ENAC Maths toutes filières 2000

Thème de l'épreuve Étude d'une équation différentielle et de ses solutions. Manipulation de matrices.
Principaux outils utilisés équations différentielles, analyse réelle, algèbre linéaire

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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ECOLE NATIONALE DE L'AVIATION CIVILE

_ CONCOURS DE RECRUTENOENT DYELEVES
PILOTE DE LIGNE

EPREUVE DE MATHEMATIQUES ;

Durée : 2 Heures
Coefficient: 1

Le sujet comprend :
. 1 page de garde,
. 2 pages d'instructions pour remplir le QCM,
. 10 pages de-textes, numérotées de 1 à 10.

CALCULATRICE AUTORISEE

ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

A LIRE TRÈS ATTENTIVEMENT

L'épreuve de mathématiques de ce concours est un questionnaire à choix multiple 
qui sera corrigé automati--
quement par une machine à lecture optique.

ATTENTION, IL NE VOUS EST DELIVRÊ QU'UN SEUL QCM

1) vous devez coller dans la partie droite prévue à cet effet, l'étiquette 
correspondant à l'épreuve que
vous passez, c'est--à-dire épreuve de mathématiques (voir modèle ci-dessous).

POSITIONNEMENT DES ETIQUETTES

Pour permettre la lecture optique de l'étiquette, le trait vertical 
matérialisant l'axe de lecture du code à barres
(en haut à droite de votre QCM) doit traverser la totalité des barres de ce 
code.

EXEMPLES :

BON MAUVAIS MAUVAIS

ËË
ë

88L99Y82L0

' AXE
AXE
AXE

2) Pour remplir ce QCM, vous devez utiliser un STYLO BILLE ou une POINTE FEUTRE 
de couleur NOIRE.

3) Utilisez le sujet comme brouillon et ne retranscrivez vos réponses qu'après 
vous être relu soigneuse-
ment.

4) Votre OCM ne doit pas être soulllé, froissé, plié, écorné ou porter des 
inscriptions superflues, sous peine
d'être rejeté par la machine et de ne pas être corrigé.

5) cette épreuve comporte 30 questions, certaines, de numéros consécutifs, sont 
liées. La liste des ques--
tions liées est donnée au début du texte du sujet.

Chaque candidat devra choisir au plus 25 questions parmi les 30 proposées.

Il est inutile de répondre à plus de 25 questions : la machine à lecture 
optique lira les réponses en

séquence en partant de la ligne 1, et s'arrêtera de lire lorsqu'elle aura 
détecté des réponses à 25 ques-
tions, quelle que soit la valeur de ces réponses.

Chaque question comporte au plus deux réponses exactes.

6) A chaque question numérotée entre 1 et 30, correspond sur la 
feuille-réponses une ligne de cases qui
porte le même numéro (les lignes de 31 à 100 sont neutralisées). Chaque ligne 
comporte 5 cases A, B,
C, D, E. _
Pour chaque ligne numérotée de 1 à 30, vous vous trouvez en face de 4 
possibilités :

) soit vous décidez de ne pas traiter cette question,
la ligne correspondante doit rester vierge.

' soit vous jugez que la question comporte une seule bonne réponse,
vous devez noircir l'une des cases A, B, C, D. -

) soit vous jugez que la question comporte deux réponses exactes,
vous devez noircir deux des cases A, B, C, D et deux seulement.

) soit vous jugez qu'aucune des réponses proposées A, B, C, D n'est bonne,
vous devez alors noircir la case E.

En cas de réponse fausse, aucune pénalité ne Sera appliquée. "

7) EXEMPLES DE REPONSES

Question 1 : 12 + 22 vaut:
A)3 B)5 C)4 D)-1»

Question 2 : le produit (--1) (-3) vaut :
A) -3 B) -1 C) 4 D) 0

Question 3: les racines de l'équation x2 -- 1 = 0 sont:
A) 1 B) 0 C) -1 D) 2

Vous marquerez sur la feuille réponse :

[H [HI [M]
M [lw[l [H
[H Ü°Ü D°Ü
Hull U°U [I°[l
M {M IN]

Questions liées: [l à 22]
[23 à 30]

