ENAC Maths toutes filières 2007

Thème de l'épreuve Nombres complexes, fonctions trigonométriques et hyperboliques
Principaux outils utilisés Nombres complexes, fonctions réelles, endomorphismes, polynômes

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Rapport du jury

(PDF non trouvé ! |/net/www/doc-solus.fr/www//prepa/sci/adc/pdf/rapports.pdf/2007/SUP_MATHS_ENAC_1_2007.rapport.pdf|)

Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


ECOLE NATIONALE DE L'AVIATION CIVILE ANNÉE 2007

coucçuræs DE RECRUTEMENT
D'ELEVES PILOTE DE LIGNE

ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Durée : 2 Heures
Coefficient : 1 '

Ce sujetcomporte :
o 1 page de garde,
. 2 pages (recto-verso) d'instructions pour remplir le QCM,
. 1 page d'avertissement
. 9 pages de texte numérotées de 1 à 9.

CALCULATRICE AUTORISÉE

ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

A LIRE TRÈS ATTENTIVEMENT

L'épreuve de mathématiques de ce concours est un questionnaire à choix multiple 
qui sera corrigé automati-
quement par une machine à lecture optique.

ATTENTION, IL NE vous EST DÉLIVRÉ QU'UN SEUL QCM

1) Vous devez coller dans la partie droite prévue à cet effet, l'étiquette 
correspondant à l'épreuve que
vous passez, c'est--à-dire épreuve de mathématiques (voir modéle ci--dessous).

POSITIONNEMENT DES ETIQUETTES

Pour permettre la lecture optique de l'étiquette, le trait vertical 
matérialisant l'axe de lecture du code à barres
(en haut à droite de votre QCM) doit traverser la totalité des barres de ce 
code.

EXEMPLES :
» BON MAUVAIS MAUVAIS

><
><
><
><
X
"
><
><

xxxxxxxxxxxxxxxx
& BL 9 $? 8 Z |- G

AXE

2) Pour remplir ce QCM, vous devez utiliser un STYLO BILLE ou une POINTE FEUTRE 
de couleur
NOIRE.

3) Utilisez le sujet comme brouillon et ne retranscrivez vos réponses qu'après 
vous être relu soigneuse-
ment.

4) Votre QCM ne doit pas être souillé, froissé, plié, écorné ou porter des 
inscriptions superflues, sous
peine d'être rejeté parla machine et de ne pas être corrigé.

5) Cette épreuve comporte 36 questions, certaines, de numéros consécutifs, sont 
liées. La liste des ques----
tions liées est donnée au début du texte du sujet.
Chaque candidat devra choisir au plus 24 questions parmi les 36 proposées.

Il est inutile de répondre à plus de 24 questions : la machine à lecture 
optique lira les réponses en
séquence en partant de la ligne 1, et s'arrêtera de lire lorsqu'elle aura 
détecté des réponses à 24 ques-
tions, quelle que soit la valeur de ces réponses.

Chaque question comporte au plus deux réponses exactes.

6) A chaque question numérotée entre 1 et 36, correspond sur la 
feuille--réponses une ligne de cases qui
porte le même numéro (les lignes de 37 à 100 sont neutralisées). Chaque ligne 
comporte 5 cases A, B,
C, D, E. '
Pour chaque ligne numérotée de 1 à 36, vous vous trouvez en face de 4 
possibilités :

> soit vous décidez de ne pas traiter cette question,
la ligne correspondante doit rester vierge.

> soit vous jugez que la question comporte une seule bonne réponse,
vous devez noircir l'une des cases A, B, C, D.

> soit vous jugez que la question comporte deux réponses exactes,
vous devez noircir deux des cases A, B, C, D et deux seulement.

> soit vous jugez qu'aucune des réponses proposées A, B, C, D n'est bonne,
vous devez alors noircir la case E.

En cas de réponse fausse, aucune pénalité ne sera appliquée.

