ENAC Maths toutes filières 2004

Thème de l'épreuve Analyse classique et algèbre linéaire
Principaux outils utilisés fonctions, développements limités, suites, équivalents, polynômes, théorème de Cesàro

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


ECOLE NATIONALE DE L'AVIATION CIVILE ANNEE 2004

CONCOURS DE RECRUTEMENT D'ELEVES
PILOTE DE LIGNE

EPREUVE DE MATHEMATIQUES

Durée : 2 Heures
Coefficient: 1

Le sujet comprend :
O 1 page de garde,
0 2 pages (recto-verso) d'instructions pour remplir le QCM,
. 12 pages de texte, numérotées de 1 à 12.

CALCULATRICE AUTORISEE

EPREUVE DE MATHEMATIQUES

A LIRE TRÈS A TTENTIVEMENT

L'épreuve de mathématiques de ce concours est un questionnaire à choix multiple 
qui sera corrigé automati--
quement par une machine à lecture optique.

ATTENTION, IL NE VOUS EST OEUVRE QU'UN SEUL QCM

1) Vous devez coller dans la partie droite prévue 'a cet effet, l'étiquette 
correspondant à l'épreuve que
vous passez, c'est-à-dire épreuve de mathématiques (voir modèle ci-dessous).

POSITIONNEMENT nes Énouerres

Pour permettre la lecture optique de l'étiquette, le trait vertical 
matérialisant l'axe de lecture du code à barres
(en haut à droite de votre QCM) doit traverser la totalité des barres de ce 
code.

EXEMPLES :
BON MAUVAIS MAUVAIS

"'> '
"! !

%
XX
XX
XX
XX
XX
ää
XX
X
X
X
X

63L99?B3l0

Ill" ""W/

l.l.l
à'
2) Pour remplir ce QCM, vous devez utiliser un STYLO BILLE ou une POINTE FEUTRE 
de couleur

NOIRE.

3) Utilisez le sujet comme brouillon et ne retranscrivez vos réponses qu'après 
vous être relu soigneuse-
ment. '

4) Votre QCM ne doit pas être souillé, froissé, plié, écorné ou porter des 
inscriptions superflues, sous
peine d'être rejeté par la machine et de ne pas être corrigé.

5) Cette épreuve comporte 32 questions, certaines, de numéros consécutifs, sont 
liées. La liste des ques-
_ tions liées est donnée au début du texte du sujet.
Chaque candidat devra choisir au plus 25 questions parmi les 32 proposées.

il est inutile de répondre à plus de 25 questions : la machine à lecture 
optique lira les réponses en
séquence en partant de la ligne 1, et s'arrêtera de lire lorsqu'elle aura 
détecté des réponses à 25 ques-
tions, quelle que soit la valeur de ces réponses.

Chaque question comporte au plus deux réponses exactes.
6) A chaque question numérotée entre 1 et 32, correspond sur la 
feuille--réponses une ligne de cases qui
porte le même numéro (les lignes de 33 à 100 sont neutralisées). Chaque ligne 
comporte 5 cases A, B,
C, D, E.

Pour chaque ligne numérotée de 1 à 32, vous vous trouvez en face de 4 
possibilités :

> soit vous décidez de ne pas traiter cette question,
la ligne correspondante doit rester vierge.

> soit vous jugez que la question comporte une seule bonne réponse,
vous devez noircir l'une des cases A, B, C, D.

> soit vous jugez que la question comporte deux réponses exactes,
vous devez noircir deux des cases A, B, C, D et deux seulement.

> soit vous jugez qu'aucune des réponses proposées A, B, C, D n'est bonne,
vous devez alors noircir la case E.

En cas de réponse fausse, aucune pénalité ne sera appliquée.