. xchx -- shx
Soit f la fonction définie pour tout x réel par f(x) = chx-- 1

lsix=0 où'leR

üx$0_

l. Le développement limité aù voisinage de 0 à l'ordre 5 de la fonction chx -- 
1 est :
' 2 4

x x 5
&) --î+îz+x EUR(X)_
x2 x4 5
b) -2-- + î +x EUR(X)
On obtient alors pour la fonction 1 :
chx-- 1
2
1 _ 2 x 5
°) chx--1 " x2(1 12" EUR...)
' 2
' 1 __ 2 x 3
® chx--1 _ x2(1 + 12 +x 8(x))

2. Pour obtenir un développement limité au voisinage de O de f à l'ordre 3 on 
doit considérer

le développement limité de la fonction xchx -- shx :
a) à l'ordre 3
'b)' à l'ordre 5
Le développement limité de xchx -- shx 'à l'ordre 6 s'écrit :

x3' x5 6
C) ---â--.+ 56 + x £(X)
3 5 6

x x x 6
d) î+ä-Ô+ñô+x EUR(X)

3. Le développement limité de f au voisinage de 0 à l'ordre 3 est donc de la 
forme :

3
2x x 3 .
&) --3---î--ë+x E(X)

3
2x x 3
b) --î+ÿô+x 8(X)

La fonction f est continue sur R :

_ 2
c) pourl - 3

"d) si et_seulementsj L; ___0_

Dans la suite de cette partie on prend pour I la valeur, si elle existe, 
rendant la fonction f con--

tinue en O.

4. La fonction f ainsi définie : _
a) est dérivable en 0 puisqu'elle est continue en-ce point
b) n'est pas dérivable en 0 car la fonction a été prolongée en ce point

c) est dérivable en0car lim @ = z et on a f(0) : 12--
x-->p x 3 3
2
. f(x) --5
d) n'est pas dérivable en 0 car lim : --oo
x--9 0 x

5. La courbe (C) représentative dela fonction f. dans le plan rapporté à un 
repère ortho-
normé sera au voisinage de 0 :

a) au--dessous de la tangente pour x > 0
b) au-dessus de la tangente pour x < 0
et le point de coordonnées (0, l ) est :

c) un point d'infiexion de (C)
d) un point de rebroussement de (C) '

6. La courbe (C) est symétrique :
a) par rapport_à la droite x = 0 car f est impaire
b) par rapport au point (0, 0) car f est paire comme quotient et différence de 
fonctions de
même parité
La fonction ]" dérivée de f, est :
shx(x -- shx)
(chx - 1 )2
d) positive sur R+* car Vx > 0 shx < x

c) définie sur R+*_ par f(x) =

7. La fonction f est :
' a) décroissante sur R+
b) croissante sur R
et la limite def en + en est égale à:

(:) +oo car" lim thx : l
x-->+oo
d)l

8. Les asymptotes à la courbe (C) sont:
a) les droites y = 1 ety : ---1

= +1 +oo
"b) les droites _y x en

y=x--1en--oo

= --x--1 en +°°
c) les droites y

y : --x+ l' en --°o
et la courbe (C)

d) est au--dessus de l'asymptote en + ao car e_x + x -- 1 > 0 Vx & R+*

on considère i'é£;£àfim différentielle (È) (c1{x!i)ÿ'(xÿ+{shk)y(àc)m= 5£3h£

9. Une 1primitive 2 de la fonction sur tout intervalle de R ne contenant pas 0 
est

s ::
chx-- l
a) égaÎa'; --u------_l obtenue en posant u : shx

b) --ln(lchx-- 1])+a où a E R
et la solution générale y de l'équation sans second membre associée à (E) 
s'écrit, A étant une
conStante réelle : '

c) y(x) : A(chx---l)

A _
'd) y(x) : chx--l Vxe R

10. Si l'on note ya la fonction engendrant l'espace des solutions de l'équation 
sans second
membre associée à (E) , une solution particulière y p de (E) s'écrira :
yp(x)_= K(x)yo(x) avec K vérifiant sur R+* et R--* :
a) K'(x)yo(x) : xshx

b) K'(x) : xshx
c) K(x) : xchx+shx+B où Be R
et la solution générale de (E) sur R+* et R-* est de la forme :

d) y(x) : 1+f(x) oùAeR

chx --

11Q L'équation différentielle (E)

a) n'admet pas de solution sur R car la fonction a une limite infinie lorsque x

chx --- 1
tend vers 0
b) admet une infinité de solutions sur R

c) admet comme Solution sur R la fonction y(x) : -- f (x)
d) admet la fonction f comme seule solution sur R

