X/ENS Modélisation PSI 2007

Thème de l'épreuve Production d'une onde lumineuse de fréquence double dans un cristal anisotrope
Principaux outils utilisés électromagnétisme dans les milieux, ondes électromagnétiques
Mots clefs biréfringence, optique non linéaire, doublement de fréquence

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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CX 7612

MODÉLISATION EN SCIENCES PHYSIQUES
ET SCIENCES DE L'INGENIEUR

DURÉE: 5 HEURES

Aucun document n 'est autorisé.

L'usage de calculatrices électroniques de poche à alimentation autonome, non 
imprimantes et sans
document d'accompagnement, est autorisé, une seule à la fois étant admise sur 
la table ou le poste de
travail, et aucun n 'échange n 'est autorisé entre les candidats.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé, il le signale sur
sa c0pie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives 
qu'il est amené à prendre.

Le sujet comporte 23 pages et un document réponse

Introduction

Les sources laser1 actuelles ne permettent pas de couvrir toute l'étendue 
spectrale des ondes
électromagnétiques: seules quelques plages particulières de longueurs d'onde 
sont efficacement
générées, les valeurs correspondantes dépendant essentiellement des propriétés 
des matériaux utilisés.
Pour autant, les applications commerciales sont en attente de sources laser 
efficaces pouvant couvrir
une gamme de longueurs d'onde étendue, allant de 200 nm à 20 pm. Les débouchés 
visés sont
extrêmement variés et vont de la détection de traces gazeuses (pour déterminer 
un indice de pollution)

\

a la télémétrie militaire, en passant par la photolithographie ou encore 
certaines techniques
chirurgicales.

Pour générer tout ce panel de longueurs d'onde, une solution consiste à 
convertir la fréquence optique
des sources laser actuelles en les associant à des cristaux qui permettent un 
effet optique non linéaire.
Ce phénomène a été découvert en 1961, soit une année seulement après 
l'invention du laser.

L'objectif de l'étude présentée ici est d'identifier les paramètres essentiels 
qui gouvernent l'efficacité
d'un tel processus non linéaire de conversion de fréquences optiques. Ces 
interactions ayant lieu au
sein de matériaux cristallins, il est essentiel de s'intéresser avant toute 
chose aux propriétés optiques
spécifiques de ces cristaux, ce qui fait l'objet de la première partie. La 
seconde partie aborde le
problème particulier du doublage de fréquence en utilisant une modélisation « 
ondulatoire » des
phénomènes optiques. La troisième partie, plus succincte, traite de la question 
en prenant un modèle
« corpusculaire » de la lumière : l'interaction n'est alors plus vue comme un 
doublage de fréquence,
mais comme une fusion de photons. La quatrième et dernière partie propose une 
courte synthèse de ces
différentes approches, et permet de choisir le modèle pertinent qui correspond 
aux conditions

expérimentales proposées.

Les différentes parties sont très largement indépendantes, sans toutefois 
l'être totalement. De
nombreuses questions peuvent être abordées et correctement traitées même si les 
questions
précédentes n'ont pas été résolues. Les candidats sont donc encouragés à 
avancer le plus loin possible
dans l'énoncé, en gardant à l'esprit que la démarche de modélisation et 
l'esprit critique comptent
davantage que la simple aptitude aux calculs.

1 LASER est un acronyme signifiant Light Amplification by Stimulated Emission 
of Radiation.
Page 2

Avant d'aborder le coeur du problème, nous tenons à rappeler ici les modèles 
utilisés pour décrire un
faisceau lumineux d'une part, et le matériau dans lequel il se propage d'autre 
part.

Modèle d 'un faisceau lumineux

Nous utiliserons essentiellement une description ondulatoire de la lumière, en 
supposant que toutes les

. . 2 , 'Î , - -
ondes sont planes, progress1ves et monochromat1ques . Le vecteur d'onde est 
note k et mater1ahse la
direction de propagation de l'onde. Toutes les ondes en interaction seront 
supposées avoir la même

direction de propagation : il est alors commode de définir un repère lié au 
laboratoire (0, X, Y ,Z ) tel
que l'axe (OZ ) soit colinéaire à la direction de propagation. Une onde 
électromagnétique est
constituée de deux champs, l'un électrique E et l'autre magnétique B , qui 
peuvent dès lors s'écrire3 :
ej(ax--kZ ) _"e'

=B-ejW--kz) --b

où e et b sont des vecteurs unitaires, (t) est la pulsation temporelle, et k = 
"lc" est le nombre d'onde

oe1 mal
Il
Im

dans le matériau considéré. Comme l'onde est plane, les amplitudes complexes E 
et _B_ sont

aE_a_E__ a_zg_ag_

supposées indépendantes du temps et des variables transverses : -------

---_-_---- EURt----+----
BX BY BX BY

Enfin, pour définir un faisceau lumineux, il convient de considérer que les 
amplitudes complexes _E_ et

ë sont définies dans un domaine d'étendue limitée : elles seront considérées 
comme nulles en dehors

d'un cylindre de rayon W , centré sur l'axe ( OZ ) comme le précise la Figure 1.

coupe transverse coupe longitudinale

Figure 1 : modèle spatial d'un faisceau lumineux cylindrique ; la zone grisée 
correspond au domaine
où l'onde est definie.

2 ces propriétés étant très bien vérifiées par les sources laser utilisées.
3 le choix du seul signe « -kZ >> n'est pas une omission ; il revient à 
privilégier une onde qui se propage dans le
seul sens des Z croissants, ce qui correspond à une réalité expérimentale.

Page 3,

Modèle du milieu cristallin

Les verres et les cristaux utilisés en optique sont des milieux non 
magnétiques, c 'est-- à--dire qu 'il n' y a
pas d'aimantation induite, M: O, et par conséquent B= ,u0 H, où po: ---475 107 
H m'1 est la

perméabilité magnétique du vide, et H le vecteur excitation magnétique. De 
même, ces milieux sont
des diélectriques, isolants et non chargés; la densité de courant et la densité 
de charges y sont donc

nulles: j= 0 et p= 0 respectivement

En revanche, le champ électrique associé à l'onde lumineuse peut induire une 
polarisation
macroscopique au sein du matériau. La répartition des charges internes à chaque 
atome est alors
modifiée": sous l'effet du champ électrique, les barycentres des charges 
positives (du noyau) et
négatives (du nuage électronique) se dissocient, et donnent naissance à un 
moment dipolaire électrique
induit, comme le montre la Figure 2.

Sam champ A vec un champ
appliqué ; _
b
.--._ "575;-
«EUR ':1-- '°-
&" ïË'Ë' '? *
«:",àä.' "' $... ,, _.
"'*'- '?ä--Yw "
\. \ ("' J£_ ,

i\"()_\-'t'ili (+)

Nuage électroniqlw (_)

Figure 2 : principe de la polarisation électronique.

Lorsque le champ associé à l'onde optique est faible devant la valeur des 
champs qui assurent la
cohésion de l'édifice atomique, la dépendance de cette polarisation induite 
vis--à--vis du champ

inducteur est bien modélisée par une relation linéaire5 : P = 80 -- ,}; - E , 
où 80 = 8.85 - 10"12 F--m'1 est la
permittivité diélectrique du vide, et }; est un coefficient sans dimension 
appelé susceptibilité
électrique linéaire. Dans les cas qui nous intéressent, c'est un coefficient 
purement réel6.

Pour rendre compte à la fois du champ électrique inducteur et de la 
polarisation induite par celui-ci
dans le matériau, il est nécessaire d'introduire une nouvelle entité7 : le 
vecteur déplacement électrique,

définitpar B=£O-Ë+B.

