Mines Maths MPSI 2000

Thème de l'épreuve Résolution d'une équation fonctionnelle par plusieurs méthodes. Étude de l'intersection entre GLn(K) et un hyperplan.
Principaux outils utilisés équations différentielles, analyse réelle, algèbre linéaire

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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CONCOURS COMMUN SUP 2000
DES ÉCOLES DES MINES D'ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES

Épreuve spécifique de Mathématiques
(filière MPSI)

Mardi 23 mai 2000 de 08h00 à 12h00

Instructions générales :

Les candidats doivent vérifier que le sujet comprend 4 pages numérotées 1/4, 
2/4, 3/4 et 4/4.
Les candidats sont invités à porter une attention particulière àla rédaction : 
les copies illisibles ou mal
présentées seront pénalisées.

Les candidats collemnt sur leur première feuille de composition l'étiquette 
correspondant à l'épreuve et
figurant sur leur convocation.

PROBLÈME D'ANALYSE

D C° (R, R) est la R-algèbre des fonctions continues de R dans R.

D L'objectif du problème est d'étudier les ensembles 'Ë et 9 suivants :
'3={f EUR C°(R, R)/ V(x, y)E RZ, f(X+y)+f(x--y) = 2f(x)f(Y) }.
"?est la partie constituée des éléments f de % tels que :

0 f n'est pas la fonction identiquement nulle.
0 f s'annule au moins une fois sur R.

PARTIE I

H

. Montrer que la fonction cosinus est dans l'ensemble %.

2. On note ch la fonction cosinus hyperbolique et sh la fonction sinus 
hyperbolique. Démontrer la
formule: V(x, y) e R', ch(x+y) =chxchy + shx shy .

En déduire que la fonction ch est dans l'ensemble %.
3. Soit f dans %; montrer que pour tout réel en, la fonction fa de R vers R 
définie par :

x l--) fa(x) = f(a x) est dans '3.

4. On fixe un élément f de 'Ë.

En donnant à x et à y des valeurs particulières, prouver que :
a. f(0) vaut 0 ou 1.

b. Si f (0) = 0, alors f est la fonction identiquement nulle.
0. Si f (0) = 1, alors f est une fonction paire.

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PARTIE II '

A. On fixe ici un élément f de '3 tel que f (0) = l.
1. Montrer que pour chaque réel r > 0, on a :

a. VxeR, L:f(.: + y)aÿ = L'" f(u)du.
b. VxeR, 2 f(x) [ 0 f( y)dy = j'" f(u)du + J:fif(v)dv.

2. a. Montrer que l'on peut choisir r > 0 de façon à rendre strictement
positive la constante L: f ( y)aÿ.

Dans la suite de ce Z., on fixe un réel r > 0 qui vérifie : I (: f ( y)dy > 0.

b. En déduire que f est de classe C1 sur R.

c. Montrer alors que f est en fait de classe C °° sur R.
(1. Prouver l'existence d'une constante c > 0 telle que :

VxeR, c f'(x) = f(x+r)--f(x--r).
3. En déduire l'existence d'une constante réelle k telle que :
VxeR, f "(x): Àf(x).

B. Conclusion.
l. Résoudre sur R l'équation différentielle : y"= " y. , en séparant les cas : 
u > 0, p < 0 et u = O.

2. En déduire tous les éléments de "EUR en exploitant le 1.4.0.
3. Donner tous les éléments de 9.

PARTIE 111

On se propose d'étudier l'ensemble 9par une méthode différente.
On pourra utiliser librement le résultat suivant :

SiaestunélémentfixêdeRî etsi Da ={ a--2'ÎÎ/pez qu },

tout réel est limite et 'une suite d'éléments de Da.

Soitfun élément de ?. On pose E = {x > 0 / f(x) = O}.
A.
1. Montrer que f (0) = l, et que f s'annule au moins une fois sur R1.
2. Montrer que E admet une borne inférieure que l'on note a.
3. Prouver que f (a) = 0 (on pourra raisonner par l'absurde). En déduire que : 
a > O.
4. Montrer que : Vx e [O, a[, f(x) > 0.