Soit g une fonction continue sur [G, + e°[

12. L'intégrale [Z g(t)dt est définie:

et) sur'R car g est continue sur R+ et Eg(t)dt = --JÎg(t)dt pour xe R-

b) sur R+* seulement

_... ._ a" 'n'--+1... .
Eg(t)dt--n+lx est.

et la quantité 1 :

__1 _
n + 1

x

c') ' définie sur R*

& IJ"; |g(t)dt--at"ldt

d) egale a n
x

13. On suppose dans cette question que Vxe [O,+oe[ g(x) : ax"+x"el(x) avec

a>0,ne N et limel(x) : _O _

x-->0
. x>0v
Onaalors: _
1 t "
_ < <_. ..
a) °_"Ï"JÂQ 81(t)dt Vx>0

. 1 .
bl :dr- " "")--=1 e =Ocarl=e
)ÆoOEg" x ; un 1(x) l(ac)

n+l +l xâ0
x>0 x>0

a 1 +1 ' , .
n+ lx"+ +x" £2(x) avec 82 venfiant

et on peut écrire pour tout x > 0 : Jî)g(t)dt :

c) lim E2(x) = 0
x-->O

x>0

d) 82(X) = 81(x)

On suppose dorénavant que g est continue sur R+ et strictement positive sur ]0, 
+ °o[ et on

OEæ(t)dr) 1

j;g(t)dt

0 six=0*

üx>0
associe à g la fonction G définie sur R+ par G(x) :

14. Soit u la fonction déclasse 'EUR2 sur [D, + °o[ , telle que u" = g et u(0) 
= u'(0) = 0
. La fonction u est:
. a) strictement positive et bijective sur ]0, + co[
b) négative ounulle surR:h '
et on a la relation :

c) Vx20 G(x) : %.)ÏÂË

d) Vx>0 G(x) : W

15. La fonction G : .
a) est strictement positive sur ]0, + oo[ car la fonction xu'(x) -- u(x) est 
strictement
croissante

-b) peut s'annuler sur 10, + oo[
c) est continue en 0 car G(x) < x Vx > 0
d) n'est pas continue en 0 car G n'admet pas de limite en 0

16. La fonction G est:
a) dérivable sur R+ car u et n' sont dérivablesl _
M(X)u"(X)

2
(u'(X))
c) strictement décroissante sur ]0, + oo[ car u" = g est strictement positive 
sur
]0, + °°[

b) dérivable sur R+* et Vx> 0 G'(x) : _

n+l
+2

d) dérivable à droite en 0 et G'(O) : dans le cas où g vérifie la condition de 
la

:

question 13

17. Une fonction g continue sur :[0, + oo[ et strictement positive sur ]0, + 
°°[ telle que G
soit la restriction à :[-O, + «[ de la fonction f, doit vérifier sur R+* :

_ a) (x--shx)fig(t)dt+(chx-- 1)g(x) = 0
b) ((2chx--1)x--shx)Eg(t)dt--(chx--1)JÎ)(og(t)dt)ds =

c) E(£g(t)dt)ds : 7t(shx--x) avec À.>O
d) g(x') = Àchx avec X>O

On suppose que g est la fonction définie sur R+ par g(x) : arctan(x + 1)

18. Cette fonction _g est:
a) indéfiniment continûment dérivable et strictement positive sur [0 , + °°[
b) continue mais non dérivable s'ur Ï[O , + oo[
ne); continue et--strietemen--t croissante sur [»0 ,--+ eo[-- donc -bijeet--ive-
d) continue, croissante mais non injective surj[0 , + °<>[ ' '

