X/ENS Modélisation PSI 2006

Thème de l'épreuve Contrôle des vibrations pour les structures élancées
Principaux outils utilisés théorème du moment cinétique, algèbre linéaire, exponentielles de matrices

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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MODÉLISATION EN SCIENCES PHYSIQUES
ET SCIENCES DE L'INGENIEUR

DURÉE: 5 HEURES

Aucun document n 'est autorisé.

L 'usage de calculatrices électroniques de poche à alimentation autonome, non 
imprimantes et sans
document d'accompagnement, est autorisé, une seule à la fois étant admise sur 
la table ou le poste de
travail, et aucun n 'échange n 'est autorisé entre les candidats.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé, il le signale sur
sa 00pie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives 
qu'il est amené à prendre.

Le sujet comporte 16 pages

Ce sujet se propose de donner une première approche du problème du con-
trôle de vibration pour les structures élancées. Il s'agit, par exemple, 
d'éviter
les résonances destructives pour un pont en construction dont une extrémité du
tablier pend dans le vide. Pour cette première étude, on rarnënera le problème à
l'étude d'une poutre. La première partie aborde la modélisation d'un tel milieu,
la seconde l'étude vibratoire, la troisième propose une discrétisation du prob-
lème de manière à aborder dans la quatrième partie la détection et le contrôle
de l'état de la structure. Malgré la progression logique précédemment exposée,
ces parties peuvent être traitées indépendamment.

Figure 1: Géométrie d'une poutre au repos

Notations générales

0 Soit une fonction f(cc, t) de la variable d' espace a: et de la variable de
temps t, on note f la dérivée partielle par rapport au temps de f: f= --1

o Pour une matrice (ou un vecteur) M, on note M ' la transposée de cette
matrice.

1 Étude du modèle de poutre

1.1 Hypothèses, vocabulaire et notations

Géométrie
Une poutre est un milieu solide dont une dimension est très supérieure aux
deux autres (on parle de structure élancée). On se place ici dans le cadre
simple où, au repos, la poutre est un prisme droit à section rectangulaire
On munit la poutre d'un repère naturel cartésien (O, ÎÊ, Î, _') où 0 est
le centre de la face de gauche, on note (voir figure 1):

. L longueur de la poutre (a: E [O, L]) ;

0 h demi--hauteur de la poutre (y EUR [----h, h]) ;

o b demi--profondeur de la poutre (2 EUR [--b, b]) ;
0 S aire des sections ;

. Sm ensemble des points d'abscisse a: au repos ("section droite");

0 G,; centre de Sac ;
0 I' = {G...oe EUR [O,L]} "ligne moyenne".

Inertie
On suppose la poutre homogène sur chaque section et on note :

o p la masse linéique de la poutre (kg/m);

. JZ moment d'inertie linéique de la section Sm autour de (G,...7)
(kg.m).

Cinématique (déformations)
On s'intéresse à un problème de flexion plane : la ligne moyenne se déforme
dans le plan (ÎÊ,Î), et on suppose que les allongements selon ?? sont
négligeables (voir figure 2). L'hypothèse fondamentale est que chaque
section Soe reste plane au cours de la transformation. On introduit

alors pour chaque instant t (voir figure 3) :

. v(a:, t) le déplacement de Goe selon îÎ (également appelé flèche) ;

. 9(sc, t) la rotation selon ? de la direction normale à la ligne moyenne
par rapport à la verticale ;

. 7(a:, t) la rotation selon ? d'une section droite par rapport à la di--
rection normale à la ligne moyenne.

