ENAC Maths toutes filières 2005

Thème de l'épreuve Étude d'une suite récurrente un+1=f(un). Exercices divers de calcul matriciel. Propriétés des solutions d'une famille d'équations différentielles.
Principaux outils utilisés suites récurrentes, équations différentielles, calcul matriciel, étude de fonctions

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


ECOLE NATIONALE DE L'AVIAI'ION CIVILE ANNEE 2005

CONCOURS DE RECRUTEMENT D'ELEVES
PILOTE DE LIGNE

{___--m...__ .
_EPREÛVÈ DE MATHEMATIQUES __ 1

----

Durée : 2 Heures
Coefficient : 1

Le sujet comprend :
0 1 page de garde,
. 2 pages (recto--verso) d'instructions pour remplir le QCM,
. 1 page de consignes
. 7 pages de texte, numérotées de 1 à 7.

CALCULATRICE AUTORISEE

ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

A LIRE TRÈS ATTENTIVEMENT

L'épreuve de mathématiques de ce concours est un questionnaire à choix multiple 
qui sera corrigé automati--
quement par une machine à lecture optique.

ATTENTION, IL NE vous EST DÉLIVRÊ QU'UN SEUL QCM

1) Vous devez coller dans la partie droite prévue à cet effet, l'étiquette 
correspondant à l'épreuve que
vous passez, c'est--à--dire épreuve de mathématiques (voir modèle ci--dessous).

POSITIONNEMENT DES ETIQUETTES

Pour permettre la" lecture optique de l'étiquette, le trait vertical 
matérialisant l'axe de lecture du code à barres
(en haut à droite de votre QCM) doit traverser la totalité des barres de ce 
code.

EXEMPLES :
BON MAUVAIS MAUVAIS

X
xä
XX
XX
XX
XX
ää'<
XX
X
X
X
X

53£95ÜEZLD

l/f"' ' "'fW

l.l.l

< . ::
2) Pour remplir ce QCM, vous devez utiliser un STYLO BILLE ou une POINTE FEUTRE 
de couleur
,. NOIRE.

AXE

3) Utilisez le sujet comme brouillon et ne retranscflvez vos réponses qu'après 
vous être relu soigneuse--
ment. v * .

4) Votre QCM ne doit pas être souiIlé, froissé, plié, écorné ou porter des 
inscriptions superflues, sous
peine d'être rejeté parla machine et de ne pas être corrigé.

5) Cette épreuve comporte 30 questions, certaines, de numéros consécutifs, sont 
liées. La liste des ques--

tions liées est donnée au début du texte du sujet.
Chaque candidat devra choisir au plus 20 questions parmi les 30 proposées.

Il est inutile de répondre à plus de 20 questions : la machine à lecture 
optique lira les réponses en
séquence en partant de la ligne 1, et s'arrêtera de lire lorsqu'elle aura 
détecté des réponses à 20 ques-

tions, quelle que soit la valeur de ces réponses.

Chaque question comporte au plus deux réponses exactes.

6) A chaque question numérotée entre 1 et 30, correspond sur la 
feuille--réponses une ligne de cases qui
porte le même numéro (les lignes de 31 à 100 sont neutralisées). Chaque ligne 
comporte 5 cases A, B,

C, D, E.
Pour chaque ligne numérotée de 1 à 30, vous vous trouvez en face de 4 
possibilités :

> soit vous décidez de ne pas traiter cette question,
la ligne correspondante doit rester vierge.

> soit vous jugez que la question comporte une seule bonne réponse,
vous devez noircir l'une des cases A, B, C, D.

> soit vous jugez que la question comporte deux réponses exactes,
vous devez noircir deux des cases A, B, C, D et deux seulement.

> soit vous jugez qu'aucune des réponses proposées A, B, C, D n'est bonne,
vous devez alors noircir la case E.

En cas de réponse fausse, aucune pénalité ne sera appliquée.