B. On pose (0 = 2--"--, et on note g la fonction de R vers R : x |----> cos(oe 
x).
a

2
. a a
l. a. Smt qu ; montrer que : f(îî) +1 : 2l:f(2q+l ):l .

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. . a a
b. En déduire, en rarsonnant par récurrence sur q, que: quN, f(î_--I--) = g(57).

On démontrerait de même le résultat suivant que le candidat pourra utiliser 
librement :
si qu estfixé : VpeN, f(p%) = g(p-ä--).

2. Prouver que : Vx e D,, f(x) : g(x).
3. En déduire que f = g.

C. En déduire tous les éléments de 9.

PROBLÈME D'ALGÈBRE

Notations et objectifs :

D Soit n un entier, n 2 2 ; on note E = m,, (R) la R-algèbre des matrices 
carrées d'ordre n à
coefficients réels, et E ' = <£(E, R) la R--algèbre des formes linéaires sur E.
On rappelle que : dim(E ) = dim(E').
Les éléments de E sont notés M = (m, I), la matrice élémentaire E, 1 est la 
matrice de E dont les

coefficients sont tous nuls à l'exception de celui qui se trouve sur la i-ème 
ligne et sur la j--ème
colonne, qui vaut 1.

Lorsque A et B sont des éléments de E, on note A . B leur produit.
Si M e E, on note vect (M) le sous--espace vectoriel de E engendré par M.

El L'objectif du problème est de montrer que chaque hyperplan vectoriel de E 
possède au moins une
matrice inversible.

a Si M = (m,,) e E, on note T(M) le réel Em".
k=l

On définit ainsi une application T de E vers R : M l--> T (M ).
A chaque matrice U de E, on associe :

. L'application TU de E vers R : M l----) TU (M) = T(U. M).
. L'ensemble H,, = {Me E/T(U.M)=O }.

PARTIE I : Généralités, exemples

1. Quelques propriétés.

a. Montrer que T est une application linéaire.

b. Pour U e E, prouver que l'application T U est dans E '.

c. Soit U & E ; reconnaître Ker TU , et montrer que H U est un sous-espace 
vectoriel de E.

1 1

2. Dans cette question seulement, on prend n = 2, et on pose U = (l l] .
a. Ecrire les quatre matrices élémentaires E que peut--on dire de la famille 
(E11 , E... 521 , E 22) de

E : 'mz(R) ? _
b. Montrer que H U est l'ensemble des matrices de E dont la somme des quatre 
coefficients vaut 0.
c. Trouver une matrice M de E telle que T (U . M ) #= O, et en déduire la 
dimension de Im TU puis la

dimension de H U.

ij'

Epreuve spécifique de Mathématiques (filière MPSI) Page 3/4

CONCOURS COMMUN sm> 2000 DES ECOLES DES MINES D'ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES

d. Montrer que H ,, possède une matrice inversible.
La partie Il] propose une généralisation de ce résultat.

PARTIE II : Quelguoe résultats utiles pour la suite
Soit A = (a, 1) et B = (b") des éléments de E.

a. Montrer que T(A.B) = ZZaj,b,j.

tal j=l
b. En déduire les identités suivantes :

(Il) T('A.B)=Éîa,ij.

:=1 1-1
(12) T(B . A) = T(A . B).
Soit U dans E. 4
a. Si U est la matrice nulle, déterminer dim H U.

b. Si U n'est pas la matrice nulle, montrer que l'on peut trouver un couple 
d'entiers (io , je) tel que
TU (E....) # 0. En déduire dimHU.

Pour (i, j) e {l, 2,..., n}2, on note TU. = TE".

a. Les indices k et 1 étant fixés, calculer T, j (E ,, ,) en utilisant (Il).

b. En déduire que les n'- éléments 7} j de E ' permettent de définir une base 
de E '.