Figure 2: Déformation d'une poutre

Figure 3: Déformation d'une poutre -- schématisation et paramétrage

Efforts intérieurs
Les efforts intérieurs ou efforts de cohésion représentent les efforts qu'une

partie de la matière exerce sur le reste de la poutre : si on suppose que
l'on coupe la poutre selon une section, les efforts de cohésion en cette

section sont les efforts qu'il faudrait appliquer sur la partie gauche de la
poutre pour que son état ne soit pas modifié. Etant donnée la cinématique
de sections rigides, on peut modéliser les efforts de cohésion sur chaque
section par un torseur Ç(a:, t). Ç(oe, t) représente donc les efforts appliqués
sur la partie gauche de la section SOE par la partie droite. Les éléments de
réduction de Ç(æ, t) sont une résultante T(oe, t)ÎÎ (effort tranchant) et un
moment en Gm (moment fléchissant) M (a:, t)? (voir figure 4).

Figure 4: Schématisation des efforts intérieurs sur la section Soe

Efforts extérieurs
Pour solliciter la poutre en flexion, on considère un effort linéique réparti

p(oe, t)Î, appliqué sur l'ensemble de la poutre, et un éventuel effort con--
centré F (t)--ÿ> appliqué sur l'extrémité droite de la poutre (point G L), voir
figure 5. Notamment p(oe,t) peut servir à modéliser le poids de la
poutre.

' /, p(x,t)ÿ
o®'/lk l\+\ Î 3__7__ E
E GL

Figure 5: Schématisation des efforts extérieurs répartis et concentrés

Petites perturbations
L'hypothèse des petites perturbations consiste à supposer les déplacements

et les déformations suffisamment petits pour pouvoir raisonner sur la con-
figuration au repos pour obtenir les équations d'équilibre, et pour pouvoir

assimiler la dérivation le long de la ligne moyenne à une dérivation par rap--
port àla variable a:. En conséquence, on peut systématiquement considérer
les angles 0 et 7 "petits" et linéariser les fonctions trigonométriques.

1.2 Préliminaires

Question 1.1 Donner les erpressions de S et Jz en fonction de h, b et p.

Question 1.2 Donner la relation différentielle entre 0(a:, t) et v(a:, t) (on 
rap-
pelle que 0(a:, t) << 1).

1.3 Obtention des équations d'équilibre

Question 1.3 En appliquant le principe fondamental de la dynamique à un
tronçon élémentaire soumis à un chargement linéique (voir figure 6), trouver
deux équations aux dérivées partielles reliant u(oe, t), 9(oe, t), 7(:c, t), 
T(x, t),
M(oe,t) et p(oe, t).

Figure 6: Équilibre sous chargement réparti

Question 1.4 En considérant l'équilibre d'un tronçon élémentaire & l'extrémité
droite de la poutre (voir figure 7), déterminer la valeur de l 'eflort 
tranchant et
du moment fléchissant en GL : T(L, t) et M(L,t).

F(t)ÿ
Ç(L--dx,t) î
W\
GL--dx GL

Figure 7: Equilibre sous chargement concentré à l'extrémité

1.4 Analyse locale des efforts

L'objectif de ce passage est d'expliciter les champs T (ac, t) et M (a:, t) 
définis sur
chaque section par des contributions élémentaires réparties sur chaque section.

On définit ainsi en chaque point Qæ(y, z) de la section Sm (on a GOEQOE(y, z) :
"") """) ° ; ; ° ' '
y y + z z ) un effort surfac1que élémentaire (on parle de vecteur contrainte, 
v01r

figure 8):

d2?æ + K(V.--.u) = 0 (12)

Question 2.6 En déduire que pouri # j, sachant que au.- ;£ wj, les modes V} et
V]- sont orthogonauæ au sens de M et K.

On introduit le quotient de Ray]eigh R :

K(u, u)

UEH, R(U)=m

(13)

Question 2.7 Que vaut le quotient de Rayleigh d'un mode propre ?
Par la suite on choisit de normer les (Vk) par la masse : M (Vk, Vic) : 1.

Question 2.8 Montrer que les modes propres rendent stationnaire le quotient
de Rayleigh ou autrement dit montrer que la différentielle de R est nulle en Vk
(on pourra s'intéresser à un champ légèrement "écarté" par rapport à un mode
propre (u : Vk + 5) et étudier les variations de R autour de Vk).

