X/ENS Modélisation PSI 2005

MODÉLISATION EN SCIENCES PHYSIQUES
ET SCIENCES DE L'INGENIEUR

DURÉE: 5 HEURES

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L'usage de calculatrices électroniques de poche & alimentation autonome, non 
imprimantes et sans
document d'accompagnement, est autorisé, une seule & lafois étant admise sur la 
table ou le poste de

travail, et aucun n 'échange n 'est autorisé entre les candidats.

Autour des matériaux ciment et béton.

Le béton est un matériau qui a pris une place très importante dans le domaine du
génie civil depuis le début du siècle dernier. Des considérations économiques 
ainsi que
des possibilités très vastes de formulation et de mise en oeuvre sont à 
l'origine de ce
déve10ppement. C'est un matériau composite qui résulte du mélange de granulats, 
de ci--
ment, d'eau et éventuellement de particules fines ainsi que de faibles 
quantités d'adjuvants.
Le mélange frais réalisé lors de la fabrication est mis en oeuvre à l'intérieur 
de coffrages
qui jouent le rôle de moules. L'objectif de ce problème est de vous faire mieux 
connaitre
le matériau béton et de vous montrer qu'au--delà d'une technologie d'usage 
courant, il
nécessite une réflexion scientifique et un effort de modélisation important. Le 
problème

est construit en trois parties indépendantes (néanmoins nous vous conseillons 
la lec--
ture de l'intégralité du sujet), présentant des applications industrielles pour 
lesquelles une
modélisation des phénomènes est nécessaire.

1 Le ciment

Le ciment est la " colle " qui permet de lier entre eux les granulats. La norme 
eu--
ropéenne EN 197 le définit comme " un liant hydraulique, c'est à dire un 
matériau fine--
ment moulu qui, gâché (mélangé) avec de l'eau, forme une pâte qui fait prise et 
durcit
par suite de réactions et de processus d'hydratation et qui, après 
durcissement, conserve
sa résistance et sa stabilité même sous l'eau."

Le ciment, lorsqu'il ne contient pas de constituant secondaire, provient d'un 
mélange
d'environ 80% de calcaire et 20% d'argile. Ce mélange est broyé puis calciné a 
1450°C
dans un four. On obtient alors des nodules de "clinker" qui sont broyés pour 
obtenir le
ciment sous sa forme finale d'une poudre dont les grains ont quelques 
micromètres de
diamètre. Dans cette première partie nous allons nous intéresser à la 
caractérisation de
cette poudre et a la modélisation physique de l'hydratation.

1.1 Caractérisation du ciment

Comme nous le verrons plus loin, l'hydratation du ciment dépend de la taille 
des grains
de ciment : plus les grains ont une surface spécifique importante et plus ils 
sont réactifs. La
surface spécifique est définie comme le rapport entre la surface des grains et 
leur volume.
Elle est aussi souvent définie sous forme massique : c'est alors la surface 
développée par
un gramme de poudre.

1.1.1 Surface massique et taille des grains

En considérant des grains de masse volumique p, donner la relation liant la 
surface
spécifique SS et la surface massique S A [. En supposant que tous les grains 
soient sphériques
et de même rayon 7', donnez l'expression de la surface massique de poudre en 
fonction de
7' et de p. Compte tenu de la méthode de fabrication du ciment, que devra--t-on 
faire pour
augmenter sa surface massique et obtenir ainsi un ciment plus réactif '?

La mesure de surface massique peut se faire au moyen de méthodes physiques 
différentes

que nous allons etudier.

_ 1.1.2 Méthode Elaine

Dans cette méthode, après avoir créé une dépression, on fait passer de l'air à. 
travers un
volume de poudre de ciment. Le calcul de la surface spécifique repose sur une 
modélisation
proposée par Kozény.

112.1 Equation de Carman--Kozény

Soit un lit de poudre comprimée de hauteur L et de section A. La face 
supérieure est
soumise à une pression d'air P +AP et la face inférieure à la pression P. Sous 
la différence
de pression, un débit volumique Q d'air s'écoule au travers des espaces 
intergranulaires.

Q

HAP--»
P

FIG. 1---

On supposera dans ce qui suit que la différence de pression est assez faible 
pour que
l'on puisse négliger la compressibflité de l'air entre les deux faces ce qui 
revient 'a supposer
que le débit volumique est le même a travers les deux faces en régime 
stationnaire.

Notations :
v : volume des vides intergranulaires
Al : masse des grains du lit de poudre
p : masse volumique des grains
A, L : section et longueur du volume traversé
Va : A.L : volume apparent du lit de poudre
]) = "(>/Va : porosité du lit de poudre
SM : surface massique du ciment (en C7n2.g"1)
L'écoulement de l'air dans les vides intergranulaires est complexe. Pour 
simplifier son
étude, on modélise le problème. Deux hypothèses concernent la géométrie de 
l'espace des
vides, une troisième est relative à l'écoulement de l'air.

Hypothèse 1 : On assimile les vides à un canal unique de section constante 
quelconque a
et de longueur LEUR ;

Hypothèse 2 : Le volume des vides intergranulaires est égal au volume du canal 
(@ = a,.Le)
et la surface latérale du canal est égale à la surface externe des grains;

Hypothèse 3 : Le régime d'écoulement est laminaire. Il est régi par la loi de 
Poiseuille;
sous sa forme générale celle--ci s'écrit :

Q 7712 AP
ue :: -- : ___--
a' h0,U Le
Nous verrons dans la Partie 3 comment démontrer cette relation dans le cas d'un 
tube

cylindrique. Q est le débit a travers le canal modèle. m est le rayon 
hydraulique du canal,

(1)

FIG. 2 --

rapport entre le volume et la section latérale du canal. ho est un facteur de 
forme qui
caractérise la forme de la section du canal. il est la viscosité de l'air.