7) EXEMPLES DE REPONSES

Question 1 : 12 +22 vaut:
A)3 B)5 C)4 D)-1

Question 2 : le produit (--1) (-3) vaut:
A) -3 B) --1 C)4 D)O

Question 3 : Une racine de l'équation x2 -----1 := 0 est:
A)1 B)O C)-1 D)2

Vous marquerez sur la feuille réponse :

[II:] -- (::.: [:::] [:::]
A B C D E
1 E:: [:::] E:] E:] :::]
:::] 1223 E:: ::::1 _
A B C D E
2 1:23 E::J [:::] [:::] ::::

ÜHÜ

QUESTIONS LIEES

1à4

5à9
10à21
22à32
33à36

PARTIE I

2i1:/...

?. On considère le système (E)

On désigne par ] le nombre complexe e
x+ y + z m a
x+j y +sz * b
x+fy +jz = c

où a, b, c désignent trois nombres complexes donnés.

Question 1 : Le nombre complexe ] vérifie
A) fm1
B) 13 ---1...--...- 0
C) l+j+f= ()
D) 1...-- j -- f=-- ()

Question 2 : Les nombres complexes x, y, z vérifiant le système (E) sont tels 
que
A) 3y+(x+z)(l+ j + f) = a+ bj2+ cj
B) 3y+(x+z)(l+j+f) = a+ b + c
C) 3y+(x+z)(l+j +_j2) = a+ bj + cf
D) 3x+@+z)(l+ j + j'") =----* a+ bj2+ cj

Question 3 : Le système (E)
A) n'admet pas de solution
B) admet au moins deux solutions
C) admet une solution unique x=(a+b+c)/3 y=(a+ bj2+ cj)/3 zæ(a+ bj+ of)/3
D) admet une solution unique x=(a+b+c)/3 y=(a+ bj+ ch)/3 z==(a+ bj2+ cj)/ 3

Question 4 : Une condition nécessaire et suffisante pour que x, y, z vérifiant 
le système (E)
soient des nombres réels est

A) a, b, c réels

B) a, b, c complexes non réels

C) aréeletb*cm0

D) a réel et b et c complexes conjugués car j2 et (--j ) sont complexes 
conjugués

PARTIE 11

11 étant un entier naturel et a un nombre réel non nul on pose :

e'"cosnxdx et v,,=Ç e"sinnxdx

Question 5 : u,, vérifie, pour tout n entier naturel

'Il: .
A) u,, 3 (l/an) [ eax sin nx] pour n entier strictement positif et ug----* 
(e""--l)/a
@

%

B) un ===-- (l/a) [ e"Dc (cos nx ---- (n/a)sin ax)] + ("z/az) un '
0

1L'

C) u,, & (l/(nz--t--a2)) [ e'" (acos nx + nsin nx)]
()

D) un a (1/(n2--Æ))((--1)"ea" a--a)

Question 6 : v,, satisfait, pour tout n entier naturel non nul

7!

A) v,, =?"-- (l/an) [-- e'"' cos nx]
@
B) v,, «"="---- (1/a) [ eax (sin nx -------- (n/a)cos nx)] Î--(nz/a7") v,,
0

C) v,, w (1/(nz--m--a2)) [ e"x (noos nx --- 6: sin nx)] "
0

D) v,, a (1/(nz--x--a2))((--1ÿ+lnea" +n)

Question 7 : La valeur absolue de "un est, pour tout n entier naturel , majorée 
par
A) lal/(nz+az)
B) lal(l+e"'Ü/an»«a2l
et celle de v,, est majorée par
C) n(l--e"")/(nz+a2)
D) (l+e"")/(an)

Question 8 : La suite (v2k), k entier strictement positif, est équivalente à la 
suite de terme
général

A) (l--e'"')/(2k)

B) (l+ea")/k

C) 1/(2k)

D) l/k

Question 9 :
A) les suites (un) et (v,,) ne peuvent être convergentes car elles ne sont pas 
de signe

constant
B) les suites (un) et (vn) convergent car toute suite majorée est convergente

C) la suite (un) converge vers 0
D) la suite (un) diverge car la suite de terme général cos nx n'admet pas de 
limite

PARTIE III

On considère les fonctions (... qui à u élément du segment I=[O,n/2], associe
(p1(u)= l/(x2 (cos u) 2 + (sin u) 2 ) et ([)2 qui à u élément du segment I 
associe
(pg(u)m (sin u)/(x2 (cos u) 2 + (sin u) 2 ), x étant un paramètre réel.

