Mines Maths MPSI 2003

Thème de l'épreuve Calcul de l'intégrale 0+∞ d x1+xα . Algèbre des quaternions.
Principaux outils utilisés suites numériques, calcul d'intégrales, continuité, symétrie dans M2(C), structures algébriques, produit scalaire
Mots clefs algèbre des quaternions, intégrale hypergéométrique

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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CONCOURS COMMUN 2003
DES ÉCOLES DES MINES D'ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES

Épreuve Spécifique de Mathématiques
(filière MPSI)

Jeudi 22 mai 2003 de 8h00 à 12h00

Instructions générales :

Les candidats doivent vérifier que le sujet comprend : 4 pages numérotées 1/4, 
2/4, 3/4 et 4/4.

Les candidats sont invités à porter une attention particulière à la rédaction : 
les copies illisibles ou
mal présentées seront pénalisées.

Les candidats colleront sur leur première feuille de composition l'étiquette à 
code à barres corres-
pondante.

L'emploi d'une calculatrice est interdit

Barème indicatif : '
Premier problème environ 1/2 - Deuxième problème environ 1/2

Premier problème

N désigne l'ensemble des entiers naturels et R le corps des nombres réels.

Dans tout le problème OL désigne un réel strictement supérieur à 1.

On pose : I(OL) : fÛ 1 + x"

L'objectif du problème est le calcul de l'intégrale I(OL).

+00 1

dx.

On rappelle que pour a et b dans R on a les formules :
1

cos(a)cos(b) = --2--(cos(a + b) + cos(a ---- b)).
sin(a) cos(b) : â--(sin(a + b) + sin(a ----- b)).

sin(a) -- sin(b) : 25in(a 5 b)cos(a _; b).

I. Quelques résultats préliminaires

Pour X dans R et pour n dans N * on pose : fIl (X) = z cos(kx).
k=1

' m{oen+nË)
Pour X EUR ]0,1r] et pourndans N on pose: gn(X) = _--_Î--2_'
sin(----)

2
1 1
Ï---- + _gn(X)'

1) Etablir la formule : V X EUR ]O,71] , fn(X) 2 2

On pourra, pour ce fa1re, s'1nteresser a la quant1te s1n ---- fn (X).
2

2) a) En déduire que gn est prolongeable en une application continue sur [Om].

On note encore gn l'application ainsi prolongée.

b) Pour 11 dans N on pose : url = ]; gn(X) dX.

Montrer que la suite (un) est constante et préciser sa valeur.

X
cos(--) -- 1
3) Soit g : [Om] ----> R définie par: V X EUR ]0,1T], g(x) = 
--------g--X-------- et g(0) = 0.
sin(--)
2
a) Prouver que g est continue en 0.
b) Etablir l'existence et déterminer la valeur de li0rn Og' (X)
X--> ,X>

c) Etablir que g est de classe C1 sur [0,11] et préciser g'(0).
11. Etude d'une suite

Pourn dans N* on pose: Xn = Lïfn(X)cos(â-) dX.

4) Pour 11 dans N on pose Vn = ]: g(x) sin((2n + 1)--Ë-) dX.

Montrer qu'il existe A dans R tel que : V n E N* , |an <

On pourra, pour ce faire, effectuer une intégration par parties.

5) Etablir que: V n E N*, Xn = --gsin(ï) +--1-Vn +3.
2 01 2 2

Montrer que la suite (X) est convergente et déterminer sa limite.

1 1

1+oak+1--ock°

6) Montrer que: V n E N'", XnL = %sin(£)Z(--1)k

OL k=1

III. Détermination de la valeur de [(a)

tB--1 t"5

t 't ==---------.
1+teüi) 1+t

On adopte la notation B = à et pour t E ]0,1] on pose : &p+oo n----++oo

b) Exprimer Jn(B) + Kn(B) a l'aide de Xn et de oc.

oa sin

c) Montrer que : I(d) = --------ÏÎ[--ç----.
&)

Second Problème

R désigne le corps des nombres réels et C le corps des nombres complexes.

M2(C) désigne l'ensemble des matrices carrées d'ordre 2 à coefficients dans C.
1 0 0 --1 0 i --i 0

01 10 10etL=01'

Onposezl= ,J= ,K=

1. Etude d'une symétrie

On notera bien, que dans toute cette partie, M2(C) est muni de sa structure de 
C-algèbre.
a b (1 --b

PourA=C d _C a

dans MZ(C) on pose : 0(A) = et T(A) = a + d.

11) a) Montrer que 0 est une symétrie du C--espace vectoriel M2((C).

b) Etablir que (I,J,K,L) est une base du C--espace vectoriel M2(C) puis donner 
la matrice

de l'endomorphisme 0 dans cette base.