Exprimez le rayon hydraulique m en fonction de la surface massique S M, du 
volume
des vides @ et de la masse de ciment M" .
Après avoir exprimé le volume des vides de deux façons différentes en fonction 
de la
porosité 1), des longueurs L et LEUR et des sections A et a, et en posant % = 
Ill--0%, donnez
l'expression du débit Q en fonction de p, A, AP, SM, p, h, ,a et L.

Kozény a montré que pour des lits de poudres dont les dimensions sont comprises 
entre

1 et 100 nm, ce qui est le cas du ciment, la valeur de h peutêtre prise égale à 
5.

1.1.2.2 Le splitéam'etre de Elaine

Cet appareil permet de mesurer la surface massique des ciments. On la notera 
SMB.
L'appareil se compose d'une cellule dans laquelle est placé le ciment. La 
partie inférieure de
cette cellule est raccordée à un tube en U de section 5 contenant un liquide 
manométrique
(poids volumique æg). Une tubulure latérale permet d'aspirer de l'air ce qui 
fait monter le
liquide dans la branche de gauche. On notera : la dénivellation entre les deux 
branches.
La différence de pression entre les deux faces du lit de poudre est : AP : sw; 
. On ferme
ensuite le robinet d'aspiration.

La face supérieure de la cellule étant au contact de l'air à pression 
atmosphérique,
sous l'effet de la différence de pression, l'air s'écoule a travers la poudre 
et .: diminue.
La pression qui intervient dans l'expression de Carman--Kozény varie donc au 
cours de
l'essai. On utilisera la valeur moyenne AP... de cette pression calculée entre 
deux positions
repérées sur le tube. Soient 31 et sg, les deux dénivellations correspondantes 
et At le temps
de descente entre les deux repères.

Dans un tel splitéamètre le débit s'exprime par la loi de Darcy,

kA AP

@ = ----ÎÎ @)

où le est la splitéabilité du milieu (en 7712).

dEURillî'içiaäï ", {,
"31 ::EUR % dEUR ;;»
L: c:il::l: };

"i.

"&" Çc!lulEUR

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mme... """" " """" uw:mmcmqoe *... *36Î3üî m:::::mwmuc ::: temp: :
d£": lEUR<äaEUR: FIG.3 --Perméamètre de Elaine (d'après Granulats, sols, ciments et bétons, ed. Casteilla) a) A partir de cette expression, montrez que la loi de variation de z en fonction du temps t peut se mettre sous la forme : = 50 exp(--Àt). En déduire At le temps de descente entre les deux repères ::1 : SM) et :o : z(t;:) et enfin la pression moyenne définie par 4-- 1"2 APTR : ':TÏIOE. : _ 1 A: Z(Î)OE'[ dÏ (3) en fonction de :1, ::2 et to]. b) Exprimez le débit d'air moyen de l'écoulementà travers le lit de poudre entre les instants t1 et t:: en fonction de 5, At, :51 et :2. En 1 égalant au debit donné par la relation de Carman--Kozény, donnez l'expression de la surface massique SMB en fonction de p, At, p , L, A, w;, ,a, 31 et :2. 1 . 1 .2.3 Application On se propose de mesurer la surface massique d'un ciment de masse volumique p : 3,159.cm'3 au moyen de l'appareil de Elaine. On introduit une constante KB où sont regroupés les termes caractéristiques de l'appareil de Elaine utilisé : , L'appareil utilisé a une constante KB = 1500[SI]. Dans la cellule de splitéabilité dont le diamètre est 1, 5 cm, on compacte 2, 8 g de ciment sous une hauteur de lcm. Le temps d'écoulement du liquide manométrique entre les deux repères est égal à 100 3. Quelle est la surface massique Elaine S M B du ciment ? En supposant que les grains de ciment sont sphériques et tous de même taille en déduire le rayon de ces grains. 1.1.3 Méthode BET Définitions préalables : adsorption : c'est un phénomène général qui se produit lorsqu'un solide est au contact d'un gaz; celui--ci est retenu par les atomes superficiels du solide et se concentre a sa surface. Ce phénomène ne doit pas être confondu avec l'absorption qui indiquerait que le fluide a pénétré dans la masse du solide. désorption : c'est la libération du gaz retenu par adsorption a la surface du solide. La méthode BET (du nom de ses auteurs Erunauer, Emmett et Teller) est une tech- nique permettant d'obtenir la surface spécifique d'une poudre mais aussi d'un milieu poreux comme la pâte de ciment durcie. Elle consiste a faire adsorber sur la surface du matériau à étudier un gaz, en général du diazote, à sa température normale de liquéfaction. Pour cela on dispose d'une cellule d'adsorption contenant l'adsorbant. Le gaz est intro-- duit dans la cellule et on mesure la pression d'équilibre. L'introduction d'une succession de doses de gaz permet alors de déterminer l'isotherme d'adsorption point par point. Cette isotherme relie le volume V de gaz adsorbé a ar rapport entre la pression P du gaz et P0 sa pression de vapeur saturante. Rappelez pourquoi r = 3 est compris entre 0 et 1. Po 1.1.3.1 Adsorption en couche monomoléculaire (Langmuir) Les hypothèses sont les suivantes : -- il existe un seul type de site d'adsorption capable de fixer une seule molécule d'ad-- sorbat; -- il n'y a pas d'interaction entre molécules adsorbées. Lorsqu'une molécule venant de la phase gazeuse heurte la surface nue SO elle peut s'y fixer. Par contre si elle rencontre une fraction de surface déjà couverte S1 elle rebondit élastiquement vers la phase gazeuse. Ceci revient à. supposer que les actions de surface ne se prolongent pas arr--delà de la première couche. FIG. 4 ---- Adsorption en une couche monomoléculaire On suppose enfin qu'à l'équilibre on a la relation suivante : 51 = 01780 Où EUR est une constante. a) Exprimez alors l'équation de l'isotherme d'adsorption donnant î"' en fonction de "777, C et cr, ou V... est le volume d'adsorbat nécessaire pour recouvrir d'une couche mono- moléculaire la surface de l'adsorbant. On notera VO le volume d'adsorbat nécessaire pour recouvrir d'une couche monomoléculaire une unité de surface de l'adsorbant. b) Tracez l'allure de l'isotherme d'adsorption (appelée dans ce cas isotherme de type I ou isotherme de Langmuir) avec C = 100. 1.1.3.2 Adsorption en couches multimoléculaires (théorie BET) On note Si la surface recouverte par exactement i couches de molécules (Figure 5). Les hypothèses de cette théorie sont les suivantes : -- La vitesse d'évaporation des molécules adsorbées sur une couche est égale à la vitesse de condensation de l'adsorbat sur la couche précédente (à. l'équilibre l'évaporation est compensée par la condensation pour chaque couche) ; -- La première couche voit l'effet de la surface alors que les autres couches ne sont liées que par des forces de type Van der \\'aals comme dans un liquide. Dans toutes les couches autres que la première7 l'énergie d'adsorption est donc égale à l'énergie de liquéfaction de l'adsorbat (Ei : EL pour i > 1 où Eli est l'énergie molaire
d'adsorption de la couche i et E L l'énergie molaire de liquéfaction de 
l'adsorbat) ;