7) EXEMPLES DE REPONSES

Question 1 : 12 +22 vaut:
A)3 B)5 C)4 D)-1

Question 2 : le produit (--1) (--3) vaut:
A) -3 B) -1 C)4 D)0

Question 3 : Une racine de l'équation x2 ----1 = 0 est:
A)1 B)0 C)-1 D)2

Vous marquerez sur la feuille réponse :

=: _ I:: :: ::
A B C D E
1 E:] :: E::l :: ::
c:: :: :: :: --
A B C D E
2 !: :: t:! :: c=1
_ :: _ :: c::
A B C D E
3 == :: c:: :=: :=:

QUESTIONS LOEES

1 à 13
14à 17
18à26
27à30

PARTIE 1

On désigne par a, un réel strictement positif et par fa la fonction définie sur 
[O, +o<:[ par:
fi, (x)= a e"x
On considère la suite (un)" , N , N désignant l'ensemble des entiers naturels, 
définie par :
un 3 [O, +oc[ et V n 3 N u,,+1= fi,(u,,)
On suppose qu'il existe un et un seul x 3 [O, +oc[ qui vérifie l'équation x 
=fi, (x), on note la
cette solution.

l. Le réel la vérifie :
a) v a ; ]O,+oe[ 1, / (1-1, +(1,2/2))<' a < 1,/(1--la)
b) Va3 ]O,+oc[ !,  k

d) la 51 ou bien uo= la

3. Soitx,ydeuxréelsvéfifiant O.<.x}, soit monotone et V n > k, 
u,, 3 [O,a]

d) VnaN lun+1--lal_<_ a"+1

On note Fa la fonction composée fi, of}, lorsqu'elle est définie.

5. La fonction g qui au couple (x , y) de réels associe le réel y e"Jr

a) n'est définie que sur [O,+c>c[2

b) est définie et continue sur [R2

c) a pzour dérivée partielle, par rapport à x, D1g(x , y) = e"Jr -- y e"" en 
tout point (x , y) de
[R

d) est de classe C1 sur IR2 car les fonctions dérivées partielles D1g et ng, 
par rapport à x et
y rg:spectivement, définies par D1g(x , y) = -- y e :'et ng(x , y)= e J'sont 
continues sur
IR

6. La fonction Fa
a) est définie sur [R pour tout a > 0, puisque la fonction g est définie sur IR2

b) est définie sur IR* pour tout a < 1
c) n'est définie et continue que sur [a, +oc[ , pour tout a > 0
(1) n'est définie que pour a < 1

7. La fonction F,, est

a) croissante pour tout a > 0
b) décroissante pour tout a > 0

c) défivable sur [O,+oc[ et on a F,; (x) = - ( f, (x))2 v (x , a) 3 [0,+oe[2
d) défivable sur ]O,+oc[ et on a Fa' ( la) = la2 pour tout a > 0

8. Pour tout a > 0, on a pour tout x 3 [O,a]:
a) a ..<. x + fi,(x)
b) 1+ln(a).<. x+ fi,(x)
c) Fa' (x) ..<. a/e
d) F,,' (x) .<. a2 e"'

9. Pour tout a appartenant à l'intervalle [l ,e[ et pour tout un 3 [O, +oc[, on 
a:
a) V n 3 N | un -- ! |< | uo| (a2 e "')" terme général d'une suite qui converge 
vers 0

b) | un +1 -- u;...| < (ale)" | u1--uo| terme général d'une suite convergeant 
vers 0, donc la

suite (un) est convergente
e) V n 3 N | u2n +1 --la | < | u;-- --la | (a/e)" terme général d'une suite 
convergeant vers 0

d) La suite extraite (u;,,) est croissante et majorée, donc convergente

10. On suppose dans la suite de cette partie 1 que a = e. On a alors :
a) Vx3 [O,+OE[xSFAx)et Fa(l)=Fa'(l)=l
b) Vx 3 [O,+oc[ Fa (x) S x et Fa' (x) _<_ 1
c) Vx 3 [0,1[ U ]1,+oc[ (Fa (x) ----x) (x -- l) > 0
d) Vx 3 [0,1[U]1,+OE[ (Fa (x) --x) (x-- 1) <0

11. On considère la suite (v..) définie par : , .
vo=uo et VnaN v,,+1 = Fa(vn)
La suite (v") est
a) croissante et ne tend vers 1 que si uo .<. 1
b) monotone et converge vers 1 pour tout un
c) décroissante et ne tend pas vers 1 si uo < 1
d) décroissante pour n > 1, et converge vers l pour tout uo