Question 10: La fonction (pl
A) est définie sur I pour tout x réel
B) est définie sur I pour tout x réel positif ou nul
C) est définie et... continue sur I pour x réel strictement positif
D) est continue sur 1 uniquement pour x réel strictement positif

Question 11 : La fonction (pg
A) est dérivable sur I pour tout x réel non nul
B) est dérivable sur I pour tout x réel
C) est dérivable sur ]0,7£/2] pour tout x réel et a pour dérivée
O

D) n/2 s. lim f(x)

x------------>O

Question 19: Lorsque x tend vers +oc, f(x) a pour limite, si elle existe,
A) +oc
B) -------oc
C) 7c2/4
D) (n°:/4) -- (a:/2)

/2

Soit g la fonction définie sur ]0,+oc[ par g(x) = {(a / (x (cos u) 2 + (sin u) 
2 )) du
0

Question 20: x désignant un réel strictement positif et k un réel tel que 0 < | 
kl < x/2, on pose,
pour tout u appartenant au segment I

P === x (cos u)2 + (sin u)2 et Q = k (cos u)2 . On a
A) 1/ (P+Q) * (UP) ------- (Q/P2 + (QQ/26"2 gP+Q)))
B) " (P+Q) " (UP) + (Q/P ) ------ (Q /(P (P+Q)))

n/2 flZ/2
C)! ((g(x+k)-- g(x))/k)+F(cosuÿ/{x(cosu)2+(sinu)2)zdul sl 
kl]u(cosu)"/{(x/Z)(cosu)2+(sin u)2)3du
0

0
TE/2

D) g est dérivable sur ]O,+oc[ et a pour dérivée g'(x) =_ 
&u(cosu)Z/(x(cosu)z+(smu)2)2 du
0

Question 21: On a _
A) f(x) x x g(x) pour tout x appartenant à l'intervalle ]0,+oc[
B) f(x) ===-- x g(x2) pour tout x appartenant à l'intervalle ]0,+oc[

C) f est dérivable sur ]O,+oc[ et a pour dérivée
. n/2

f(x)=g(xz)+2xz 8°(X2) "'--"'" 8u(3ch(cosu)2+(sinar)2)/(xz(cosu)z+(sinu)z)2 du
0
D) f n'est pas dérivable sur ]0,+oc[

PARTIE IV

Dans l'espace vectoriel F des fonctions réelles définies et indéfiniment 
dérivables sur [R, on
considère l'ensemble E des fonctions de la forme P(x) ch x + Q(x) sh x où P et 
Q sont deux

fonctions polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à 2.
On désigne par f1, f2, fg, f4, fig, f6 les fonctions définies Sur IR par
fl(x)= ch x, fi(x)----*--= sh x, f3(x)= xch x, fl(x)m xsh x, f5(x)= xzch x, _ 
f6(x)= xzsh x.

Question 22 : L'ensemble E
A) est un anneau
B) est un sous--espace vectoriel de F
C) n'est pas un sous--espace vectoriel de F
D) groupe pour la loi de multiplication des fonctions

Question 23 : On pose j(x)== (À1+7t2 x+À3 x2) ch 3: + (...+... x+u3 x2) ex
A) la fonction f(x) e"x tend vers 0 lorsque x tend vers +oc quelque soit les 
réels

7\'1_97\2:17\'3 9H1>H2a!l3

B) la fonction f(x) e"x tend vers 0 lorsque x tend vers '+oç si et seulement si
7t1+ M1 OEÀ2+ ll2 «"---7\.3+ M3 =()