2.3 Utilisation des modes propres pour une étude transi--
toire

On admet que n'importe quel champ de H peut s'écrire comme la combinaison
linéaire de modes propres (éventuellement en nombre infini). On s'intéresse
maintenant au problème non--homogène et'on choisit de chercher une solution
v(aä,t) sous la forme suivante (le nombre de modes considérés, noté m, est un
entier fixé a priori) :

v(x. t) = 2 ...(t)...æ) (14)

Question 2.9 Par le même raisonnement qu'à la question 2.5 montrer que les
fonctions a.-- vérifient des équations difiérentielles découplées.

Question 2.10 Donner l 'expression des oz.-- pour le cas d'une poutre au repos
pourt < 0 puis soumise à un efiort concentré constant en bout de poutre.

2.4 Utilisation des modes propres pour une étude de vi-
brations forcées

On considère maintenant que la poutre est soumise uniquement à un effort
linéique p(a:, t) et que la dépendance en temps de p est une sinusoïde de 
pulsation

' p(a:, t) = sin(wt)P(æ) (15)

Question 2.11 Donner l'équation différentielle vérifiée par chaque coefi'icient
aj. Donner l'eæpression de la solution (sans chercher à déterminer les 
constantes

d 'intégration}.

Question 2.12 Que se passe t--il quand w tend vers une pulsation propre (w --> 
un,)?
Quel est le nom de ce phénomène, quelles peuvent en être les conséquences?

3 Discrétisation duproblème

Dans le cas général d'une structure complexe, il est rare d'obtenir un modèle 
con--
tinu exploitable, on applique alors une démarche de discrétisation. De manière à
contourner le problème de la discrétisation des équations aux dérivées 
partielles,
on choisit ici de proposer deux modèles discrets distincts pour représenter, de
manière approchée, la poutre. On étudie donc une poutre décomposée de deux
manières :

o par une succession de ressorts de traction verticaux de raideur Ak reliant
des segments rigides (appelés "éléments") horizontaux de longueur AL
(voir figure 12) ; le dernier élément est chargé par un effort concentré F,

o par une succession de ressorts de torsion de raideur Ar reliant des segments
rigides (appelés "éléments") de longueur AL (voir figure 13) ; le dernier
élément est chargé par un moment de flexion M L : FL.

Figure 13: Deuxième discrétisation : ressorts de torsion

On note pour i E HO,N]] ac,- = iAL (avec a:N : L). Le segment ]oe,_1,oe,--] 
forme
le ieme élément. On appelle v,-- (t) l'ordonnée du point d'abscisse a:,- et 
9,-- l'angle
formé par le ieme élément de poutre par rapport à l'horizontale. On néglige
les actions de la pesanteur.

3.1 Formalisme séquentiel

Question 3.1 Pour la première discrétisation, écrire l'équilibre d'un élément
de poutre, en déduire une récurrence entre les v,. Ecrire l'équilibre du dernier

élément.

Question 3.2 Dans le cadre statique (accélération négligeable}, déterminer les

'U,' (2 EUR HO,NH).

Question 3.3 Pour la seconde discrétisation, calculer l'équilibre d'un élément
de poutre, en déduire une récurrence entre les (9,). Ecrire l'équilibre du 
dernier

élément.

Question 3.4 Dans le cadre statique, déterminer les (O,--), i E [[1, N ]] On 
sup-
pose Vi EUR [[1,N]] 9,-- << 1, relier les (B,) aus: (v,-) et trouver 
l'empression-des
(U,), 'lEUR HO,N]].

Les modèles discrets sont fondamentaux pour l'étude de modèles donnés par des
équations aux dérivées partielles. Un critère essentiel pour les évaluer est 
leur
limite quand on raffine la discrétisation.