7) EXEMPLES DE REPONSES

Question1 : 12 +22 vaut:
A)3J B)5 C)4 D)-1

Question 2 : le produit (-1) (-3) vaut :
A) -3 B) --1 C) 4 D) 0

Question 3 : Une racine de l'équation x2 --1 = 0 est :
A) 1 B) 0 C) -1 D) 2

Vous marquerez sur la feuille réponse :

IH [H] [H]
Url] Url] [H
[H l]°l] + M
[H] M M
M M IHI

Questions liées : 1 à 18 ; 19 5122 ; 23 à29 ; 30 5132

-PARTOEI-'

Pour n e N , on définit la fonction f ,, par:

f,,:Rî-->n
!!
x--> fn(x)= ?" si x$1
x --1
kn si x=1

où kn est un réel fixé et ln désigne la fonction logarithme népérien. On notera 
C,, la

courbe représentative de f " dans un repère lorthonormé. n désignera un entier 
naturel
dans cette partie. '

Question 1 :

Le développement limité dela fonction 1n(1 + x) à l'ordre 3 au voisinage de 0 
s'écrit ; &

désignant une fonction telle que 1imÛe(x) : 0
:: ->

x2 x3 3 x2 x3 3
a)l+x--Î+--3--+x S(X) b)x+--2--+--è--+x S(X)
x2 x3 3 x2 x3 3
c)x----2--+ä--!+x EUR(X) d)x---2--+î+x Ê(X)

Question 2 :

1
2+u

désignant toujours une fonction telle que limoe(u) : 0
u --->

à1'ordre 2 au voisinage de O s'écrit ; s

Le développement limité de la fonction

2 2
a)1-â+%+uä(u) b)%+ï+%--+uä(u)

2

u u '2 1 u 2
c) 4+--8--+ue(u) d)î--Z+ue(u)

Question 3 :

Le développement limité à l'ordre 2 dela fonction f 0 au voisinage de 1 est 
alors ; 80 étant
une fonctionvénfiant lim eo(x) : 0

x--->l
x--l 5 2 2
a)l----2----+î--2-(x--l) +(x--1)So(x)
l x---1 5 2 2
b ___--_ __ _ ..
)2 2 +12(x l) +(x 1)eo(x)
2
l 2x--1 10x --9x+3 2
c)â-- 4 +---------2--4------ +x 8.0(x)
1 x 5 2 '2
d)î--î +-1-êx +x ÊO(X)

Question 4 :

Pour tout entier n strictement positif on a :

a) fn(x) = fo(x)' Vxe Rî b) fn(x)'--= x"fà(x) ' Vxe RÏ_

et le développement limité à l'ordre 2 de la fonction x" au voisinage de 1 
s'écrit; EUR désignant

une fonction telle que lim e(x) : 0
x ---> 1

n(n-- 1) 2

c) l+nx+ 2 x +xze(x)

n(n--l)
2

d)1+n(x-l)+ (x--1)2+(x--1)23(x)

Question 5 :

Pour n e N , le développement limité à l'ordre 2 au voisinage de 1 de la 
fonction f ,, est alors ;

avec lim au(x) : 0
x-->l

3n2--9n+5

a) %--ïâÀ(x--1)+ (x--1)2+(x--1)28n(x)

12
2
b)1+"51(x--1)+ân--:Ï-Ê--Efl(x--1)2+(x--1)Zen(x)
2
1 n--1 3n +9n+5 2 2
C)2+ 2 (x--1)+------fi------(x--l) +(x--1) EURn(X)

2
1 n--1 3n --9n+5 2 2
d) 5+ 2 x+-------ñ----x +x 8n(X)

Question 6 :

*
Pour que, pour tout n e N , la fonction f ,, soit continue sur R+ il faut poser 
:

d)kn = --%

*
On suppose dorénavant que kn prend une valeur rendant f ,, continue sur R+ , 
pour n
entier naturel fixé.