12. La suite (un)
a) ne tend vers 1 que si uo $ 1
b) est décroissante et ne tend pas vers 1 si uo < 1

c) est Croissante et ne tend pas vers 1 si uo < 1
d) converge vers 1 pour tout uo '

13. On considère la suite (w.),,..., définie par ; v n 5 N w,, =(1/(un--l)) + 
(1/(u... -1)).
Cette suite (w,,), a pour limite lorsque n tend vers +oc, si elle existe :

a) 1

b) --1

c) +oc

d) ' ---oc

PARTIE II

On désigne par mun réel tel que 0 < a; S 5 et par S(æ) l'ensemble des fonctions 
y de classe
C2 sur [O,+oe[ à valeurs complexes vérifiant :

Y(O) =Y(2fi) et V x 3 [O,+OE[ y"(x) + 6 y'(x) + (9 +Û)2) y(x) : eSix

14. On a :
a) Toutes les fonctions y de S(æ) tendent vers 0 lorsque x tend vers +oc (
b) Pour w= 4, il existe au moins une fonction y de S(4) qui n'est pas bomée sur 
[O,+oc[
c) Il existe une fonction Y de S(m) telle que pour tout y 3 S(w), la fonction 
y(x) -- Y(x)
tend vers 0 lorsque x tend vers +oe
d) Il existe au moins une fonction y de S(æ) qui eSt périodique

15. On note So(a)) l'ensemble des fonctions y de S(æ) telles que y(O) = O. 
L'ensemble So(w)
a) contient un élément et un seul pour tout a)
b) contient au moins deux éléments pour un nombre fini de valeurs de a)
c) est vide pour certaines valeurs de (0
d) contient un élément et un seul sauf pour un nombre fini de valeurs de w

16. On appelle Y l'élément de S(4) tel que 2 Y '(0) + 1 = 0. On note, pour tout 
x positif ou nul,
Y 1 (x) la partie réelle de Y(x). La fonction Y], ainsi définie, est telle que :

a) Vn3N Yl(mt)=0

b) v n 3 N Yl(mr /2) = Y.(0) 53"

c) Les points x,, = (2n+l)n /2, n 3 N* sont des extrêma de Y 1

d) Les points x" = ( 4n+1)1t /4. n 3 N sont des extrêma de Y1

17. On revient au cas général où ma ]0,5]. On constate que pour tout y 3 S(æ), 
la fonction
| y(x)| a une limite L(y) quand x tend vers +oc. On a alors

a) L(y) est une fonction, non constante, de y'(O) _

b) La fonction qui à x associe L(y) e5ix appartient à S(co)

c) L(y) < 1/6 pour tout y 3 S(æ) et tout wa ]0,5]

d) L(y) = l/| a?-- 16 +611 pour touty 3 S(w)

PARTIE III

18. Les racines cubiques de 1 sont
a) --l ; (l--zVî)/2 ;(--l--zVî)/2
b) 1 ; (l--zVî)/2 = z; et zz conjugué de zl
c) --1 ;(l+zVî)/2 ;(--1+NÎ)/2
d) 1 ; (1+Nî )/2 ; (--'--1--zVî)/2

On désigne par j une des racines cubiques non réelles de 1 et on pose

Z=1+j221/3+J-41/3

19. Les complexes y et z vérifient :
a) z=y2 et yz=21/3--1
b) z=y et yz=1--2ll3

c) |yl= '2IB-1et lzl=lfl=2"£1
d) |2| et |yl sont supérieurs à 1

20. Le nombre x", pour tout n entier strictement positif, peut s'écrire sous la 
forme
x" = a,, + b,, 2... + c,, 41/3 où (au), (b"), (en) sont des suites de réels 
telles que :
a) (a,,), (b"), (en) sont des suites d'entiers strictement positifs
b) au moins une des suites contient des nombres réels non rationnels
c) a... = a,, + 2b,,+ 26,,; bn+l = a,, + b,,+ 2"2 c,,; c... = a,, + b,,+ c,, V 
n 3 N'
(1) a,... = a" + 2b,,+ 20,,; b... = a,, + b,,+ 20,,; c... = 2a,, +26,,+ C" V n 
3 N*

en
(a"), (b"), (c,,) sont les suites définies dans la question III. 20, on a la 
relation matricielle
X... = A X,, avec

