ENAC Maths toutes filières 2002

Thème de l'épreuve Polynômes de Tchebychev, bases de polynômes. Intégrales de Wallis.
Principaux outils utilisés récurrence, équations différentielles, matrices

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Rapport du jury

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J. 1968

ECOLE NATIONALE DE L'AVIATION CIVILE ANNEE 2002

CONCOURS DE RECRUTEMENT D'ELEVES
PILOTE DE LIGNE

EPREUVE DE MATHEMATIQUES

Durée : 2 Heures
Coefficient : 1

Le sujet comprend :
. 1 page de garde,
. 2 pages (recto--verso) d'instructions pour remplir le QCM,
. 12 pages de texte, numérotées de 1 à 12.

CALCULATRICE AUTORISEE

ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

A LIRE TRÈS ATTENTIVEMENT

L'épreuve de mathématiques de ce concours est un questionnaire à choix multiple 
qui sera corrigé automati-
quement par une machine à lecture optique.

ATTENTION, IL NE vous EST DÉLIVRÊ QU'UN SEUL QCM

1) Vous devez coller dans la partie droite prévue à cet effet, l'étiquette 
correspondant à l'épreuve que
vous passez, c'est-à--dire épreuve de mathématiques (voir modèle ci-dessous)

POSITIONNEMENT DES ETIQUETTES

Pour permettre la lecture optique de l'étiquette, le trait vertical 
matérialisant l'axe de lecture du code à barres
(en haut à droite de votre QCM) doit traverser la totalité des barres de ce 
code.

EXEMPLES :

BON MAUVAIS MAUVAIS

X
X
X
X
X'!
>'X
XX
XX
XX
XX
XX
X)!
X
X
X
X

68L99bEUR3 LO

Il"

AXE
AXE
AXE

2) Pour remplir ce QCM, vous devez utiliser un STYLO BILLE ou une POINTE FEUTRE 
de couleur NOIRE.

3) Utilisez le sujet Comme brouillon et ne retranscrlvez vos réponses qu'après 
vous être relu soigneuse-
ment.

4) Votre QCM ne doit pas être souillé, froissé, plié, écorné ou porter des 
inscriptions superflues, sous peine
d'être rejeté par la machine et de ne pas être corrigé.

5) Cette épreuve comporte 30 questions, certaines, de numéros consécutifs, sont 
liées. La liste des ques--
tions liées est donnée au début du texte du sujet.

Chaque candidat devra choisir au plus 25 questions parmi les 30 proposées.

Il est inutile de répondre à plus de 25 questions : la machine à lecture 
optique lira les réponses en

séquence en partant de la ligne 1, et s'arrêtera de lire lorsqu'elle aura 
détecté des réponses à 25 ques-
tions, quelle que soit la valeur de ces réponses.

Chaque question comporte au plus deux réponses exactes.

6) A chaque question numérotée entre 1 et 30, correspond sur la 
feuille-réponses une ligne de cases qui

porte le même numéro (les lignes de 31 à 100 sont neutralisées). Chaque ligne 
comporte 5 cases A, B,
C, D, E.

Pour chaque ligne numérotée de 1 à 30, vous vous trouvez en face de 4 
possibilités :

b soit vous décidez de ne pas traiter cette question,
la ligne correspondante doit rester vierge.

. soit vous jugez que la question comporte une seule bonne réponse,
vous devez noircir l'une des cases A, B, C, D.

b soit vous jugez que la question comporte deux réponses exactes,
vous devez noircir deux des cases A, B, C, D et deux seulement.

) soit vous jugez qu'aucune des réponses proposées A, B, C, D n'est bonne,
vous devez alors noircir la case E.

En cas de réponse fausse, aucune pénalité ne sera appliquée.