Question 7 :

a) kn = 1 b) k,, : c)kn =

l
2

Nl3

Pour tout entier n , la fonction f "

a) n'est pas dérivable en 1

b) est dérivable en 1 car toute fonction continue en un point x0 est dérivable 
en x0

c) est dérivable en 1 puisque f " admet un développement limité d'ordre 1 en 1

, . , . , n -- 1 . _

d) est denvable en 1 et a pour denvee f,,( 1) = ----2--- , car toute fonction 
admettant un
développement limité d'ordre n en un point x0 a une dérivée d'ordre n en x0 , '
Vn E N*

Question 8 :

L'équation de la tangente à Cn au point de coordonnées (1, kn) s'écrit, pour 
tout n e N ,

y : hn(x) avec pour tout x E R

_1.
2

n--1 1 __n--
2 (x--1)+-- b)hn(x) -- 2

2 1(x--i)+

&) hn(x) : --

C) hn(X) : --Î-x----+l d) hn(x) : E--â--£x+â

Question 9 :

Pour tout n EUR N , la fonction fn - h,, est au voisinage de 1 du signe de Q(n) 
où Q est la fonc-
tion polynôme définie sur R par :

a) Q(x) = 3x2-9x+5 b) Q(x) = 3x2+9x+5

c) Q(x) = --3x2+9x--5 d) Q(x) = -15--2

Question 10 :

La fonction polynôme Q

a) n'admet pas de racines réelles

b) admet nécessairement des racines réelles puisqu'elle est à coéfficients réels

c) admet 2 racines réelles positives x1 :

d) admet 2 racines réelles négatives x1

||
(0
fi
&
N
Il

Question 11

Au voisinage du point d' abscisse 1,1a courbe C " reste :

a) pour tout n e N , au dessus de sa tangente car Q(n) > 0 Vn & N
b) pour tout n e N au-dessous de sa tangente car Q(n) < 0 Vn & N
c) pour tout entier n ?. 2 au dessus de sa tangente et au dessous pour n S 1

d) pour tout n e N -- { l, 2} au dessus de sa tangente et au-dessous pour n EUR 
{ 1, 2}

Question 12 :

Onapourtoutxe [R:-{1} :

2 2

_ _ 1
x 17 2x ânx b) fo(x) : 2
x(x" -- 1) 2x

3) &... =

et pour tout n & N

C) f'n(x) = xn--2(nlnx+ l)

d)f' ... = ...
n (x2 _1)2

Question 13 :

La fonction f " :

a) est prolongeable par continuité en 0 par 0 pour tout n e N car lim x"lnx = 0
x --> 0+

b) est prolongeable par continuité en 0 uniquement pour n entier strictement 
positif
c) n'est prolongeable par continuité en 0 pour aucune valeur de l'entier n

d) est prolongeable par continuité en 0 uniquement pour n 2 2

Question 14 : =

fn(X)--fn(0)

La fonction tn(x) : -----------;-------- , lorsqu'elle est définie, a pour 
limite à droite en O :
a) lim tn(x) : 0 Vn & N b) lim t1(x) : +oe
x _? Ü+ .: --> 0+

et la courbe C ,, admet

c) une demi-tangente horizontale en (0,0) Vn & N*

(1) une demi-tangente horizontale en (0,0) pour n .>. 2 et une demi-tangente 
verticale au
point d' abscisse 0 pour n 6 {O, 1}

_ *
On considère les fonctions %» (pl et % défimes sur R+ par :

1
cpo(x) = l-- --5 -- 21nx

):

x2-- 1

x+l

(p2(x) : x2 -- 1 --- 21nx

Question 15 :

La fonction (po

1

a) a pour dérivée la fonction (p'0(x) : --J--c Vx & R:
2( 2 1) *
b) a pour dérivée la fonction (p'o(x) : ----Ï--3:-- Vx & R+
x

c) atteint son maximum au point x = 1

d) atteint son minimum au point x = 1

Question 16 :

La fonction f a

* _
a) est décroissante sur [R+ mais n'est pas stnctement décrmssante

b) est strictement décroissante sur R: car f'o(x) : '%"3'Pa(x) < 0 Vx & Rî -- { 
l}
(x --- 1)
et f (1) = ---1-
° 2

*
c) est stnctement croissante sur R+

et la courbe C a admet

d) les droites x = 0 et y = 0 pour asymptotes car lim f a(x) = 0 et lim f o(x) 
: +oe
X -) 0 x ----) +oo

Question 17 :

