ENAC Maths toutes filières 2009

Thème de l'épreuve QCM de 36 questions
Principaux outils utilisés fonctions de la variable réelle, intégration, algèbre linéaire, produit scalaire, géométrie plane, coniques, équations différentielles, équations aux dérivées partielles
Mots clefs équation aux dérivées partielles, QCM

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


ÉCOLE NATIONALE DE CÎVÎLE ANNÉE 2009

EUVE DE MATH É ATÏQU ES

Durée : 2 Heures
Coefficient : 1

Ce sujet comporte :
0 1 page de garde,
. 2 pages (recto--verso) d'instructions pour remplir le QCM,
. 15 pages de texte numérotées de 1 à 15.

ÉCOLE NATIONALE DE L'AVIATION CIVILE EPL/S 2008

ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

A LIRE TRÈS ATTENTIVEMENT

L'épreuve de mathématiques de ce concours est un questionnaire à choix multiple 
qui sera corrigé automati-
quement par une machine à lecture optique.

ATTENTION, IL NE vous EST DÉLIVRÉ QU'UN SEUL QCM

1) Vous devez coller dans la partie droite prévue à cet effet, l'étiquette 
correspondant à l'épreuve que
vous passez, c'est--à--dire épreuve de mathématiques (voir modèle ci-dessous).

POSITIONNEMENT DES ETIQUETTES

Pour permettre la lecture optique de l'étiquette, le trait vertical 
matérialisant l'axe de lecture du code à barres
(en haut à droite de votre QCM) doit traverser la totalité des barres de ce 
code.

EXEMPLES :
BON MAUVAIS MAUVAIS

><
&

><><
><
><
><
><

68199t88l--0

...
2) Pour remplir ce QCM, vous devez utiliser un STYLO BILLE ou une POINTE FEUTRE 
de couleur

NOIRE.

3) Utilisez le sujet comme brouillon et ne retranscrivez vos réponses qu'après 
vous être relu soigneuse--
ment.

4) Votre QCM ne doit pas être souillé, froissé, plié, écorné ou porter des 
inscriptions superflues, sous
peine d'être rejeté parla machine et de ne pas être corrigé.

ÉCOLE NATIONALE DE L'AVIATION CIVILE . EPL/S 2008

5) Cette épreuve comporte 36 questions, certaines, de numéros consécutifs, sont 
liées. La liste des ques--
tions liées est donnée au début du texte du sujet.
Chaque candidat devra choisir au plus 24 questions parmi les 36 proposées.

Il est inutile de répondre à plus de 24 questions : la machine à lecture 
optique lira les réponses en

séquence en partant de la ligne 1, et s'arrêtera de lire lorsqu'elle aura 
détecté des réponses à 24 ques-
tions, quelle que soit la valeur de ces réponses.

Chaque question comporte au plus deux réponses exactes.

6) A chaque question numérotée entre 1 et 36, correspond sur la 
feuille-réponses une ligne de cases qui
porte le même numéro (les lignes de 37 a 100 sont neutralisées). Chaque ligne 
comporte 5 cases A, B,
C, D, E.
Pour chaque ligne numérotée de 1 à 36, vous vous trouvez en face de 4 
possibilités :

> soit vous décidez de ne pas traiter cette question,
la ligne correspondante doit rester vierge.

> soit vous jugez que la question comporte une seule bonne réponse,
vous devez noircir l'une des cases A, B, C, D.

> soit vous jugez que la question comporte deux réponses exactes,
vous devez noircir deux des cases A, B, C, D et deux seulement.

> soit vous jugez qu'aucune des réponses proposées A, B, C, D n'est bonne,
vous devez alors noircir la case E.

En cas de réponse fausse, aucune pénalité ne sera appliquée.