Question 3.5 On s'intéresse au passage à la limite des deus discrétisations
pour des problèmes statiques :

0 Vers quelle fonction de a: converge (v,) quand N ------> 00 pour la première
discrétisation (pour des raisons d'homogénéité, on posera Ak : â--Ë) ?

0 Vers quelle fonction de a: converge (v,--) quand N ----> 00 pour la deuxième
discrétisation (pour des raisons d'homogénéité, on posera Ar : %) ?

Question 3.6 Pour chaque discrétisation représenter graphiquement l'allure de
la solution pour N = 2 éléments et la limite obtenue à la question précédente.
Commenter (comparer éventuellement à la solution eæacte obtenue à la question

1.10).

Question 3.7 Pour un problème statique, on s'intéresse succinctement à un
chargement réparti constant par élément (qui se traduit dans l'équilibre d'un
élément par un second membre p,- pour les ressorts de traction ou m,-- pour les
ressort de torsion}. Pour les deux discrétisations, quelle est la régularité de
la solution si (p,--) (respectivement (m,) } tend vers une fonction continue ? 
si
(p,--) (respectivement (m,) ) tend vers une fonction continue par morceauæ ? 
Plus
que des démonstrations mathématiques, donner des interprétations physiques du
problème, éventuellement illustrées.

3.2 Formalisme matriciel

L'équilibre dynamique d'une poutre discrétisée peut se mettre sous la forme :
MV+KV=P (m)

où M et K sont des matrices carrées N >< N, Vt = (ul, . . . ,uN) et P est un
vecteur représentant les efforts extérieurs (puisque u0 : 0, il peut être 
éliminé).

Question 3.8 Donner l'expression de M, K et P pour la poutre discrétisée à
l'aide de ressorts de traction, soumise à un chargement F à son extrémité 
droite.

On admet que la matrice M est symétrique définie positive et la matrice K
est symétrique. Si on reprend la définition des modes propres ( "solution har-
moniques en temps du problème homogène") on trouve que la recherche de
modes propres discrets se traduit par un problème aux valeurs propres général--
isé :

fl£MW+K%=O (N)

Question 3.9 Montrer que les hypothèses formulées précédemment sur M et
K suffisent à l'existence de N valeurs et modes propres.

Question 3.10 Prouuer que si ca,-- 7é wj alors Vj et V,- sont orthogonaux au 
sens
des matrices M et K.

On choisit alors systématiquement de normer les vecteurs propres par la masse
(ie V,'MV,-- : 1).
Pour la suite on prend des matrices de la forme :

1 2 --1 0

M=m " ,K=k"1 " " ,P=F ;(18)
m -_ . _1 0
1 --1 2 1

où m et k sont des réels positifs homogènes respectivement à une masse et à
une raideur (ces matrices ne correspondent pas aux discrétisations précédentes,

mais conduisent à des calculs plus "légers"). On pourra noter Q : \/;'Â-.

Question 3.11 Pour une discrétisation à deux éléments, calculer les valeurs et
vecteurs propres du système.

4 Notions d'observabilité et de contrôlabilité

On considère le système décrit par l'équation matricielle :
MÜ+KV=P (w)

où M est une matrice symétrique définie positive de dimension N, K est une
matrice symétrique de dimension N, M et K ne dépendent pas du temps, V et
P sont des vecteurs de dimension N dépendant du temps. On admet l'existence
de N valeurs et vecteurs propres (w,,V,--) vérifiant

-uflfia+Kw=o oeoe

On admet que ces vecteurs propres sont orthogonaux au sens de M et K.
Pour les applications on utilisera les matrices de l'équation (18) de

dimension N = 2 (discrétisation en deux éléments).
Cette partie cherche des réponses à deux questions :

0 Est--ce qu'un protocole permet de connaître l'état du système ?

0 Est-ce qu'un protocole permet de modifier l'état du système ?

4.1 Notion d'état

Par état on entend non seulement la valeur des déplacements mais aussi la

vitesse a un instant donné. On introduit donc la variable d'état  : (V) , qui

est donc un vecteur de dimension 2N fonction du temps.