Ona:
(2 1)2 =--
a) 'P'1(x) = ---%:----5Vxe R+ b) lim (pl(x)='_oe
x(x +1) "") +"
c) lim (p2(x)=+oe d)(p2(x)SO VxeRî
x---) +00 -

Question 18 :

La fonction f 1 prolongée à R: , si cela est possible,

a) est décroissante sur [O, 1] et croissante sur [l , +oo[

b) est positive sur R+ car croissante sur R+ et nulle en 0

et la droite ay est

c) direction asymptotique de la courbe C 2

d) asymptote àla courbe C1

a) est décroissante sur [O, 1] et croissante sur [1 , +eo[

b) est positive sur R+ car croissante sur R+ et nulle en 0

et la droite ay est

c) direction asymptotique de la courbe C2

d) asymptote à la courbe C1

- PARTIE II -

R3 est rapporté àla base canonique B : (el, e2, e3) avec el = (L 0, 0) ;
e2 = (O, 1, O) et e3 : (O, 0, l) . On considère f l'endomorphisme de R3 qui a 
tout triplet

(x, y, z) E R3 associe le triplet ((b + c)x+ (c -- a)y + (b --- a)z,

(c --b)x+ (a + c)y + (a --b)z, (b -c)x+ (a --c)y+ (a + b)z) où a, b, c sont des 
réels
distincts 2 à2.

Question 19 : .

La matrice A de f par rapport àla base B s'écrit :

(b+c) (c--b) (b--c) (b+c) (c--a)_(b--a)
a)A= (C--d) (a+c) (a--c) b)A= (c:--b) (a+c) (a--b)
(b--a) (a--b) (a+b) (b--c)_(a--c) (a+b)
(2b+2c--2a) 0 0
CM = o (2a+20--2b) o
0 0 (2a+2b-2c:)

(b--a) (c--a) (b+c)
d)A : (cz--b) (a+c) (c'--b)
(a+b) (cz--c) (IJ--C)

Question 20 :

Pour tout X réel lamatrice A --- M a pour déterminant A

1'(c--b) . (b--c)
a)A=(2c--k) O(a+b--M (a--b)
0 (a--b) (a+b-Â.)

O (a+b--À) (cz--b)
b)A=(2c--M 1(a+c--À) (a--c)
* 0 (a--b) (a+b--À.)

. _ 1 o o
c) A = (Za--M(2c-k) (c--b) (2b--k) (cz--b)
@ 0 1

d) A = k3 -- 7L2(2a + 2h + 2c) + À(4ab + 4ac + 4bc) -- 8abc
Question 21 :

La matrice A

-- , : , 3
a) est egale a sa transposee pour tout (a, b, c) EUR R
. . 3
b) est 1nver31ble pour tout (a, b, C) G R A

. . , . 3
c) n'est pas 1nver51ble car son deterrmnant est nul V(a, b, c) & R

d) est inver5ible si et seulement si a et b sont non nuls

Question 22 :

Le polynôme PO») = det(A -- M ) , pour (a, b, c) e R3

a) est de degré 2 _ b) admet 0 pour racine car detA = 0
c) est égal à (Za -- k)(2b - À)(26 -- A.) d) est égal à (>: -- 2a)(l - 2b)(k-- 
2c)

- PARTIE IH -

Soit (xn) E N une suite bomée de nombres réels.
77

On définit la s 't
m e (y")n 6 N par

"
VHEN yn : 1 Zxk
' k=0

n+1_

On désigne par inf x,, (ISSp. sup X") la borne inférieure (resp. supérieure) de 
l'ensemble
"ZP n2p

{xn/n 2p}

Question 23 :

La suite de terme général inf :: , n e N , est
p 2 n

a) convergente car décroissante et minorée

b) croissante et majorée mais divergente car elle n'est pas de signe constant
c) croissante, minorée et convergente "

d) convergente car toute suite bornée converge.