7) EXEMPLES DE RÉPONSES

Question 1 : 12 + 22 vaut:
A)3 B)5 C)4 D)-1

Question 2 : le produit (--1) (-3) vaut :
A) -3 B) --1 C) 4 D) 0

. , . 2
Question 3: Une racrne de l'equatnon x -- 1 = 0 est:

A)1 B)0 c>-1 D)2

Vous marquerez sur la feuille réponse :

E.": _ [: [: [::l
1 A B C D E
E:! [II:] III:] @ E:!
E:] [:::] [=] E:] _
2 A B C D E
[:=] [: E:] E [:=]
_ [:D _ [: [III
3 A B C D E
[::] ÈÎÎ1 [:D E:] [:::l

Questions liées: 1 à 16
17 à 25
26 à 30

PARTIE I

Dans toute cette partie le corps de base est celui des nombres réels; on désigne

par E (x) la partie entière du nombre réel x et par n un entier naturel.

Question 1

Soit un polynôme de degré n à une indéterminée à coefficients entiers de la 
forme

n - - P
anx + + ao avec ao := O, admettant une rac1ne rationnelle -- ou p & Z* , q & Z* 
, p et q

étant premiers entre eux ou étrangers. On a alors: q

a) p divise an et q divise ao

b) p et q divisent ao

c) p divise ao et q divise an car q divise an p"

d) p d1v1se ao mars pq ne d1vrse pas an ao

Question 2

Soit f la fonction polynôme définie par Vx E R f(x) = x3 --x -- 1

a) f admet au moins 2 racines réelles car sa dérivée s'annule en 2 points
b) f admet une racine rationnelle et 2 racines complexes conjuguées

c) f ne possède aucune racine réelle
d) f admet 2 racines complexes conjuguées et une racine réelle dans l'intervalle

1-53 fil

'

3 3

Question 3

Soit x un réel quelconque, on peut écrire cos (nx) sous la forme Pn( cosx) où 
Pn est un poly--
nôme à une indéterminée.

a) de degré n + 1 à coefficients entiers relatifs
b) de degré n à coefficients réels non entiers

c) de degré n à coefficients entiers relatifs
d) unique car l'application cos est surjective de R sur [--1,1]

Question 4

Le polynôme Pn défini dans la question 3 s'écrit pour n = 0

&) PO(X) : X
wæm=l
2

et pour n = 1

c) P1(X) : 2X2--1
d) P1(X) = X

Question 5

On a la relation, pour tout réels a, b

a) cosacosb : 2(cos(a+ b)--cos(a-- b))

b) cosacosb= l(cos(a+b)--cos(a--b))

2
et la suite (Pn) " E N définie dans la question 3 vérifie, pour tout entier n 
strictement positif.

c) P...(X3--Pn_lm= 2XP,,(X)
d>Pn+loo +Pn_l(X)= XPn(X)

Question 6

Cette suite de polynômes (Pn)n & N est telle que:

k "_ k
a) Pn(X) : X"-CÏX"'2(1--X2) +...+(--1)Cn2kX 2k(1--X2)+...

et Pn est impair 31 n est pair

b) le coefficient de X n est, pour tout entier n non nul,

2 2k _
CO+C +...+C +...=2"1

n ïl n

c) Pn(-1) : (--1)"'1 Vne N*

d) Pn(O) = (--1)" Vne N

Question 7

Pour tout entier n strictement positif les racines xk de ce polynôme Pn sont:

1: kTC

a) ---- +-- où k estun entiertel que OSkSn--l
271 n
n 2k7t \ . .

b) ---- + ---- ou k est un entrer est un ent1er tel que 0 .<. k S n -- l
211 n

c) des réels n'appartenant pas à l'intervalle [--l, l]

d) les n réels de l'intervalle ]--1 ,l[ définis par xk : cos (Â + 15--75) où k 
est un entier tel
2n n
que 0 5 k S n -- 1
Question 8

Supposons n 2 2 , on note pour k entier tel que 0 S k 5 n --- 2 , x k les 
racines de Pn et y k celles

n_l,onaalorsz

a) xk+l>yk>xk
b)xk+l>xk>yk
TC kTC TC (k+1)1t

+------_---
2(n--l) n--l 2n "

yk>xk+1 car

" + k1c__7_r__lg >O

2(n--1) n--12n "
TC + k7t_£_ k+11t >0

2(n--l) n--12n "

et

d) xk>yk>xk+1 car

11: knnkn<0

et

2(n--1) n--12n "