122
a)A=112"2
111
11
mA=21 1
2
122
c)A=112
111

2
d)A=ll
22

22. La matrice A, définie dans la question III. 21, est :
a) inversible car det A = 3

b) inversible car det A = --1
c) inversible car son déterminant est à valeurs non entières
d) non inversible car son déterminant est non nul

21. n
Pour tout n entier strictement positif, si l'on désigne par X.. la matrice 
unicolonne (bn) , Où _ _

.h--'NN

23. La matrice A, définie dans la question III. 21, est
a) symétrique car elle est inversible
b) de rang 3 donc symétrique _ '
c) de rang au moins égal à 2 car les deux premières colonnes sont indépendantes
d) de rang inférieur ou égal à 2 car A n'est pas inversible

24. Pour tout ?. réel le déterminant POL) de la matrice (A --M), où I désigne 
la matrice unité
dans l'ensemble des matrices carrées d'ordre 3 à coeflicients réels et A la 
matrice définie dans

la question III. 21, s'écrit :
a) PO.) = -28 +31' +371 --1
b) POL) = -23 +322 +(1+2"')}. +1--2"2
c) POL) = 46 +312 +72 +3
d) P(À) = --13 +32.2 +3}. +1

25. Le polynôme P, défini dans la question III. 24
a) admet trois racines réelles car tout polynôme de degré n à coefficients 
réels admet n » _

racines réelles

b) n'admet aucune racine réelle
. c) admet au moins une racine réelle car tout polynôme de degré impair à 
coefficients

réels admet au moins une racine réelle
d) admet une racine réelle et deux racines complexes conjuguées

26. Les racines M, Àp_, À3 du polynôme P, défini dans la question III. 24, 
vérifient, si l'on
note 81 : X] + Âz+ Â3; Sz= À]Âg + Â.1Â3 + Â2À3; S3= Â1Â.z Â3

a) 81:32 ;Sz=--3 ; S3=dCÎA=--l

b) sl=3 ; s2=-(1 +Vz') ; Sg=detA

c) Sl=3 ; Sz=--7 ; S3=3

d) Sl=3;Sz=3 ; S3=1

27. La fonction f
a) est dérivable sur [0,1[ puisque continue sur cet intervalle
b) est défivable sur ]0,1[
0) est défivable en 1/(2 I"""), pour p entier positif mais de dérivée 
discontinue en ces
points "
(1) n'est pas dérivable en l/(2"°""Ô, pour p entier positif

28. Soit j' la dérivée de la fonction f, si elle existe, on a
a) fest au signe de 2px"(l--x) + 2x" - 1 sur ]1/(2W),1/(2"Wb[
b) fest négative sur ]1/(2"P),1/(2IW>)[
c) fest décroissante sur [0,1[ car f est continue en l/(2Up), pour tout p 
entier strictement
positif
d) fest une bijection de [0,1[ dans IR+

29. La foncüon f venfie pour tout p entier strictement positif
&) p < f(x) < p+l v x 3 [1/(2"P),1/(2"W))[
b) p--1 < f(x) 

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



ENAC Maths toutes filières 2005 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Tristan Poullaouec (ENS Cachan) ; il a été relu par
David Lecomte (Université de Stanford) et Thomas Chomette (Professeur en CPGE).

Ce sujet est constitué de trente questions à choix multiple, réparties en quatre
parties indépendantes. Chaque candidat doit traiter au plus vingt questions.
Dans la première partie (questions 1 à 13), on étudie l'ensemble des suites 
réelles
(un )nN vérifiant u0 > 0 et la relation de récurrence
n  N

un+1 = fa (un )