4 cette justification ne concerne que la polarisation dite « électronique » ; 
d'autres causes de polarisation peuvent
intervenir, mais la polarisation électronique est prépondérante dans le cas des 
diélectriques.

5 les valeurs des champs intra--atomiques sont typiquement de l'ordre de 1010 à 
1011 V-m'1 ; la relation linéaire
proposée reste valable pour des valeurs de champ électrique incident allant 
jusqu'à 105 à 106 V"-m".

6 ce qui revient à négliger l'absorption.
7 cette démarche est parfaitement analogue à celle qui aboutit à définir une 
aimantation M et un champ
d'excitation magnétique H dans un matériau magnétique, qui sont alors reliés 
par H = B / ,UO ---- M .

Page 4,

Une fois ces relations constitutives établies, il faut considérer les équations 
de Maxwell valables dans
un milieu matériel. L'ensemble des équations modélisant le matériau peut donc 
s'écrire :

{p=0 F=g,gË Î5=g,Ë+F

1=0 M=0 B=y0 H
div(Ë)=0 Ë(Ë)=--%Ê
dlv(Ë)=o fi(ÿ)=?äë

Interaction envisagée

Ces deux modèles étant posés a priori, l'objectif de l'étude est de modéliser 
l'interaction entre l'onde
électromagnétique incidente et le matériau non linéaire. Le processus choisi 
est le plus simple qui
soit : il s'agit de générer une onde de fréquence double, ce phénomène étant 
aussi appelé génération de
second harmonique. La modélisation de cette interaction pourra nous amener à 
affiner les modèles
retenus, tant pour l'onde incidente que pour le matériau dans lequel elle se 
propage.

Le matériau retenu pour réaliser la génération de second harmonique est C 
dGeAs;.

En partant d'un faisceau incident (la << pompe ») de longueur d'onde 10.6 um, 
issu d'un laser C02, on

souhaite obtenir un faisceau le plus intense possible à la longueur d'onde 
moitié, soit 5.3 pm. Il s'agit
bien d'un doublage de fréquence, puisque la longueur d'onde 10.6 um correspond 
à une fréquence de,

2.83-1013 Hz alors qu'à la longueur d'onde 5.3 um est associée une fréquence de 
5.66 1013 Hz, c'est--à--
dire le double.

Page 5

\

1"re partie : optique linéaire cristalline

Cas d'un matériau isotmpe

Dans un matériau optiquement isotrope, la susceptibilité électrique linéaire 
est un scalaire, supposé
réel, et indépendant de la direction de propagation de l'onde: ;{ =Constantc. 
La permittivité

diélectrique relative, nombre sans dimension noté 8, , est alors définie en 
imposant la relation

constitutive8 D = 80 --8,_ -E .

ÆS Question I-1 :
Montrer que la permittivité diélectrique relative s'écrit EUR, = (l + ;{ ) , et 
vérifier que le champ

électrique est transverse, c'est--à--dire que div(E ) = 0 .

£S Question I--2 :
Montrer que les équations de Maxwell associées aux équations constitutives 
permettent
d'aboutir à l'équation d'onde de D'Alembert suivante pour le champ électrique:

3%"

al' =O.

?Æ(?Æ(Ë))+y,g,g...

gg Question I--3 :
Par un raisonnement sur les dimensions des différents termes de cette équation, 
montrer que

le terme #0 --80 --8 est homogène à l'inverse du carré d'une vitesse, notée v.

"'

Cette vitesse v correspond à la célérité de l'onde électromagnétique dans le 
matériau. La célérité de la

lumière dans le vide est quant à elle notée c, et elle est définie par ,UO -80 
--c2 =l. On définit
c

également l'indice optique d'un matériau par n = -- .
v

5 Question I--4 :
Exprimer v en fonction de EUR, et C', puis en déduire l'expression de l'indice 
optique du

matériau n en fonction de 8,_.

Dans le cas d'un matériau linéaire et non absorbant, l'amplitude complexe du 
champ électrique _E_ ne
dépend pas de Z. La dérivée temporelle et les opérateurs d'analyse vectorielle 
prennent alors des

Ë _. . _ ___--. _-- _-- -- _--
formes simplifiées:%Ï--<=>jü)--E ; le(E)@--jkoE ; rot(E)c=>--jkAE.

% Question I--5 :
Déterminer la relation entre k = "k" , n , a) et c qui permet à l'expression 
choisie pour E

de vérifier l'équation de D'Alembert9.

' encore une fois, cette démarche est à rapprocher de celle qui définit la 
perméabilité magnétique relative d'un
matériau magnétique, ,a}, , par la relation B = flo - ,a}, -H .

9 la formule développée du double produit vectoriel est rappelée en annexe, 
page 23/24.

Page 6

Les vecteurs D et H, sont pris sous la même forme que celle choisie pour E et B 
:

5 = Q--ej> par exemple, la réponse du milieu (id est la polarisation ?) ne 
soit pas la même si le

champ électrique E est dans le plan du feuilletage ou au contraire orthogonal à 
ce plan.

10 les candidats prêteront attention à ne pas confondre vecteur polarisation, P 
, et direction de polarisation du

_--

champ électrique associé à l'onde, matérialisée par le vecteur unitaire @ .

Page 7

La susceptibilité électrique linéaire % d'un milieu anisotrope n'est alors plus 
représentée par un

scalaire, mais par une matrice, toujours supposée réelle. En pratique, nous 
admettrons qu'il existe une
repère orthogonal qui permet une écriture diagonale de ){ ; ce repère, appelé 
repère optique, est lié à

la maille cristalline du matériau, et sera noté en lettres minuscules : ((),x, 
y,z). Dans ce repère, la

relation constitutive P = 80 -- Z- E reste vraie, et s'écrit sous forme 
matricielle :

Xxx 0 0 Px 80 .Zxx 0Ex
P = 80 - 0 %,}, 0 --E , c'est-à--dire P) = 80 - ,}jyy --Ey

Il apparaît alors clairement que les vecteurs D = 80 -E + P et E ne sont en 
général plus colinéaires ;

cependant, comme le matériau reste non magnétique, les vecteurs H et B 
conservent la même

direction : la relation B = #0 --H est préservée.

Pour un matériau uniaxe, ce qui correspond au cas de CdGeAs2, deux valeurs 
propres de la matrice ,1/

sont égales. L'écriture est allégée en notant ;{xx = ly}, = ;{0 et ;{33 = }{e = 
;{0.

Nous supposerons que la relation D = 80 -8,. -E est toujours valable.

Æî Question 1--10 :
Montrer que la permittivité diélectrique relative EUR, est alors également une 
matrice dont

l'expression dans le repère optique sera donnée en fonction de ,1/0 et X. .

Cette écriture matricielle de la permittivité permet de conserver également 
l'expression de l'équation
d'onde établie à la question 1--2.

5 Question 1--11 :
En raisonnant dans le repère optique (O,x, y, z) , montrer qu'en général le 
champ électrique

---ÿ

n'est plus transverse, ce qui revient à dire que div(E ) = 0 .

Avant d'étudier le cas général, il est riche d'enseignement de se pencher sur 
le cas particulier d'un

vecteur E orienté selon un axe du repère optique, c'est-à-dire (Ox) , (O)/) ou 
(02) .

.@5 Question 1--12 :

...--).

Dans chacun des trois cas particuliers proposés, vérifier que div(E ) reste 
nul, et montrer

que l'équation d'onde aboutit alors à deux valeurs possibles du nombre d'onde, 
notées ko et
k, , qui seront exprimées en fonction de ;{O et ;{e . Donner l'expression des 
indices optiques
correspondants, n et ne , appelés respectivement indice « ordinaire » et indice

0

« extraordinaire », et précisez les vitesses de propagation associées, VO et V, 
.