Question 9

La fonction fn définie sur R par fn(x) : cos(nx)

a) forme une base de l'espace des solutions de (E n)

b) est une solution de (En) pour tout n e N

c) vérifie l'équation (En) uniquement pour n E N*

d) vérifie l'équation différentielle y" -- n2y : O pour tout n EUR N

Question 10
Si on pose X : cos x on obtient pour y fonction de x

2
dy dy
a)-- =--X
dx2 dX
612 y 22d y d
b) _ : sin 2----x --cosx--y-
dx2 dX2 dX

et l'équation (En) est transformée en l'équation (En) de la forme,

d'y

c) (1+X2)-------- -- dy+n2y= 0

cpf dX

d2y
d)(l--X2)-------- -- +n2y= 0
dX2 dX

Question 11
Pour tout n ,entier naturel, la fonction polynôme Pn définie àla question 3

a) est solution de (En)

b) est solution de (En) car (1 + x2)P"n(x)--xP'n(x) + n2Pn(x) = 0Vx & R
c) ne vérifie ni (En) , ni (En)

d) vérifie (En) car Vx e [--1 ,1] (1 + x2)P"n(x)--xP'n(x) + n2Pn(x) =

E(Hl
Question 12 2
Pour tout entier naturel n , on considère la fonction polynôme Qn(x) : 2 an'k x

Si Qn est solution de l'équation (E 'n) , définie àla question 10, les 
coefficients an, k vérifient

pour tout k compris entre 0 et E (g) .

a) (n --- 2k)(n --2k-- l )amk + (n -- 2k+ 2)(n--2k+ l)an,k_ 1--(n -- 2k)amk + 
n2an,k : 0

l 1
b) an,k :_ÀÎçn--k(n_2k+2)(n_2k+l)an,k-l

C) an,k :_ C

d) an,k :

Question 13

Pour tout entier naturel n , le polynôme Pn défini àla question 3 est donc de 
la forme:

E

a) P,,(X) = 2
k

:O H--k

(--1)k--1 n--2k--l k n--2k

k n n--2k--l k n--2k+l

C) Pn(XÛ= (--1) 2 C X
këo n--k "'k
E(â) k

d) P,,(X)= 2 (_1)k n 2n--2k--1 C Xn--2k
k=0 n--k n_k

Soient p et q, 2 entiers naturels non nuls premiers entre eux (ou étrangers), 
tels
1

que le rationnel r : 'î--Ë vérifie 0 < r < Î et cos(rrr) EUR © ( @ désignant 
l'ensemble

des nombres rationnels )

Question 14

On a alors:

a) q = 2 et cosOE)EUR@

b) 3(u,V)EURZZÏCI ttîu+ttv =g

c) qa 3 et El(u,v)EURZth cos(£)= Pu(cos(m))

61

d) q 2 3 cos(î--) EUR @ car 3vEURZ 3nEUR th cos<-Ë) : (--l)an(cos(m))
Question 15
La relation q : 4k où k est un entier non nul.

a) est impossible puisque q = 2

b) est impossible car q est nécessairement impair

c) peut être réalisée

d) est impossible car Pk(cos(Æ)) : cosE OE @

4k 4

Question 16
L'égalité q = h entier impair

a) ne peut être réalisée
Si cette égalité est réalisée on a:

b) Ph(cos(î')) = --1

h
0) cos (%) est racine du polynôme Ph.
d) cos<%) est racine de 2h_1Xh+ + ah h 1X+ ]: 0 car Ph a un terme constant nul.
"?

PARTIE II

On désignera par E l'espace vectoriel réel R[X] , des polynômes & une indétermi-

née & coeficients réels et par F le sous-espace vectoriel des polynômes de E de
degré inférieur ou égal à 3.

On considère l 'application f qui à tout élément P de E associe le polynôme f(P)
défini par [f(P)](X) : P(X) -- P(X --- 1 ) et on note fF la restriction de f & F

Question 17

Le sous--espace vectoriel F est de dimension

a) 3
b)4

et on a:

c) f est une application linéaire de E dans F
(1) fF est un endomorphisme de F

Question 18

La matrice M de l'application f F par rapport aux bases canoniques des espaces 
de départ et
d'arrivée de cette application s'écrit:

1--11
æM=02--3
00 3

0 000
1000
--1200
1--330

b)M=

("_--___"!

