Mines Maths MPSI 2002

Thème de l'épreuve Matrices semblables à leur inverse Calcul et irrationalité de ζ(2)
Principaux outils utilisés Matrices, rang, algèbre linéaire, intégration, suites, intégration par parties
Mots clefs suites numériques, calcul intégral, matrices semblables

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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CONCOURS COMMUN SUP 2002
DES ÉCOLES DES MINES D'ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES

Épreuve spécifique de Mathématiques

(filière MPSI)
Mercredi 22 mai 2992 de 98h09 à 12h00

Instructions générales :

Les candidats :
0 doivent vérifier que le sujet comprend 4 pages numérotées 1/4, 2/4, 3/4 et 
4/4,

. sont invités à porter une attention particulière à la rédaction : les copies 
illisibles ou mal présentées

seront pénalisées,
. colleront sur leur première feuille de composition l'étiquette à code à 
barres correspondante. '

PROBLEME I : Exemples de matrices semblables à leur inverse

Dans tout le problème, E est un lit-espace vectoriel de dimension 3.
Pour u endomorphisme de E et n entier naturel non nul, on note u" = u 0 u oo u 
(n fois).
On note 3% 3 (IR) le R--espace vectoriel des matrices carrées d'ordre 3, GL 3 
(R) le groupe des matrices

inversibles de M 3 (R), et 13 la matrice unité de M 3 (R).

On notera par 0 l'endomorphisme nul, la matrice nulle et le vecteur nul.
Pour deux matrices A et B de M 3 (R), on dira que la matrice A est semblable à 
la matrice B s'il existe une

matrice P de GL 3 (IR) telle que : A = P"B P.

On rappelle que si 13 et B ' sont deux bases de E, si P est la matrice de 
passage de la base 3 à la base B',
si u est un endomorphisme de E de matrice A dans la base 13 ' et de matrice B 
dans la base 3 alors
A : P"'B P ( c'est à dire, la matrice A est semblable à la matrice B ).

Partie A

1. On notera A ... B pour dire que la matrice A est semblable à la matrice B.
Démontrer que la relation ... est une relation d'équivalence sur M 3 (R).

On pourra désormais dire que les matrices A et B sont semblables.

2. Démontrer que deux matrices de M 3 (R) de déterminants différents ne sont 
pas semblables.

3. Soit u un endomorphisme de E et soit i et j deux entiers naturels.
On considère l'application w de Keru'" vers E définie par : w(x) : uj (x).

a. Montrer que Imw C KeruÏ
b. En déduire que dim (Keru'" ) _<_ dim (Kerui ) +dim (Keruj ).

4. Soit u un endomorphisme de E vérifiant : u3 = 0 et rang u = 2.
a. Montrer que dim (Keru2) : 2. ( On pourra utiliser deux fois la question 3b. 
).

Concours commun Sup 2002 - Épreuve spécifique de Mathématiques (filière MPSI) 
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b. Montrer que l'on peut trouver un vecteur a non nul de E tel que u 2(a) # O, 
et en déduire que la
famille (u 2(a), u(a), a) est une base de E.
c. Écrire alors la matrice U de u et la matrice Vde u2 --- a dans cette base.

5. Soit u un endomorphisme de E vérifiant : u2 = 0 et rang u = 1.
3. Montrer que l'on peut trouver un vecteur 19 non nul de E tel que u(b) := 0.

b. Justifier l'existence d'un vecteur c de Keru tel que la famille (u(b), (3) 
soit libre, puis montrer que
la famille (19, u(b), c) est une base de E.

c. Écrire alors la matrice U' de u et la matrice V' de u2 --- u dans cette base.

Partie B

Soit désormais une matrice A de M 3 (IR) semblable à une matrice du type T

On se propose de montrer que la matrice A est semblable à son inverse A".

0
:O
0

6. Expliquer pourquoi la matrice A est bien inversible.

B

a
On pose alors N 0 y , et soit une matrice P de GL 3(lRä) telle que P" A P = T = 
]3 + N .
0 0

7. Calculer N3 et montrer que P"1 A" P = 13 --N+ N2 .
8. On suppose dans cette question que N = 0 , montrer alors que les matrices A 
et A"1 sont semblables.

9. On suppose dans cette question que rang( N ) = 2 . On pose M : N 2 ... N .
0 1 0

3. Montrer que la matrice N est semblable à la matrice 0 0 1 et en déduire, en 
utilisant la
0 0 0

question 4., une matrice semblable à la matrice M.
b. Calculer M 3 et déterminer rang( M ) .