-- Il n'y a pas de condensation capillaire.

a) En supposant également que la vitesse d'adsorption sur une couche est 
proportion-

nelle a la pression P et a la surface de la couche inférieure et que la vitesse 
de désorption

est proportionnelle à la surface de la couche et fonction de la température T 
par le biais

d'une loi d'activation s'exprimant par exp( };E'T), montrez que l'équilibre 
entre couches
9!"
successives se traduit par : ai_1PS-_1 : bZ--Siexp(LE--L) avec ai_1 et bi 
coefficients de

proportionnalité.

? '

. gere cm.:1e

FIG. 5 -- Adsorption en couches multimoléculaires

On notera El l'énergie molaire d'adsorption de la première couche et Rgp la 
constante
des gaz parfaits.

b) En supposant de nouveau que 51 : COES@ et pour i > 1, S.- = 1135 -__1, i 
étant l'ordre

de la couche, montrez que : 92---- = 21 = . . . = 3L-- = g où g est une 
constante. Déterminez

ai a2 al'--1
g en fonction de P... E L et T. Donnez enfin l'expression de C en fonction de 
ao, bl, 9, El,

E L et T. C est appelée constante BET.

c) En sommant les surfaces recouvertes par O, 1, '2, . . .n couches, exprimez 
la surface
de l'adsorbant en fonction de 50, C , :t et n. Montrez que lorsque n tend vers 
l'infini la
série converge. Donnez son expression.

d) Donnez l'expression du volume V adsorbé sous la pression P en fonction de 
lfb. S...
C , 17 et n. h--lontrez que lorsque n tend vers l'infini la série converge. 
Donnez son expression.

e) On considère dans la suite que n tend vers l'infini. Exprimez l'équation de 
l'iso--

therme d'adsorption '-- en fonction de C et 17. Tracez son allure de variation 
avec C = 100.

'777
f) Calcul de la surface massique
On introduit la variable y = %--fi--;. Montrez que l'on peut écrire y : dl? + 8 
et ex--
primez %. et C en fonction de d et [13 . Donnez enfin l'expression de la 
surface massique
SMBET en fonction de M... du volume molaire de l'adsorbat u..., du nombre 
d'Avogadro NA

et de l'aire d'encombrement d'une molécule adsorbée dans la couche 
monomoléculaire A....

g) Application

La Figure (6) présente le résultat d'un essai BET obtenu non pas sur un ciment 
mais
sur une addition que l'on peut ajouter au ciment : un filler calcaire. Calculez 
la surface
massique SMBET pour le filler calcaire. En supposant que les grains de filler 
sont sphériques
et tous de même taille en déduire le rayon de ces grains.

Données :
,13 = O, 0098 g.cm'3
pour NZ à T = 77 K. 7\A=Ê--L : 4, 35.106 m"1

masse volumique du filler calcaire : 2, 74 g.cm"

O
"..:.
CD

?
.--.\

"A
E
U

\
22
>
|.
LIJ
m
:
le
"
O
C
O
LI.

0

FIG. 6 -- Résultat de l'essai BET pour lg de filler calcaire

1.1.4 Analyse granulométrique laser

L'analyse granulométrique laser permet de déterminer la distribution des 
tailles des
grains de ciment. Elle donne donc une information supplémentaire par rapport à 
la
splitéabilité Elaine et au BET. Nous allons étudier cette technique dans le 
cadre de la
théorie de F raunhofer qui est suffisante pour les matériaux cimentaires 
(taille des grains
> 1 pm).

a) Théorie de Fraunhofer -- Cas d'une ouverture circulaire

On considère un trou circulaire de rayon 7°, dans un écran opaque et éclairé 
sous
incidence normale par une onde plane monochromatïque de longueur d'onde À .

L'intensité lumineuse [(a) diffractée à l'infini dans une direction faisant un 
angle a
avec la normale au plan de l'écran est égale à,

J 13" ' | _ 2
[... = ]. (+.-->) <5>
.? smo
avec k-- ---- 7 où 10 est proportionnelà 7"1 et .Il est la fonction de Bessel 
définie par :
J1(u)1/Ou/02fiexp(znc0s9)ndndû (6)
=27ru '

La Figure (7) présente le graphe de variation de la fonction de Bessel. En 
déduire la
méthode de détermination du rayon 7'.

b) Cas d'un grain de ciment

On fait l'hypothèse que la diffraction sur un grain de ciment est la même que 
celle
d'une pupille circulaire opaque. En considérant la diffraction à l'infini dans 
une direction

FIG. 7 -- Graphe de la fonction de Bessel J1(u)

donnée de deux dispositifs complémentaires (une pupille circulaire opaque et un 
trou de
même rayon dans un écran opaque), expliquez pourquoi l'image de diffraction est 
la même
que celle calculée à la question précédente à l'exception de la tache lumineuse 
qui existe
au centre dans le cas du trou (on pourra s'aider en remarquant que la 
superposition des
deux cas complémentaires correspond à une pupille de transparence uniforme et 
égale à
l'unité). En déduire la méthode de mesure du rayon du grain.