01-11
ClM= 002-3
0003

01--11
002--3
0003
0000

d)M=

[___--_"!

Question 19

De manière générale, pour des matrices de type (n,p) (n lignes et p colonnes) à 
coefficients
dans le corps K (K = R ou C), on a:

a) 2 matrices équivalentes sont semblables
b) 2 matrices équivalentes ont même rang

et lorsque l'on ajoute à la ligne i 0 d'une matrice de EDÈn,p(K ) la ligne il. 
multipliée par ?» e K ,
le rang de cette matrice,

c) est inchangée
(1) peut être modifié

Question 20

Le rang de l'application f F

a) vaut 3 car est égal au nombre de colonnes non nulles de M
b) est nécessairement inférieur ou égal à 3 car l'espace F est de dimension 3

c) vaut 2 car il y a 2 colonnes de M linéairement indépendantes
d) vaut 3 car on peut extraire au plus 3 colonnes ou lignes linéairement 
indépendantes

deM

Question 21

Les sous--espaces vectoriels noyau et image de ]} sont tels que:

a) dim kerfF= dimF-- rng = 2
c) la famille de polynômes (1,X) forme une base de Im fF

d) Im fF est le sous--espace R2[x] des polynômes de degré inférieur ou égal à 2

On considère la famille (AQ,A1,A2 ,A3) des polynômes de E définie par AO : 1 et

Vie {1,2, 3} fF(Ai) : iAi_1 avec O racine de Ai.

Question 22

Ces polynômes vérifient:
a) 0 < degA,£ 3 Vi EUR {O, 1, 2, 3}
b) Ai est divisible par X, Vi & {O, 1, 2, 3}
c) A2()0 : X(X+ 1) et A3(X) : X(X+ 1)(X+2)
d) la famille (AO,A1,A2 ,A3) forme une base de F

On note B base canonique de F et .ÿfl la base de F formée à l'aide des polynômes

(AO,A 1,A2 ,A3) classés par ordre croissant de degré.

Question 23

La matrice de passage P de la base B àla base al s'écrit:

1000
0100
0110
0231

100
011
001

1000
0112
0013
0001

a)P

b)P

C)P=

1000
0111
0013
0031

d)P=

Question 24

La matrice M' de l'application fF lorsque l'on rapporte F àla base .szï s'écrit:

0000
a)M' 1000
0200
0030

100
020
003

b) M'

0100
0020
0003
0000

c) M' PMP"' :

0100

d)M' 0020=P--1MP
0003

0000

Question 25

Soit g l'application définie par g(X') : A l. Vi & {(), l, 2, 3} . On a alors:

a) g est un endomorphisme injectif mais non bijectif de F
b) g est un endomorphisme bijectif de F car g transforme une base de F en une 
base de

F

et la matrice G de g par rapport àla base canonique de F vérifie:

1000

001--3

0001
d)G=P

10

PARTIE III

7t/2

On pose pour tout entier naturel n : In : J sin"x dx
0

Question 26

La suite (In)" E N est telle que:

a) 10 = 0
c) In --- In _1 peut être nul pour certaines valeurs de n EUR N*

d) In_In--1>O Vne N*
Question 27

Pour tout entier n 2 2 on ala relation:

1

8') In : In--2--n+lln
17

b) In: n-lIn--2
--1

C) In : nn In--2

n+1
d)ln= " 1...
Question28

Le terme général In de cette suite s'écrit, pour tout entier naturel n

&) In = (n+1)10

2p 2
_ 2 (p!)1t _ (2p+1)!
b)12p_ (2p)! îet12p+l--mVPEN
2p 2
_ (2P)! _ 2 (P!)
C) IZP_W TCCÏIZP+1 ----(2p+l)!VpEURN
2p 2
_ (219)! _ 2 (P!)
("lap--W TCÊÏI2P+1 -- (2p+1)!VPEN