0. Montrer que les matrices M et N sont semblables.
(1. Montrer alors que les matrices A et A"1 sont semblables.

10. On suppose dans cette question que rang ( N) : 1. On pose M = N 2 _ N .

Montrer que les matrices A et A_lsont semblables.

1 0 0
Il. Exemplezsoit la matrice A: 0 0 --1 .
0 1 2

On note (a, b, c) une base de E et u l'endomorphisme de E de matrice A dans 
cette base.

3. Montrer que Ker (u --- id E) est un sous-espace vectoriel de E de dimension 
2 dont on donnera une
base (el, ez).

b. Justifier que la famille (el, ez, c) est une base de E, et écrire la matrice 
de u dans cette base.

c. Montrer que les matrices A et A"Isont semblables.

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12.Réciproquement, toute matrice de M 3 (R) semblable à son inverse est--elle 
nécessairement semblable

1 a B
à une matrice du type T = 0 1 y ?
0 0 l

. 1 1
PROBLEME Il : Calcul et irrationalité de Ç(2) : 11m (1+ E + % + 1% + + ""?)
n--->+oo "

Dans ce problème, pour une fonction f et un entier naturel k, f ... désigne la 
dérivée k--ème de la

fonction f avec : f ... = f .
Remarque : sauf s'il est précisé entier naturel, un entier peut être positif ou 
négatif.

. " 1
Partie A : Convergence de la suite (2 ]
nZl

Î
... k

. " 1
Dans cette partie, p et n sont deux entiers naturels non nuls et on pose Sn( p) 
= E}--/;--p--.
k+1 --
>. 1 1 1
1. Montrer que pour tout entier k 21, S --dx S -------------- .
(k + 1)" x" k " \
k
1
2. Montrer que pour n 2 2, Sn(p) -- 1 S J----;dx S Sn_1 (p).
x
l
3. Démontrer, par un calcul d'intégrales, que la fonction x +---> -------1--; 
est intégrable sur [1,+oo[ si et
x

seulement si p .>. 2.

4. Montrer que la suite (S,,(p)),221 converge si et seulement si p 2 2.
On note alors Ç( p) : lim Sn( p).

H--)+°°

Partie B : Calcul de Ç(2)

2
Dans cette partie on pose, pour ! réel : h([) : -£-----_ ; , et on définit la 
fonction (p sur [O, R] par :

l()
it
l pour te]0,Tt].

25m--
2

5. Montrer que la fonction (p est de classe C 1 sur l'intervalle [O, R].

(p(0) : ...] et (DU) =

6. Calculer, pour tout k entier naturel non nul, Ï h(t)cos(kl)dt.
0

7. Calculer, pour t & ]O,7r], Ecos(kl) , puis déterminer une constante À telle 
que,

sin((n + %) !]

Vzë]o,n], Ecos(kt)=--------t------À.
k=l

28m--
2

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8. Montrer à l'aide d'une intégration par parties que, pour toute fonction tri 
de classe C 1 sur l'intervalle

713

[O, rt], lim Jw(t)sin[(n + â--) :] di: 0.

n--)+oo

0

2
9. Montrer que Ç(2) = %-- .

Partie C : Ç(2) est irrationnel

' - , x" 1---- x "
Dans cette partie, pour n ent1er naturel non nul et x reel, on pose fn (x) : 
---------£----'----)---- .
n .
10.Dans cette question, 11 est un entier naturel non nul.
. . . 1 2" .
3. Montrer qu'1]ex1ste n+l entiers en, e..., ...,62n tels que fn(x) : ---; ei 
x'.
n' i=n

b. Montrer que pour tout entier naturel k, fn") (O) et fn... (1) sont des 
entiers.

( On pourra remarquer que fn (x) : fn (l --- x) ).

On veut montrer que n2 est un irrationnel, et on va raisonner par l'absurde : 
on suppose que

a . .
rt2 == -- ou a et b sont deux ent1ers naturels non nuls.

b

11.0n pose, pour n entier naturel non nul et x réel : .
F,, (x) = I)" (n'" fn (x) --- n2""2 fn") (x) + n2""4 f,}" (x) -- + (-----1)" 
ff") (x)) .
a. Montrer que Fn (O) et F" (1) sont des entiers.

b. On pose, pour n entier naturel non nul et x réel : gn (x) : Fn ' (x) sin(7c 
x) -- 7t Fn (x) cos(n x ),
1

et An : TE Ia"fi(x)sin(n x)dx.

0
Montrer que, pour n entier naturel non nul et x réel : gn ' (x) : 7t2a" fn ( x) 
sin(7t x) , et montrer que

A" est un entier.