19. On a pour tout x e R+, la relation :

&) Ëg(t)dt : xg(x)+£t--â--îdt

dt

b) JËg(t)dt : (x+ l)g(x)-âln(f+2x+2)+âln2+fi m
, +

. ,2
c) JÎ)g(t)dt : (x+1)g(ar)--ln %+x+ 1--Z--î

2 ' 2
@ Eïg(f)df = %8(Û+â--ln %+x+1

20. On peut alors exprimer G(x) pour tout x & R*+ sous la forme :
2

{ x2g(x)+ln +x+1
a)G(x)= @ 2 )x
2(x+1)g(x)-1n(î +x+l)--%
x2 2
x--g(x)+ln +x+1
b) G(x) : 2 (2 )x

2
x TC
(x+l)g(x)--ln ,--î+x+l--z

2 x2
x g(x)+x--ln(--+x+l)

_c) G(.x) = î
2(x+1)g(x)--ln(ä--+x+1)---1--2E
2
x2g(x) -- x + ln(% + x +1)
(1) G(x) ': A

2
2(x"_"2)g(x)----111(%+x+1)--%t

" 21. Le développementlinfité au voisinagéde*1,à1'ordre'n;'n'e N* 
{de1ä"fôfi"ctiôfi"ïëtlnî
est de la forme :
2 ' ::
t(t-- 1) + + t(t-- 1)
2 n

2 "(:--1)"
n(n--l)

a) t(t--1)+

+(t--1)"e(t)

, (t--l)
b) t--1+ 2

t3 n

c) t ----2--+...+(--1) n_1

2

+ + (-1)

'+(t--1)"£(t)

+ t"è(f)

t(t--1) +m+(_l)n_ir(t--1)"

2 n +(t--1)e(t)

d) t(t-- 1)--

22. Au voisinage de Ole développement limité à l'ordre 2 de arctan (x + 1) 
s'écrit :
2

__ 1 t _ x x 2
a) arctan(x+ 1) -- Ë(Ï_fi+tel(t))dt - Ï_Î+x ez(x)
" __ 7: 1 . 1 _ 1: 'x 2
b)aretan(x+1)_z+2j'g t2dt--Z+î--x £2(x)
1+(t+--)
2
et le développement limité de la fonction -G--Î--) au voisinage de 0 est de la 
forme :
TC x2 2
G xz+Î+x 81(x)
c) ... = ___-_-- : 1+e(x)etonaG'(0) = 1
' x %x+xaz(x)
7: 2 2
--x +x sl(x) 2 2
d) G(x) : [j'--_-- : --+e(x) carln(£+x+l) : x+£--+x2£3(x) etona
x 11: 2 2 2 2 2 .
zx +x 82(x)
G' -- 3
' 2

L'application linéaire f de l'espace vectoriel E de base B E : (el, e2, e3, e4) 
dans l'espace

vectoriel F de base B F = (81, 82, 83) est.définie par f (x, y, z, t) = (X, Y, 
Z) où

X = x--y--Xz+t
Y : Àx--y--z+£ %. étant un paramètre réel. On note M la matrice de f
Z : --x+ky+(Ü+À--l)z--kt
dans les bases BE et B,.--

23.

a) La matrice M ne peut être définie car les espaces vectoriels E et F ne sont 
pas de
même dimension.

Si elle existe, la matrice M s'écrit :

il --1
b)M= -1--1 2 x

--l--1k+k--l

11 --7\..

1-1 -x 1
c)M= 1-1 -1 1

_1 7l. x2+x_1--x
1 --_1. --7_t 1
7r --1 --1 1

--1xxz+x-1-x
o_o o o

d)M=

24. La matrice M , si elle existe :
a) ne peut être que de rang 4

b) est de rang au plus égal à 3 car M admet 2 colonnes opposées
03 n'est pas une matrice carrée par conséquent son rang est inférieur à inf 
(dimE, d imF)
d) a ses vecteurs colonnes qui forment une base de F

On transforme la matrice M , si elle existe, à l'aide des 2 opérations sur les 
lignes suivantes :

L2 -- À.L1 ---> L2 puis L3_ + L1 ---> L3 et on note M ' la matrice ainsi 
obtenue.

25.
a) Toutes les lignes de M' sont proporfionnelles
1 --l --7» 1
b) M' = 0 7L--1À2--1 1->.

'ox--1x2-1i--x
1 ' >. -1
. 2

1--7. 7.-1 >.2--7t--2
1 1 _).

d) M' est semblable à M

26.

