X/ENS Modélisation PSI 2004

Thème de l'épreuve Modélisation mathématique des phénomènes de combustion et d'explosion
Principaux outils utilisés théorème de Cauchy-Lipschitz, équations différentielles
Mots clefs combustion, explosion

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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MODÉLISATION EN SCIENCES PHYSIQUES
ET SCIENCES DE L'INGENIEUR

DURÉE: 5 HEURES

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autonome, non imprimantes et sans document d'accompagnement, est autorisé, une 
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autorisé entre les candidats.

INTRODUCTION

L'épreuve se décompose en deux problèmes, à traiter de préférence dans l'ordre 
proposé.
Ils concernent tous deux la modélisation mathématique des phénomènes de 
combustion et
d'explosion.

Le premier problème se focalise plus particulièrement sur les réactions 
explosives. Leurs
principales caractéristiques ont été étudiées au milieu du XIXeme siècle par 
Van't Hoff
et Bunsen. Elles présentent la particularité d'avoir un taux de réaction qui 
dépend de
manière non-linéaire et forte de la température (par opposition aux réactions 
lentes dont
la dépendance est faible). Cette propriété de forte dépendance est due à une 
grande énergie
d'activation de la réaction de combustion; elle se couple en général à une 
forte puissance
thermique de la réaction. Dans ces conditions, un phénomène d'autocatalyse 
thermique peut
se produire, provoquer l'emballement de la réaction et une très forte 
augmentation de la
température; ce phénomène est appelé explosion thermique. Divers travaux 
expérimentaux
ont alors conduit N .N . Semenov à développer la théorie de l'explosion 
thermique dans les
années 1920 pour le cas d'un réacteur homogène. Frank--Kamenetskii a ensuite 
repris cette
théorie dans le cas non--homogène et pr0posé un traitement exhaustif dans un 
certain nombre
de cas.

Le but du problème I est d'introduire ces théories et de saisir les mécanismes 
de base
de couplage entre le terme source thermique issu de la réaction chimique, la 
conduction
thermique et les pertes thermiques au bord des domaines considérés. Le but est 
d'obtenir les
conditions critiques d'explosion, ie. les valeurs limites de certains 
paramètres qui déterminent
si le phénomène d'explosion a lieu ou non. Finalement,]e dernier point que nous 
aborderons
sera le couplage entre l'explosion thermique et la convection naturelle en 
présence du champ
de gravitation. Ces études sont importantes et trouvent de nombreuses 
applications dans la
détermination des conditions de sécurité pour le stockage de matières 
dangereuses.

Dans le problème 1, nous nous contentons de considérer des phénomènes explosifs 
localisés
mais nous ne traitons pas leur propagation car il s'agit d'un problème 
essentiellement plus
difficile qui nécessite de prendre en compte les effets de densité volumique de 
masse et de
pression puisque des ondes de chocs ou de détonations peuvent se former. On 
s'intéresse par
contre, dans le problème II, à un modèle simple de déflagration à pression 
constante qui
décrit la propagation d'une flamme à faible vitesse par rapport à la vitesse du 
son. L'étude

fondatrice dans ce domaine date de 1928 avec les travaux de Zeldovich sur un 
modèle que
nous allons étudier.

Notation : Dans toute l'épreuve, on utilisera les notations suivantes pour les 
dérivées,
dtçb(t) désigne la dérivée temporelle à l'instant t de la fonction t r--> 
çô(t), â&(t,x), ôfl>(t,æ)
et âæxd>(t,æ) désignent respectivement la dérivée partielle par rapport au 
temps, la dérivée
partielle par rapport à la variable spatiale :r et la dérivée seconde par 
rapport à la variable
m, au point (t,:c) du champ (t,:r) +---> (t,æ).

Note : Le premier problème requiert l'utilisation du théorème de 
Cauchy--Lipschitz. Il est
rappelé dans l'énoncé.

PROBLÈME I

I PRÉSENTATION

Nous allons dans un premier temps considérer les équations qui régissent 
l'écoulement
d'un mélange gazeux réactif compressible dans un domaine bi-dimensionnel 0, Q 
(: R'. Le
candidat ne devra pas être impressionné par la complexité du système car les 
quatre premières
parties se concentrent sur des versions très simplifiées pour lesquelles le 
mouvement hydro--
dynamique du mélange est supposé inexistant (la vitesse du fluide est zéro, 
uniformément en
temps et en espace).