_ _ . _ a"
12.0n pose, toupurs pour le meme ent1er a, un : -------'-- .
n .

. , . u . .
a. En consrderant le quotient "" , montrer que 11m un : 0.
un n--->+oo
a" 1
b. Montrer qu'il existe un entier naturel no tel que pour tout entier n 2 no, 
__! <--2--.
n .

1
c. Montrer que pour tout réel x EUR [0,1], 0 5 fn (x) 5 -'--1--'.

d. Montrer alors que, pour tout entier n 2 no, An & ]0,1[, et conclure que 7t2 
est irrationnel.

e. Comment peut--on déduire de ce qui vient d'être fait que n est irrationnel ?

Pour information \
Il a été prouvé depuis le 18"me siècle, que Ç( p) est irrationnel pour tout 
entier pair p 2 2 , récemment

( 1979) il vient d'être découvert que Ç(3) est irrationnel et le mystère 
demeure encore quant à
l'irrationalité des Ç( p) pour les entiers impairs p 2 3

Concours commun Sup 2002 - Épreuve spécifique de Mathématiques (filière MPSI) 
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Mines Maths MPSI 2002 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Walter Appel (professeur en CPGE) ; il a été relu par
Jean Starynkévitch (ENS Cachan) et David Lecomte (ENS Cachan).

Ce sujet est composé de deux problèmes complètement indépendants.
· Le premier est un problème d'algèbre linéaire. On y étudie certaines matrices
semblables à leur inverse. Il n'y a pas de question vraiment difficile mais il
est indispensable de bien avoir en tête les résultats démontrés précédemment
pour pouvoir répondre à certaines questions. De plus, un recours incessant à
l'isomorphisme entre matrices et endomorphismes est nécessaire.
Ce problème permet en outre de manipuler de nombreuses notions (noyau,
rang, nilpotence, déterminant, équivalence) au coeur de l'algèbre linéaire, dans
des cas pratiques. Certains résultats (ceux de la question I.4.b notamment) sont
généralisables en dimensions plus grandes et sont des classiques des concours
de Spé. Ce sujet est donc préconisé autant pour ceux qui veulent réussir un
concours de Sup que ceux qui veulent, en début de Spé, réviser l'intégralité de
leur cours d'algèbre linéaire.
· Le second problème est divisé en trois parties.
Dans une première partie, on établit que, si p est un entier naturel non nul, la
suite
 n

P 1
p
k=1 k
nN

converge si et seulement si p > 2. Cette partie ne fait appel qu'à des notions
très classiques d'analyse.
Dans la seconde partie, on établit le lemme de Riemann-Lebesgue et,
au moyen d'une fonction convenable, on calcule la valeur de
n 1
P
n k=1 k 2

(2) = lim

Enfin, dans la troisième partie, on donne une preuve analytique (extrêmement
classique) de l'irrationalité de . C'est peut-être le passage le plus technique 
du
problème ; mais le résultat en vaut largement la peine.

Indications

Premier problème
I.2 Procéder par contraposée.
I.3.b Appliquer la formule du rang à w. Montrer que Ker ui+j  Ker ui . Se 
souvenir que, si U est un sous-espace vectoriel de E, alors
Ker f |U = (Ker f )  U
I.4.b Écrire la définition de « u2 = 0 » et en déduire celle de « u2 6= 0 ».
I.7 Calculer (I3 + N)(I3 - N + N2 ) en remarquant que N3 = 0.
I.9.a Raisonner en termes d'endomorphismes et utiliser la question I.4.
I.9.c Idem.
I.9.d Montrer que I3 + N et I3 + M sont semblables.
I.10 Montrer (en utilisant la question I.5) que N est semblable à U . En déduire
que M2 = 0 et rg M = 1 puis que M  U .
I.12 Considérer -I3 .
Second problème
II.1 Utiliser la décroissance de la fonction x 7- 1/xp .
II.3 Trouver une primitive de fp et préciser sa limite en +.
II.5 Montrer que  est continue en prenant des équivalents du numérateur et du
dénominateur. Utiliser ensuite le théorème de la limite de la dérivée.
II.6 Effectuer deux intégrations par parties.
II.7 Écrire le cosinus avec des exponentielles complexes. Ajouter un terme pour
avoir la somme d'une suite géométrique.
II.8 Montrer que  et   sont bornées.
II.9 Utiliser les questions II.6 et II.7 puis le résultat de la question II.8.
II.10.b Utiliser la formule de Taylor sur les dérivées en 0 d'une fonction 
polynomiale.
II.11.b Montrer que, dans le développement de (Fn  (x) +  2 F(x)), tous les 
termes
sauf un s'annulent deux à deux. Enfin, utiliser la question précédente.
II.12.a Comparer la suite (un )nN à une suite géométrique.
II.12.d Montrer que An 6= 0, puis appliquer le résultat précédent. Comparer 
avec la
question II.11.b.