Montrer que l'application (p de E vers E ' : U |----> (p(U ) = T U est un 
isomorphisme d'espaces

vectoriels.

On considère un hyperplan vectoriel H de E.
a. Quelle est sa dimension ?
b. Soit A une matrice non nulle de E qui n'appartient pas à H, montrer que : E 
= H GB vect(A).

c. Construire alors un élément ! de E ' tel que H =Kerl.
d. Prouver l'existence d'un élément U de E tel que H = H U.

PARTIE III : Le résultat général

,
Pour 15r Sn, onnote R, =ZE,,.

!=]

0 0 . 0 1

1 . . . 0 p....=I,ISiSn--l
Soit F: . . . . . c'estàdire P=(p,j) avec Pu. =1

0 . . . 0 p,]. :O, ailleurs

0 0 . 1 0 '

a. Montrer que P est inversible.
b. Prouver que P appartient à l'hyperplan H R'.

En déduire que chaque hyperplan vectoriel H de E possède au moins une matrice 
inversible.
Indication : lorsque H = H U, avec U de rang r, on rappelle l'existence de 
matrices S1 et 82

inversibles telles que S1 . U. 82 = R,.

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Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Mines Maths MPSI 2000 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Yacine Dolivet (ENS Ulm) ; il a été relu par 
Pierre-Yves
Rivaille (ENS Lyon) et Vincent Nesme (ENS Ulm).

L'épreuve se compose de deux problèmes indépendants.
Le premier, d'analyse, propose une étude de l'équation fonctionnelle
(x, y)  R2 ,
f (x + y) + f (x - y) = 2f (x)f (y)
Le thème est classique et les deux approches du problème ne le sont pas moins.
La première consiste à ramener la résolution de l'équation à celle d'une 
équation
différentielle ordinaire. La seconde expose comment montrer, après avoir 
intuité une
solution (ce qui est souvent le cas dans les équations de ce type), que sous 
certaines
conditions, c'est la seule solution.
Le second problème, d'algèbre cette fois, propose de démontrer le résultat 
classique suivant : tout hyperplan vectoriel de Mn (R) possède au moins une 
matrice
inversible. La technique utilisée ici est de se ramener au cas d'un hyperplan 
connu,
à savoir le noyau de la forme linéaire M 7 T(UM) où T représente l'opérateur de
trace et U est une matrice carrée, pour lequel le résultat est plus facile à 
démontrer.
Les questions dans leur ensemble ne nécessitent souvent, pour leur résolution, 
que
la connaissance des définitions du cours. Il est néanmoins important de se 
rappeler
que là où la difficulté conceptuelle n'est pas présente s'immisce toujours la 
difficulté
d'écriture car un examinateur est toujours plus intransigeant sur la rédaction 
des
questions faciles.

Indications

Problème d'analyse
I.1 Utiliser la définition exponentielle des fonctions hyperboliques.
II.A.1.b Intégrer l'équation fonctionnelle (que l'on appellera dans le corrigé 
(E)) par
rapport à y entre 0 et r.
II.A.2.a Utiliser la continuité de f en 0, où elle prend une valeur positive. 
Se servir
alors de la positivité de l'intégrale.
II.A.2.b Se servir de la relation obtenue à la question II.A.1.b et considérer 
les deux
membres de l'égalité en tant que fonctions de x.
II.A.2.c Utiliser le raisonnement précédent pour montrer que f est C n pour 
tout n.
II.A.3 Dériver l'égalité précédemment trouvée ainsi que (E) par rapport à y et
comparer.
II.B.2 Utiliser la condition f (0) = 1 pour restreindre le nombre de fonctions 
possibles, puis la parité de f pour conclure.
III.A.1 Utiliser la parité de f .
III.B.1.a Appliquer (E) avec x et y bien choisis.
a
a
III.B.1.b Remarquer que f q et g q sont positifs.
2
2
II.B.3 Utiliser la densité de Da et la continuité des fonctions f et g.