Page 8

Propagation dans une direction quelconque du milieu uniaxe

Pour une direction de propagation quelconque, on peut montrer qu'il y a 
également deux ondes, notées

(+) et (+), susceptibles de se propager dans le matériau, chacune ayant son 
indice optique propre, en
adoptant le classement trivial rt... 2 n(--). L'un des deux indices obtenus 
dépend de la direction de

_,

propagation de l'onde, matérialisée par k : il faut donc pouvoir repérer le 
vecteur d'onde dans le
repère optique. Compte tenu de la symétrie d'un matériau uniaxe, les axes (Ox) 
et (Oy) sont

équivalents, de sorte que la seule donnée pertinente est l'angle 9 que fait le 
vecteur d'onde avec l'axe

(OZ) , comme le montre la Figure 3(a).

(a) Z ---- cercle n("' (9) (b)

------- ellipse la") (49)

/

|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.!
\

no ne

Figure 3 (a) : définition du vecteur d'onde dans le repère optique en 
coordonnées sphériques.
(b) : configuration vectorielle des champs et des vecteurs d 'onde dans CdGeAsg.

Pour chaque valeur de 9, la résolution de l'équation d'onde permet de calculer 
la valeur des deux
indices. Pour le matériau considéré, CdGeAs2, on aboutit alors à une 
représentation graphique de cette

dualité de l'indice optique, présentée sur la Figure 3(b) en exagérant l'écart 
entre no et ne. Il apparaît

que l'une des deux valeurs de l'indice, rt... , reste constante, d'où la 
dénomination d'onde

«ordinaire». En revanche, l'autre valeur de l'indice, rt"), dépend de 9, d'où 
le vocable
« extraordinaire », et peut être représentée par une ellipse, de petit axe rt0 
et de grand axe ne .

Enfin, un calcul plus approfondi permettrait de déterminer la direction de 
polarisation de chacune des

_,

deux ondes associées aux deux valeurs de l'indice optique : e... est 
perpendiculaire au plan de la

___--,

figure, alors que e... est porté par la tangente à l'ellipse, comme le montre 
la Figure 3(b).

Pour chacune de ces deux ondes, (+) et (--), les résultats établis dans le 
cadre d'un matériau isotrope

restent vrais : ainsi (E(+',H(+),H(+)) et (D"',B"' ,k(+') forment des trièdres 
directs, de même que

nous conservons la relation ]... =%-rt"' (EUR) Ë-9-- _E_(+) 2, l'onde (+) étant 
associée à un indice
#0
, . .. "(+) . a) .. C
rt... (EUR) , à un nombre d'onde k... =---------- , et à une vitesse de 
propagation v... =... ; ces
6 rt

résultats sont transposables par symétrie à l'onde (----).

Page 9

Il existe cependant une différence importante entre les deux ondes : le champ 
électrique ordinaire est

transverse, soit div (EH)=O, alors que son homologue extraordinaire ne l'est 
pas, soit

div (E ...) = 0 , sauf dans les cas particuliers où 9 = O0 et 9 = 90° .

ÆS Question 1--13 :
En justifiant la démarche adoptée, compléter la figure reproduite sur le 
document--réponse

page 24/24 (à rendre avec la copie) en traçant les vecteurs unitaires b... = 
h... , b(_) = h...
ainsi que les vecteurs de Poynting associés aux ondes (+) et (----), pour 
lesquels une norme
arbitraire sera choisie car c'est la direction seule qui nous intéresse.

Angle de double réfraction et expressions des indices n... (9) et n°" (9)

_?

L'angle observé entre H... et HH est appelé angle de double réfraction, noté p. 
Il se traduit

phénoménologiquement par le fait que l'énergie lumineuse incidente se sépare en 
deux rayons
distincts, chacun ayant sa direction propre, et sa vitesse de propagation 
propre. Notons cependant que
les deux ondes conservent la même direction de propagation de l'onde 
(matérialisée par les vecteurs

k... et km qui sont colinéaires), même si elles sont associées à des directions 
de propagation d_e_

--------->

l'énergie différentes11 (matérialisées par les vecteurs Il... et H... ).

25 Question 1--14 :
Pour 96 [00,900] , indiquer quelles sont les valeurs de 9 pour lesquelles 
l'angle de double

réfraction est nul.

25 Question 1--15 :
L'équation donnant l'indice ordinaire est triviale: n... (9) = no. En adaptant 
l'équation
d'une ellipse12 à notre problème, déterminer l'équation donnant l'indice 
extraordinaire,
n... (9) , en fonction de 9, no et ne.

Æî Question 1--16:
En exploitant la Figure 3(b) et l'équation établie à la question précédente, 
établir

l'expression de la pente de la tangente à l'ellipse représentant la") (9) , 
notée p.

25 Question 1--17 :
Etablir une expression de l'angle de double réfraction, p , en fonction de 9 , 
no et n8 .

ÆS Question 1--18 :
Calculer la valeur de ,0 associée à la seule direction qui nous intéressera 
ultérieurement, à

savoir 9AP =33.58°, sachant que les indices principaux de CdGeAsZ à la longueur 
d'onde du

laser COZ valent no = 35046 et ne =3.59l 1. Donner également la valeur 
correspondante de

l'indice n... (HAP) .

" une analogie peut être faite avec une vague qui se propagerait « en crabe >> 
: la normale à la crête de la vague
correspond au vecteur d'onde, et n'est alors pas confondue avec la trajectoire 
d'un objet flottant.

12 les équations utiles sont rappelées en annexe, page 23/24.

Page 10

Séparation des faisceaux lumineux

La loi de Snell-Descartes régit les phénomènes de réfraction à l'interface 
entre deux milieux d'indices
optiques différents H1 et H2 ; elle s'exprime par la relation rtl --sin(i,) = 
n2 -sin(i2 ) , où i est l'angle

entre le vecteur d'onde k et la normale à l'interface. On s'intéresse à un 
faisceau lumineux
interceptant perpendiculairement la surface du cristal. Le milieu n°1 est donc 
de l'air, isotrope et

d'indice rz1 = l , alors que le milieu n°2 est CdGeAs2, donc anisotrope ; deux 
ondes sont susceptibles

de s'y propager, chacune avec son indice propre. L'onde ordinaire se comporte 
comme s'il s'agissait
d'un milieu isotrope: elle continue à se propager en ligne droite, alors que 
l'onde extraordinaire
avance « en crabe », comme le montre la Figure 4 ci--dessous, sur laquelle 
l'angle p a été nettement

exagéré pour une meilleure lisibilité.

E.

mcident

Cristal de CdGeAsZ

Figure 4 : exemple de séparation des rayons lumineux dans CdGeAs;.

.e< Question 1--19 :
En justifiant la démarche adoptée, compléter la reproduction de la Figure 4 
disponible sur le

document-réponse page 24/24 (à rendre avec la copie), en représentant la 
direction des
faisceaux lumineux (matérialisés par les vecteurs de Poynting correspondants) à 
la sortie du
cristal (id est dans l'air, après la traversée de la face de sortie).

.e5 Question 1--20 :
. ,, . . __ 13 , .
En supposant que les faisceaux ont tous la meme dunenswn transverse W , 
déterminer la

longueur LSép de cristal qui occasionne une séparation totale des deux 
faisceaux se

propageant dans le matériau, en fonction de ,0 et W. Faire l'application 
numérique pour

p =] .275 ° et pour W =lOO pm, ce qui correspond aux conditions expérimentales.

