ENAC Maths toutes filières 2003

Thème de l'épreuve Endomorphismes de l'espace des fonctions continues, polynômes et fractions rationnelles, continuité
Principaux outils utilisés représentation matricielle, division euclidienne, décomposition en éléments simples, prolongements, développements limités

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Rapport du jury

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ECOLE NATIONALE DE L'AVIATION CIVILE ANNEE 2003

CONCOURS DE RECRUTEMENT D'ELEVES
PILOTE DE LIGNE

EPREUVE DE MATHEMATIQUES

Durée : 2 Heures
Coefficient: 1

Le sujet comprend :
O 1 page de garde,
. 2 pages (recto-verso) d'instructions pour remplir le QCM,
. 7 pages de texte, numérotées de 1 à 7.

CALCULATRICE AUTORISEE

ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

A LIRE TRÈS ATTENTIVEMENT

L'épreuve de mathématiques de ce concours est un questionnaire à choix multiple 
qui sera corrigé automati-
quement par une machine à lecture optique.

ATTENTION, IL NE VOUS EST DELIVRÉ QU'UN SEUL QCM

1) Vous devez coller dans la partie droite prévue à cet effet, l'étiquette 
correspondant à l'épreuve que
vous passez, c'est--à-dire épreuve de mathématiques (voir modèle ci--dessous).

POSITIONNEMENT ces ÉTlQUETTES

Pour permettre la lecture optique de l'étiquette, le trait vertical 
matérialisant l'axe de lecture du code à barres
(en haut à droite de votre QCM) doit traverser la totalité des barres de ce 
code.

EXEMPLES :

BON MAUVAIS MAUVAIS

X
n:
x
::
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
Xx
x
x
x
n

°
.;
N
(J
&
Ul
@
'8
O
'D

AXE
AXE
AXE

2) Pour remplir ce QCM, vous devez utiliser un STYLO BILLE ou une POINTE FEUTRE 
de couleur NOIRE.

3) Utilisez le sujet comme brouillon et ne retranscrivez vos réponses qu'après 
vous être relu soigneuse--
ment.

4) Votre OCM ne doit pas être souiilé, froissé, plié. écorné ou porter des 
inscriptions superflues, sous peine
d'être rejeté par la machine et de ne pas être corrigé.

5) Cette épreuve comporte 30 questions, certaines, de numéros consécutifs, sont 
liées. La liste des ques--
tl0flS hees est donnée au début du texte du sujet.

Chaque candidat devra choisir au plus 25 questions parmi les 30 proposées.

il est inutile de répondre a plus de 25 questions : la machine à lecture 
optique lira les réponses en

séquence en partant de la ligne 1, et s'arrêtera de lire lorsqu'elle aura 
détecté des réponses à 25 ques-
ÎIOHS, quelle que soit la valeur de ces réponses.

Chaque question comporte au plus deux réponses exactes.

6) A chaque question numérotée entre 1 et 30, correspond sur la 
feuille--réponses une ligne de cases qui

porte le même numéro (les lignes de 31 à 100 sont neutralisées). Chaque ligne 
comporte 5 cases A, B,
C, D, E. _
Pour chaque ligne numérotée de 1 à 30, vous vous trouvez en face de 4 
possibilités :

) soit vous décidez de ne pas traiter cette question,
la ligne correspondante doit rester vierge.

) soit vous jugez que la question comporte une seule bonne réponse,
vous devez noircir l'une des cases A, B, C, D.

0 soit vous jugez que la question comporte deux réponses exactes,
vous devez noircir deux des cases A, B, C, D et deux seulement.

) soit vous jugez qu'aucune des réponses proposées A, B, C, D n'est bonne,
vous devez alors noircir la case E.

En cas de réponse fausse, aucune pénalité ne sera appliquée.

7) EXEMPLES DE RÉPONSES

Question 1 : 12 + 22 vaut :
A)3 B)5 C)4 D)-1

Question 2 : le produit (--1) (-3) vaut :
A) -3 B) --1 C) 4 D) 0

. . , , . 2
Question 3: Une rac1ne de lequat10n x -- 1 = 0 est:

A)1 B)O C)-1 D)2

Vous marquerez sur la feuille réponse :

CZ: _ I:] [=] E:]

l A B C D E
E:] E:) E:] E:] L:]
CII] C: E:] =: _

2 A B C D E
:] C:: :] [: E:]
- - [I:] _ :] [=]

3 A B C D E
E:: E:] E:] [: =3

Questions liées : 1 à 14 '
15 à 19
et 20 à' 30

PARTIE I

Soit E l'espace vectoriel des fonctions réelles définies sur IR et E1 
l'ensemble des fonctions
continues sur IR, sous espace vectoriel de E. Soit tp une fonction continue sur 
IR. A toute

fonction f appartenant à El on associe la fonction g définie par :