Question 4.1 Montrer que l'évolution de (I) est gouvernée par une équation
différentielle du premier ordre que l 'on écrira sous la forme

®=AOE+Ë oen
Donner les expression de A et 15.

Question 4.2 Que devient cette équation quand on l'étudie dans la base des
modes propres V(t) : Z,Ï=1 Vkak(t) ? Quelle est l'eæpression des matrices

associées ?

4.2 Systèmes linéaires commandés / observés

On considère ici que le chargement I3 est une commande imposée par l'utilisateur
de la forme Î'(t) : Bu(t) où u(t) est une fonction scalaire et B un vecteur
indépendant du temps. On considère également qu'un appareil de mesure sché--
matisé par un vecteur ligne D permet de capter une information scalaire w(t)
sur l'état du système. Autrement dit :

A<Ï> + Bu (22)


w D

Question 4.3 Donner l 'eæpression de (t) pour t > 0 avec (O) : OEd donné.

4.2.1 Stabilité

Un système est dit stable, si et seulement si pour toute condition initiale 
d et
pour toute commande u(t) bornée, l'état (t) reste borné.

Question 4.4 Montrer que le système est stable si et seulement si toutes les
valeurs propres de A sont à partie réelle négative. On pourra utiliser la dé-
composition de l'espace en sous--espaces propres de A et étudier l'évolution du

système sur chacun de ces sous-espaces.

Question 4.5 Le système de la poutre discrétisée en deua: éléments est-il 
stable?
Interpréter le résultat.

On note pour la suite le polynôme caractéristique de la matrice A sous la

forme
FA(A) = det(A -- AI) = A" + a1/\2N"1 + - . . + a... (23)

4.2.2 Commandabilité

Le système (22) est dit commandable si, pour tout couple d'états (d,a), il
existe un temps T fini, ainsi qu'une commande u(t), t E [O, T], qui appliquée au
système est telle que ((O) : d) implique ((T) : (Da).

L'objectif ici est de démontrer que (22) est commandable si et seulement si
la matrice de commandabilité

c = {BAE A2N--IB} (24)
est de rang 2N .

Question 4.6 Montrer que (22) est commandable si et seulement si la matrice

T
QC(T) : [, esABBtesA'ds (25)

est définie pour au moins une valeur de T strictement positive.

Question 4.7 Montrer que si T > O, QC(T) est définie si et seulement si G est
de rang 2N .

Question 4.8 Quelle est la matrice B associée à un efiort imposé en bout de
poutre ? Montrer qu'un tel système est commandable.

De manière à élaborer un contrôleur le plus simplement possible, on se place
dans une base adaptée (dite base canonique commandable).

Question 4.9 Montrer que, si le système (22) est commandable, il eoeiste un
changement de repère Pc tel que :

A, : PcAPc--1
{BC : PCB (26)
avec
0 0 1 0 0
BC = : , et AC : . . . . 0 (27)
0 0 . . . . . . 0 1
1 --02N . . . . . . --CL2 ----a1

Pour ce faire, on pourra considérer la dernière ligne L de l'inverse de la 
matrice
de commandabilité C et étudier des matrices du type :

L
LA (28)
LA'2'N...1
On appelle bouclage linéaire une commande pour (22) du type
u(t) = --R(t) + u(t) (29)

où le vecteur ligne R est appelé vecteur des gains de contre--réaction, et le 
scalaire
@ commande auxiliaire.

Question 4.10 Montrer, grâce au changement de base PC introduit dans la
section précédente, qu'il est toujours possible, par un choix judicieua: de R, 
de

stabiliser tout système du type (22).

Question 4.11 Proposer un bouclage linéaire R de sorte que le système de la
poutre discrétisée en deux éléments soit auto--amorti. Autrement dit, chercher 
un
bouclage R rendant la partie réelle de toutes les valeurs propres de A 
strictement
négative. On pourra, par eæemple, rendre les parties réelles toutes égales à un

même nombre strictement négatif.