C) la fonction f(x) ex tend vers 0 lorsque x tend vers --oc quelque soit les 
réels

Â1,7ï2,7&3 ,u1,H2,H3
D) la fonction f(x) ex tend vers 0 lorsque x tend vers +oc si et seulement si

7&1 "HI =M "M2 "'--""M "#3 30

Question 24 : La famille des six fonctions f1, f2, fg, f4, f5, f6
A) est une famille génératrice et liée de E
B) est libre mais n'est pas une base de E

C) est une base de E
D) n'est ni libre ni génératrice dans E

Question 25: On note D l'application de F dans F qui à une fonction f associe 
sa dérivée f '
A) D est une application linéaire de E dans F mais n'est pas un endomorphisme
de E
B) D n'est pas un endomorphisme de F
C) D est un endomorphisme de E
D) D n'est pas une application linéaire

Question 26 : La matrice de D dans une base de E constituée à l'aide des 
fonctions fl, fig, f3,
f4,fs,fs est

A) une matrice carrée d'ordre 5

B) une matrice carrée d'ordre 6 symétrique réelle

C) une matrice carrée d'ordre 6 antisymétrîque réelle

D) une matrice à 5 lignes et 6 colonnes

Question 27: L'application D
A) réalise une bijection de E sur lui- -même
B) ne réalise pas une bijection de E sur lui-même car elle n'est pas injective
C) ne réalise pas une bijection de F sur lui-- -méme car D(f+k)=D(/) avec k est 
une
fonction constante donnée
D) réalise une bij ection de F sur lui--même

Question 28 : On note id l'application identique de F dans lui--même.
A) l'image de E par l'application (D2-- id) est l'espace vectoriel de dimension 
4
engendré par la famille (fi, f2, fg,, f4) _
B) l'image de E par l'application (D2-- id) est un espace vectoriel de 
dimension 3
C) l'image de E par l'application (DZ--« id)2 est un espace vectoriel de 
dimension 3
D) l'image de E par l'application (D2-- id)'°, pour p entier supérieur ou égal 
à 3 est
l'espace réduit au vecteur nul

Question 29 : Le noyau de l'application (D2-- id)
A) est réduit à l'application nulle car (Dz--« id) est une application linéaire 
inj ective
B) est l'espace des solutions de l'équation différentielle f "---f=0
C) est l'espace des solutions de l'équation différentielle (f ')2 ----f=0
D) est l'espace de dimension 2 engendré par la famille (f1,f2)

Question 30 : Le noyau de l'application (DZ---- id)2
A) est réduit à l'application nulle car (D2-- id) est une application linéaire 
injective
B) est l'espace des solutions de l'équation différentielle } "------F0
C) est l'espace de dimension 2 des solutions de l'équation différentielle)" 
"--------F 7\. ch
x + u sh 3: où 7L et u sont des constantes réelles
D) est l'espace de dimension 4 engendré par la famille (f1,f2, f3, f4)

Question 31 : Le noyau de l'application (l)2-- id)3
A) est l'espace des solutions de l'équation différentielle f "-------# 0
B) est l'espace de dimension 2 des solutions de l'équation différentielle

f"--------f---- M ch x + 111 sh x+ 7t2 xch x+ ... xsh x où M, X2, ..., 112 sont 
des
constantes réelles

C) est l'espace de dimension 4 engendré par la famille (fl, f2, fo,, 12)
D) est réduit à l'application nulle car {D2-- id) est une application linéaire 
injective

Question 32 : L'ensemble des solutions de l'équation différentielle linéaire
y") --3 y") +3 y "------y = 0
A) est égal à Ker((D2---- id)')
B) est égal à Ker((DZ---- id)")
C) est l'espace vectoriel, de dimension 6, E
D) est égal à Im((D3-- idf)

PARTIE V

Soit 11 un entier positif ou nul, on note E,, l'espace vectoriel des polynômes 
à une indéterminée
X à coefficients réels de degré au plus égal à n.