11

Question 29

La suite (In)" E N

a) est strictement croissante
b) est décroissante et peut être stationnaire
et elle vérifie les inégalités

c) 12p+1>12p>12p--1 VpEN*
d) 12p+1<12p--1 etlzp>lzp_2 VpEN*

Question 30

La suite (ln )n E N

a) est convergente car les suites (1217 )p & N et (12!) + 1)p E N sont 
adjacentes

b) est dwergente car les suites (Ï2p )p E N et (12p + 1)p & N ne convergent pas 
vers la meme

limite

et pour tout entier naturel n , on a, en introduisant le changement de variable 
x cost

1
c) f0(1--x2)ndx= 12...

1 n
d)f0(1--x2) dx= 421

12

IMPRIMER/E NA TIONAL E. -- D'après documents fournis.

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



ENAC Mathématiques toutes filières 2002 --
Corrigé
Ce corrigé est proposé par Xavier Goaoc (ENS Cachan) ; il a été relu par 
Sébastien
Gadat (ENS Cachan) et Éric Ricard (agrégé de mathématiques).

Cette épreuve est composée de trois parties indépendantes. Les deux premières
traitent de polynômes, l'une du point de vue de l'analyse et l'autre sous 
l'angle de
l'algèbre linéaire. La troisième partie, quant à elle, étudie une suite définie 
par des
intégrales. D'une manière générale, les questions sont assez mal posées, 
probablement
pour juger du sens critique des candidats.
· La première partie, la plus longue, porte sur les polynômes de Tchebychev.
Il s'agit de passer en revue diverses propriétés de ces polynômes, puis de les
expliciter. On utilise au passage un peu d'arithmétique et quelques propriétés
des solutions polynomiales d'une équation différentielle.
· La seconde partie s'intéresse à l'application linéaire
(
E - E
f:
P 7- (X 7 P(X) - P(X - 1))
où E est l'espace des polynômes à une indéterminée. On se limite essentiellement
à l'étude de la restriction de f à un sous-espace de dimension finie. On y
manipule l'écriture matricielle de f dans différentes bases.
· La dernière partie étudie les classiques intégrales de Wallis, c'est-à-dire 
la suite
(In )nN définie par
Z 2
In =
sinn x dx
0

Cette partie fait intervenir quelques outils classiques d'analyse ainsi que des
raisonnements par récurrence.

Indications

Partie I
 
p
par q n .
1 Multiplier P
q
2 Utiliser la question 1 et le théorème des valeurs intermédiaires.
3 Exprimer Pn en se servant de la formule de Moivre.
6 Utiliser la formule obtenue à la question 3 ainsi que la question 5.
7 Chercher les racines qui se trouvent dans [-1, 1] et conclure en utilisant le 
degré
de Pn .
11 Appliquer le résultat de la question 9. Remarquer qu'une relation entre 
polynômes
vraie sur [-1, 1] est vraie sur tout R.
12 Pour décider des réponses C et D, utiliser le fait que deux suites 
coïncident si et
seulement si elles ont même terme initial et suivent la même relation de 
récurrence.
13 Montrer que Pn satisfait aux hypothèses du polynôme Qn de la question 12 
(pour
cela, on peut étudier sa parité) puis en utiliser le résultat.
14 Appliquer le théorème de Bézout.
15 Utiliser le résultat de la question 14.
Partie II
17 S'intéresser au degré de l'image d'un polynôme par f .
21 On peut utiliser le théorème du rang.
22 Montrer que les Ai sont définis de manière unique et vérifier les 
expressions proposées par l'énoncé pour A2 et A3 .
24 Utiliser la propriété qui définit les (Ai )i=0, ...,3 .
Partie III
26 Étudier le signe de In - In-1 .