7) EXEMPLES DE REPONSES

Question1 : 12 +22 vaut:
A)3 B)5 C)4 o)-1

Question 2 : le produit (-1) (-3) vaut:
A) -3 B) -1 C) 4 D) 0

Question 3 : Une racine de l'équation x2 --1 = 0 est:
A)1 B)O C)-1 D)2

Vous marquerez sur la feuille réponse :

:: - l:l |: :D
A B C D E
1 :: E:] :: l=l «:|
=: :: :: L:":l _
A B C D E
2 :: E:: !: |: :=:
_ :=: _ := c::
A B C D E
3 :: [::: :::! :: :=:

Concours EPL
Epreuve de mathématig ues

Exercice 1 :
On note SR l'ensemble des réels a & îR .
Soit E l'ensemble des fonctions continues sur SR .

On considère alors l'application (pa définie par :
. 1 X

Vf & E,VX & îR,x $ a5(pa(f)(Ï<) """":

Question 1 :

Parmi les assertions suivantes, lesquelles sont vraies :

a) Si 0 note la composition de deux applications (E,o) est un groupe
b) Si + note la somme de deux applications (E,--+) est un groupe commutatif 
d'élément

neutre IdE :x -------> x.

c) Si . note la multiplication d'une application. par un scalaire , (E,+,.) est 
un

ER espace vectoriel de dimension infinie
d) Si x note la multiplication de deux applications (E,+,x) est un corps

Question 2 :
Parmi les assertions suivantes, lesquelles sont vraies :

, X
a) f admet une primitive, car pour toute fonction g définie sur Si , x 
------>-- Jg(t)dt en est
8

une primitive
b) (pa est prolongeable par continuité en a
c) Pour tout f de E, (pa (1) est prolongeable par continuité en a en posant i=--ÏÉË + oa 2

, (Pa (f) est dérivable sur SR

0) Même si f est de classe C1 sur SR , on ne peut pas être certain que (p& (t) 
est de

classe C1 sur 9%.
(1) Si f est de classe C1 sur SR , il est certain que (pa (f) est de classe C1 
sur ÊR .

Question 7 :
On cherche à savoir si  91 r r o .
Son b un reel. On cons1dere gb : __}, bl . On veut resoudre l'equatron 
d'1nconnue f :
x x ---- .
(Pa (f)m gb

a) S'il existe une solution alors elle est unique. De plus si axb alors d'après 
la
question 4, fx2 ga

b) S'il existe une solution f, alors elle n'est pas unique puisque toutes les 
fonctions de
la forme f+ fo où f0 & Ker (pa sont encore solutions.

c) Si a et b il existe une solution puisque (pa est surjective
d) Si a # b il ne peut exister de solution puisque gb n'est pas dérivable en b.

Question 9 :
Soit n un entier naturel. On appelle FOE îRn [X.] l'espace vectoriel des 
polynômes de degrés

inférieurs ou égaux à n. On muni F de sa base canonique BOE(l,X,X",. . .,X " ).

On appelle wa la restriction de (;)a à F, c'est--à-dire l'application telle que
VP e & w. (P)--==-- @.(P)

_ . 1 i '
l<>...z
k=O

a) wa est un endomorphisme de F, car Vi &: fl0,n

b) Ker wa c: {OF} et wa est'injectif.
c) wa est surj ectif puisque wa est inj ectif et que Dim F--«W--«n.

d) wa ne peut pas être surjectif puisque efii.ng]x{u,pll-

k!
i!(k ------i)!

si kZiZO et0sinon.

k
( _ ] note le coefficient binômial
1

a) B' est une base de F car si a est nul on retrouve la base initiale.

b) V (i, k) EUR Ul. , n + 1 !] 3P(i,k):{lî](wa)k--i

1
Î,P(i,k)= {%]a"