Question 24 :

La suite (inf yp)n E N est
p ?. n

a) décroissante et minorée car elle a les mêmes propriétés que la suite (inf 
xp)n E N

p 2 72
b) croissante et majorée donc convergente

c) divergente carla serre de terme general ; diverge

cl) minorée et convergente

Question 25 :
Les limites des suites (inf xp)" EUR N et (mf yp)n & N verrfient, 51 elles 
emstent

p2n ' pZn

a) lim (inf xp)S lim (inf yp)
n ---) +°° P 2 " I'l---> +oo p _>_ "

b) lim (inf xp) ?. lim (inf yp)
n ---> +°° p _>_ " n--> +°° p 2 n

et celles des suites (sup xp)" 6 N et (sup yp)ne.N

p2n pZn

c) 11m (sup yp) 2 hm (sup xp)
n--->+oe P2n n-->+oe P->--n

d) lim (inf--yp)2-- lim (sup yp).>.-- lim (sup xp)

n----)+°° pZn n--)+ao p2n n_---)+co P->.n
Question 26 :
On considère dans cette question le cas particulier où la suite (xn) & N est 
définie par :
- n

Vn & N xn : '(--1)". On a alors

1
n+l

0 si n est impair et yn = si n est pair

DJ
V
\<
3

||

1
n+l

Ü" '
\./
\<
3

|

sin est impair et y,, = 0 si n est pair

c) lim (inf xp) : 0 : lim (sup xp)

p?.n """" p.>.n

d) lim (infxp)< lim (infyp) : lim (sup yp)< lim ...--(sup xp)

n--->+oo pZfl n-->+oe pZn n-->+oe pZn _.n-->+oo pZn

Question 27 :
On peut avoir pour certaines suites bomées (x n)

l'IGN

&) (xn)n convergente et (inf xp)" E N divergente

EN p?.n

b) (xn) divergente et (inf xp)" E N convergente

ne_N p_>_n

et pour toute suite bornée (xn) N on a l'équivalence
n &

convergente] @ [(inf xp)" & N et (sup xp)" & N convergentes]
p2n pZn

e) [(xn)nE N

convergente] <=: [( inf xp)" E N et (sup xp)" E N sont cpnveîge}1ttees et]
p2n pZn ontmemeum

d) [Lvn)n E N

Soit A un nombre réel non nul, a un élément de l'intervalle ]l, + ao[ et (un)

de nombres réels strictement positifs convergeant vers 0 et vérifiant lim 9 = A 
où

1--a a

9 =un --un+1un VneN

Question 28 :
On & nécessairement

&) AO
et la suite (xn) définie par x" = u},ÇÎ--- u}f°' Vn & N

nelN

c) est convergente eta pour limite (1 -- on) A

. .. 1-oc _
d) est dwergente car Vn & N x" = [(1--9nuî£ 1) --l]ui a et
11111 ul--OE= + oo
n-->+oe
Question 29:
Soit x et les suites définies ar:
( ,,,)H E N (yn)n p

EURlN

n
1-a 1--a 1 ' .
Vne N x" -- un+1-- un et y" -- n+l kzoxk.Lasmte (y")ne N

&) a pour limite (OL -- l)A car (x ") converge vers (oc -- l)A

ne N
b) apour limite (1 --cc)A

et la suite (u ) est équivalente àla suite
" n 5 N

_.1_
'l--a
c)n

_L__'__
1-1-

d> [(.l--a)Al °'n °°

PARTIE IV

On considère la fonction réelle g définie sur l'intervalle [O, %]par

sint .
------51t=-'0

= 0 où 8 est un réel fixé.

Question 30 :

La fonction g est

a) dérivable sur [O, %]pour tout Zrée1

b) continue mais_non dérivable sur {O, %}dans le cas où &? =1

cost _
C) pour Ê=1, de classe 81 sur [ , %}et a pour dérivée g'(t) = , tz (t -tant) 
Sit # 0
O sit = 0

d) de classe 631 sur :J0, %} uniquement, pour tout! & IR

Question 31 :

La fonction g est, pour tout Eréel

a) croissante sur [O, %]

b) décroissante sur [O,

} car g'(t)SO sur [0, %]

mais n'est pas décroissante sur [O, %] pour 2 & IR -- {l} 031" g'

Nl=l N|â
. . v

c) décroissante sur :}0,

n'est pas définie en 0

F!