(3) Cas de plusieurs grains de même taille

On se place dans le cas de grains de tailles identiques suffisamment dilués 
pour que la
diffraction s'effectue sur une particule à la fois sans interaction entre les 
particules. Mon--
trez que, l'intensité ne dépendant que de l'angle de diffusion a et du rayon 7° 
du grain, N
grains donnent une image de diffraction semblable et superposable.

d) Cas de plusieurs grains de tailles différentes

On suppose maintenant que l' on a un nombre fini n connu de tailles de g1ains 
appelées
classes granulaires. La répa1tition granulométrique en volume est définie pa1 
pj-- -- % ou
l] est le volume de la joemEUR classe granulaire et l' -- --ZÏ=1 l/j . Donnez 
une méthode
permettant de détermine1 la distribution granulométrique des grains.

e) Application

Le Tableau (1) présente un exemple de distribution granulaire (d est le 
diamètre) obte--
nue par granulométrie laser pour un ciment. A partir de cette distribution 
granulométrique
estimez la surface massique S...aser.

Donnée complémentaire : masse volumique du ciment : 3, 08 g.cm"3

u--- 128
...un--- 6 --

TAB. 1

1.2 Hydratation du ciment : modélisation physique

On va maintenant modéliser la réaction d'hydratation des grains de ciment. On 
utili-
sera pour cela une distribution granulaire de ciment simplifiée : la taille des 
grains varie
de 0 à 100 mn et chaque population de grains considérés comme sphériques de 
diamètre
d est représentée par la même fraction volumique, soit Vg(d) : ch où Vg(d) 
représente le
volume de grains de ciment de diamètre d et VC le volume total de ciment.

a) Comparez graphiquement les volumes cumulés C"Î"(d'= [: --%(6-- d9 obtenus 
avec
cette hypothèse et à partir du Tableau (1 ). Sachant que l'hydratation ne 
pénètre jamais
au--delà de 20 pm dans le grain, calculez la proportion de ciment ayant réagi a 
long terme.

b) Calculez l'énergie thermique dégagée totale dans ces conditions par un m3 de 
béton
utilisant ce ciment, puis déterminez l'élévation de température au coeur d'un 
ouvrage
massif (on supposera que cela correspond à des conditions adiabatiques).

Données : énergie thermique d'hydratation du ciment 400 J.g"1; le béton utilisé 
est
composé de la manière suivante : pour 1m3 , ciment 380 kg, gravier et sable 
1800 kg, eau
200L; Capacités thermiques massiques : ciment, gravier et sable 0, 
8k'J.kg"l.K"l, eau
4,18 k.].kg'l.K'lg

c) On suppose maintenant que la profondeur d'hydratation, e en ,um, est une 
fonction

de type : e(t) : 20 -- iÎ--Ê avec t en jours. Déterminez l'énergie thermique 
produite en
fonction du temps pour quelques valeurs de t (1, 2, 3, 4 et 8 jours). Tracez 
les graphes de

l'énergie thermique dégagée et du taux de dégagement d'énergie.

2 Béton au jeune âge

2.1 Thermo--activation de la réaction d'hydratation

La prise et le durcissement du béton sont le résultat d'un certain nombre de 
réactions
chimiques en lien avec le ciment et l'eau. Ce processus d'hydratation est très 
complexe et
fait toujours l'objet d'une activité de recherche importante. D'une manière 
générale, on
constate que cette réaction est exothermique et thermo--activée.

Dans les pièces massives, l'exothermie de la réaction d'hydradation du ciment se
traduit par une élévation de la température. Par le biais du phénomène de 
dilatation ther--
mique, les différences de température ainsi obtenues entre l'extérieur et les 
zones à coeur
peuvent donc avoir des conséquences mécaniques importantes. Celles--ci se 
manifestent en
particulier par l'apparition de fissures qui seront nuisibles à la durabilité 
de l'ouvrage dans
le temps.

La thermo-activation cor1esponda l'accélération de la réaction d' h\ d1atation 
du
ciment a\ ec l' augmentation de la tempé1atu1e. La vitesse de durcissement est 
ainsi plus

importante, ce qui conduit à une augmentation plus rapide des caractéristiques 
du béton
et en particulier de sa résistance mécanique.

Afin de modéliser le processus d'hydratation du ciment, l'idée essentielle 
consiste à
utiliser le degré d'hydratation { , défini de manière générale comme suit,

5 = --------"'S"" (T)

m8k(oo)

\

où msk(t) est la masse d'eau ayant réagi et msk(oo) la masse d'eau nécessaire a 
une
hydratation totale. Sur la base de cette définition, la cinétique de la 
réaction d'hydratation
est couramment modélisée par une loi d'Arrhénius, qui permet de mettre en avant 
le
caractère thermo--activé de la réaction :

5 = A> = /tA(â)eXp ("È--%?) dr <12>

L'âge équivalent teq correspond alors au temps durant lequel le béton doit être 
maintenu
à la température de référence afin d'obtenir la même valeur de "maturité" que 
dans les
conditions de mise en oeuvre réelle. Cette idée conduit donc à écrire,

5(t6q, Tref) = 50» T0» (13)

d) Montrer que le temps équivalent teq peut se mettre sous la forme :

t E 1 1
te = exp <-- a ( , -- ' )) d7' (14 q /0 a ... T...-- >

Dans (14), l'énergie d'activation Ea est le paramètre qui traduit la 
sensibilité de la
cinétique d'hydratation du béton à une variation de température.