1

k , _ k .
.) (...--+ {(+--:)
1 (i,k)efit,n+tjï 1 (i,k)eËt,n+liÎ

Question 11 :
On peut dès lors affirmer que :

c) V(i,k) & Ül,n +1

a) P est inversible, car les matrices de passages sont toujours inversibles et
A= P"'A'P

b) P est inversible, car les matrices de passages sont toujours inversibles et
A: PA" P "'

c) A' est la matrice diagonale telle que Vi EUR "1, n + 1l],A'(i,i)=--i--
1

],A'(i,i)=i+l _

d) A' est la matrice diagonale telle que Vi EUR Ül,n +1

Question 12 :

Grâce aux résultats de la question 11 on peut affirmer que :

a) Vi & fll,n + l.],Rang [(i + l)A ----- 1n ]=1
b) Vi EUR fil... + 1 ], Dim(Ker[(i + l)A -- 1n ] )=l
c) Pour tout entier naturel i il existe un unique solution à l'équation 
d'inconnue Q,

w. (QF--9...

1 + i _
(1) Pour tout entier naturel i il existe une infinité de solutions à l'équation 
d'inconnue

Q, w.(Q)m----9----

1+i

Fin de l'exercice 1

Exercice 2 :

On se place dans le plan euclidien P. On choisi deux points distincts F et F'. 
on notera a«%Ê .

Le but de cet exercice est l'étude de l'ensemble La'des points M du plan 
vérifiant
MFXMF'= a2

Question 13 :

Soit un repère orthonormé (O,i,3) du plan P tel que 0 soit le milieu de F F ' 
et i soit porté par
(F F ') alors :

a) Lam i(n,y)eîRxîfi, (x2 +y2Î= -----2"a (X2 ----y 2)}
b) Lam{(x,y)êÊRXSR,(X(+y2 )2 =2a'(y2 ------x 2)}
c) La={(x,y)e îRxîR,y == \/4aîxz+a4 ----(X2+az)}

d) Laæ{ (x, y) EUR 9îxîR,y z \/4a2x2+ a4 ---- (X2 + az) ouy == --\/\/4a2x2 + a4 
----(X2 +a2) }

Question 14 :

L'ensemble La admet pour équation en coordonnées polaires : p2 3 Za2 cos(29) 
(on ne

demande pas de vérifier ce résultat qui doit être admis).
On a donc en notant p(9) l'unique solution (si elle existe) d'inconnue p de 
l'équation polaire :

...

a) p(9)m p(------- 9) donc La est symétrique par rapport à l'origine du repère
b) p(9)= p(n --- 9) donc La est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées

c) p(8 )---------- p(n + 9) donc La est symétrique par rapport a l axe des 
abscisses

7r . ..
---------« pu1s utiliser

d) On peut se contenter de mener l'étude de la courbe pour 9 E {O, 4

trois symétries minimum pour construire le reste de La

Question 1 5 :
Parmi les assertions suivantes, lesquelles sont vraies :

...] , de denvee negat1ve, donc p(9) est denvable

&) 9 ------> cos(29) est dérivable sur {O, 4

Tt , ' r r 0
sur {O,--Â] de denvee negative.

7Ï , . , .
...] comme eomposee de deux fonctions decrmssantes

b) p(9) est décroissante sur [O, 4

sur {O,--£}
4

c) lim sin(29)

9"'Ï 1/oos(29)

d.) ' La admet la droite d'équation y3x comme tangente et se situe au dessus de 
cette

--- +oo donc La admet une tangente horizontale au point (0 a)

tangente.