Ce type d'écoulement est régi par un système d'équations aux dérivées 
partielles pour
lequel le vecteur des variables est M : (pl, . . . ,p... u, v, T)t, où ' 
désigne la transposition et où pk
est la densité volumique de masse partielle de la kème espèce, k variant de 1 à 
n, p : 22=1 p,...
la densité volumique de masse totale-, u et 11 les composantes de la vitesse du 
fluide dans les
directions x (horizontale) et z (verticale) et enfin T, la température du 
fluide. Ces quantités
dépendent donc du temps et des coordonnées d'espace : u : U(t,æ,z). Il n'est 
pas nécessaire
de détailler ce système d'équations, mais il faut souligner qu'il doit être 
accompagné par des
relations thermodynamiques et une loi d'état. Cette loi d'état relie la 
pression (qui apparaît
dans les équations pour la vitesse à travers son gradient) à la densité 
volumique de masse
totale, à la température et à la composition du mélange gazeux. On peut alors 
écrire une
équation sur le champ de température T(t, a:, 2) qui prend la forme :

pcpô'tT+pcp(uôzT+vôzT) == V-(j...) +H+ôtp+uôæp+vôzp+l'. (1.1)

où cp est la capacité thermique massique à pression constante, Il représente la 
puissance des
forces de viscosité, j..., le vecteur densité volumique de courant thermique et 
V - j... désigne
sa divergence, P, la puissance thermique (terme source) due aux réactions 
chimiques. '

La pression p vérifie la loi d'état des mélanges de gaz parfaits :

k

, (1.2)

"3:k_

1
m m 1 mk
où mk est la masse molaire de la keme espèce, fit la masse molaire moyenne du 
mélange, R la

constante universelle des gaz, Y,c : pk / p la fraction massique de l'espèce la 
et on a ZÏ=1 Y,c : 1,

II

par définition de p. Cette loi est la simple généralisation de la loi d'état 
des gaz parfaits à un
mélange gazeux.

Le système de base que nous venons d'évoquer est souvent utilisé dans 
l'approximation
de Oberbeck-Boussinesq qui considère que la pression et la densité volumique de 
masse sont
quasiment constantes p -- po << Po et p -- po << po (le signe << signifie "très 
petit devant" et

P0
i.e. que cette expression peut être approchée formellement par 1, ou encore que 
les variations

indique une séparation d'échelles. Ce genre d'hypothèse implique par exemple 
que 1+ ° oe 1,
de pression ou de densité volumique de masse par rapport à un état de référence 
po ou Po ,
sont négligeables).

1.1 On suppose que le mélange gazeux est initialement à la température T0, à la 
densité po
et à la pression po, uniformément en espace. On néglige les différences de 
masse molaire,
c'est--à--dire mk : m, Vk : 1, ...,n. Montrer que la loi d'état (1.2) se réduit 
alors à la loi d'état
d'un gaz parfait simple p = p--ÆT.

I.2 Montrer, en utilisant cette loi d'état, que l'approximation de 
Oberbeck--Boussinesq est
valable pour de faibles variations de température, c'est--à--dire T -- To << To.

Avant de revenir sur les équations dans la dernière partie du problème, nous 
allons
commencer par comprendre les mécanismes de base sur des modèles simplifiés.

EXPLOSION ADIABATIQUE HOMOGÈNE

Le but de cette partie est de faire apparaître, dans la cadre d'une 
modélisation minimale,
l'échelle de temps du problème. On se place dans le cadre d'une chimie simple, 
c'est-à--dire,
d'une chimie constituée d'une unique réaction globale irréversible "Fuel ----> 
Produits". Le
degré d'avancement de cette réaction est donné par la variable fraction 
massique de fuel :
Y(t) ; elle vaut 1 à l'instant initial quand le fuel n'a pas encore commencé à 
réagir et 0 quand
tout le fuel présent dans le réacteur a été consommé en produits et en source 
thermique.
La température du réacteur à l'instant initial est notée T0 et évolue du fait 
de la réaction
chimique : on note T(t) la température à l'instant t. L'évolution de la 
fraction massique
Y(t) et de la température T(t) est décrite par un système de deux équations 
différentielles
ordinaires. Elles font intervenir la vitesse de la réaction qui dépend de 
manière non-linéaire
de la température. Ce modèle, donné pour décrire l'évolution du réacteur, est 
valable pour
Y EUR [O, 1] et T EUR [TD,Tb] ; il s'écrit :

th : ---B e'ËET Y, (11.1)

dtT : (Tb -- To) Be"R--Ef Y. (11.2)

B est le facteur de fréquence (homogène à l'inverse d'un temps), E est 
l'énergie d'activation
de la réaction, Tb la température du mélange lorsque tout le fuel est consommé; 
cette
température est associée à une enthalpie de réaction, à la capacité thermique 
du milieu
et à une quantité de fuel présente dans le réacteur. On suppose dans ce 
problème que la
réaction est exothermique et donc que Tb -- To > 0. Par ailleurs B, E et R sont 
des constantes

strictement positives. On ne prend en compte, dans ce modèle, que le chauffage 
du milieu par
la réaction et l'on suppose que le système est isolé thermiquement de 
l'extérieur; on parle
alors d'explosion thermique adiabatique.