Cette séparation des faisceaux peut devenir un «frein» à la réalisation 
d'interactions optiques non
linéaires efficaces. Il conviendra donc de choisir des situations pour 
lesquelles l'angle de double
réfraction est le plus faible possible, voire nul, sous peine de ne pourvoir 
utiliser efficacement qu'une

faible longueur de cristal.

13 cette dimension est définie àla partie intitulée « modèle d'un faisceau 
lumineux », au début de l'énoncé.

Page 11

\

2°""' partie : optique non linéaire --- aspect ondulatoire

Les interactions optiques non linéaires de conversion de fréquences les plus 
efficaces impliquent le
plus souvent 3 ondes. Dans le cas simple qui nous intéresse, à savoir le 
doublage de fréquence (ou
génération de second harmonique), deux ondes incidentes de même pulsation a) et 
de vecteurs d'onde

___-'

respectifs k1 et k2 interagissent dans le cristal non linéaire en induisant une 
polarisation non linéaire

___--'

PNL à la pulsation double 20), qui rayonne à son tour une onde de pulsation 260 
et de vecteur d'onde

_, _ ___--___,

163. Il y a donc trois champs électriques, E,(w), E,(w) et Ê(2æ), qui se 
propagent

simultanément dans le cristal, ce qui peut être représenté par le schéma donné 
sur la Figure 5.

Figure 5 : schéma de principe d'une interaction de doublage de fréquence.

Notons que le milieu étant à la fois non, linéaire et anisotrope, les deux 
ondes incidentes, bien qu'ayant
la même pulsation, peuvent avoir des directions de polarisation différentes, 
donc des vecteurs d'onde
et des indices optiques différents ; elles doivent de ce fait être distinguées 
par les notations ] et 2.

Mise en équation

Les champs présents sont toujours choisis sous la forme d'ondes planes, 
progressives et

monochromatiques; leur direction de propagation commune reste alignée avec 
l'axe (OZ ), mais

leurs amplitudes complexes dépendent désormais de la variable d'espace Z. Leurs 
expressions
respectives sont donc :

___--_, ___--_. ___--,

(w)=a(2)-WW) ; a--WW)-e2 ; É(,w)zë3(z),,æ...)_,3_

Efil

Ces trois champs induisent chacun une polarisation d'origine linéaire :

___--, ___--' _. ___--...,

Ë(æ)=go°Ïr°--Ëi(æ) ; Pz(a))=go°/Ï2°Ez(w) ; P3(2w)=80°Ï3°E3(2w)°

La non-linéarité occasionne une polarisation supplémentaire PNL (260) à la 
pulsation 20) dont seule

la projection sur e3 nous intéresse. Cette composante projetée s'écrit :

ä(2w).èg : 0 ÏÉË) (fil (z) ,eÏ(CÙÏ--kiz) ) (ë2 (Z) . ej(ax--ng) ) ,

où là? est appelé coefficient effectif non linéaire d'ordre 2, et s'exprime en 
m--V'l.

Page 12

Notons que ce coefficient effectif Z$ dépend de la direction de propagation, 
repérée par 6', et des

---- _

directions de polarisation des deux ondes incidentes, repérées par 61 et 82 . 
Notons également que les

susceptibilités électriques linéaires ;{1 , ,ï, et % sont a priori matricielles 
: chacune d'entre elles est

donc associée à une valeur « ordinaire », indicée o, et à une valeur << 
extraordinaire », indicée e.

ÆS Question II-1 :

Exprimer la polarisation totale à la pulsation 20), Î'(2(0), puis établir 
l'équation

différentielle vérifiée par le champ de second harmonique --E: (260) , et 
montrer qu'elle peut

se mettre sous la forme :

___ __ __ 82 E? Za) 2_--* --
rot(rot(E3 (20))))+;10 --50 -8,3 ---(--â--(,----)-)- = --fl0 ê--%;ÊÊË,
1+ ){_,0 0 0
où la permittivité relative à la pulsation 20) s'écrit EUR,_3 = 0 1+ ,}{30 0
0 0 1+13,

Nous avons donc une équation de D'Alembert, où la non-linéarité apparait comme 
un terme source qui
sera traité comme une perturbation, les termes principaux restant ceux issus de 
l'optique linéaire.

En projetant l'équation d'onde obtenue sur la direction de polarisation de 
l'onde de second

___--'

harmonique, et en utilisant le fait que 63 est indépendant du temps, nous 
obtenons donc :

__,__,__ __ azîzï" a2îffzf,
rot(rot(E3 (20))))-e3 +,uO -80 --8,3 w = --,u0 -----£---A--/-Là--(Ï(Ï--)--Î--).

Les amplitudes complexes étant désormais fonction de Z, nous ne pouvons plus 
utiliser les opérateurs

simplifiés: notamment, l'opérateur rot(E) n'est plus équivalent à --jkAE . Les 
ondes restent

cependant planes, c'est-à-dire que leurs amplitudes complexes ne dépendent ni 
de X ni de Y.

De plus, nous supposerons que l'onde générée à la pulsation de second 
harmonique est ordinaire:
nous avons donc div(E3 (2æ)) : 0 , ce qui revient à dire que le champ E3 (260) 
est transverse. La

validité de cette hypothèse sera établie par la suite.

.aç Question ll--2 :

_, 82 (E3 (2w))o

Montrer qu'alors nous pouvons écrire14 ?6i (fôî (E3 (20)))) = ---

Pour pourvoir continuer sans que les calculs ne deviennent trop fastidieux, il 
convient ici de faire une
approximation, dite de « l'enveloppe lentement variable » : l'amplitude 
complexe, même si elle
dépend de Z, est supposée varier lentement. En particulier, sur une période 
spatiale, la variation du
module de l'amplitude pourra être négligée, ce qui se traduit mathématiquement 
par :

a%a

Î6î ( i--Ëi (E3 (20)))) se met sous la forme d'un terme principal, (lg) -E3 
(20)) , qui est celui

2 ___--'>

obtenu dans le cadre de l'optique linéaire, et d'un terme de perturbation à 
déterminer.

L'effet de la non--linéarité étant traité comme une perturbation de l'optique 
linéaire cristalline, les
résultats établis en première partie sont toujours valables en première 
approximation, ce qui revient à

2
. 2 (250) _ . . . . _
conserver la relation (k3) : 8,3 - 2 pour chacune des ondes, ordinaire et 
extraordinaire, et donc
(:
, . . . . ., k3 -C
la définition des indices associes : 1/23 = .
( 2w)

,@5 Question II-4 :
Montrer alors que pour vérifier l'équation d'onde, le terme de perturbation 
déterminé à la

question ll--3 doit être compensé par le terme source non linéaire, ce qui 
s'écrit

_ 8 E_ (Z ,. OE_3 82 Î(2w)-Ë
2-].k3.__£_ä3îfi.61(2 À.Z)=_fl0_ (NLat2 3)_

25 Question II--5:
En utilisant l'expression de PNL (260)oe3 donnée dans l'énoncé, établir 
l'équation

différentielle vérifiée par l'amplitude complexe _E_3 (Z ) , et la mettre sous 
la forme suivante :

ÔE Z '-- . . _
_":3__(_l : _ ] (1) 3/2? -_E_l (Z) - E2 (Z) - e+J'Ak'Z , où Ak est un paramètre 
à déterminer.

32 6-113 _

Cette expression fait apparaître les deux paramètres essentiels qui nous 
occuperont ensuite : le
coefficient effectif non linéaire d'ordre 2, 252? , qui doit être non nul, et 
le désaccord de phase, Ak -- Z ,

qui correspond au déphasage entre la polarisation non linéaire et le champ 
qu'elle rayonne.