Question 16 :

Si on considère l'ensemble La m {(X, y) & 9'txîR, x ...>... O} , on voudrait 
connaître l'aire intérieure,

notée A, à la courbe . On peut écrire que :

ee[ ...,îäîfl pe{o a'/2"Eë'èäëÿl

b) A=== H2pdpd9
ee[o Ïl pe[o ax,îË3£(îäj]

c) {Ama2

d) A...îÏ

2

Question 17:
Soit Q un point du plan soit k un réel non nul. Si AB note la mesure algébrique 
du segment

[AB] on défini 1? par la donnée de M'---------- IQ (M) vérifiant:
(PI) Q ,M et M" sont alignés
(FZ) ÜMxQM'z k

On peut alors affinner :

a) 13 est une application bien définie de P dans lui--même puisque pour chaque 
point
M de P, il existe un et un seul point M' vérifiant (P1) et (P2)
b) IÎ est une application bien définie de P \{Q} puisque pour chaque point M de 
P, _

différent de Q , il existe un et un seul point M" vérifiant (Pl) et (P2)
c) Si k # 0 , I ,? est une bijection de bijection réciproque IÎ
k
(1) Si k at 0 , I,"? est une bijection de bijection réciproque 1?

Question 18 :
On se ramène au plan complexe. Soit deux points N et N' de P tels que Q ,N et 
N' soient

alignés et distincts. On note 03 , z et 2' les affixes respectifs de Q ,N et N'.
On peut alors démontrer que : '

a) QNXQN'x (z------ oe)(z' --...-----==oe) (z------ oe)(z' (11)
k

Z"O)

b) Si N'OEIÎ (N) alors z'=oe+

c) Les points fixes de IÎ forment le cercle de centre Q et de rayon WE}

d) Il existe k & 9% tel que Il? ne possède qu'un point fixe unique.

Question 19 :
. . . . , . , ---l .
Dans cette question et la suivante, on va chercher a déterminer la composee 
(IS) 0 IS 012 ou

OL EUR îR* .
Avec les notations de la question précédente, on supposera que N'3 (12 )--1 0 
I? o 18 (N).
On peut démontrer que :

a) Si o=o, (13)"'o 1ï3013=13.

k

b) Si N distinct de o, 13 (N) o @ z... 93.
(D

C) SiQiOetsizæ{0,g}onazîîm (Ot-- (DZ)2

d) Si Q$O'etsizæ{O,

. ...

Question 20 '
On supposera dans cette question que Q # O et k ... loelz

On notera de plus (D:: a + ib
Il est possible de montrer que :

_ ---1 ' . . . . . , . . ,
a) (12) 0 If? 0 I 2 est une applrcat10n affine et son application lmea1re 
assocree est

, _ 1 la2 ---- a2 ---- 2ab
donnee par la matrice A z ------------5 2 ,
- --- Zab a ... b"

]et (13) o IQoIO(O) est le
M

point d'affixe ocoe. »
b) A est une matrice orthogonale de déterminant négatif c est donc une rotation

vectorielle et (12 ) 0 I? o 13 est une rotation.
0) A est une matrice orthogonale de déterminant négatif c'est donc une symétrie

. --1 , . .
orthogonale vectorielle et (Iî) 0 If o 12 est une symétrie orthogonale par 
rapport a

une droite affine
d) A possède des points fixes et est orthogonale. A ne peut donc qu'être une 
symétrie

orthogonale vectorielle et (12 )"1 o l? o 12 est une symétrie orthogonale par 
rapport à

une droite affine

Question 21 :

On supposera dans cette question que Q #= 0 et ki !oel2

Il est possible de montrer que :

&) z'z ocoe kon2 1
|oe!2----k +Zloel 'k)2... z--
!OE!2co
b) z'= oe +...ka ----------------1 ....
!w! ----k !...! k! Z...ss...
le! --k
0--1. 9 0__ s " . , CLC!) k0t2
c) (la) oIkoIm----I£3 ouSestlepomtdaffixe k=-----et[3
* !! !! km"!
ocoe kon

d) (IS )_10 1153012 =IÊ où S est le point d'affixe ket B=
' !! !! --kï

Question 22 :

On considère la conique C & définie par x2 ---- y2 = 232.