12) On considère A et B dans M2(C).
a) Montrer que : o(AB) = o(B) o(A).
b) Justifier l'égalité : Ao(A) = det(A) I.
c) Montrer que si A est inversib1e alors o(A) l'est aussi.

Exprimer les matrices o(A)"1 et o(A"') en fonction de A.

13) a) Vérifier que T est une forme linéaire sur le C--espace vectoriel M2((C).

b) Soit A dans M2(C). Exprimer o(A) a l'aide des matrices A, I et du complexe 
T(A).

11. Une R-algèbre célèbre :'l'algèbre des quaternions

On notera bien, que dans toute cette partie, M2(C) est muni de sa structure de 
]R-algèbre.

A tout couple (21,22) de nombres complexes on associe la matrice M(z1, 22) =

On désigne par H l'ensemble des matrices de M2(C) de la forme M(z17 z2) , le 
couple (21,22) décrivant C2.

14) a) Montrer que toute matrice de H s'écrit de manière unique sous la forme

od + BJ + qK + ôL où oz, B, «|, 6 sont des réels.

b) En déduire que H est un sous espace vectoriel du R--espace vectoriel M2(C).

Préciser une base et la dimension du R--espace vectoriel H.

c) Montrer que H est stable pour le produit matriciel.
d) Montrer que H est une R--algèbre. La R--algèbre H est--elle commutative ?
15) a) Vérifier que : V A E H , o(A) E H et det(A) EUR R+.
b) Montrer qu'une matrice non nulle de H est inversible et que son inverse est 
dans H.
c) Vérifier que (H \ {O},X) est un groupe.
16) Montrer que si deux entiers naturels peuvent tous deux s'écrire comme une 
somme de quatre

carrés d'entiers naturels alors il en est de même de leur produit.

On pourra exprimer det(M(zl,22)) comme une somme de quatre carrés de réels.

111. Un produit scalaire et une projection orthogonale

PourAetB dansHon pose: (A | B) = â--T(AO'(B) + Bo(A)).

17) On considère A et B dans H.
a) Prouver que (A | B) E R. On pourra utiliser la question 15) a)
b) Montrer que (A | A) = det(A).
c) Etablir que ( | ) est un produit scalaire sur le R--espace vectoriel H.

18) Vérifier que (I,J,K,L) est une base orthonormale de H.

19) On pose F = {A E H | T(A) = 0}.
a) Montrer que F est un hyperplan du R--espace vectoriel H. En donner une base.
b) Montrer que: Fl = {CLI , or EUR R}.

c) On désigne par 'n la projection orthogonale sur F.

Montrer que: V A E H, «(A) = %(A -- o(A)).

FIN DU SUJET

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Mines Maths MPSI -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Sébastien Gadat (ENS Cachan) ; il a été relu par
Thomas Chomette (ENS Ulm) et Aurélien Alvarez (ENS Lyon).

Le sujet se compose de deux problèmes indépendants, le premier d'analyse, le 
second d'algèbre linéaire. Le premier problème est un petit peu plus difficile 
que le
second, mais les questions sont bien enchaînées et progressives, ce qui permet 
une
bonne compréhension de l'énoncé. Le second problème est plus aisé et ne fait 
intervenir que des notions de base d'algèbre linéaire.
Dans le problème d'analyse, la première partie s'attache à redémontrer des 
résultats classiques sur les sommes de cosinus. Les deux autres parties 
proposent le calcul
de l'intégrale
Z +
dx
I() =
1
+
x
0
à l'aide de techniques fondées sur les suites de fonctions, intégrations par 
parties, et
fonctions intégrables.
Le problème d'algèbre linéaire est une introduction à l'algèbre des quaternions.
On construit cette algèbre matriciellement avant d'y définir un produit 
scalaire et une
projection orthogonale. On démontre également le résultat suivant : si deux 
entiers
naturels sont somme de quatre carrés d'entiers, il en va de même de leur 
produit.