Dans tout ce qui suit, on considère que la prise du béton s'effectue, à partir 
du temps to,
dans des conditions adiabatiques (cofirages thermiquement isolants) jusqu'au 
décoflrage
au temps il. En accord avec la Figure (Sa), on retient les valeurs données dans 
le Tableau

(2) pour l'évolution de la température adiabatique, entre les temps to et tl, :

"...

TAB. 2

e) En explicitant votre méthode et avec RÆL : 4000 K, calculer le temps 
équivalent teq
9D

pour chacune des valeurs de temps réel t du tableau précédent.

2.2 Analyse transitoire après décofl'rage

On s'intéresse à présent 'a la phase qui suit le décoffrage décoffrage (t > 
tl). A partir
de cet instant, l'exothermie de la réaction sera négligée. En se plaçant dans un
cadre unidimensionnel, le champ de température T(oe, t) peut alors être 
déterminé par la
résolution de l'équation de diffusion de la chaleur dans le domaine Q = [--L ; 
L] :

ô2T(æ, t) __ 13T(oe,t)
Ôæ2 _ a Ôt
Dans cette équation aux dérivées partielles, & est la diffusivité thermique du 
béton. Afin

d'assurer l'existence et l'unicité de la solution, cette expression est 
complétée par une
condition initiale,

@@

T(oe,t : O) = T,-- (16)
et des conditions aux limites,
ÔT(oe,t)
--k' = h T -- T 1"
et,
ÔT(oe,t)
--lc ---- = --h T -- T 18
333 æ=_L < 1>|,=_L ( >

où T1 est la température du milieu extérieur, supposée constante.
a) Quelle est la dimension de a, diffusivité thermique ?

b) De quel type de conditions aux limites s'agit--il ? En particulier que 
représente h ?
Afin de s'affranchir des dimensions du problème, on se propose d'effectuer le 
change--

ment de variables suivant,
T -- T1

Îzn-n (m)
ç=1+% oeoe

accompagné également de l'introduction d'une nouvelle variable temporelle FO 
(nombre

de Fourier).
En appliquant ce changement de variables, le problème de référence défini par 
(15),
(16), (17) et (18) peut se mettre sous la forme :

82Î(Ç7 FO) _ 8T(Çv F0) (91)
8Ç2 '-- aræ "

avec les conditions initiale et aux limites :

T=1 . (

l\)
l\?
V

-- . 1 ÔT
T(Q == 0,Fo) = Ê 55 (23)
ç=o
Îî--Î = 0 (24)
ôç Ç=l

où Bi est appelé le nombre de Biot.

0) Donner l'expression de la nouvelle variable temporelle F0 en fonction de t 
et des
données du problème de référence.

d) Donner l'expression du nombre de Biot.
Afin de résoudre ce problème, nous cherchons à trouver une solution en séparant 
les
variables :

T(Ç Fo) = X(Ç)Y(Fa) (25)
e) Montrer que l'introduction d'une Solution sous la forme générale (25) permet 
d'écrire,
XII Y'/ 0
= -- : --À" 26
{Y }! ( )
où À est une constante.
f) Montrer que l'expression,
Î(Ç, Fo) : e_'\2F° (G sin(ÀÇ) + Ecos(ÀÇ)) (27)

où G et E sont deux constantes réelles, est une solution du problème.

g) En appliquant les conditions aux limites, montrer que la solution générale du
problème peut se mettre sous la forme :

T)e-À%F° (28)
n=0
avec : À
t A,, = ---i 29
co an( ) BZ ( )
En appliquant la condition initiale ainsi que la relation d'orthogonalité,
(ÀÎ, ---- ÀÎ,,) /- cos()...(Ç -- 1))cos(À...(Ç -- l)) dÇ : 0 si n # m (30)
1

11) Donner l'expression de G,, ainsi que la solution finale du problème.

Afin de déterminer le temps de décoffrage tl, on s'intéresse àla différence de 
température
maximale entre le coeur de la pièce considérée et la température de surface que 
l'on note T.

i) Donner l'expression de T en fonction de FO sous la forme,

00

Î(Fo) = }: Ane--À%Fo ' (31)

Afin d'évaluer numériquement le résultat précédent, on retiendra uniquement les 
deux
premiers termes de la série; pour cela, les deux racines de l'équation (29) 
sont, avec B @ = 5,

)... = 1,32 ;À1 = 4, 03 ' (32)
et les termes A,, correspondants :
AO = 0, 92 ;A1 = --0, 57 (33)

j) Déterminer la valem* maximale de Î'(FÔ).

Des considérations mécaniques, non exposées ici, permettent de quantifier 
l'écart de
température entre le coeur et la surface extérieure de la pièce en béton 
conduisant à une
rupture mécanique (216 une fissuration), Î *. L'évolution de ce critère 
"mécanique" est
donnée dans le tableau suivant :

-u 15
--n 4

TAB. 3

k) A partir de la température adiabatique (Tableau (2)), de l'écart de 
température
maximal déterminé à la question (2.2.k) et du critère "mécanique" donné 
ci--dessus (Ta--
bleau (B)), déterminer graphiquement le temps de décoffrage il ne conduisant 
pas a la
fissuration.

3 Enceinte de confinement - test décennal

Afin de garantir la sécurité des centrales nucléaires, il a été choisi 
d'utiliser une en--
ceinte externe en béton pour protéger le réacteur nucléaire des agressions 
naturelles et
accidentelles. En cas d'accident nucléaire (risque de dispersion d'éléments 
radioactifs), la
protection de l'environnement est garantie par une paroi interne en béton 
d'épaisseur 1,2
m (réacteur de type REP 1400 MVVe). Elle est dimensionnée pour résister à une 
pression
interne de 0,6 MPa et à une température voisine de 140°C, correspondant à 
l'accident
de dimensionnement APRP (Accident par Perte de Réfrigérant Primaire). Un schéma
simplifié des deux enceintes est donné sur la Figure (9).