27 Penser à une intégration par parties.
30 Pour montrer la convergence, prouver que la suite (In ) est minorée.

Partie I
Dans les problèmes I et II, nous identifions implicitement un polynôme et la
fonction polynomiale associée.
p
1 Considérons un polynôme P à coefficients entiers admettant
comme racine,
q
avec p et q premiers entre eux. On a alors
 
p
qn P
= an pn + an-1 pn-1 q + . . . + a0 q n = 0
q
soit

p(an pn-1 + . . . + a1 q n-1 ) = -a0 q n

Donc p divise a0 q n . Comme p est premier avec q, il l'est aussi avec q n . En 
appliquant
le théorème de Gauss, on en déduit que p divise a0 . De même,
q(an-1 pn-1 + . . . + a0 q n-1 ) = -an pn

Et un raisonnement identique permet de conclure que q divise an .
A

B

C

D

E

La réponse C a été écartée en raison de sa justification insuffisante.
p
, avec p et q premiers entre eux, alors, en
q
appliquant le résultat de la question 1, p divise -1 et q divise 1. Par 
conséquent, les
seuls rationnels qui peuvent être racines de f sont 1 et -1. Calculons les 
valeurs que
prend f en ces deux points :
2 Si f admet une racine rationnelle

f (1) = -1

et

lim P(x) = +

et

f (-1) = 1

Il s'ensuit que la réponse B est fausse, puisque f n'admet aucune racine 
rationnelle.
D'autre part, un polynôme P de degré impair a toujours au moins une racine
réelle. En effet,
x+

lim P(x) = -

x-

Il existe donc deux réels a et b tels que P(a) > 0 et P(b) < 0. Comme une 
fonction polynôme est continue, il suffit d'appliquer le théorème des valeurs 
intermédiaires pour
obtenir l'existence d'une racine réelle entre a et b. La réponse C est donc 
incorrecte.
Pour déterminer si la réponse D est vraie, examinons le signe de f aux bornes de
l'intervalle proposé :
 !

 !

3
2 3
3
2 3
f -
=
-1<0
et
f -
=-
-1<0
3
9
3
9
Le signe de f étant le même aux extrémités de l'intervalle, f s'y annule un 
nombre
pair de fois, si l'on compte les racines avec leurs multiplicités. Si f a deux 
racines
complexes conjuguées et une racine réelle, cette dernière est de multiplicité 1 
(car f
est de degré 3). Il en résulte que la réponse D est elle aussi fausse.
A

B

C

D

E

On peut d'emblée écarter la réponse A puisque le nombre de racines réelles
d'un polynôme n'est pas caractérisé par le nombre de racines de sa dérivée
(considérer les polynômes X2 , X2 + 1 et X2 - 1 par exemple).
3 Fixons n  N et exprimons Pn au moyen de la formule de Moivre.
(cos t + i sin t)n = cos(nt) + i sin(nt)

t  R
Or

(cos t + i sin t)n =

n
P

Ckn ik sink t cosn-k t

k=0
E( n
2)

Donc

P

cos nt =

2k
k
C2k
t cosn-2k t
n (-1) sin

k=0
E( n
2)

ou encore

cos nt =

P

k=0

Donc

k
2 k
n-2k
C2k
t
n (-1) (1 - cos t) cos

Pn est un polynôme de degré n à coefficients entiers relatifs.

La fonction cos est surjective de R dans [-1, 1]. Par conséquent, si un polynôme
Q vérifie
t  R

Q(cos t) = cos nt

alors Q coïncide avec Pn sur l'intervalle [-1, 1], ce qui implique que Q = Pn . 
Donc,
pour tout n, Pn est défini de manière unique.
A

B

C

D

E

Les propositions A et B peuvent être rapidement écartées en observant que
P0 (X) = 1 et P1 (X) = X.
4 Par définition de Pn , on a
P0 (X) = 1
A

B

et
C

P1 (X) = X
D

E

5 Pour commencer, remarquons que les réponses A et B sont fausses. Pour s'en
convaincre il suffit de prendre a = 0 et b = 0. La formule correcte, proche de 
celles
proposées, est
1
(cos(a + b) + cos(a - b))
2
Utilisons-la pour exprimer la relation de récurrence entre les Pn . Fixons n  N 
et
t  R ; on a
cos a cos b =

Il s'ensuit que

2 cos t cos nt = cos(n + 1)t + cos(n - 1)t