X
Vx e IR g(x) = ] (p(t)f(t)dt
0

On définit ainsi une application Lq, de E1 dans E Le : f --9 g

Question 1 : 

J d)f(x)= -------°... Vx e R (I (x)l VX E R g(X) = ®(X) + 1 + 1fll®(X)l Dans toute la suite de cette partie, la fonction (p considérée sera définie par : Vx e IR cp(x) = e". On considère l'espace vectoriel 'E3, sous-espace vectoriel de El, constitué des fonctions f telles que f(x) = acosx + bsinx où a et b sont des réels quelconques. Qge_sflgn_lfl_z La famille de fonctions suivantes forme une base de l'espace Lq> (E3) sinx -cosx 1 "------------ + = c v(x) = e --- a) {g,(x) (_)SX Vx e IR b) l . 2 2 Vx EUR IR 8200 = smx __ x smx +cosx 1 v2(x) -- e -------2------- - î VV1(X--) == 1 __ x 1 c) w2(x) = e"sinx Vx e IR d) {ul(x) _ e cosx - Vx e R uz(x) = e"smx w3(x) = e"cosx Question 11 : Reprenant les notations de la question 10 et l'espace vectoriel E3 étant rapporté C C donnée, représente matriciellement la restriction de ch à l'espace E3lorsque % (E3) est à la base (fl, f_,_) avec fl(x) = cosx et f2(x) = sinx, la matrice ( ] où C est une constante rapporté à la base : a) (gl, 82) b) (V1, V2) C) (ul, 112) (1) (W1, W2a W3) n étant un entier donné, on désigne par Pn l'espace vectoriel des fonctions polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à n. On considère les fonctions uo(x) = e" - 1, ul(x) = xe" , ....... , un(x) = x"e" Question 12 : Pour p entier naturel, la fonction gp image par Lçp de la fonction fp(x) = x" vérifie : a)go=-u0 b)go=uo <=)gp==-u]D d)gp=up-pgppreN' Question 13 : Pour p 6 N la fonction gp définie àla question 12 s'écrit, AZ"' désignant le nombre d'anangements de (p-k) éléments parmi p éléments : P a) g" = uID - up_l Vp & N° b) g" = 2(-1)"°"A3"'uk + (--1)" k=0 P P o) gp = 2(-1)""A£*uk d) g,, = 2(-1)°"'p!uk + <--1)° k=° k=0 Question 14 : La matrice de la restriction de l'application Lq, à ?,, par rapport àla base ' canonique de P,, et à la base (u0, ...... , un ) de L'" ( R,) est a) Carrée d'ordre (n+l) et diagonale b) triangulaire supérieure et carrée d'ordre n c) inversible car de déterminant égal à (-1)... d) de déterminant égal à 1 donc de rang n. PARTIE II -4x4 + 12x3 -34x +26 = 0 Question 15 : Le système d'équation : 3 2 a pour solution : -12x + 46x -- 34): = 0 17 a) x= 6 b) x = 2 c) x=O d) x=l Question lé : Le nombre complexe zl est racine du polynôme P : 17 . . . . &)Zl=-6--(l+l) b)zl=l-1 C)Zl=2(l+l) d)Zl=lÔZ(I--I) Question 17 : Le polynôme P est divisible par le polynôme Q défini par : l 7 a)Q=13 -2X+X2 b)Q=l3---3--X+Xz c)Q=l3 --4X+X2 d)Q=--1Êî-L7--X+X2 18 3 Question 18 : La fraction rationnelle î(125 se décompose en éléments simples sur le corps des réels sous la forme : 2x + --7-- x --5-- a) _815_ ____36__ _ ___1_&__ 5kx2 --1-Zx + l--8--9-- x2 4x + ê--6-Ê- 18 189 1 )_(_____ 2x + 7 2x + 3 ) 85x-2x+2 x2-4x+13 3x + 2 3 1 C) -- ___---- + "__--z-- -- __"-- 316x2--l-lx+l3 (X'4) x-4 A _ Question 19 ; A étant un réel positif fixé, l'intégrale I = J--1--dx vaut: 0 P(x) 17 189 1 Az'îA+Tg" 3 17 5 &)I=--'ln--------------3--6--g-- +--Arctm(A---)-_ 189 ?. 