Afin de vérifier périodiquement que l'enceinte jouera son rôle de confinement 
en cas
d'accident, des épreuves d'enceinte (application d'une pression interne de 0,6 
MPa en air et
à température ambiante) sont menées à l'issue de sa construction, puis ensuite 
tous les dix
ans (test décennal). Pour simplifier, l'exploitant doit justifier devant les 
autorités de sûreté

Enceinte
interne

' ' Enceinte

950.9 ,

0

F IG. 9 -- Schéma simplifié de la partie génie civil d'une enceinte de centrale 
nucléaire
(réacteur français REP 1400 l\ÆVVe), dimensions en mètres (d'après Granger).

de la capacité de l'enceinte à assurer un taux de fuite qui soit inférieur, par 
24 h, à 1,5 % de
la masse totale des fluides (mélange air + vapeur) contenus dans l'enceinte. 
Dans le cas des
bétons, des vides sont présents, de différentes tailles. Il peut s'agir de 
pores (vides présents
"naturellement" dans les bétons) ou de fissures (situations accidentelles) qui 
peuvent servir
de chemin pour disperser les éléments radioactifs (dans le cas d'un accident), 
l'air (dans le
cas du test décennal) dans l'environnement. Il est donc très important de bien 
comprendre
l'influence de la porosité et de la fissuration sur l'étanchéité des enceintes 
de confinement.

3.1 Perméabilîté dans un milieu poreux

On s'intéresse à un écoulement de fluide, l'air, dans un milieu poreux 
(contenant des
pores). Le milieu peut être également fissuré. Afin de modéliser l'écoulement 
du fluide,
plusieurs hypothèses sont considerées :

-- Les efiets de la pesanteur sont négligés;

-- Le fluide est considéré homogène et incompressîble, de masse volumique p et 
de

viscosité dynamique ,a = 0, 0181810"3 Pa.s;

-- Le régime d'écoulement est stationnaire;

---- L'écoulement est unidirectionnel selon l'axe 5:';

-- La pression hydrostatique est notée P.

Dans ce milieu, le vecteur vitesse ?? du fluide au point M s'écrit :

M(oe, y, :) : a : uoe(M)f + uy(A-I)ÿ'+ uz(A«f>î (34)

en coordonnées cartésiennes

M'(7', 9, :) : 17 = uT(J\J)7--"+ u9(J\I)Ô'+ uZ(«Ï)Ë (35)

en coordonnées cylindriques.

La pression hydrostatique P s'écrit P(AI ) : P(oe, y, :) en coordonnées 
cartésiennes et
P(.M ) = P(r, EUR, :) en coordonnées cylindriques. '
Note : Les forces de surface de viscosité dÊ,, dans un fluide newtonien, 
s'opposent à
l'écoulement (voir la Figure (10)). Elles s'appliquent sur les surfaces 
latérales (parallèles à
l'écoulement) et sont proportionnelles au gradient transversal de la vitesse. 
Elles s'écrivent,
si l'écoulement s'effectue selon un axe E',

Ôu (Al) __

dÊ, = (21d:)p 83;

(36)

en coordonnées cartésiennes, en faisant les hypothèses suivantes :
- -- La vitesse U; ne dépend pas de :c;
-- Il existe une symétrie par rapport au plan (0, £, :?) ;
---- La largeur l est infiniment plus grande que la hauteur h.
En coordonnées cylindriques, elles s'écrivent :_

ô'U;-: (fl/[)

dF,= (27rrd:)u ? (37)

Ô7' "

PIG. 10 ---- Eléments de volume soumis a une force de viscosité en coordonnées 
cartésiennes
et en coordonnées cylindriques.

3. 1 . 1 Calculs préliminaires

On considère l'écoulement dans un tube de Courant de section c0nstante A = 
l:z:h selon
un axe ?On utilisera les coordonnées cartésiennes.

a) Etablissez l'équation de conservation de la masse de fluide dans le tube. 
Simplifiez
cette équation en utilisant les hypothèses de calcul. En déduire alors que 
uz(.M ) ne dépend
pas de :.

b) Ecrivez la conservation de la quantité de mouvement, en utilisant les 
hypothèses de
calcul. Montrez alors que la pression P ne dépend que de :.

3.1.2 Ecoulement dans un pore - Relation de Poiseuille

On considère l'écoulement d'un fluide, selon un axe 5, dans un pore, assimilé à 
un
cylindre de rayon R et de longueur L. Le fluide est soumis une pression 
constante P1 en
: = 0 et à une pression P2 en :: = L . On pose AP : P2 -- Pl. Un schéma est 
proposé sur
la Figure (11).

PIG. 11 -- Schéma d'un pore.

a) Que peut--on dire de la dépendance entre uz et 6 ? En isolant un élément de 
volume
cylindrique de rayon r et de longueur dz, effectuez un bilan de la quantité de 
mouvement.

b) Déterminez l'expression de la vitesse u: en fonction de AP , ,u, 7", L et 
d'une constante
d'intégration.

c) On suppose que la vitesse du fluide au contact des parois est nulle. 
Commentez cette
hypothèse. En déduire alors l'expression de la constante d'intégration, puis de 
la vitesse u,.

d) Montrez que le débit volumique Q circulant à travers le pore peut s'écrire 
sous la forme
(relation de Poiseuille) :

7TR4AP

Q = --é--fl--L---- (38)

3.1.3 Perméabilité au gaz dans un milieu poreux sans eau : effet de la distri--
bution de la porosité

On définit la porosité p d'un milieu poreux, comme le rapport entre le volume 
de vides,

v, et le volume total l/Ç, :
"U

v. | (39)