On peut alors affirmer

a) La nature de C & dépend de la valeur de &. Plus précisément, c'est une 
ellipse si

«5 . «Æ

& <--------, une h erbole s1 a>---------
2 yp 2

b) Une équation polaire de C a est p2cos(29) : 232 9 EUR ]0'12È[ U }, %T_E_[

c) Si M note un point de La tel que et M' un point de la conique C a tel que
(Lô--ü): (i,ôfi) [fi], alors ôfixôü!= 2212

@ IÏ)[C...Æ]= L>Ê
Î 2

Fin de l'exercice 2

Exercice 3 :

Dans cet exercice p désigne un réel strictement positif et f est l'application 
définie par
Vt > O,f(t) : tlp +pt

Question 23 : . v
f est prolongeable par continuité en 0 par la valeur f(0)==0. On continuera à 
appeler f

l'application de SR' ainsi définie.
On peut affirmer que :

a) f est dérivable sur îR' de dérivée Vt & iR' ,f'(t) == pt""'+ p > 0
b) f est strictement croissante sur îR' comme somme d'une fonction croissante 
sur

$* et d'une fonction strictement croissante sur SF

0) Si f est une fonction strictement croissante définie sur îR' , alors f est 
une bijection
de iR' sur f(îR+ ).

d) Pour pouvoir affirmer qu'une fonction strictement croissante est une bij 
ection de
SR' sur f( SR ' ), il est nécessaire que f soit continue.

Question 24 : »
En fait on peut démontrer que f est une bijection de îR' sur îR' . Nous 
noterons g sa bijection

réciproque.
Parmi les assertions suivantes lesquelles sont exactes :

a) g est continue, croissante et dérivable sur SR" en tant que réciproque d'une

fonction f continue, croissante et dérivable sur g( '.R' )= SR" .
b) _ . g n'est dérivable en x réel, que si f est dérivable en g(x) et que 
f'(g(x)) # 0

c) g est dérivable en 0 et g'(0) vaut --1--- si p 21 et 0 si 0 < p <]

p _
d) Si 0 < p < 1 , g n'est pas dérivable en 0 car f n'est pas dérivable en g(O)

10

Question 25 :
Dans la suite de cet exercice, a désigne un réel strictement positif fixé et on 
note alors

____(p--l)t"+a
pit""'+ll

Si (p admet un éventuel prolongement par continuité en 0 alors on appellera 
encore (p ce

prolongement.
On peut dès lors affirmer que :

a) Vp > O, cp(t) »;---------Ï--l-- t et (p est prolongeable par continuité en 0 
par (p (O)=O
P
b) Pour p > 1, (p n'est pas prolongeable par continuité en 0

f(t)---a
f'(t)

d) Si Og(a)et (pOEo î/Îch[oag(a>l ,

b) La suite (un)n Nest bien définie et ceci quelque soit le choix de no >0

C) Si 110 1--ee[O,p &
1--19

d) Si uoe eO,[ ?... p,:l (un )nelN converge vers p,ïa
"P

} (11 ,,)...N est monotone

ll

Question 23 :

. a
Dans cette question, on suppose que p>l et u0 : ----------- .

P
Parmi les assertions suivantes lesquelles sont vraies :

©'(t)l S E--Î----1--
p

a) g(a) < 3 et pour tout t & {g(a)Â} ,
P P

, , . ' . . . . a
b) Le theoreme des accrmssements finis dit que 51 (p est cont1nue sur 
[g(a),----l et
/ p

dérivable sur }g(a),--ä il existe 9 & }g(a),£{ tel que
p P

{ 't # t,) I f == 0
' ----1

c) (p est une forme bilinéaire, symétrique, définie positive, c'est donc un 
produit
scalaire et (E, (p) est un espace vectoriel euclidien

(1) (p est une forme bilinéaire, symétrique, définie positive, c'est donc un 
produit
scalaire mais (E, (p ) n'est pas un espace vectoriel euclidien