Problème d'algèbre
I.2.d Penser à une matrice simple.
II.3.a Utiliser le symbole de Kronecker et le fait que Eij Ekl = jk Eil .
II.3.b Penser à la définition de la base duale.
II.4 Remarquer que démontrer l'injectivité suffit !
II.5.b Utiliser un argument de dimension.
II.5.c Penser aux coordonnées.
II.5.d Utiliser l'isomorphisme  de la question II.4.
III.2 Étudier S2 PS1 pour conclure.

Problème d'analyse

Dans tout le problème, on note (E) l'égalité
f (x + y) + f (x - y) = 2f (x)f (y)

(E)

Partie I
I.1 D'après le cours, on sait que la fonction cosinus est continue, et vérifie 
la formule
de trigonométrie bien connue du lecteur (du moins on l'espère...) :
cos(x + y) + cos(x - y) = 2 cos x cos y
La fonction cosinus fait bien partie de E.
Comme on le verra encore par la suite, le problème contient un certain nombre
de questions qui ne sont en fait que des applications directes du cours. 
L'attention du correcteur est alors fixée sur la qualité de la rédaction de ces 
questions puisque la difficulté est absente. Il est donc impératif d'être 
soigneux.
Par exemple ici, il ne faut surtout pas oublier de préciser que la fonction
cosinus est continue pour vérifier toutes les hypothèses d'appartenance à E.
I.2 On utilise les définitions des fonctions cosinus et du sinus hyperbolique :
ex + e-x
ex - e-x
et sh x =
2
2
Ces définitions nous rappellent au passage que ces fonctions sont continues et, 
de
plus,
x  R,

ch x ch y + sh x sh y

ch x ch y + sh x sh y

ch x =

ex + e-x
ey + e-y
ex - e-x ey - e-y
×
+
×
2
2
2
2

1 ex ey + e-x e-y + ex e-y + e-x ey
=
2
2

x y
e e + e-x e-y - ex e-y - e-x ey
+
2

1 x+y
=
e
+ e-(x+y)
2
=

= ch (x + y)

En écrivant l'égalité correspondante pour ch (x - y) puis en additionnant 
membre à
membre avec l'égalité précédente, on déduit alors sans peine :
(x, y)  R2 ,

ch (x + y) + ch (x - y) = 2 ch x ch y

La fonction ch est bien dans E.

On aurait aussi pu utiliser les formules bien connues elles-aussi :
ch (ix) = cos(x)
sh (ix) = i sin(x)
Seule la première est à utiliser ici, la seconde étant rappelée pour mémoire.
Il suffit alors d'utiliser les propriétés de la fonction cosinus (cf question 
I.1).

I.3 Soient f dans E et  un réel. La fonction f définie dans l'énoncé est bien 
sûr
encore continue. D'autre part, si on se donne deux réels x et y, alors on a
f (x + y) + f (x - y) = f (x + y) + f (x - y) = 2f (x)f (y) = 2f (x)f (y)
Ainsi,

f est dans E
Pensez à bien vérifier toutes les hypothèses lorsque vous cherchez à montrer
qu'un objet est dans un ensemble.

I.4.a Soit f  E. En prenant (x, y) = (0, 0), il vient f (0) = f (0)2 , d'où
f (0)  {0, 1}
I.4.b Supposons f (0) = 0 et choisissons y = 0, il vient immédiatement
x  R,

2f (x) = 0

f =e
0

et donc

I.4.c Notons que l'intervalle de définition de f est symétrique par rapport à 0.
Prenons x = 0 et cette fois-ci, il vient
y  R,
d'où

f (y) + f (-y) = 2f (y)
f (-y) = f (y)

ce qui est la définition de la parité d'une fonction.
Si f (0) = 1, alors f est une fonction paire.