1 (A2'l3ZAH3Ï'W " 17 13 bI=---l------------------+zm :_--- ) 36 'A-4 ctan(A 6) A--4 1 A'-4 +1 ! - c) 1 = --[\n(------£----£] - 9Arctan(A-l) + lArctanê----2- -2--15 + lArctan-g-- + 1n_2_J 85 A2-2A+2 13 3 4 13 3 13 1 A2--2A+2 7 A-2 911 7 2 2" dI=--l----------+9Art A-1---Art------+------Art---l-- ) 5[n(A2-4A+13] °an( ) 3 ca" 3 4 3 can3 n13] PARTIEIII Soit f la fonction de la variable réelle définie par f(O) = O, ; f(l) = --1 ; f(-1) = 1 2t etVt & IR - {--1,0, 1} f(t) '=1 t21n|t| Question 20 : La courbe représentant f dans un plan rapporté à un repère orthonormé d'axes x'0x, y'Oy est symétrique par rapport : a) au point (0, 0) car f est paire b) au point (1, -1) c) à la droite x = 0 car f est impaire d) à la droite y = 0 Question 21 : La fonction f a) est continue sur R car une fonction définie en tout point de R est continue sur R b) n'est pas continue en 0 car ln n'est pas définie en 0 c) est continue sur R d) est continue sur R - {-1, O, 1} Question 22 : La limite de f(t) lorsque t tend vers - ce a) n'existe pas b) est nulle c) est égale à - oo d) est égale à + oo 1 Question 23 : Pour tout t e R *, on peut écrire f(t) sous la forme 1 l 1 1 1 2 _ = _ -- = --- = - -- = ----------l a) 'Ü f... b) @ f(t) c) 'Ü f(t) d) f(t) { 1) nl Question 24 : La limite lorsque t tend vers 0, de la fonction -î--f(t) a) est nulle et la courbe est tangente à l'axe x'Ox au point (0, 0) b) est égale à +oo c) est égale à --oo d) n'existe pas Question 25: Le développement limité à l'ordre n, n e N * de la fonction t +----> tlnt au voisinage de 1 s'écrit, la fonction £(t) tendant vers 0 lorsque t tend vers 1 a) t(t-l) - t(t'21)+ ......... +(1)"""fi"+ +(t 1) £(t) 2 £3_ . n tn b)t-3+ ....... À+(-l)n'l « * c) t(t--l) + tu? + + ":D +(t-1)"e(t) 2 n (H,) + ....... +..." "un] +(t 1) 8(t) + t"8(t) d) (t-1) + f(t) + 1 Question 26 : Le développement limité à l'ordre 2 au voisinage de 1 dela fonction t 1 a)l+£--t2 -b)t+t2 6 2 . "1 (t ") +(t -1)'e(t) avec 1Æoe(t) = o d) 3--53 + (t -'1) est Question 27 : La fonction f est a) dérivable sur IR* b) dérivable sur IR car continue sur tout point de IR et a pour dérivée si elle existe2 c) f(t)= |2_tt_--Î----(|(ll+ îî-...lnltl t2 pourt & IR ---,{11} et f(l)= = --f'(-l) 2 d) f(t)= 2..." ' 22+)[1nlt| "" )} pourt & lR' -{-1,1} etf(l) = o = f(-1) (++) ... Question 23: Ona , a) 0Vt & IR: b) (p'(t)>0Vt & lRl -- {l} etq>'(l) = o) (p est croissante puis décroissante sur R:, d) (p est strictement croissante sur R:, QEEURS_fiOEJÀL La fonction f' est a) positive sur ] O, 1 [ et négative sur ] 1, +oo [ car il en est de même de (p b) négative sur ] O, 1 [ et positive sur ] 1, +oo [ car de même signe que (p et la fonction f est c) négative sur IP. d) négative ou nulle sur R: et positive ou nulle sur ] - oo, 0 [ Question 30 : Soit g la fonction de la variable réelle définie par g(x) = tan(2x) ln ltanxl On a a) g est définie sur IR --\ {k -Ï-} ; paire et n--péfiodique keZ b) g est définie sur IR - {(2k +l) %} ; impaire et 27c-périodique keZ c)lin;g(x) = 0 car ltllim f(t) = 0 x-->--2- --->+oo (1) g est prolongeable par continuité sur IR