à) Toute opération élémentaire sur les lignes ou sur les colonnes de M ne 
modifie pas son
rang

b) La matrice M' sera différente si les 2 opérations sont effectuées dans 
l'ordre inverse
c) M a 2 colonnes opposées et M ' aussi

d) M a 2 lignes opposées donc M' aussi

27. .
à) dimKerf : 2 pour K2 = 1
b) dimlmf : 1 pour ?» = --1
C) J' est injectif pour ?» = 0 et X = 2

d) f est un morphisme bijectif pour 12 $ 1

On suppose À. : 1 dans les 3 questions suivantes. '

28.
a) x--y --- z + t = 0 est une équation de Kerf
b) X : Y : Z sont des équations de Imf
c)" Ke rf est un sous--espace vectoriel de F de dimension 3
d) Imf est un espace vectoriel de dimension 1 car rang M = 1

29. Soient les matrices T : l'MM et U = 1M 'M si elles existent:

4 4

a) les produits M 'M et 'M M ne sont pas définis car les matrices M et 'M ne 
sont pas
carrées

b) T et U sont des matrices carrées d'ordre 3

c) T et U sont des matrices carrées d'ordre respectivement 3 et 4

d) T = U donc M et 'M commutent

30. Les matrices T et U si elles existent sont:

&) réelles et symétriques
b) réelles et antisymétfiques
et la matrice U vérifie:

c) rangU = rang('MM) =(rangM)'°'
. 3 '
d) detU = @) (detM)2 car det('M) = detM

10

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



ENAC Mathématiques toutes filières 2000 --
Corrigé
Ce corrigé est proposé par Vincent Nesme (ENS Ulm) et Sébastien Desreux (ENS
Ulm) ; il a été relu par Yacine Dolivet (ENS Ulm) et Pierre-Yves Rivaille (ENS 
Lyon).

L'épreuve se compose de deux problèmes indépendants.
Le premier problème, qui porte sur l'analyse, vise à étudier quelques résultats
tournant autour d'une équation différentielle. Il fait appel aux fonctions ch 
et sh,
dont on doit connaître les variations et les dérivées, ainsi qu'aux 
développements
limités et aux intégrales (en particulier le théorème d'intégration par 
parties).
Le second problème est consacré à l'étude sommaire d'une application linéaire
entre deux espaces vectoriels ne possédant pas la même dimension. Il fait appel 
à des
manipulations simples de matrices et à des considérations autour du théorème de 
la
dimension.
Cette épreuve est particulière pour deux raisons.
Premièrement, c'est un QCM. Une réponse partielle ou en partie fausse ne donne
pas de point ; il faut donc être sûr de sa réponse, ce qui est d'autant plus 
difficile que
l'énoncé est par endroits ambigu ; il faut alors se demander s'il s'agit d'un 
piège ou
d'une simple négligence de l'auteur du sujet.
Deuxièmement, il y a 30 questions mais il ne faut répondre qu'à 25 d'entre 
elles.
Il s'agit de se montrer sage dans le choix des réponses, d'autant plus que, 
comme
nous le verrons, les réponses proposées sont truffées de pièges. Il faut savoir 
choisir selon son tempérament ; vous sentez-vous plus assuré avec une courte 
réponse
théorique ou une longue réponse calculatoire ? Si les deux vous conviennent, 
nous
vous conseillons d'écarter en premier les questions pour lesquelles au moins 
l'une des
réponses proposées est ambiguë (en particulier les questions 15, 18 et 24).

Indications

Partie I
Avant toute chose, étudier la parité de f .
1 Se ramener à un terme de la forme

1
, où u tend vers 0.
1-u

2 Exploiter la parité de x ch x - sh x.
4 Utiliser la définition de la dérivée en un point.
5 Exploiter les résultats de la question 3.
6 Prendre garde aux justifications proposées.
8 Étudier f (x) - x et utiliser la parité de f .
9 Penser au recollement en 0.
10 Prendre A = 1 pour y0 .
13 Peut-on intégrer les DL ?
14 Intégrer par parties.
16 Utiliser le résultat de la question 13.
17 Utiliser l'expression de f et celle de G trouvée à la question 14.
19 Intégrer par parties.
20 C'est une application directe de la question 19.
21 Se ramener à un développement limité au voisinage de 0.