La porosité caractérise donc la proportion de vides dans le milieu et est 
comprise entre
0 et 1. Plus le volume de vide est important (a volume V}, constant) et plus la 
porosité est
importante. Les pores de ce matériau sont assimilés 'a un ensemble de n tubes 
cylindriques

et parallèles. Chaque cylindre est supposé indépendant des autres, et le fluide 
circulant,

Pores de
différents rayons

FIG. 12 -- Schéma d'un milieu poreux.

selon un axe 5', est soumis à une pression constante P1 en ;: == 0 et à une 
pression P2 en
: = L. On pose à nouveau AP : P2 ---- Pl. Un schéma est proposé sur la Figure 
(12).
On définit la splitéabilité le {7712} d'un milieu poreux par la relation (voir 
la Partie 1.) :

kAAP

o=--îOEe 

où Q est le débit volumique de fluide s'écoulant a travers une section A du 
matériau
poreux. '

a) On suppose tout d'abord que tous les pores ont le même rayon R. Déterminez 
l'ex--
pression reliant la porosité p a n, R et A. A partir de cette relation et de 
l'équation (38),
établissez la relation entre kf, R et p.

On considère maintenant que tous les pores n'ont pas le même rayon. La Figure 
(13)
présente les courbes de porosités cumulées obtenues pour 3 matériaux différents 
(notés
1, 2 et 3). Les courbes donnent en ordonnée la porosité cumulée pc dont la 
dimension
est supérieure au rayon R porté en abscisse. Ces courbes sont modélisées par 
l'équation
suivante (i étant le numéro du matériau) :

(pC(R))i : Clé + bzR + CiR2 Si R _<_ Ri et ('bc)z : 0 Si R > R1 (41)

Les valeurs des coefficients sont indiquées dans le Tableau (4) :

l\flatériauxl 8,078.10--2 --6,6--1O.10"4 --4,073.10"6

Matériaux2 2,583.10"1 --27303_10--3 53071_10_6
l\/Iatériaux3 3,687.10"1 --97759_10--4 6,035.10"7

TAB. 4

b) Déterminez la porosité totale de chacun de ces 3 matériaux. Puis déterminez 
la
splitéabilité associée à chacun de ces matériaux.

fvtatérèaux 3

0,2

O

100 1000
Rayon des pores [nm]

Porosité cumulée pc
35

FIG. 13 --- Porosité cumulée pc

c) Calculez alors pour chacun de ces 3 matériaux7 la valeur de rayon de pore 
Req pour
laquelle on obtient une splitéabilité identique. Pour une même valeur de 
porosité globale,
est-ce que le rayon de pore a une influence importante sur la splitéabilité ?

3.1.4 L'eau dans les milieux poreux

Dans les liquides (et dans les solides aussi) existent des forces de cohésion 
inter--
moléculaires agissant sur des distances très courtes : arr--delà de quelques 
nanom'etres,

l'interaction entre deux molécules peut être négligée.

FIG. 14 -- Mise en évidence de l'existence d'une tension superficielle.

La couche dans laquelle existent ces forces a une très faible épaisseur 6 et 
est appelée
couche capillaire. Si l'on considère une facette verticale dans cette couche 
(pour une surface
libre horizontale) la force s'exerçant sur cette facette est horizontale. Si 
l'on se ramène
à une ligne sur la surface libre on aura : ôÎ : deñ où u est le coefficient de 
tension
superficielle (valeur positive), dl un élément de la courbe sur la surface 
libre et 7? la
normale à cet élément de courbe (voir la Figure 14).

PIG. 15 -- Pore cylindrique.

a) On considère maintenant un pore cylindrique de rayon R contenant un liquide
d'angle de mouillage 9 (Figure 15). En supposant que le ménisque est sphérique 
de rayon
Rsph, en déduire l'expression de la différence des pressions P -- Po en 
fonction de w et
Rsph (cette équation est appelée loi de Laplace). On pose Pc = P -- PO et 9 = 0 
(liquide
parfaitement mouillant) où Pc est appelée pression capillaire. Simplifiez alors 
l'expression
précédente et montrez que la pression capillaire correspond a une dépression.

On se place ici dans le cas d'un matériau poreux dont la porosité peut contenir 
de
l'eau liquide et un gaz composé d'air et de vapeur d'eau. La pression dans le 
liquide sera
notée PI, celle dans le gaz Pg (air + vapeur d'eau) et celle dans la vapeur 
d'eau Pv. On
suppose aussi que les transformations sont isothermes. L'enthalpie libre 
s'exprime par la
relation : G : nÇ où n est le nombre de moles et Ç est le potentiel chimique. 
On a de plus
l'identité de Gibbs Duhem : sdT + ndÇ ---- VdP = 0 où 3 est l'entropie, T la 
température,
V le volume et P la pression.

b) En supposant que l'eau liquide est incompressible, montrez que le potentiel 
chi--
mique de l'eau liquide @ peut s'écrire : Ç; --- C... : J\/I(PI -- P...)/p; où 
]\I est la masse
molaire de l'eau et (Q... P...) caractérisent un état de référence. Puis, en 
supposant que la
vapeur d'eau suit la loi des gaz parfaits (PV : nRng), montrez que le potentiel 
chimique
de la vapeur d'eau ÇL. peut s'écrire : ÇU -- EUR... : Rngln(Pv/on) où Rgp est 
la constante
des gaz parfaits et (Ç..., on) caractérisent un état de référence.