pour

fa : R+ - R+
x 7- ae-x

où le réel a > 0 est fixé. On s'intéresse alors au comportement de ces suites 
et à celui
des suites extraites d'indices pairs et impairs (monotonie, convergence, 
recherche
d'équivalents) selon les valeurs de a > 0.
La deuxième partie (questions 14 à 17) traite d'une équation différentielle 
linéaire
du second ordre à coefficients constants (dépendant d'un paramètre) avec second
membre. On examine les solutions qui vérifient différentes conditions initiales.
Puis l'on passe dans la troisième partie (questions 18 à 26) à l'étude de trois
suites réelles vérifiant des relations de récurrence imbriquées, ce qui sert de 
prétexte
à l'étude d'une matrice carrée et de son polynôme caractéristique.
Enfin, la quatrième et dernière partie (questions 27 à 30) traite de diverses
propriétés d'une fonction f de classe C  par morceaux (définie explicitement).
Globalement, c'est un sujet assez délicat et, vu sa longueur et la complexité 
d'un
grand nombre de questions (plus particulièrement dans les première et troisième
parties), il s'avère très difficile d'en traiter correctement vingt questions 
dans le temps
imparti. En effet, chaque partie est en réalité un petit problème indépendant 
qu'il
faut traiter complètement pour être en mesure de répondre aux différentes 
questions
qui le constituent. Il y a peu de questions vraiment simples, et l'on ne peut 
la plupart
du temps les aborder sans connaître les résultats des questions précédentes... 
qui ne
sont malheureusement pas donnés dans le sujet. Cela complique grandement la 
tâche
du candidat, qui ne peut pas faire d'impasse au sein d'une partie.

Indications
PARTIE I
1 Pour trouver des contre-exemples, penser à utiliser la valeur a = e, pour 
laquelle
le réel la est aisé à calculer.
2 Appliquer le théorème des accroissements finis à la fonction fa entre deux 
points
bien choisis.
Utiliser la stricte convexité de fa .
3 Se servir de la valeur la .
4 Montrer que fa est lipschitzienne.
8 Prendre a = e et x = la .
9 On a montré dans la question précédente que Fa est lipschitzienne.
11 Fa est strictement croissante et admet la pour unique point fixe.
12 Reprendre les idées de la question 11 avec v0 = u1 .
13 Utiliser l'équivalent de un+1 - la établi question 2 ainsi qu'un 
développement
limité au premier ordre en 0 de l'exponentielle.

PARTIE II
Il suffit dans cette partie de résoudre l'équation différentielle étudiée avec 
les
diverses conditions initiales proposées.

PARTIE III
19 Exprimer plus simplement x, y et z sous forme d'inverses en faisant 
intervenir des
suites géométriques.
20 Déterminer des suites entières solution. Les réutiliser par la suite.
Utiliser aussi la relation xn+1 = x × xn .
21 Pour la matrice proposé en b, résoudre le système de récurrences associé.

PARTIE IV
27 Utiliser une famille de fonctions de classe C  sur ] 0 ; 1 [ dont les 
restrictions
définissent f sur différents intervalles.
29 Calculer f (2

-1
p

) pour p  N .

PARTIE I
Établissons en premier lieu quelques propriétés spécifiques à cette première 
partie.
1. La fonction fa est de classe C  sur R+ en tant que composée de fonctions
usuelles, et à valeurs strictement positives puisque a > 0.
2. On a fa  (x) = -fa (x) < 0 pour tout x  R+ : la fonction fa est strictement
décroissante, donc injective. C'est alors une bijection de R+ sur son image
fa (R+ ) = ] 0 ; a ].
3. De plus, fa  (x) = fa (x) > 0 pour tout x  R+ : la fonction fa est donc
strictement convexe sur R+ .
4. Le réel la , qui est l'unique point fixe de fa , vérifie la relation a = la 
ela > 0.
De ce fait, 0 < la = ae-la < a.
5. Si u0 6= la , il s'ensuit que un 6= la pour tout n  N. En effet, dans le cas
contraire, considérons E = n  N un = la . L'ensemble E étant une partie
non vide de N, il admet un plus petit élément n0 > 1. Comme n0 - 1 
/ E,
on a un0 -1 6= la et f (un0 -1 ) = un0 = la = f (la ), ce qui contredit 
l'injectivité
de fa . On obtient ainsi la propriété voulue en raisonnant par l'absurde.
6. De même, si u0 6= la , il vient un+1 6= un pour tout n  N : en effet un 6= 
la qui est
l'unique point fixe de f , donc un+1 = f (un ) 6= un .
Donnons maintenant un résultat général sur les suites réelles qui nous permettra
d'itérer sans scrupule des inégalités : si une suite réelle (vn )nN vérifie
 k > 0  n0  N