Question 30 :
On choisit dans cette question (f, g) & le. Si on note, pour A un sous espace 
vectoriel

quelconque de E, A'" l'orthogonal de A, on peut alors écrire que :

a) Jf(t>stt)dt ==- Jfgsdt= Jf(t>s(t>dt

c) A ce stade du raisonnement :P c: I"L ou 1 c: Pl
d) A ce stade du raisonnement :P"L c: I et IJ" (: P

Question 31 :

Si f & P"L , on peut donc écrire que :

a) Comme fe E,il existe (fp,fi )e le tel que f =: fp + fi et Vg EUR P, @@ g) =: 
0
b) Comme fe E,il existe (fp,fi )e PxI tel que f == fp + f, et Vg EUR I, 
(p(fp,g) ==: 0

c) En choisissant judicieusement g, P"' c:: 1 et Pl : I
(1) le cosinus hyperbolique est la projection orthogonale sur P de la fonction

exponentielle

Fin de l'exercice 4

Exercice 5 :
Soit (a,b,c) & 933 ,c :t 0 et (a,b) "+" (0,0) et on considère l'équation aux 
dérivées partielles

suivante, d'inconnue f de classe au moins C2 (SF) :
aôzf Ôzf+ Côîf
+ b

--0(E)
aÔX2 Ôxôy+ ÇÔY2

Question 32 :
On effectue le changement de variable suivant : u3x+ ay et v=== x + By où (ou, 
B) EUR 93.2 . On
posera dans la suite de cet exeréice g(u,v)ä(x(u,v),y(u,v)), P==a+bX+cX2 et

Km 2a + b(0t + B) + 20aB
On peut alors affirmer que :

EURRZ---->SR2

(X.--. Y) "> ("= V)
cette condition H et H "" sont de classe C°° (".W)
ag ôf ar ôg af ôf

a) l'application H : est bijective si et seulement si oc at B et que sous

b) ......oc...+B... et ...==-------------+------«
ôv ôx ôy ôu ôx ôy
c) Êî«Êg--+Bî%et E£=aÊË+ÊË
Ôy Ôu ôv ôx ôu ôv
ôzg ôzg ôZg2
d 0'vérifielé nation P ou +K +P ------0 E'
)g q <)Ôu2 ôuôv (B)ôv ( )

Question 33 :
On se place, dans cette question et la suivante seulement, dans le cas où 
b2-4ac>O. On peut

alors affirmer que :

a) P possède deux racines distinctes r,} et r2 vérifiant r1 +r2==---Î-- et r] 
.r2m--«î--

b) P possède deux racines distinctes r] et r2 . On peut donc choisir deux réels 
on et B ,
différents et tels que P( ou )==P( B )OEO et K # 0

c) KOEP'( on) +P'( B) et pour que K soit nul il faudrait que a et B soient 
racines doubles de
P, ce qui ici est impossible. Donc Kat O, pour tout ou # B

62g

ôuôv

==O

d) g vérifie l'équation

C2 (R)

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



ENAC Maths toutes filières 2009 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Guillaume Dujardin (Chercheur à l'INRIA) ; il a été
relu par Hervé Diet (Professeur agrégé) et Sophie Rainero (Professeur en CPGE).

Le sujet se compose de cinq exercices complètement indépendants.
· Le premier s'intéresse aux propriétés de l'application « valeur moyenne » 
définie
pour f  C 0 (R, R) et a  R par
Z x
1
x  R r {a}
a (f )(x) =
f (t) dt
x-a a
On montre en particulier que c'est une application linéaire, on étudie son
injectivité, sa surjectivité, ainsi que certaines propriétés de sa restriction à
l'espace des fonctions polynomiales de degré inférieur ou égal à n.
· Le deuxième exercice étudie les propriétés d'une courbe paramétrée du plan
définie implicitement en coordonnées polaires, d'une hyperbole définie par une
équation cartésienne, ainsi que leur lien au travers d'une inversion.
· Le troisième exercice étudie une bijection continue strictement croissante de 
R+
dans R+ , sa réciproque, et des suites récurrentes réelles.
· Le quatrième exercice s'intéresse à l'espace des fonctions continues sur [ -1 
; 1 ],
aux sous-espaces des fonctions paires et impaires sur [ -1 ; 1 ] ainsi qu'à 
leur lien
via le produit scalaire usuel.
· Enfin, le cinquième exercice traite des solutions de l'équation aux dérivées 
partielles linéaire d'ordre 2
a