Pour intégrer cette équation, une autre hypothèse simplifie grandement les 
calculs: il s'agit de
l'approximation dite de « la pompe non dépeuplée ». Cette hypothèse stipule que 
la génération du
champ à la pulsation de second harmonique, 261), se traduit par une dépendance 
forte de _E__, en
fonction de Z, mais qu'elle est sans effet notable sur les amplitudes complexes 
des champs incidents :
_E_l et _l_î_2 sont alors supposés indépendants de Z. Cette approximation reste 
valable lorsque le

. . 15 ,
rendement de l'interaction ne depasse pas quelques pourcents.

25 Question Il-6:
Dans ces conditions, intégrer l'équation différentielle et déterminer 
l'expression de

_E_3 (Z = L) , en choisissant une condition initiale pertinente.

15 le rendement de l'interaction est défini comme le rapport de la puissance 
générée à la pulsation de second

harmonique sur la puissance totale incidente.

Page 14

Rappelons que l'éclairement, c'est--à-dire la densité surfacique de puissance, 
a pour expression

_1..

80 2 . . . . . .
2 n-- --- |E_l . Dans la question suivante, toutes les ondes en interaction sont

#0

supposées parfaitement superposées pendant toute la traversée du cristal, ce 
qui revient à négliger
l'angle de double réfraction.

générique ] =

25 Question II--7 :
Etablir alors l'expression de l'éclairement généré à la pulsation 20) après la 
traversée d'un
cristal non linéaire de longueur L, et le mettre sous la forme suivante :

,a a) 2 -2\ 2 . Ak--L 2
2° ? : («/éfl)) . SII] --ä----
l3(2w,Z=L)= 0" _n -n .L2--I,(w,Z=O)--I,(w,Z=O)-- -----W--
1 2 3 ___--
2

Notons que les éclairements incidents ]1 (60,2 = O) et 12 (((),Z = O) restent 
inchangés tout au long
de la propagation au sein du cristal, du fait de l'approximation de la pompe 
non dépeuplée. Ils seront
notés plus simplement ]1 ((l)) et 12 ((£)) .

Accord de phase

Pour bien comprendre l'influence du désaccord de phase sur l'éclairement généré 
à la pulsation 20),

la Figure 6 représente l'évolution de 13 (20), L) en fonction de L, pour deux 
valeurs de Ak .

Figure 6 : évolution de ! 'éclairement généré & 260 en fonction de la longueur 
du cristal pour deux
valeurs différentes de Ak. Les unités choisies sur les 2 axes sont arbitraires.

25 Question II--8 :
Parmi ces deux courbes, une seule correspond à la valeur Ak =0. Préciser 
laquelle, en
justifiant la réponse.

Page 15,

L'objectif étant de générer une onde de second harmonique intense à la sortie 
du cristal, il apparaît ici

clairement la nécessité absolue de travailler à désaccord de phase nul :Ak= 0. 
Cette contrainte est
appelée « condition d'accord de phase >>.

% Question II--9 :
Quelle relation cette condition impose--t--elle entre les trois indices 
optiques nl , n2 et 113

Montrer que si 171 = 1/12 = n3 , la contrainte est satisfaite.

Malheureusement, tous les milieux sont dispersifs, c'est--à-dire que la valeur 
de l'indice optique
dépend de la pulsation de l'onde. En particulier, pour le matériau CdGeAs2 et 
dans la gamme spectrale
qui nous intéresse, l'indice est une fonction strictement croissante de la 
pulsation. La relation

n1 = 1/12 = 113 est donc impossible à satisfaire, puisque les indices H1 et n2 
concernent la pulsation ((),

alors que l'indice n3 est associé à la pulsation 20).

Une solution existe cependant, en réalisant les interactions non linéaires dans 
des matériaux
anisotropes. Ainsi, pour chacune des trois ondes, l'indice peut être choisi 
«ordinaire» ou

« extraordinaire », en orientant de façon adaptée les champs électriques des 
ondes incidentes.

La dispersion concerne les deux indices : n... ((O) < n(+'2 (2 (O)et n( ' ( (O) 
('2( (O.) Pour autant,
(--
n

et par convention, ces indices vérifient toujours nH ((O) < n... ((O) et n ' 
(2(O).<. ... (2(O).

ÆS Question 11--10 :
Parmi les 8 combinaisons possibles pour le choix des indices, éliminer (en le 
justifiant) celles

qui ne peuvent satisfaire à la condition d'accord de phase, c'est-à--dire Ak = 
0 . Montrer alors

que l'hypothèse stipulant que E3 (2(O) est « ordinaire », donc transverse, est 
validée.

Dans la suite, les deux champs incidents sont désormais supposés avoir la même 
amplitude complexe,
_E_l = E_2 , et nous nous limiterons à la seule configuration suivante, 
dénommée << type I » :
_ _ (+) . _ (--)
{"1 --n2 -n (à)),n3 -n (20))}.

Outre la dépendance en fonction de la pulsation, rappelons que l'indice (+) 
dépend également de
l'angle 9 qui définit la direction de propagation ; l'équation qui lie les 
trois indices n'est donc vérifiée
que pour une direction particulière, appelée direction d'accord de phase. 
L'expression de n... ((O, 9) a

__ _ --1.«'2
été établie dans la première partie: n +',((O 9)= ((n no (w)) 2 -(:OS2 (49) 
+(ne (w)) 2 --Sin2 (H)) .

ÆS Question II-- 11. °
Pour l'accord de phase de type 1, quelle est l équation qui relie H "(,(O 9)à 
nH (2(O, 9) ?

.@5 Question 11--12 :
A l'aide d'un graphe s'inspirant de la Figure 3(b), représenter les 4 courbes 
relatives aux

indices n... ((O,9) , n(_' ((£),9) , n(+' ( 2(O, @) et n(_) (2w,9) , en faisant 
apparaître la
direction d'accord de phase de type I. Montrer graphiquement que la condition 
nécessaire
pour qu'une direction d'accord de phase de type I existe est n, ((O) 2 no (2(O).

Page 16.

e: Question 11--13 :
Dans le cas d'un accord de phase de type I, la direction de propagation qui 
satisfait à la

condition d'accord de phase Ak = 0 correspond à un angle noté 9,1P . Etablir 
l'expression de

Q,}. , qui pourra faire intervenir les différents indices no (260) , ne (260) , 
no (60) et ne (60) .

25 Question 11--14 :
Connaissant les valeurs des indices principaux de CdGeAsz aux différentes 
pulsations

concernées, à savoir no (260) =3.5304, ne (260) =3.6209 ", (60) =3.5046 et ne 
(60) =3.591 ],

calculer la valeur de l'angle 94}, . Vérifier que n... (60, 94P) = n... (260, 
9.4P ).

Cette étude montre que la nécessité de travailler sous la condition d'accord de 
phase est une contrainte
forte. Elle impose d'une part la direction de propagation des champs incidents, 
ainsi que leurs

directions de polarisations respectives. Il peut d'ailleurs arriver que le 
coefficient effectif ,1/ÊÊ' associé

à une configuration de polarisation donnée soit nul ou trop faible pour générer 
un faisceau... de second
harmonique intense.

Dans toute la suite de l'étude, nous supposerons que la condition d'accord de 
phase est parfaitement
réalisée.

Eflet de l'angle de double réfraction sur la puissance générée

Nous n'avons pour l'instant pas encore pris en compte l'effet dû à l'angle de 
double réfraction:
l'angle ,a entre les vecteurs de Poynting des ondes ordinaire et extraordinaire 
limite le recouvrement

des faisceaux lumineux. Cet effet néfaste se fait sentir lorsque les cristaux 
sont plus longs que la
longueur nécessaire à la séparation des ondes, Lsép , dont la valeur a été 
calculée à la question 1--20.