d) décroissante sur [O, -2--] 'quement pour 321

Question 32 :
On a alors, pour tout Zrée1

a)1Sg(t)£g(%)Vte]O,-ËJ b)-Ê£sü)sttfê}0»ä
_2_ ,, E 2 "
c)nsc(t)51Vte]O, 2] d);Sg(t)Sthê[oaî]

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



ENAC Mathématiques toutes filières 2004
Corrigé
Ce corrigé est proposé par Julien Lévy (ENS Ulm) ; il a été relu par Benoît
Chevalier (ENS Ulm) et Aurélien Alvarez (ENS Lyon).

Ce sujet est constitué de quatre parties totalement indépendantes, de 
difficultés et
de longueurs très inégales. Ces quatre parties couvrent une large partie du 
programme
de première année : développements limités, prolongement de fonctions, 
polynômes,
algèbre linéaire, étude de suites, dérivabilité : presque tout y est abordé.
· La première partie propose d'étudier la famille de fonctions
x 7-

xn ln x
x2 - 1

prolongées par continuité sur R+ , avec n entier positif. Les différences de 
comportement au voisinage de 1 selon la valeur de n sont mises en évidence grâce
à des développements limités. D'éventuels prolongements en 0 ainsi que les
comportements asymptotiques au voisinage de l'infini sont également abordés.
· La
ler
au
les

deuxième partie est la plus courte des quatre. Sous prétexte de faire calcule 
polynôme det (A - XI3 ), où A est une matrice carrée 3 × 3, elle permet
candidat de montrer qu'il a bien compris le cours sur les matrices et
polynômes.

· La troisième partie, peut-être la plus difficile, fait appliquer la méthode de
Cesàro à une suite de réels strictement positifs convergeant vers 0. La 
principale
difficulté réside dans la manipulation des notions de limite inférieure et de 
limite
supérieure.
· Enfin, la quatrième et dernière partie commence par une étude rapide de
la fonction t 7- sin t /t sur ] 0 ; /2 ], prolongée par continuité en 0, qui 
permet
ensuite d'en calculer un encadrement.
Grâce à la grande diversité des thèmes qu'elle aborde, cette épreuve constitue 
un
excellent sujet de révision en fin de première année, ou en tout début de 
seconde.
Mais c'est à condition, bien sûr, de rédiger les réponses et de ne pas se 
contenter
de cocher les (bonnes) cases.

Indications
Partie I
2 Se ramener à un développement limité de
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
16
18

1
au voisinage de 0.
1+x

Utiliser les questions 1 et 2.
Penser à la formule du binôme de Newton.
Utiliser les questions 3 et 4.
Quelle est la limite de fn en 1 ?
Utiliser la question 5.
Le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative d'une 
fonction
en un point est donné par la dérivée de la fonction en ce point.
Utiliser les questions 5 et 8.
Calculer le discriminant du trinôme 3X2 - 9X + 5.
Utiliser les questions 9 et 10.
Pour la dérivée de fn , on peut utiliser la question 4.
Étudier la limite de fn en 0 selon la valeur de n.
Utiliser les questions 12, 13 et 15.
Utiliser les questions 12 et 17.
Partie II

19 Attention à ne pas confondre la matrice A et sa transposée.
20 Un polynôme scindé est déterminé entièrement par son degré, ses racines
(avec leurs multiplicités) et son coefficient dominant.
21 Utiliser la question 20.
22 Utiliser là encore la question 20.
Partie III
23 Comparer Inf xp et Inf xp .
p>n

p>n+1

24 Montrer que la suite (yn )nN vérifie les mêmes hypothèses que la suite (xn 
)nN .
25 Que se passe-t-il pour Inf yp si, à partir d'un certain rang, Inf xp est 
minorée
p>n

p>n

par un réel a ?
Comparer Inf -yp et Sup yp .
p>n

p>n

27 Utiliser la question 23 et exploiter l'exemple de la question 26.
28 Étudier le signe de un - un+1 en fonction de celui de n .
Calculer un équivalent de xn .
29 Utiliser la question 25 puis calculer yn en fonction de un+1 .
Partie IV
30 Calculer un développement limité à l'ordre 1 de
32 Utiliser la question 31.