2f
2f
2f
+
b
+
c
=0
x2
x y
y 2

posée sur R2 lorsque c 6= 0, (a, b) 6= (0, 0) et b2 - 4ac > 0. On décrit 
l'ensemble
des solutions à l'aide d'un changement de variables (x, y) 7 (u, v) choisi 
judicieusement.
L'épreuve compte 36 questions, dont 24 doivent être traitées ; chacune comprend 
quatre propositions, laissant ainsi moins d'une minute pour examiner chaque
proposition. L'énoncé comporte un certain nombre d'imprécisions et d'erreurs.
Toutefois, il met en oeuvre un nombre important de points du cours de première
année, des matrices aux courbes paramétrées en passant par les fonctions de deux
variables ; certaines questions permettent de tester, parfois même avec une 
certaine
profondeur, sa connaissance du cours et sa capacité à mettre en action les 
méthodes
étudiées en cours. Enfin, le découpage en exercices complètement indépendants 
permet de tester ses connaissances uniquement sur les points du programme que 
l'on
souhaite revoir.

Indications
Exercice 1
2. Intuitivement, a (f )(x) est la valeur moyenne de f sur [ x ; a ] ou [ a ; x 
].
3. Montrer que a est un endomorphisme de E. Concernant son éventuelle
surjectivité, utiliser la dérivabilité de a (f ) sur R r {a}.
7. Garder en mémoire le fait que E n'est pas de dimension finie.
8. Utiliser la question 7 et la dérivabilité de a (f ) sur R r {a}.
9. F est un espace vectoriel de dimension finie. Quelle est sa dimension ?
10. Déterminer l'inverse de la matrice P en observant que pour tout i  {1, . . 
. , n+1},
i-1

Xi-1 = ((X - a) + a)

=

i 
X
i-1
p-1

p=1

ai-p (X - a)

p-1

12. Erreur probable d'énoncé : lire In+1 au lieu de In . Utiliser le fait que
( A - In+1 ) = P ( A - In+1 ) P-1

  R

ainsi que les autres résultats de la question 11.

Exercice 2
15. Examiner avec précaution le comportement de  au voisinage de /4.
16. Quel est l'élément d'aire en coordonnées polaires ?
19. Utiliser la formule trouvée en 18.b.
21. Utiliser les résultats obtenus aux questions 18 et 19.

22. Observer que
I01 C 2 = L 2 r {0}
2

2

Exercice 3
23. Que dire de la dérivabilité de f en 0 en fonction de p ? Souvenez-vous 
qu'une
fonction strictement monotone est toujours injective.
24. Examiner la dérivabilité de g en 0 en fonction de p.

Exercice 4
28. E, P et I ne sont pas de dimension finie.
Exercice 5
2

2

32. Remarquer que g  C (R ), puisque f  C 2 (R2 ).
g
34. Fixer u0  R et considérer l'application v 7
(u0 , v). Que vaut sa dérivée ?
u