4.3 Observabilité

L'objectif de l'étude de l'observabilité est de déterminer dans quelle mesure 
il est
possible de reconstituer l'état complet d'un système dont on n'observe qu'une

partie.
Kalman a montré que cette notion est duale de la commandabilité. Il n'y

a dès lors aucune surprise à ce que les questions suivantes (et leurs réponses)
calquent les résultats établis dans la section précédente.
(22) est dit observable si pour tout d, il existe un temps T fini tel que si
(O) : d, alors la connaissance de '(/)(t) sur [G, T] permet de calculer 
d.
L'objectif des deux prochaines questions est de démontrer que (22) est ob--
servable si et seulement si la matrice d'observabilité suivante est de rang 2N :

D

o = DA (30)

D Àé1v--1
Question 4.12 Montrer que (22) est observable si et seulement si la matrice

T
QO(T) =/0 eSAtD'DeSAds (31)

est définie pour au moins une valeur de T strictement positive.

Question 4.13 Démontrer la condition d'observabilité (on pourra invoquer le
résultat obtenu à la question 4.7}.

Question 4.14 On choisit d'observer le déplacement en bout de poutre. Quelle
est la matrice D associée ? Montrer que le système est observable.

Question 4.15 Si la paire (A, D) est observable, montrer qu'il emiste une ma--
trice inversible Po, telle que les matrices A et D, dans la base induite par PO
s'écrivent :

AO Po AP5 1

avec
Ü . . . . . . 0 --a2N
1
AO : 0 Do : (Ü 0 1) (33)
0 ----a2

Ayant caractérisé l'observabilité d'un système linéaire, se pose la question
de parvenir à construire un système équivalent au système complet, construit
uniquement à partir d'observations partielles. Pour cela, on introduit un 
obser--
vateur (I) de (1), c'est--à--dire une quantité qui converge vers @ quand la 
variable

temps t tend vers l'infini.
On appelle observateur asymptotique linéaire un système de la forme :

 : AÔ+Bu--AW(ib--w) (34)
w : DCI)

tel que @ tend vers (1) lorsque t ----+ oo, quelles que soient les conditions 
initiales
(O) et (O).

Question 4.16 Montrer, en se plaçant dans la base induite par Po, que tout
système linéaire commandé--observé admet un observateur asymptotique W. On

introduira l'erreur de l'observateur : e :  -- (I).

Question 4.17 Proposer un observateur asymptotique W pour la poutre dont
on observe le déplacement à l'extrémité.

4.4 Bilan commandabilité / observabilité

Grâce aux résultats démontrés dans les deux sections précédentes, on sait 
déter--
miner si un système est commandable et observable. Si tel est le cas, on sait
construire un contrôleur du système, ainsi qu'un observateur. L'idée naturelle
qui vient, est d'utiliser l'observateur, qui reconstitue l'état du système à 
partir
de mesures partielles, dans le contrôleur du système complet, qui est capable de
stabiliser le système vers toute commande prédéfinie.

Cette démarche s'appelle le principe de séparation estimation--commande.
On peut montrer que le contrôleur muni de l'observateur, stabilise le système
linéaire commandé--observable, quelles que soient les conditions initiales de 
(I) et

de (I).

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



X/ENS Modélisation PSI 2006 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Jean-Julien Fleck (ENS Ulm) ; il a été relu par 
Benjamin Levrard (Chercheur au CNRS) et Walter Appel (Professeur en CPGE).