Il existe, pour tout n entier naturel, un et un seul polynôme P,, appartenant à 
E,, qui vérifie

cos(nx) z P,,(cos x) pour tout x réel

Question 33 : On a pour tout n entier strictement positif
A) Pn+1 + Pn-I : X Pn

B) P... ... P..., n 2X P,,

C) P,, a Z (...1)P( " ) X"? (1---- X2)P

052p$n p

D) P,,m Z (") X"'2p (X2--1)P

0_<_2p_<_n 2p

Question 34 : Ces polynômes vérifient pour tout n, P',, désignant le polynôme 
dérivé de P,,,

A) P,,(O) : l et P,, est pair sin est pair

B) P,,(--l) : 0 et P,, est impair si n est impair
C) P2,,(O) : (--1)" et P'g...(0) === (----1)"(2n + 1)
D) P,,(----l) m (----1)"' et P',,(----l) : 0

Question 35 : Pour n>0, lorsque x tend vers +oc, la fonction polynôme P,,(x) 
est équivalente à

A) 2"x"

B) 2n--Ixn
C) (n--1)!x"
D) 11! x"

Question 36 : Les polynômes P3 et P4 sont

A) Pgæ4X3--3X et P4 =8X4+8X2+1
B) P3==4X3+3X et P4 =8X4--8X2+1
(:) P3z3X3--4X et P4 = 12X4+8X2+1
D) P3m6X3--4X et P4 = 12X4--8X2+1

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



ENAC Maths toutes filières 2007 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Paul Pichaureau (Professeur en CPGE) ; il a été relu 
par
Jean Starynkévitch (Professeur en CPGE) et Sophie Rainero (Professeur en CPGE).

Il est habituel que les sujets de l'ENAC abordent de nombreux points du 
programme de PCSI. Tout comme l'année précédente, ce sujet privilégie les 
questions
portant sur les nombres complexes, les équations différentielles et le calcul 
intégral.
Cette année toutefois, une partie importante des questions est consacrée à 
l'algèbre
linéaire.
· La partie I (questions 1 à 4) porte sur les nombres complexes et les systèmes
d'équations linéaires. Elle utilise les propriétés de la racine cubique de 
l'unité
j = e 2i/3 .
· La partie II (questions 5 à 9) traite de deux suites définies à partir 
d'intégrales.
Plusieurs thèmes classiques sont abordés : majoration, limite, équivalents de
suites.
· La partie III (questions 10 à 21) est la plus technique du sujet. Deux 
fonctions 1 et 2 d'une variable réelle t, et dépendantes d'un paramètre réel x,
sont définies puis étudiées. À partir des intégrales par rapport à t de ces deux
fonctions, on pose deux nouvelles fonctions dépendantes de x, qui sont ensuite
examinées. Les sujets balayés sont nombreux : calculs d'intégrales, changements
de variables, calcul d'équivalents et de dérivées, etc.
· La partie IV (questions 22 à 32) concerne l'algèbre linéaire. On étudie un 
sousespace vectoriel de l'espace vectoriel des fonctions réelles indéfiniment 
dérivables
sur R. En introduisant l'endomorphisme de dérivation, on en vient à aborder
différentes questions sur les équations différentielles réelles. On utilise pour
cela des matrices d'endomorphismes. Bien que classique, cette partie exige une
excellente compréhension du cours d'algèbre linéaire de Sup.
· Enfin, la partie V (questions 33 à 36) porte sur les polynômes de Tchebychev.
Plusieurs types de calculs sur les polynômes sont effectués. Les questions de
cette partie, sans être difficiles, sont assez calculatoires.
Les sujets de l'ENAC sont des épreuves exigeantes, qui nécessitent beaucoup de
soin et de concentration. Elles privilégient les aspects calculatoires et 
techniques.
Il convient de s'entraîner spécifiquement à ces difficultés.
Le candidat n'est tenu de répondre qu'à 24 questions sur 36. Cela permet de
sauter les questions qui, à la première lecture, semblent exiger du temps. 
Toutefois,
les questions sont très liées les unes aux autres ; on ne peut pas réussir 
cette épreuve
sans entrer dans le détail de nombreuses questions dont le résultat est utilisé 
plus tard.
La technique du QCM est assez particulière. Beaucoup de réponses pourraient
sembler justes... si on les lit trop rapidement ! En général, il est 
indispensable d'examiner toutes les réponses à une question avant de pouvoir 
valider les bonnes.