Partie II
23 Utiliser la définition de la matrice associée à une application linéaire.
27 Utiliser le théorème du rang.
28 Les lignes de M sont proportionnelles entre elles ; ses colonnes également.
29 Quand peut-on définir le produit de deux matrices ?
30 Que peut-on dire d'une matrice à la fois symétrique et antisymétrique ? Quand
peut-on calculer le déterminant d'une matrice ?

Partie I

Dans toute cette partie, même si cela n'est pas stipulé dans l'énoncé,
 désigne à chaque question une application définie sur un voisinage de 0
à valeurs dans R telle que lim (x) = 0 (sauf à la question 21). C'est une
x0

fonction « générique », une notation, dans le sens où l'on considère qu'elle
peut changer d'une ligne à l'autre pendant le calcul sans que son nom change.
Remarquons qu'il faudrait s'assurer que  est intégrable, puisqu'on l'intègre 
dans le sujet. Mais en fait chaque  est continue (donc intégrable).
Enfin, il est judicieux d'étudier la parité de la fonction f dès à présent.
Les fonctions x  R 7 x ch x-sh x et x  R 7 ch x-1 étant respectivement
impaire et paire,
f

R

est impaire.

Ce résultat sera souvent utile par la suite. En particulier, dans tout 
développement limité de f en 0, les termes de degré pair doivent être nuls.

1 La fonction ch est la partie paire de l'exponentielle. Par suite, son DL en 0 
à
l'ordre 5 est la partie paire du DL en 0 à l'ordre 5 de l'exponentielle, soit
ch x - 1 =

x2
x4
+
+ x5 (x)
2
24

Pour calculer le DL en 0 de 1/(ch x - 1), il faut utiliser celui de 1/(1 - u) :
1
= 1 + u + u2 + u3 + . . . + un + un+1 (u)
1-u
donc

1
1
1
2
= 2
= 2
2
ch x - 1
x
x
x4
x
+
+ x5 (x)
1+
+ x3 (x)
2
24
12
1
2
= 2
ch x - 1
x

soit

A

B

x2
1-
+ x3 (x)
12

C

D

E

2 Supposons que l'on ait trouvé un DL en 0 à l'ordre n de la fonction x 7 x ch 
x -
sh x (il se termine par xn (x)). Pour trouver celui de f , il faut multiplier 
le premier
DL par celui de 1/(ch x - 1), dont la partie principale est 2/x2 . Ce faisant, 
on abaisse
de 2 l'ordre du développement limité.
Pour obtenir un développement limité de f à l'ordre 3, il faut effectuer
un développement limité de la fonction x 7 x ch x - sh x à l'ordre 5.

x2
x4

+
+ x5 (x)
 ch x = 1 +
2
24
3
5

 sh x = x + x + x + x6 (x)
6
120

Au voisinage de 0,

Par conséquent :

x ch x - sh x =

x3
x5
+
+ x6 (x)
3
30

La réponse d) pouvait être exclue d'emblée car la fonction x 7 x ch x - sh x 
étant
impaire, tous les termes pairs de son DL en 0 doivent être nuls.
A

B

C

D

E

3 Au voisinage de 0, on a :

 3
x5
2
x2
x
6
3
f (x) =
+
+ x (x)
1-
+ x (x)
3
30
x2
12

2x x3
x2
=
+
+ x4 (x)
1-
+ x3 (x)
3
15
12
2x x3
x3
-
+
+ x3 (x)
3
18 15

=

2x x3
+
+ x3 (x)
3
90

f (x) =
On en déduit lim f
x0

R

(x) = 0, d'où :

f est continue sur R si est seulement si l = 0.
Dans la suite de cette partie, on pourra utiliser f (0) = 0.

A

B

C

D

E

4 La justification donnée en a) est bien sûr absolument fausse. Par exemple, 
l'application x  R 7 |x| est continue sur R, mais pas dérivable en 0.
La justification donnée en b) est également erronée. Par exemple, si g est une
fonction dérivable sur R, alors sa restriction à R prolongée en 0 par la valeur 
g(0)
est dérivable sur R, puisque les deux fonctions sont identiques.