Indications
Premier Problème
1 Utiliser les rappels de trigonométrie donnés en début d'énoncé.
2.b Déduire de la formule trouvée à la question 1 que la suite est constante.
3.a Effectuer un développement limité de g en 0 pour en déduire la continuité.
3.c Appliquer un résultat classique du cours d'analyse sur le prolongement des 
fonctions de classe C 1 .
5 On pourra calculer vn en utilisant la relation de la question 1 et conclure 
grâce
à la question précédente.
6 Utiliser la définition de fn pour calculer Xn .
7.a Étudier ces intégrales avec le critère de Riemann.
9.a Calculer explicitement n (t).
10.a Calculer Jn () - J() et utiliser le résultat de la question 9.a.
10.b Utiliser le résultat de la question 6.
10.c Conclure en utilisant les résultats des questions 5, 8 et 10.
Second Problème
11.a Démontrer que  est involutive.
12.c Utiliser la question précédente et raisonner sur le déterminant.
15.b On pourra utiliser les résultats démontrés aux questions 12.c et 15.a.
16 Calculer le déterminant des matrices M(z1 , z2 ).
17.a Se souvenir que H est un espace vectoriel stable par  et par multiplication
matricielle.
17.b Utiliser le résultat de la question 12.b.
19.b S'intéresser à la dimension de F .
19.c Développer A dans la base (I, J, K, L) et montrer que l'on obtient la 
formule
proposée.

Premier Problème
I.

Quelques résultats préliminaires

1 Soient x un réel appartenant à ] 0 ;  ] et n un entier naturel non nul. 
Calculons
la quantité suggérée par l'énoncé :
n
P
x
x
sin cos(kx)
sin fn (x) =
2
2
k=1

1
(sin(a + b) + sin(a - b)) , on obtient
2

n h
x
1 P
x
x i
sin (2k + 1)
sin fn (x) =
+ sin (1 - 2k)
2
2 k=1
2
2
h

n
1 P
x
x i
=
sin (2k + 1)
- sin (2k - 1)
2 k=1
2
2

n
P
x
1 n-1
x
1 P
sin (2k + 1)
-
sin (2k + 1)
=
2 k=1
2
2 k=0
2
x
1 
x
x
sin fn (x) =
sin (2n + 1)
- sin
2
2
2
2
x
Enfin, x appartient à ] 0 ;  ] donc sin n'est pas nul. On en déduit que
2

x
1 sin (2n + 1) 2
fn (x) = - +
x
2
2 sin
2
En utilisant la formule sin a cos b =

En conclusion,

x  ] 0 ;  ]

n  N

1 1
fn (x) = - + gn (x)
2 2

(1)

2.a La fonction fn est continue sur [ 0 ;  ], pour tout entier naturel n non 
nul.
D'après (1), on a
x  ] 0 ;  ]

gn (x) = 2fn (x) + 1

En posant gn (0) = 2fn (0) + 1, il vient
gn (0) = lim gn (x)
x0
x>0

On en déduit que gn est prolongeable par continuité sur [ 0 ;  ] avec, en 
conservant
la notation gn pour la fonction prolongée,
gn (0) = lim gn (x) = 2fn (0) + 1 = 2n + 1
x0
x>0

Par ailleurs, si n est nul, la fonction gn est constante égale à 1 sur ] 0 ;  
]. Elle est
donc également prolongeable par continuité en 0 en prenant g0 (0) = 1. Par 
conséquent,
Pour tout entier naturel n, gn est prolongeable par continuité en 0.

2.b Soit n un entier naturel. La fonction gn étant continue sur [ 0 ;  ], on 
peut
définir son intégrale sur cet intervalle. D'après la relation (1),
Z 
un =
gn (x) dx
Z0 
=
(2fn (x) + 1) dx
0

= +2
= +2

n Z
X

cos(kx) dx

k=1  0
n
X
k=1

un = 

sin(kx)
k

0

La suite (un )nN est constante, de valeur .
3.a Commençons par remarquer que g est bien définie et continue sur ] 0 ;  ]. 
Pour
étudier la continuité de g en 0, utilisons un développement limité. On a

x
x2
x
x
cos = 1 - 2 + o x2
et sin = + o (x)

2
2
2

x2
+ o x2
2
x
2
On en déduit
g(x) = x
= 2 + o (x)

+ o (x)
2
d'où
lim g(x) = 0 = g(0)
x0
x>0

g est continue en 0.
3.b La fonction g étant le quotient de deux fonctions dérivables sur ] 0 ;  ] 
dont le
dénominateur ne s'annule jamais, elle est dérivable sur cet intervalle.

1
x
x 1
x
x
sin sin +
cos - 1 cos

2
2

2

x  ] 0 ;  ]
g (x) = -
2 x
sin
2
Étudions la limite en 0 de cette quantité en utilisant à nouveau des 
développements limités :

 1

x2
x2
2
2
+
o
x
+
1
-
-
1
+
o
x
22
2
22
g  (x) = -
2
x
+ o (x2 )
4

x2
+ o x2
2
= - 42
x
+ o (x2 )
4
1
g  (x) = - 2 + o (1)

Il s'ensuit que

lim g  (x) = -

x0
x>0

1
2