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



ENAC Mathématiques toutes filières -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Jean-Julien Fleck (ENS Ulm) ; il a été relu par 
Pierre
Nolin (ENS Ulm) et Thomas Chomette (ENS Ulm).

Ce sujet offre un bon panorama du programme de première année :
· L'algèbre est introduite par le biais d'une application définie sur l'espace 
des fonctions continues. On s'intéresse notamment aux conditions portant sur sa 
réciproque, à sa représentation matricielle restreinte aux fonctions 
trigonométriques
ou aux polynômes de degré inférieur à un entier n.
· Les questions centrales sont consacrées aux polynômes et fractions 
rationnelles :
division euclidienne, décomposition en éléments simples, intégration, etc.
· L'analyse, quant à elle, est omniprésente à travers les prolongements par 
continuité ou les développements limités.
Ce sujet n'est pas particulièrement difficile, mais les démonstrations 
rigoureuses
sont longues à écrire, si bien que, le jour du concours, il faut savoir 
utiliser aux
maximum les astuces pour sélectionner la bonne réponse.

Indications
Partie I
g
.
ln(1 + g  )
6 Prendre la dérivée de la partie de f  qui est susceptible de changer de signe 
et
dresser son tableau de variations.
5 Remarquer que f =

9 Vérifier d'abord que g s'annule bien en 0.
10 Vérifier la condition d'annulation de g puis chercher les antécédents.
11 Écrire les images de f1 et f2 dans chaque base (v1 , v2 ) et (u1 , u2 ) pour 
voir laquelle
convient.
Partie II

15 Utiliser (et démontrer au besoin) que si p/q est racine d'un polynôme
avec p et q premiers entre eux, alors p divise a0 et q divise aN .

N
P

an xn

n=0

16 Quel rapport y a-t-il avec la question 15 ? Poser X = x (1 + i).
17 Procéder à la division euclidienne de P par le polynôme déduit des racines 
trouvées
à la question 16.
18 Les valeurs en 0 et en l'infini suffisent à choisir parmi les solutions 
proposées.
19 Faire apparaître des intégrales connues.
Partie III

21 Vérifier que f se prolonge bien en -1, 0 et 1.

25 Écrire le développement limité de ln(1 + x) et exprimer le tout en fonction
de (t - 1).
26 Développer le numérateur à l'ordre 4 et rechercher des simplifications.

30 Chercher le lien avec les questions précédentes (notamment en écrivant tan 
2x en
fonction de tan x).

Partie I
1 La fonction g appartient à Im L si elle vérifie
Z x
g(x) =
(t) f (t) dt avec f  E1
0

Par conséquent, elle est continue et dérivable en tant que primitive d'une 
fonction
continue et
g  (x) = (x) f (x)
Dans le cas où  (elle aussi continue) ne s'annule pas, f =
doit être continue sur R, c'est-à-dire

g
est bien définie et

g
 E1

Si  s'annule, g  = f  doit s'annuler aux mêmes points et
geable par continuité en ces points car f est continue.
A

B

C

D

g
doit être prolon

E

Notons que la proposition A est nécessaire au fait que g appartienne
à Im L , mais pas suffisante. Comme il y a déjà deux réponses correctes
et que le mode d'emploi précise qu'il y a 0, 1 ou 2 réponses correctes à
une question, c'est une condition nécessaire et suffisante qui était attendue.
Dans le cas où  s'annule sur un intervalle entier, il est difficile de parler
de prolongement par continuité. L'énoncé aurait gagné à être plus clair et
écarter ces cas.
2 Dans le cas où g(x) = ex - x - 1 et (x) =

1 + x2 - 1 (qui s'annule en 0),

g  (x) = ex - 1  x
0

(x) = 1 + x2 - 1

et

= 1+
Soit

(x) 

Par conséquent,
et

x2
0 2
g
2
(x) 
0

x

x2
+ o x3 - 1
2

g
n'est donc pas prolongeable par continuité en x = 0.

La fonction g ne vérifie pas la condition de la question 1.

x2
x3
Dans le cas où g(x) =
+
et (x) = ln(1 + x + x2 ),  s'annule en x = 0 et
2
3
en x = -1. En outre,
et

(x) = ln(1 + x (1 + x))

En x = 0

(x)  x

et

g  (x)  x

(x)  -(1 + x)

et

g  (x)  -(1 + x)

g
(x)  1
0

et

g
(x)  1
-1

0

En x = -1

-1

d'où
Ainsi,

g  (x) = x (1 + x)
0

-1

g
g
g
est prolongeable par continuité aux zéros de  avec (0) = (-1) = 1.

g vérifie la condition de la question 1.
A

B

C

D

Pour ce dernier cas, on pouvait aussi remarquer que
l'équivalence ln(1 + u)  u.

E
g
g
=
et utiliser

ln(1 + g  )

0

3 Il a déjà été montré à la question 1 que si g appartient à Im L , alors
f (x) =

A

B

g
(x)

C

D

E

L'énoncé suppose implicitement que  ne s'annule pas sur un intervalle
tout entier.
Il est assez facile de trouver des contre-exemples pour invalider les autres
propositions. En posant
x  R
on obtient

(x) = 1

et f (x) = cos x

g(x) = sin x

ce qu'aucune des propositions A, B ou D ne vérifie.
4 On a vu dans le second cas de la question 2 que g  / est prolongeable par
continuité en 0 par la valeur 1 donc
f=

g
est prolongeable par continuité en 0 par la valeur 1.

A

B

C

D

E