Nous nous intéresserons à une tranche de cristal d'une épaisseur dX centrée 
autour de la position
X = 0 . Nous choisissons d'orienter Y de telle façon que tous les vecteurs de 
Poynting soient contenus

dans le plan (YOZ ) Dans le cas de l'accord de phase de type I, les deux ondes 
incidentes sont

_

extraordinaires, leur vecteur de Poynting Il... fait donc un angle p ( 60) avec 
la normale à l'interface,

comme indiqué sur la Figure 7, qui montre également le profil d'éclairement 
pour X ' = 0 et Z = L.

Figure 7 : profil d'éclairement généré & la pulsation 20) par une tranche de 
cristal située en X=O.

Page 17.

QS Question 11--15 :
Adapter l'expression de l'éclairement généré 13 (20),L) , donnée à la question 
Il--7, au cas
d'un accord de phase parfait. Cette expression n'est valable que si l'angle de 
double
réfraction p est nul : montrer que la puissance totale d£ (2w,L) , générée à la 
pulsation

20) et à la sortie du cristal par cette tranche d'épaisseur dX, est alors 
proportionnelle à L2 .

Ce résultat montre l'intérêt de travailler avec des cristaux << longs >>. Nous 
supposerons donc que
L > L , et les << effets de bords >> du profil d'éclairement seront négligés: 
ce dernier pourra être

sep '
simplement modélisé par un créneau en fonction de la variable Y. L'angle de 
double réfraction p est
supposé non nul, ce qui correspond au schéma de la Figure 7 et aux conditions 
expérimentales.

25 Question 11--16 :
En considérant un volume élémentaire de cristal, compris entre les cotes Yet Y 
+dY, justifier

que l'éclairement de second harmonique 13 (20),L) généré par ce volume est 
indépendant

de Y (sur une très large plage de valeurs de Y, hormis sur les bords). Quelle 
est l'expression
de la valeur maximale de l'éclairement ?

ES Question 11--17 :
En intégrant cet éclairement sur toute la hauteur du faisceau généré, montrer 
que la puissance

totale émise par la tranche d'épaisseur dX, d9; (2w,L) , est alors 
proportionnelle à L et non
plus à L2 .

5 Question 11--18 :
Tracer qualitativement d9â (2æ,L) en fonction de L pour les deux situations 
étudiées, à

savoir pour un accord de phase de type I, d'abord avec p=0 puis avec pi0. Les

candidats veilleront à bien montrer bien la situation à la fois pour L < LSép 
et pour L > LS @ .

Page 18,

'

3°""' partie : optique non linéaire ---- aspect corpusculaire

Dans tout ce qui précède, nous avons conservé une vision strictement 
ondulatoire du phénomène. Si
cette description suffit pour l'essentiel à rendre compte des observations, il 
est intéressant
d'appréhender le phénomène sous un autre angle. Cela permettra notamment de 
s'affranchir de
l'approximation de la pompe non dépeuplée, sans pour autant trop compliquer les 
calculs.

L'année mondiale de la physique (AMP 2005) étant passée par là, le photon ou « 
grain de lumière » et
ses propriétés quantiques sont sorties de l'anonymat. Rappelons cependant les 
principales
caractéristiques d'un photon associé à une onde lumineuse dont le champ 
électrique s'écrit:

_

E = E - ejW--kz)

_..--

--e : son énergie vaut16 cf = F...) et sa quantité de mouvement 1) = ñk.

Ainsi, la génération d'une onde de second harmonique au sein d'un cristal non 
linéaire peut--elle être
vue comme la fusion de deux photons incidents, d'énergies 51 = (_Ïz = ha) et de 
quantités de

mouvement respectives p1 = hkl et 192 = fik, : cette fusion consomme les deux 
photons incidents et
donne naissance à un photon d'énergie 53 = ñ--(2w) et de quantité de mouvement 
;)3 = hk3 . Nous

supposerons bien entendu que les trois quantités de mouvement sont colinéaires.

ÆS Question III--1 :
Montrer que lors de l'interaction entre les trois photons, l'énergie globale 
est conservée, et
que la condition d'accord de phase revient à conserver de la quantité de 
mouvement globale.

Pour simplifier, nous négligerons l'effet de l'angle de double réfraction. Ni 
(60,0) est le nombre de

photons associés à l'onde n°1 qui arrivent sur la face d'entrée par unité de 
temps et de surface (N
représente donc une << densité de flux de photons >>). A l'intérieur du 
matériau, cette densité est amenée
à diminuer du fait de la consommation des photons incidents pour générer des 
photons de second

harmonique: N1 dépend donc de Z, et doit être noté N1 (w,Z). Notons de la même 
manière
N2 (â),Z ) et N3 (260,2 ) les densités de flux de photons associées 
respectivement à l'onde n°2 et à

l'onde de second harmonique. Il est bon de remarquer que N3 (20), Z ) est nulle 
en Z = 0 .

ÆS Question III-2 :
En isolant une tranche d'épaisseur dZ et en effectuant un bilan des populations 
de photons
entrant et sortant par unité de temps et de surface, établir les relations qui 
lient les variations

8N1(a),Z) et E)N,(w,Z) etgénérée 8N3(2(0,Z)°
az az ' ' 32

des populations incidentes,

% Question III-3 :
Montrer alors que les trois populations vérifient les équations simples 
suivantes :

N1 (Cz),Z)+N3 (2w,Z) =N1 (w,0)
N2 (w,Z)+N3 (250,2) =N2 (50,0)
N1 (w,Z)--N2 (60,2) =N',(æ,O)--N2 (w,0)

h

16 h n'est autre que 5---- où h = 6.63'lO'34 J-s est la constante de Planck.
][

Page 19/

L'énergie globale associée à l'onde n°1 est la somme des énergies élémentaires 
des photons associés à
l'onde n°1. La densité de puissance associée à cette onde, c'est--à-dire 
l'éclairement, s'exprime donc

par: Il(æ,Z)=NI(OE,Z)-hw.

.é>5 Question III--4 :
Vérifier que Nl(æ,Z)ñw a bien la dimension d'un éclairement, et exprimer les

éclairements associés à l'onde n°2, 12 (&),Z ) , et à l'onde générée, 13 (260,2 
) .

On suppose désormais que les deux ondes incidentes comptent le même nombre de 
photons:
N1 (0), O) = N 2 (60,0) , ce qui simplifie les équations établies précédemment.

Æ Question III-5 :
Montrer que la densité de puissance disponible à la pulsation 260, 13(2(0,Z), 
est

nécessairement majorée par un terme que l'on explicitera en fonction de Il (ü), 
O) .

Il apparaît donc clairement que la puissance générée à la pulsation de second 
harmonique, même si

elle est proportionnelle à L'2 dans l'approximation de la pompe non dépeup1ée, 
ne peut croître au--delà
d'une certaine valeur dépendant de la puissance contenue dans les faisceaux 
incidents.

Pour résoudre le problème lorsque la pompe se dépeuple, repartons de l'équation 
différentielle relative
à l'amplitude complexe _E_3 établie dans la deuxième partie. En considérant un 
accord de phase

parfait, soit Ak = O, et en assumant que les deux champs incidents sont 
équivalents, soit

8|_E_3 (Z)l _ (f)-Æ

|_E_1 (Z )| : |E2 (Z)l , on aboutit à l'équation différentielle suivante : 
------------------ ---------------I_E_1 (Z )'2
ÔZ (: - 113
Cette équation reste délicate à intégrer, puisque l'évolution de 'E1(Z)l n'est 
pas connue.
.é5 Question III--6 :
Quelle est l'équation qui associe |_E_3 (Z)'2 à |_E_l (Z)l2 et à |_E_1(0)|2 '?
ÆEUR Question III--7 :
fi3(zll d E Z --' , _
En déduire l'intégrale vérifiée par |_E_3 (z)| : [ ......------ = _w -- ;{QËJ 
--Z .