Si vous cherchez un corrigé de physique, passez directement au suivant, celui-ci
contient essentiellement des mathématiques. Il n'est pas sans intérêt pour 
autant !
Son thème est la modélisation des vibrations d'une poutre.
· La partie I, la seule contenant véritablement de la physique, repose sur le 
principe fondamental de la dynamique et le théorème du moment cinétique afin de
mettre en équation le système de la poutre vibrante. Elle n'est pas 
fondamentalement difficile mais nécessite d'être sûr de soi lors de 
l'application du théorème
du moment cinétique, notamment quant à son point d'application.
· La deuxième partie présente une résolution fonctionnelle du système d'ordre 4
obtenu à la fin de la partie précédente à l'aide des fonctions propres du 
système
et des produits scalaires associés. Elle s'achève sur une résolution explicite 
dans
deux cas particuliers.
· La troisième partie entreprend une modélisation non continue ouvrant la porte
aux méthodes matricielles de résolution introduites dans la quatrième partie.
· Dans cette dernière, la plus mathématique du lot, des théorèmes très généraux
sur les systèmes linéaires commandés/observés sont démontrés, notamment en
ce qui concerne la stabilisation par bouclage linéaire. Remarquons que cette
partie est très proche du sujet de mathématiques posé au concours X/ENS,
filière PSI, en 2005.
Le sujet dans son ensemble peut être considéré comme très difficile, notamment
en temps limité. Il n'en demeure pas moins très intéressant conceptuellement 
puisqu'il décrit des méthodes de résolution mathématiques très générales, 
applicables à
n'importe quel problème physique ainsi discrétisé.

Indications
1.2 Regarder localement quel est l'angle vu lorsqu'on monte de dv après avoir 
avancé
de dx sur la poutre.
1.3 Ne pas oublier que le théorème du moment cinétique doit s'appliquer en un
point fixe du système.
1.8 Calculer les quantités dans l'ordre donné par l'énoncé, chacune se déduisant
simplement des précédentes.
1.13 Vérifier qu'au final on peut arriver facilement à l'équation (5) présentée 
dans la
deuxième partie.
2.2 Chercher la solution sous la forme
V(x) = A ch x + B sh x + C cos x + D sin x
2.5
2.8
2.9
2.10
2.12

afin de simplifier l'expression des conditions aux limites.
Intégrer K(Vi , u) par parties en se servant des conditions aux limites pour Vi
et de la définition de H.
Chercher à se débarrasser de la dépendance au premier ordre en  à l'aide de la
relation démontrée à la question 2.5.
Multiplier par Vk (x) et intégrer de 0 à L. Utiliser l'orthogonalité des 
fonctions
propres pour conclure.
Modéliser la force ponctuelle F par une force étendue valant F/x entre L - x
et L.
Que se passe-t-il quand on excite un oscillateur à sa fréquence propre ?

3.9 Montrer que M est inversible et considérer M-1 K.
4.3 Supposer (ou montrer brièvement) que les exponentielles de matrices ont 
toutes
les propriétés voulues pour écrire la solution d'une telle équation 
différentielle.
4.4 Décomposer sur les différents espaces propres pour majorer les différents 
termes.
4.6 En supposant le système commandable, montrer en premier lieu que
X  H

s > 0 T > s

t

X Qc (T )X > 0

Pour ce faire, prendre a = 0, d = X et faire apparaître Qc (T) en calculant
t
X X. Utiliser le fait que pour une matrice symétrique Qc (T ),

t
Ker Qc (T ) = X ; X Qc (T )X = 0
afin de montrer qu'il existe un T suffisamment grand tel que rg Qc (T) = 2N.
Pour l'inclusion inverser, poser
t

t

u(s) = B e (T-s)A ·Qc (T)-1 · M
et trouver l'expression de la matrice M.
t
t
4.9 Suivre l'énoncé et remarquer que L = e2N C -1 ou encore LC = e2N .
4.11 Pour ajouter une partie réelle -a aux racines , il suffit de remplacer  par
 + a dans le polynôme caractéristique de la matrice A.
4.12 Dire que le système est non observable équivaut à dire qu'il existe deux 
états
différents non discernables pour tout instant t.