I. Exemples de matrices semblables à leur inverse
Partie A
I.1
On rappelle qu'une relation «  » est une relation d'équivalence si elle vérifie
les propriétés suivantes :
Réflexivité
A  M3 (R)
Symétrie
(A, B)  M3 (R)3
Transitivité (A, B, C)  M3 (R)3

AA
A  B = B  A
(A  B et B  C) = A  C

· Réflexivité : soit A  M3 (R). La matrice identité I3 est inversible, 
d'inverse I3
et l'on peut écrire A = I3 -1 A I3 . Ceci prouve que A est semblable à A : A  A.
· Symétrie : soient A, B  M3 (R). On suppose que A  B. Il existe donc une
matrice inversible, que l'on note P, telle que A = P-1 BP. En multipliant à
gauche par P et à droite par P-1 , on obtient : B = PAP-1 ou encore
B = (P-1 )-1 A(P-1 )
Or la matrice P-1 est inversible ; l'équation précédente montre donc que B est
semblable à A : B  A.
· Transitivité : enfin, soient A, B, C  M3 (R). On suppose que A  B et B  C.
Il existe donc des matrices P, Q  GLn (R) telles que A = P-1 BP et B =
Q-1 CQ. La matrice QP est alors inversible et, en injectant la deuxième relation
dans la première, on obtient

A = P-1 Q-1 CQ P = P-1 Q-1 C QP = (QP)-1 C(QP)
ce qui montre que A est semblable à C : A  C.

Conclusion

La relation  est une relation d'équivalence.

I.2 Démontrons la propriété demandée par contraposée. Soient A et B deux 
matrices
semblables. Il existe donc une matrice P  GLn (R) telle que A = P-1 BP. En 
prenant
le déterminant, on obtient
det A = det(P-1 BP) = (det P-1 ) det B det P
= (det P)-1 det P det B = det B
Ainsi, deux matrices semblables ont même déterminant. Par contraposée :
Deux matrices de déterminants différents ne sont pas semblables.
I.3.a On définit
w:

(

Ker ui+j - E
x

7- w(x) = uj (x)

Soit x  Im w. Alors il existe y  Ker ui+j tel que x = w(y) = uj (y). Alors

ui (x) = ui uj (x) = ui+j (y) = 0

c'est-à-dire que x  Ker ui . On a donc montré :

Im w  Ker ui

(1)

I.3.b On applique la formule du rang à l'application linéaire w, dont l'espace 
de
départ est Ker ui+j :
dim(Ker ui+j ) = dim(Ker w) + dim(Im w)
De l'équation (1), on tire, en prenant la dimension de chaque membre de 
l'équation :
dim(Im w) 6 dim(Ker ui )
De plus, w est la restriction de uj à Ker ui+ j , donc
Ker w = Ker ui+j  Ker uj = Ker uj
On a utilisé deux résultats qui sont à considérer comme relevant du cours.
Tout d'abord, si f : E - F est une application linéaire et si U est un 
sousespace vectoriel de E, alors, en notant f |U : U - F la restriction de f
à U:
Ker f |U = (Ker f )  U
ce qui se démontre aisément par une double inclusion.
Enfin, si f est un endomorphisme d'un espace vectoriel E et si p et q sont
deux entiers naturels tels que p 6 q, alors
Ker f p  Ker f q

On obtient

dim(Ker ui+j ) 6 dim(Ker ui ) + dim(Ker uj )

I.4.a Puisque u3 = 0, on en déduit que Ker u3 = E, donc
dim(Ker u3 ) = 3
De plus, rg u = 2 donc, en utilisant la formule du rang :
dim(Ker u) = 1
On applique alors le résultat de la question I.3.b avec i = 1 et j = 1 :
dim(Ker u2 ) = dim(Ker u1+1 ) 6 dim(Ker u) + dim(Ker u)
|
{z
} |
{z
}
=1

soit

=1

dim(Ker u2 ) 6 2

Appliquons enfin le résultat de la question I.3.b avec i = 2 et j = 1 :
dim(Ker u3 ) = dim(Ker u2+1 ) 6 dim(Ker u2 ) + dim(Ker u)
|
{z
}
|
{z
}
=3

=1