0) On choisit comme état de référence de l'eau liquide P... : Pg et pour la 
vapeur d'eau
P... : PDS (pression de vapeur saturante). On- suppose qu'à l'équilibre 
thermodynamique,
on a Ç; : @... En déduire alors que C... = EUR.... En définissant l'humidité 
relative H (O S H _<_ 1) comme le rapport PL,/PCS, montrez que l'on obtient la loi de Kelvin : RWTW M" PC : P; -- Pg : lnH (42) d) En introduisant dans l'équation précédente la loi de Laplace (cf. a.), en déduire l'expression du rayon de pore Rsat correspondant à une humidité relative donnée H à l'équilibre liquide-vapeur. 3.1.5 Ecoulement dans une fissure - Relation de Poiseuille On considère l'écoulement d'un fluide, selon un axe E' , dans une fissure de largeur !, de longueur L et d'ouverture e, qui est assimilée à deux plans parallèles infinis, tels que la largeur 1 soit infiniment plus grande que l'ouverture e. Le fluide est soumis à une pression constante P1 en : = 0 et à une pression P2 en :: = L. On pose AP : P2 -- Pl. Un schéma est proposé sur la figure (16). PIG. 16 ---- Schéma d'une fissure. a) Que peut--on dire de la dépendance entre u,_. et a: ? En isolant un élément de volume de largeur [, de longueur d: et compris entre les plans iy, effectuez un bilan de la quantité de mouvement. b) Déterminez l'expression de la vitesse u: en fonction de AP, ,a, y, L et d'une constante d'intégration. c) On suppose que la vitesse du fluide au contact des parois est nulle. En déduire alors l'expression de la constante d'intégration, puis de la vitesse u,.. d) Montrez que le débit volumique Q circulant à travers toute la fissure peut s'écrire sous la forme (relation de Poiseuille) : 63ZAP @ = _îzfiî (43) 3.1.6 Perméabilité au gaz dans un milieu fissuré On assimile chaque fissure à. une ouverture séparée par 2 plans parallèles infinis. Afin de quantifier le nombre 72 de fissures dans l'élément de volume de la figure (17) et leur épaisseur 6 (constante), on définit la variable d'endommagement du milieu D, comme étant le rapport entre la surface des fissures A,, (perpendiculaire à l'axe 5 ) et la surface totale A : D=ÆM (@ FIG. 17 -- Schéma d'un milieu fissuré. a) Déterminez la relation entre D, n, h et c. b) A partir des relations (43), (40) et (44), exprimez la splitéabilité du milieu fissuré k en fonction de D et @. L'approximation proposée pour les fissures n'est pas en réalité conforme aux résultats expérimentaux. On propose d'introduire le coefficient de correction x, par rapport à l'équation de Poiseuille (43) : On donne les valeurs expérimentales dans le Tableau (5) pour une fissure, pour une variation de pression AP : --100Pa et une longueur L = 1 1m : e3lAP . = -- " 45 Q x _12#L ( ) IHMWOEDOEOE"NËOEOEI EMÜÜHflÉOE"ËEOEMÆ TAB. 5 c) Proposez une méthode numérique permettant d'identifier la valeur du coefficient de correction x. Calculez alors ce coefficient par la méthode de votre choix. 3.1.7 Application à une enceinte de confinement de bâtiment réacteur de centrale nucléaire On se place dans le cas d'un test décennal d'une enceinte de confinement. On assimile la paroi de l'enceinte 'a une paroi parallélépipédique (Figure (18)). L'épaisseur est L = 1, 2m. On considère une surface A = 6880 m2 de béton. Le volume de l'enceinte est Ve : 75300 m3. ' P2 Z:L Extérieur de l'enceinte P1 2 = 0 Intérieur de l'enceinte PIG. 18 -- Schéma simplifié d'une enceinte. On suppose que l'enceinte est réalisée à partir du matériau 1 (voir % 3.1.3). On se place tout d'abord dans le cas où il n'y a pas de fissure. Le fluide circulant dans l'enceinte est de l'air. On suppose que P1 = O, 6MPa et P2 = O, 1AfPa. a) En supposant que les pores ne contiennent pas d'eau (voir $ 3.1.3). calculez le débit volumique d'air Q,,, puis le volume Vmîr d'air ayant traversé la paroi pendant 24 11. On considère maintenant que les pores peuvent contenir de l'eau. La teneur en eau dans un pore peut être évaluée via son humidité relative (% 3.1.4). On suppose deux cas pour l'évolution de l'humidité relative H (:) dans la paroi de l'enceinte ( j étant le numéro du cas) : Hj(5) : OEj + /3jZ + ')'jZ2 (46) Les valeurs des coefficients sont données dans le Tableau (6). A partir des résultats obtenus dans la partie @ 3.1.4d, on considère que si le rayon de pore R est inférieur à R..., le pore est saturé d'eau (le transport d'air est impossible), sinon le pore ne contient pas d'eau (le transport d'air peut être calculée via l'équation 38). ___-- __"... _O,464 1,472 --1,153 TAB. 6 Humidité relative 0 02 0,4 (3,6 0,8 "t' '! ,2 2 [ml PIG. 19 --- Evolution de l'humidité relative dans les deux cas. b) Pour les deux conditions de profil d'humidité relative, recalculez la valeur de la splitéabilité en prenant en compte la présence d'eau dans certains pores. En déduire alors le volume va,--,d'air ayant traversé la paroi pendant 24 h. On donne la constante des gaz parfaits Rgp = 8,314J.mol'1.°K"1,w : 0,073N.m"fl ]\[H : 1g.mol'1 et AJO : 16g.mol". Les pores sont considerés cylindriques et parallèles. On prend en compte maintenant l'existence de fissures assimilées à des ouvertures entre deux plans parallèles (supposés infinis) espacés d'une distance 6. La valeur de l'endom- magement est D. On utilisera également le coefficient de correction calculé au paragraphe 3.1.5c. c) En considérant le volume d'air maximum traversant la paroi déterminé en b), rem-- plissez le Tableau (7) (donnant le volume d'air ayant traversé la paroi pendant 24 h) pour les différentes valeurs d'endommagement D et d'ouverture des fissures e. Commentez ce calcul et comparez ces valeurs aux exigences des enceintes. _ e = ...... D = 50....-1 ---- D = ......--w __ TAB. 7 FIN DE L'EPREUVE