 0
et
f
= e-3/2 > 0
2
2
2

 3
D'où le tableau de variations de f sur - ;
:
2 2
-
f

2

4
0

-
+

2 /4
e
2

f

0

-

3
4
0

3
2
+
0

2 -3/4
-
e
2

 3
2 Soient k un entier relatif et t  - ;
. On a
2 2
f (t + 2k) = e-t-2k cos(t + 2k)
f (t + 2k) = e-2k f (t)
Or e-2k est un réel strictement positif ; comme multiplier une fonction par
une constante positive ne change pas son sens de variations, les variations de f

3
 3
sur - + 2k ;
+ 2k sont les mêmes que sur - ;
.
2
2
2 2
On peut remarquer que f (/2) = 0 et donc, d'après le tableau de variations 
établi à la question précédente, f est positive sur [ -/2 ; /2 ]
et négative sur [ /2 ; 3/2 ]. Comme pour tout réel t et tout entier relatif k,
f (t + 2k) = e-2k f (t), on en déduit que f est positive sur tout intervalle
de la forme [ -/2 + 2k ; /2 + 2k ] et négative sur tout intervalle de la
forme [ -/2 + (2k + 1) ; /2 + (2k + 1) ].
3 Soit M un point du plan de coordonnées (x, y). Alors

y = e-x
M  (C)  (C1 ) 
y = e-x cos x

y = e-x

cos x = 1
donc M appartient à (C)  (C1 ) si et seulement si x est de la forme 2k, k  Z,
et y = e-x . Les points d'intersection de (C) et de (C1 ) sont donc les points :

(C)  (C1 ) = (2k, e-2k ) | k  Z
De la même manière,

M  (C)  (C2 ) 

y = -e-x
y = e-x cos x

y = -e-x
cos x = -1

donc M appartient à (C)  (C2 ) si et seulement si x est de la forme (2k + 1), k 
 Z,
et y = -e-x . Les points d'intersection de (C) et de (C2 ) sont donc les points 
:

(C)  (C2 ) = (2k + 1), -e-(2k+1) | k  Z

Supposons que f admette une limite   R en -. Alors, si (uk )kN est une suite
de réels tendant vers -, la suite (f (uk ))kZ tend vers .
Soit (uk )kN la suite (-2k)kN . Cette suite tend vers - lorsque k tend vers
l'infini. D'après ce qui précède, pour tout entier k, f (-2k) = e2k et donc la 
suite
(f (-2k))kN tend vers +. De même, en considérant la suite (-(2k + 1))kN qui
tend vers -, on constate que (f (-(2k + 1)))kN tend vers -. Donc on a à la fois
 = - et  = +, ce qui est absurde.
f n'admet pas de limite en -.