2 }'l 2 -- .

Æ3(O)ll--E--1(O)l __ 3 'LE--3 (Z), 6 1/13
2 -- nl

On peut montrer que cette intégrale donne le résultat suivant :

_ (2)
a) ' Ïefl"

\/2-n1--n3--c

où tanh est la fonction « tangente hyperbolique », dont la connaissance n'est 
pas requise.

°Â1(O)|°Z '

ÆS Question III--8 :
Etablir alors l'expression de l'éclairement généré 13 (20),Z ) , en fonction de 
l'éclairement

_ 2
(2)

..." 'lél(0)l--Z
C

./2--nl--n3--

incident ll (G),O) et de la fonction tanh

Page 20.

L'évolution de la fonction (tanh (x))2 est donnée sur la Figure 8

, . . 2
Figure 8 : evolutzon des fonctzons x2 et (tanh(x)) .

QS Question III-9 :
Retrouver à l'aide de ce graphe l'expression du majorant de l'éclairement 
généré, déterminée
à la question Ill--5. Justifier l'allure de la fonction tracée pour les petites 
valeurs de Z, et
montrer que l'on retrouve alors les résultats établis dans la question lÏl-7.

ÆS Question III--10 :
Donner l'expression de l'éclairement incident 11 (60,2) , en fonction de 11 
(60,0) et de la

fonction tanh

ÆS Question III--11 :
Tracer alors qualitativement l'évolution des deux éclairements 11 (50,2 ) et 13 
( 20),Z ) en

fonction de Z.

On rappelle quelques valeurs numériques utiles n1 = 112 = n3 = 35304, c = 
3--108m--s'1,

@ = 1.78 - 1014 rad°s'l, £Ë,' =235 pm--V'l, #0 = 472"qu Hm"1 et 80 = 8.85 - 
lO--12 F°m"l.

% Question III--12 :
Sachant que 11 (w,0) =12 (((),0) =100 kW-cm'2, déterminer un ordre de grandeur 
de la

longueur de cristal L% nécessaire pour consommer la moitié l'éclairement total 
incident

] (æ,0)=ll(w,0)+12(w,0) : [% vérifie donc IÏOZ(a),LÂ)=l-l (60,0). Que peut--

ZÛÎ 2 ÏOÎ

on en déduire concernant l'approximation de la pompe non dépeuplée dans le cas 
d'un cristal
de longueur L = 5 mm ?

Page 21,

4ème

partie : synthèse

Les conditions expérimentales sont les suivantes : le faisceau laser de pompe a 
un rayon W = 100 um,
les deux ondes incidentes ont le même éclairement l1 (a),0) = 12 (60,0) = 100 
kW°cm"2, et la longueur

du cristal de CdGeAs; est L = 5 mm. L'accord de phase est parfaitement réalisé.

On rappelle quelques valeurs numériques utiles nl = n2 = rz3 = 35304 , c = 
3-108m°s'1,

&) =1.78 -- 1014 rad°s'l, Æ? =235 pm--v1, ,uO = 47z--10"7 H-m'l et 50 = 8.85 
--10"1'-- F°m"l.

Dans les parties précédentes, nous avons modélisé l'interaction non linéaire 
entre le milieu matériel et
les ondes électromagnétiques dans les différents cas suivants.

0 Si l'accord de phase est parfait (Ak = 0) , si l'angle de double réfraction p 
est nul, et si la

pompe peut être considérée comme non dépeuplée, la puissance générée à Za) 
s'écrit :

/U 60 2 '2' 2
2. 29_.[__£) .(Æfl>)
. '> -- ----'> 0 ' --2 --
£(2w,L)=x--W*-I3(Za),L)=7z--W"-----------------------------V-L .11(æ,o).12(æ,0).
"1°nz°n3

. Si l'angle de double réfraction p est non nul, les faisceaux ne se recouvrent 
plus totalement ;

lorsque L > Lsép = 9 mm, ? (2(0,L) est alors proportionnel à L et non plus à L2 
.

0 Si la pompe se dépeuple, en particulier lorsque le rendement de l'interaction 
dépasse quelques
pourcents, nous avons enfin montré que la puissance générée doit s'exprimer par:

[__--2--nl-n3 °C. Â1(Û)I°Z]

ÿg(2w,L)=rz--WZ--2--II(OE,O)-- tanh{

% Question IV-l :
En justifiant le modèle finalement retenu, calculer la valeur numérique de 52 ( 
20), L) .

25 Question IV-2 :
Calculer également la puissance incidente totale .?

101 (æ90) : OE(CÙ,O)+ÿÉ (60,0) , fit en
53(2w,L)

ÿ't(a),0)°

déduire la valeur du rendement de l'interaction : 77 =
t()
@5 Question IV-3 :

Discuter des différentes façons de procéder pour augmenter significativement le 
rendement
de cette interaction.

Fin de l'énoncé

Page 22/

Annexe

E X
Eléments d'analyse vectorielle : si Ë s'écrit Ey dans le repère ( X ,Y !,Z ) ,
EZ
BEZ _ BEY
BY BZ
. ---» BE BE,. BE ---- ---- BE.) BE
alors le(E)= X + _Y + Z et rot(E)= À ----- Z
BX BY BZ BZ BX
BEY _ BEX
BX BY
Double produit vectoriel : ;: A (; /\ îv) = (&oîV) ; -- (ii-3) îv .
Equation d'une ellipse : b
a
X 2 2
en coordonnées cartésiennes : (----) +(--Ë--] = 1 , avec a = 1/2 grand axe, et 
b = 1/2 petit axe.
a

Géométrie :

deux droites de pentes p et pi (non nulles) sont orthogonales si p -- p l = 
-----1 .

Page 23

Académie : Session : Modèle EN.

Examen ou Concours Série* :
Spécialité/option : Repère de l'épreuve :

... Epreuve/sous--épreuve :

::

2 NOM :

U {en majuscules, suivi s'il y a lieu, du nom d'épouse)

u.: , _ ° _

o Prenoms . N du Câfldldât

m

% Né(e) le : {le numéro est celui qui figure sur la

G convocation ou la liste d'appel)

u.:

5

::

U

*...

2

E'.

n:

w

2

Document-réponse (à rendre avec la copie)

Réponse à la question 1--13 :

cercle n(") (49)

---------- ellipse n... (9)

no

?
_ \ e
e( )® \\
"___--T' "
9 k(+) \
+., \
k(--) \
'.
| --
no ne x ou y
Réponse à la question 1--19 :
H(+)
___--_. k(+)
Eincident
k incident p e( +)
' ' <--> @ --'--+:> %
nincident EUR [I( ) k( )
Cristal de CdGeAs;

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



X/ENS Modélisation PSI 2007 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Jean-Julien Fleck (Professeur en CPGE) ; il a été
relu par Emmanuel Loyer (Professeur en CPGE) et Stéphane Ravier (Professeur en
CPGE).