I. Étude du modèle de poutre
Préliminaires
1.1 La surface d'une section vaut sa largeur 2h que multiplie sa hauteur 2b
S = 4hb
Le moment d'inertie d'une tranche dx autour de l'axe Gx z se calcule ainsi :
Z
Jz dx = dm y 2
Z h Z b
=
y 2  dx dy dz
y=-h z=-b
Z h
Jz dx = 2b  dx
y 2 dy
-h

d'où

Jz =

4
 bh3
3

1.2 Plaçons-nous entre les points x et x + dx. Sur le schéma,
on voit qu'un déplacement de dx vers la droite fait monter la
ligne moyenne de dv. Cette dernière fait un angle  petit avec
l'horizontale, de sorte que tan   . Ainsi,
(x) =

v
x

dv

dx

Attention, v est une distance, non une vitesse comme un coup d'oeil rapide
pourrait le faire penser.

Obtention des équations d'équilibre
1.3 Considérons un tronçon de poutre de masse  Sdx situé entre les abscisses x
et x + dx. Les forces s'appliquant sur ce tronçon se résument aux efforts 
tranchants
 à droite et -T(x)-
 à gauche ainsi qu'à l'effort extérieur p(x)dx -
T(x + dx)-
u
u
uy .
y
y
 s'écrit
Le principe fondamental de la dynamique projeté sur -
u
y
 Sdx

d'où

S

2v
= T(x + dx) - T(x) + p(x) dx
t2

T
=
+ p(x) dx
x
2v
T
=
+ p(x)
t2
x

au premier ordre

Appliquons à présent le théorème du moment cinétique au tronçon au point fixe O
du système.
Rappelons que le théorème du moment cinétique doit toujours être appliqué
à un point fixe, ce qui empêche ici de choisir le point Gx qui aurait pu 
paraître
pertinent. En un point O fixe et en projection sur l'axe des z, il s'écrit, 
avec JO
-- -

le moment d'inertie en O par rapport à l'axe des z et MO (Fi ) le moment de

-
la force Fi en O,
JO

d2  P-- -
= MO (Fi ) · -
ez
2
dt
i

Le (petit) angle de rotation variable vu du point O vaut v(x)/x. Le moment 
d'inertie
du tronçon en O peut être calculé à partir du théorème de Huygens. Comme le
déplacement selon y est négligeable, l'axe de rotation est quasiment à la 
distance x
de Gx , ce qui donne

dJO = dm x2 + Jz dx =  Sx2 + Jz dx

En sus des moments fléchissants provenant du torseur  en x et x+dx, il faut 
rajouter
les moments des efforts tranchants en x et x+ dx ainsi que ceux des efforts 
extérieurs.
dJO

 2 v(x)/x

= [M(x + dx) - M(x)] -
u
z
t2
--

-
--

-
--

+ OGx+dx  T (x + dx) - OGx  T (x) + OGx  -
p (x) dx

--

--
 Sx2 + Jz  2 v
M -
 OGx
T

-

=
uz +
 T(x) uy + OGx 
+ p(x) -
u
y
x
t2
x
x
x
--
, le seul terme non nul des produits vectoriels est celui
Comme OGx = x -
ux + v -
u
y
faisant intervenir la composante -
u
x . On peut donc projeter la relation précédente
-

sur uz pour obtenir

M
2v
Jz  2 v
 Sx +
=
+
T(x)
+
x

S
x t2
x
t2
Jz  2 v
M
=
+ T(x)
2
x t
x

et au final

1.4 Reprenons la relation fondamentale de la dynamique pour le dernier tronçon
2v
= F(t) - T(L - dx) + p(L) dx
t2
2v
F(t) - T(L) T
S 2 =
+
(L) + p(L)
t
dx
x
La quantité (F(t) - T(L))/dx devant rester finie pour dx  0 afin d'éviter que la
poutre ne cède, on en déduit
 Sdx

T(L, t) = F(t)
Il suffit de reprendre de même le théorème du moment cinétique pour en tirer
M(L, t) = 0