Exercice 1
1 a) FAUX : (E, ) n'est pas un groupe. Supposons que (E, ) soit un groupe.
Ce dernier contient les fonctions continues
(
(
R - R
R - R
f:
et
Id E :
x 7- 0
x 7- x
Puisque (E, ) est un groupe, f est inversible et l'on peut donc poser g = f -1  
Id E
pour définir un nouvel élément de E. Celui-ci vérifie la relation f g = Id E . 
Cependant,
pour x  R, on a
f  g(x) = f (g(x)) = 0

et

Id E (x) = x

En x = 1, on a donc en particulier 1 = 0 ce qui est absurde.
b) FAUX : (E, +) est un groupe commutatif, mais son élément neutre n'est pas
Id E . En effet, on a par exemple
Id E + Id E = 2 Id E 6= Id E
ce qui contredit la neutralité de Id E .
c) VRAI. Le cours assure que (E, +, ·) est un espace vectoriel. Il suffit de 
constater
qu'il contient les fonctions polynomiales à coefficients réels pour affirmer 
qu'il contient
une famille libre de cardinal infini et est donc de dimension infinie.
d) FAUX : (E, +, ×) n'est pas un corps. En effet, si l'on suppose que (E, +, ×)
est un corps, alors l'élément unité est la fonction constante égale à 1. De 
plus, la
fonction Id E n'admet pas d'inverse pour la loi × car un inverse éventuel ne 
pourrait
pas avoir une valeur finie en 0.
A

B

C

D

E

2 a) FAUX : une fonction g définie sur R n'admet
 pas nécessairement de primitive.

 R - R

On peut par exemple considérer la fonction g :
0 si x 6 0

 x 7-
1 si x > 0

En revanche, toute
Z xfonction g continue sur R admet des primitives sur R, et
la fonction x 7
g(t) dt en est une.
0

b) FAUX : a n'est pas prolongeable par continuité en a. Cela ne veut tout 
simplement rien dire puisque a est une application de E dans E.
c) VRAI. Considérons f  E. Puisque f est continue en a, pour tout  > 0,
il existe  > 0 tel que
t  [ a -  ; a +  ]

|f (t) - f (a)| 6 

Par conséquent, pour x  [ a -  ; a +  ], on a
Z x
Z x
f (t) dt - (x - a)f (a) =
(f (t) - f (a)) dt
a
a
Z max(a,x)
6
|f (t) - f (a)| dt
min(a,x)

6 |x - a| 

Pour x  [ a -  ; a +  ] r {a}, en divisant par |x - a|, on a en particulier
|a (f )(x) - f (a)| 6 
Ceci assure que a (f )(x) tend vers f (a) quand x tend vers a, donc a (f ) est 
prolongeable par continuité en a en posant a (f )(a) = f (a).
d) FAUX : ce résultat serait en contradiction avec la question 1.c en 
considérant
comme fonction f la fonction constante égale à 1.
A

B

C

D

E

3 a) FAUX. Tout d'abord, la propriété
(f, g)  E2

a (f g) = a (f )a (g)

est fausse comme le montre l'exemple f = g = Id E . Dans ce cas, on a en effet 
pour
tout x  R
x+a
(x + a)2
a (f )(x) =
donc
a (f )(x)a (g)(x) =
2
4
alors que, pour tout x  R r {a},
" #x
Z x
1
1
t3
x3 - a3
x2 + ax + a2
a (f × g)(x) =
t2 dt =
=
=
x-a a
x-a 3
3(x - a)
3
a

Remarquons toutefois que a est bien un endomorphisme de E. En effet, si f  E
alors le cours assure que a (f ) est continue sur ] - ; a [  ] a ; + [, et la 
question 2.c
montre que a (f ) est continue en a. En outre, si (f, g)  E2 et (, µ)  R2 , 
alors
a (f + µg) = a (f ) + µa (g)
b) FAUX. Cette fois, la propriété
(f, g)  E2

a (f + g) = a (f ) + a (g)

est vraie. De même, le fait que a soit une application linéaire est vrai. En 
revanche,
l'implication entre ces deux propriétés est fausse : le fait que la propriété
(f, g)  E2

a (f + g) = a (f ) + a (g)

soit vraie n'implique pas sans argument supplémentaire que a est linéaire. En 
effet,
pour cela, il faudrait justifier que la propriété d'homogénéité est vérifiée :
f  E

  R

a (f ) = a (f )