n > n0

vn+1 6 kvn

alors la propriété P(n) : vn 6 k n-n0 vn0 est vraie pour tout n > n0 . En effet 
:
· P(n0 ) est vraie puisque vn0 6 vn0 .
· P(n) = P(n + 1) : supposons la propriété P(n) vraie au rang n > n0 . Alors
vn+1 6 kvn 6 k × k n-n0 vn0 = k n+1-n0 vn0 c'est-à-dire que P(n + 1) est vraie.
· Conclusion : par récurrence, la propriété P(n) est vraie pour tout n > n0 .
En remplaçant (vn )nN par (-vn )nN , on obtient le même résultat avec les 
inégalités
contraires. Ceci nous permet de comparer (vn )nN à une suite géométrique.
Enfin, rappelons quelques résultats au programme de la classe de Mathématiques
Supérieures. Soient f une fonction continue sur un intervalle I et à valeurs 
dans I,
et (vn )nN  IN la suite définie par v0  I et la relation de récurrence
n  N

vn+1 = f (vn )

Si f est croissante, (f (vn+1 ) - f (vn )) (vn+1 - vn ) = (vn+2 - vn+1 ) (vn+1 
- vn ) > 0
pour tout n  N : on en déduit par une récurrence immédiate que le signe de vn+1 
-vn
est constant. Ainsi, la suite (vn )nN  IN est croissante si v1 > v0 et 
décroissante
si v1 > v0 . Si f est décroissante, F = f  f est croissante et l'on montre de 
même
que les suites extraites (v2n+1 )nN et (v2n+1 )nN sont monotones. Enfin, si (vn 
)nN
converge vers un réel l  I, on déduit de la continuité de f sur I que
lim vn+1 = l = lim f (vn ) = f (l)

n+

n+

si bien que f (l) = l : le réel l est ainsi un point fixe de la fonction f .

1 Pour a = e = 1 · e1 , on note que le = 1 si bien que la quantité le /(1 - le 
) n'est
pas définie, et que e > le + (le 2 /2) = 3/2 : les deux premières assertions 
sont fausses.
La fonction g : x 7- x ex vérifie g(la ) = a pour tout a > 0. Elle est de plus
strictement croissante sur R+ en tant que produit de fonctions strictement 
croissantes
et positives, donc sa réciproque a 7- la l'est également.
Enfin, on a a = la ela pour tout a > 0, d'où ln(a) = ln(la ) + la 6 2la - 1 
puisque
ln(x) 6 x - 1 pour tout x > 0. On en déduit par comparaison des limites que
et

lim la = +

a+

soit

la
A

ln(la )

x+

B

C

=

a+

o (la )

ln(a)
D

E

Noter que les valeurs particulières a = e et x = le = 1 vont nous servir à
plusieurs reprises de contre-exemples tout au long de cette partie. Il est bon
de les conserver à l'esprit.
2 Pour n  N , appliquons le théorème des accroissements finis à la fonction fa
entre un-1 et un : il existe un réel vn compris entre un-1 et un tel que
un+1 - un = fa (un ) - fa (un-1 ) = (un - un-1 ) fa  (vn ) = (un-1 - un ) fa 
(vn )
Ceci prouve déjà que
(un+1 - un )(un - un-1 ) = -fa (vn )|un - un-1 |2 6 0
Autrement dit, deux termes consécutifs de la suite (un+1 - un )nN sont
de signes opposés. Nous aurons besoin de ce résultat plus loin, au moment
d'étudier la validité de la proposition c.
La suite (vn )nN est encadrée par les suites (un )nN et (un+1 )nN qui convergent
toutes les deux vers la . Appliquons le théorème des gendarmes : vn tend vers la
quand n tend vers +, d'où
lim fa (vn ) = fa (la ) = la 6= 0
n

la fonction fa étant continue sur R+ . Par conséquent
un+1 - un

n+

la (un-1 - un )

Pour des raisons de signe, les quantités un+1 - un et la (un - un-1 ) ne sont 
pas
équivalentes lorsque u0 6= 0 et que n tend vers + : on a en effet un différent 
de un-1
pour tout n  N . De même on établit, en appliquant le théorème des 
accroissements
finis à la fonction fa entre un et la , que
un+1 - la

n+

la (la - un )

et

|un+1 - la |

n+

la |un - la |

Supposons la proposition d fausse ; on a donc la > 1 et u0 6= la . Dans 
l'introduction
de cette partie, nous avons montré que cette dernière condition implique 
qu'aucun
terme de la suite (un )nN n'est égal à la :
n  N

un - la 6= 0