sin t
en 0.
t

Partie I
1 Il s'agit d'un résultat du cours. Pour tout x au voisinage de 0, on a
ln(1 + x) = x -

A

B

x2
x3
+
+ x3 (x)
2
3

C

D

E

Si d'aventure vous aviez oublié vos formules sous le coup du stress, vous
pourriez recalculer ce développement limité en utilisant la formule de Taylor :
f  (0)
f (2) (0) 2 f (3) (0) 3
x+
x +
x + x3 (x)
1!
2!
3!
Ensuite, il ne reste qu'à calculer des dérivées.
f (x) = f (0) +

2 Pour tout x au voisinage de zéro on a, d'une part,
1
= 1 - x + x2 + x2 (x)
1+x
1
1
1
= ×
2+x
2 1+ x
2
En combinant les deux équations, on obtient pour tout u au voisinage de 0 :

et d'autre part,

1
1 u u2
= - +
+ u2 (u)
2+u
2 4
8
Il n'y a donc pas de bonne réponse.
A

B

C

D

E

3 Il faut se ramener aux questions précédentes. Comme on doit étudier la 
fonction
f0 au voisinage de 1, on pose pour simplifier g() = f0 ( + 1) lorsque  est 
proche
de 0 et on étudie g au voisinage de 0.
On a alors, pour tout  au voisinage de 0,
1
1
1
= 2
=
( + 1)2 - 1
 +
( + 2)
soit

g() =

ln(1 + )
ln(1 + )
=
( + 1)2 - 1
( + 2)

Ainsi, en utilisant les développements limités obtenus aux questions 1 et 2, on 
calcule
pour tout  au voisinage de 0 :
  1  2

1 
2
3
g() = ×  -
+
+ 3 () ×
- +
+ 2 ()

2
3
2
4
8

1 
1 1 1 2
= - +
+ +
 + 2 ()
2
2
6 8 8
1 
5
g() = - + 2 + 2 ()
2
2
12

Pour obtenir un développement limité à l'ordre 2 de g, on a dû utiliser, comme
c'est souvent le cas, un développement limité d'ordre supérieur. La raison en
est ici la présence du facteur 1/.
On trouve donc pour tout x au voisinage de 1 :
f0 (x) =

A

1 x-1
5
-
+ (x - 1)2 + (x - 1)2 0 (x)
2
2
12
B

C

D

E

4 Soit n un entier strictement positif. On vérifie, pour tout x dans R+ r {1}, 
que
fn (x) = xn ×
c'est-à-dire

ln(x)
x2 - 1

fn (x) = xn × f0 (x)

Soit x au voisinage de 0. En utilisant la formule du binôme de Newton, on a
n
P
xn = (1 + (x - 1))n =
Ckn (x - 1)k
k=0

soit

xn = 1 + n(x - 1) +
A

B

n(n - 1)
(x - 1)2 + (x - 1)2 (x)
2
C

D

E

Attention : la réponse B est fausse car pour x = 1, on n'a pas a priori kn =
fn (1) = 1n × f0 (1) = k0 .
5 Il suffit de multiplier les développements limités de x 7- xn et de f0 . Pour 
tout x
au voisinage de 0, on trouve
fn (x) = xn × f0 (x)

n(n - 1)
= 1 + n(x - 1) +
(x - 1)2 + (x - 1)2 (x)
2
1 x - 1

5
-
+ (x - 1)2 + (x - 1)2 0 (x)
×
2
2
12
1 x-1
5
= -
+ (x - 1)2 + (x - 1)2 n (x)
2
2
12
1
(x - 1)2
+ n(x - 1) - n
+ (x - 1)2 n (x)
2
2
n(n - 1)
+
(x - 1)2 + (x - 1)2 n (x)
4
soit

fn (x) =

1 n-1
3n2 - 9n + 5
+
(x - 1) +
(x - 1)2 + (x - 1)2 n (x)
2
2
12
A

B

C

D

E