Indications
1 Réponses C et D : mettre j sous forme cartésienne.
2 Grâce à un des résultats de la question 1, les réponses proposées s'écrivent 
plus
simplement.
3 Déterminer x et y à l'aide de la question 2.
4 En cherchant un contre-exemple, écarter les réponses A, B et C.
5 Intégrer par parties.
6 Intégrer par parties.
7 En prenant des valeurs judicieuses de a et de n, écarter les réponses A, C et 
D.
9 Examiner les justifications de chacune des réponses.
13 Reconnaître la primitive de t 7 1/(1 + t2 ).

14 Étudier les bornes de l'intégrale avec le changement de variable t = (tan 
u)/x.
Remarquer ensuite que

1
1
1
1
=
+
1 - (1 - x2 )v 2
2 1 - (1 - x2 )1/2 v
1 + (1 - x2 )1/2 v
16 Pour calculer f (x) + f (1/x), utiliser le changement de variable v = /2 - u.
17 Dresser le tableau de variation de h.

18 Se servir de la fonction h de la question précédente pour comparer K et f .
19 Utiliser une des réponses de la question 16.

1
1
1
Q
20 Calculer
- + 2 , intégrer et en déduire la valeur g  (x) en passant
k P+Q P P
à la limite quand k tends vers 0.
22 Trouver une famille génératrice de E. Prouver que E n'est pas stable par la 
multiplication de fonctions (par exemple en étudiant f6 2 ).
23 Étudier les limites, lorsque x tend vers +, de f (x)e -x et de f (x)e x dans 
plusieurs cas particuliers.
24 Établir la liberté de la famille (f1 , f2 , f3 , f4 , f5 , f6 ), en 
examinant les équivalents
en + et - d'une combinaison linéaire de ces fonctions.
25 Prouver que E est stable par f en calculant l'image des vecteurs de la 
famille
(f1 , f2 , f3 , f4 , f5 , f6 ) par D.
27 Utiliser la matrice de D.
28 Calculer la matrice de D2 - id .

30 Se ramener à une équation différentielle du second ordre, puis la résoudre.
31 Examiner la dimension de Ker (D - id )3 .

32 Utiliser la même méthode qu'à la question 30.
33 Calculer Pn (1) et comparer cette valeur à celle que fournissent les réponses
A et B. Pour les réponses C et D, se servir de la formule de Moivre.
34 Dériver la relation définissant Pn pour trouver Pn (-1).
35 Déterminer le monôme de plus haut degré de Pn .
36 Calculer P3 et P4 à partir de la réponse à la question 33.

Partie I
1 Trouvons d'abord par le calcul j 2 = e 4i/3 et j 3 = e 6i/3 = e 2i = 1. Ainsi 
la
réponse A est fausse et la réponse B est correcte.
Ensuite, mettons les nombres complexes j et j 2 sous forme cartésienne

1
3
3
1
2
j =- +i
j =- -i
2
2
2
2
Par le calcul, on obtient alors
1 + j + j2 = 1 +
1 - j - j2 = 1 -

 !
3
1
- +i
+
2
2
 !
1
3
- +i
-
2
2

 !
1
3
- -i
=0
2
2
 !
1
3
- -i
=2
2
2

La réponse C est correcte, mais pas la réponse D.
A

B

C

D

E

Rappelons que j est une racine cubique de l'unité, c'est-à-dire une solution de 
l'équation X3 - 1 = 0 (on retrouve la réponse B). Or, cette équation
se factorise simplement en (X - 1)(X2 + X + 1) = 0. Comme j 6= 1, j est
racine de X2 + X + 1, ce qui est une autre façon de trouver la réponse C.
On peut aussi utiliser la formule donnant la somme des termes d'une
suite géométrique
1 + j + j2 =

1 - j3
=0
1-j

avec j 6= 1 et j 3 = 1.