Ce sujet, particulièrement bien conçu, nous entraîne dans les coulisses des 
phénomènes de biréfringence et de génération de faisceau optique par doublement 
de fréquence. Il se subdivise en trois grandes parties indépendantes auxquelles 
s'ajoutent
trois questions de synthèse nécessitant les applications numériques effectuées 
dans
chaque partie.
· La première partie résume et illustre ce que pourrait être un cours sur la 
propagation des ondes lumineuses dans les milieux diélectriques linéaires et 
isotropes.
Elle se prolonge par l'étude de milieux anisotropes (conservant tout de même
un caractère uniaxe), aussi appelés milieux biréfringents pour leur capacité à
séparer un faisceau incident non polarisé en deux faisceaux émergents polarisés.
· La deuxième partie porte sur la non-linéarité que l'on peut rencontrer dans
certains de ces milieux qui, à partir de vibrations de fréquence , fabriquent
une vibration de fréquence 2. Après une étude générale de la non-linéarité,
on explore les avantages et inconvénients de la biréfringence dans l'obtention
d'une certaine puissance de sortie.
· La troisième partie examine l'aspect corpusculaire qui n'a pas été pris en 
compte
dans la deuxième partie, entièrement ondulatoire. On y introduit le concept de
photon, ce qui permet de déterminer les équations d'évolution des intensités
des faisceaux et de décrire correctement le phénomène de saturation.
· La dernière partie, constituée de seulement trois questions, rassemble les 
avancées des parties précédentes afin de choisir le modèle caractérisant au 
mieux le
système expérimental utilisé.
Étant donné que l'énoncé traite du problème des milieux diélectriques, thème
hors programme en PSI, tous les éléments nécessaires à sa résolution sont 
fournis.
Particulièrement pédagogique et directif, c'est un supplément de cours à 
parcourir
absolument tant il sait faire apparaître simple les secrets de l'optique non 
linéaire et
non isotrope, sujet pourtant fort complexe au premier abord.

Indications
Partie I
I.2 Procéder comme pour l'équation de propagation dans le vide en utilisant les
équations de Maxwell-Ampère et Maxwell-Faraday.
I.7 Relier H à E via l'équation de Maxwell-Ampère.
I.8 La moyenne temporelle d'un cosinus carré vaut 1/2.
I.10 Penser à introduire la matrice identité de dimension 3 et refaire la 
démonstration de la question I.1.

-
Ez
I.11 Faire apparaître div E et donner une condition suffisante sur
.
z

-
I.13 Commencer par placer les vecteurs d . Le cas ordinaire est facile. Pour le 
cas

-

-

extraordinaire, penser que d est dans le plan des vecteurs -
e et k , tout en

-

-
étant orthogonal à k car div D = 0.
I.15 Chercher la représentation sous la forme z = n(+) cos  et x = n(+) sin .
I.16 La pente p s'exprime comme p = dz/dx, que l'on peut simplifier avec les
formules précédentes pour faire apparaître .
I.17 Introduire l'angle  que fait la tangente avec l'axe horizontal Ox. Il est 
tel que
|p| = tan .
I.19 De retour dans l'air, le comportement est à nouveau « ordinaire ».
Partie II
II.1 L'équation est la même que pour le cas linéaire, excepté le terme supplémen
-
taire dans l'expression de D .
II.2 Remarquer que E3Z = 0 et appliquer l'expression cartésienne du rotationnel.
E3
II.6 L'équation s'écrit
= -j e j k Z avec  paramètre constant.
Z
II.7 Mettre e j k Z/2 en facteur pour faire apparaître l'expression du sin(k 
Z/2).
II.12 Chercher un point d'intersection.
II.16 L'intensité augmente tant qu'il y a recouvrement.
II.17 Chercher une valeur minimale.
Partie III
III.6 Passer pour une équation sur les éclairements.
III.12 Remarquer sur la figure que tanh2 (0,9)  1/2.
Partie IV
IV.1 Comparer la longueur effective L du cristal aux deux longueurs 
caractéristiques
précédentes Lsep et L1/2 .

I. Optique linéaire cristalline

-
I.1 L'énoncé fournit les définitions des vecteurs polarisation P et déplacement

-
électrique D comme étant
-

-

P = 0  E

 -
-

-
D = 0 E + P
r

On a donc
d'où

z }| { -
-

-

-

D = 0 E + 0  E = 0 (1 + ) E
r = 1 + 

L'équation de Maxwell-Gauss s'écrit dans les milieux

-

-

-
0 = div ( D ) = div (0 r E ) = 0 r div E
La dernière égalité découle du fait que la susceptibilité électrique  (et donc 
r ) est
supposée ne pas dépendre des variables spatiales. Le produit 0 r étant non nul,
il vient

-
div E = 0
I.2 Calculons le premier terme de l'équation proposée
 -

- - -
-  B
rot (rot E ) = - rot
t

 - -
= - (rot B )
t

 - -
= -µ0 (rot H )
t
 -

 D
= -µ0
t t

-

- - -
2 E
rot (rot E ) = -µ0 0 r
t2
On obtient bien

-
-
B
- 
car rot E = -
t
(théorème de Schwarz)
car µ0 = Cte

-
-
D
- 
car rot H =
t

-

-
car D = 0 r E

-
-

-
2 E
- - 
rot (rot E ) + µ0 0 r
= 0
2
t

I.3 Le rotationnel du champ électrique a la dimension d'un champ électrique 
divisé
par une longueur. Sa dérivée temporelle a la dimension d'un champ divisé par un
temps. Il en résulte
[E]
[E]
+ [µ0 0 r ] 2 = 0
2
L
T
ou encore

[µ0 0 r ] =

T2
= [v]-2
L2

Le terme µ0 0 r est bien homogène à l'inverse du carré d'une vitesse v.

I.4 En utilisant la relation µ0 0 c2 = 1, on en déduit immédiatement
c
v= 
r

et

n=

r

I.5 À l'aide de l'équation démontrée à la question I.2 et de la formule du 
double
produit vectoriel rappelée dans les annexes de l'énoncé, on a

-
 -
-
 -
-

 -
-
 -

 -

n2 (j)2 -
n2  2 -
-j k  (-j k  E ) +
E = -[( k · E ) k - ( k · k ) E ] - 2 E
2
c
c
 -
-

-

La conservation du flux du champ électrique via la relation div E = -j k · E = 0

-
indique que le champ est transverse, perpendiculaire au vecteur d'onde k ; 
l'équation
se simplifie alors en
 -
 n2  2 -
-

k2 E - 2 E = 0
c
k 2 c2 = n 2  2

Il vient

I.6 L'équation de Maxwell-Ampère s'écrit en notation complexe
 -
-

-

-
-j k  H = j D = j 0 r E

-

-

-

Les vecteurs -
e et h qui portent respectivement E et H sont donc nécessairement
orthogonaux par définition du produit vectoriel. De plus, comme le vecteur de 
Poyn
-

-

ting  est porté par définition par -
e  h,
 -
-
 -

Les vecteurs ( E , H ,  ) forment un trièdre direct.

-
L'équation de conservation du flux du champ magnétique div B = 0 assure que le

-

-
vecteur B est orthogonal au vecteur d'onde k . En outre, on peut réécrire 
l'équation
de Maxwell-Ampère
 -
-

-
-µ0 j k  B = j D
 -
-
 -

assurant que le trièdre ( k , B , - D ) est direct. Par permutation non 
circulaire, on en
déduit

 -
-
 -
Les vecteurs ( D , B , k ) forment un trièdre direct.

 -
-
 -
 -
-
 -
I.7 ( D , B , k ) formant un trièdre direct, ( E , H , k ) en est aussi un. Par 
conséquent,
 -
-

k  H = -k H -
e

-

-

Projetée selon -
e , l'équation de Maxwell-Ampère exprimée en fonction de E et H

exploitée à la question précédente s'écrit

k H =  0 r E
n

= n  µ0  0
c
la norme du vecteur de Poynting s'écrit
Comme

k=

=

et

2
 0 n2 
Re E e j (t-kZ)
=n

n µ0  0

r

 r = n2

2
0 
Re E e j (t-kZ)
µ0