2 Comme on a remarqué à la question précédente que 1 + j + j 2 = 0, ces 
équations
se simplifient : il suffit de savoir combien valent 3y et 3x.
En additionnant les trois équations du système (E), il vient
3x + (1 + j + j 2 )y + (1 + j 2 + j)z = 3x = a + b + c
si bien que la réponse D est fausse.
Multiplions ensuite la seconde équation par j 2 et la troisième par j, puis 
faisons
la somme pour trouver
(1 + j + j 2 )x + (1 + j 3 + j 3 )y + (1 + j 4 + j 2 )z = 3y + (1 + j + j 2 )z 
= 3y = a + j 2 b + jc
ce qui nous indique que la réponse A est juste. Sans informations 
supplémentaires
sur a, b et c, les autres réponses sont fausses.
A

B

C

D

E

3 D'après le calcul de la question précédente, on sait tout de suite que
1
1
(a + b + c)
y = (a + j 2 b + jc)
3
3
En utilisant la première équation, on a ensuite
1
1
1
1
z = a - x - y = a - (1 + j 2 )b - (1 + j)c = (a + jb + j 2 c)
3
3
3
3
2
où on s'est servi de l'égalité 1 + j + j = 0, qui donne 1 + j 2 = -j et 1 + j = 
-j 2 .
On voit que le système possède une unique solution, les réponses A et B sont 
donc
fausses. La réponse D est fausse également, puisque la valeur de y ne convient 
pas.
Seule la réponse C est juste.
x=

A

B

C

D

E

On peut aussi calculer le déterminant du système (E), avec la règle de Sarrus
1 1
1 j
1 j2

1

j 2 = j 2 + j 2 + j 2 - j - j 4 - j = 3j 2 - 3j = -3 3i
j

Comme ce déterminant est non nul, le système (E) possède une unique solution. 
En trouvant y d'après la question 2, on voit alors que seule la réponse C
est juste.
4 Avec les trois réels a = 0, b = 1 et c = 0, on trouve comme solution x = 1/3,
y = j 2 /3 et z = j/3. Ces solutions ne sont pas réelles alors que a, b et c le 
sont ;
la réponse A est fausse.
Avec les complexes non réels a = b = c = i, il vient x = i, qui n'est pas réel. 
Ainsi,
la réponse B est également fausse.
Avec a réel et b = c = 0, on obtient x = y = z = a/3, qui est bien une solution
réelle du système (E). Toutefois cette condition n'est pas nécessaire. En 
effet, avec
a = b = c = 1, on trouve x = 1 et y = z = 0 qui est une solution réelle. La 
réponse C
n'est donc pas correcte.
Comme j 2 et -j ne sont pas complexes conjugués, la réponse D est également
fausse, puisqu'elle donne une justification fausse.
A

B

C

D

E

Notons toutefois que la réponse D donne la bonne condition nécessaire et
suffisante. En effet, si a est réel et b et c sont complexes conjugués alors
 1

1
y=
a + b j2 + c j =
a + cj + bj 2 = y
3
3
ce qui prouve que y est réel. Par un calcul similaire, on trouve également z
réel. Réciproquement, si x, y et z sont réels, alors a est réel comme somme
de trois réels. De plus

b = x + j y + j 2 z = x + j 2 y + jz = c
donc b et c sont complexes conjugués.
Moralité : il faut faire bien attention à écarter les réponses qui donnent
une justification fausse. C'est par ailleurs un bon moyen de gagner du temps.