Note : On donne ici un théorème utile pour la suite sous la forme d'une 
adaptation du
théorème d'existence et unicité de solution de Cauchy-Lipschitz. On considère 
un système
d'équations différentielles ordinaires autonome :

dt\IJ : F('I'), t > 0, (11.3)

avec \II(O) : % comme donnée initiale du problème de Cauchy et \Il EUR IR".

THÉORÈME : On considère un ensemble compact Q de IR" sous la forme d'un produit
d'intervalles fermés Q : [al,b1] x [a2,b2] >< [a... bn], avec a,- < b,--, i = 
l, . . . ,n. On suppose que F
applique il dans IR", que F est C'", k 2 O, Lipschitz sur Q et que % appartient 
à (2. On fait
par ailleurs l'hypothèse que dans le cas où la donnée initiale \Ilo appartient 
à (90, la frontière
de 9, le vecteur F(\Ito) est soit nul (point singulier) soit non dirigé vers 
l'extérieur du domaine
Q. Alors il existe une unique solution maximale \I! (t), t > O, du système 
(11.3 ) de régularité
C'"+1 sur un intervalle de temps [O,tmaxli avec éventuellement tmax : +oo, 
telle que \Il (t) EUR 9.
Dans le cas où t...... est fini, on a \Il (t) ----> n, # EUR ôfl, quand t ----> 
tu,".

COROLLAIRE : Sous les hypothèses du théorème précédent, si deux solutions % et
% du système (II.3) sont égales en un instant to, \I'1(to) : %(to) : x, même si 
x EUR 80 (par
exemple si to : 0 ou si to est un temps d'existence maximal fini), alors ces 
deux solutions sont
égales sur l'intersection des intervalles de temps d'existence des deux 
solutions maximales.

L'idée sous--jacente est que sous des hypothèses de régularité de F, deux 
solutions distinctes
du système (11.3) ne peuvent pas "se croiser" dans le domaine Q.

11.1 Le but de cette question est de montrer l'existence d'une solution pour 
tout temps et
d'obtenir des renseignements sur la structure qualitative de la solution du 
système (II.1--II.2).

II.1.a Montrer que, du système (HJ-11.2), on peut déduire une équation sur une
quantité H, combinaison de Y et T , qui se conserve au cours du temps. Donner la
valeur de H.

II.1.b En déduire une équation autonome sur la variable Y(t)

et expliciter la fonction .

II.1.c En appliquant le théorème donné ci-dessus, montrer qu'il existe une 
unique
solution maximale C°° sur l'intervalle de temps [O, t......[. Montrer que la 
fonction Y(t)
est monotone strictement décroissante, puis que tmax : +oo. En déduire que Y(t)
est strictement positive (Indication : supposer que tmax est fini, montrer que 
la seule

possibilité est que Y(t) --+ 0 quand t ----> t...ax, considérer la solution 
constante égale à
zéro et conclure en utilisant le corollaire ci-dessus).

II.1.d Montrer que T(t) est monotone croissante bornée supérieurement par Tb.

II.1.e Déduire de II.1.c que la limite de Y(t) en +oo est 0.

II.1.f Représenter graphiquement le comportement qualitatif de la solution.

II.1.g Proposer une équation différentielle autonome décrivant l'évolution de la
température T(t), ne faisant pas intervenir Y, sous la forme dtT : A(T) et 
donner
une expression explicite pour la fonction A(T).

La structure de la non--linéarité A(T) dans cette dernière équation sur la 
température
ne permet pas une résolution analytique. Nous allons donc utiliser deux carac-
téristiques des réactions de combustion, introduites sous la forme de deux 
hypothèses,
et expliciter le comportement qualitatif du système.

[HI] La réaction satisfait l'hypothèse des grandes énergies d'activation si 
E/RT,,
est très grand devant 1, ce qui implique :

E
fl--Æ>>1.

[H2] La réaction satisfait l'hypothèse d'une grande enthalpie de réaction si 
TI,--To >
T0 et donc : 2

RT

(Tb -- To) >> "'ÈÂ,

où RTO2 / E est appelée la température de Frank--Kamenetskii et est notée TpK.

II.1.g On se place dans le cas où Tb : BOOOK, To : 600K. Représenter sur deux
graphiques les fonctions T --> A(T) pour a = 50 et 5 = 100, et pour T E 
[T0,Tb]. (Afin
de pouvoir comparer les deux non--linéarités, on divisera la fonction par sa 
valeur
maximum A...ax sur l'intervalle [TD,Tb]). En comparant les valeurs de A(T)/Amax 
pour
T : 1000K et pour T : 2400K, dans les deux situations et en observant les 
graphiques,
expliquer ce que signifie "une forte non--linéarité dépendant de l'énergie 
d'activation".

II.2 Nous allons maintenant étudier un modèle approché pour le système 
(II.1--II.2).

II.2.a Adimensionner l'équation vérifiée par la température et écrire pour cela 
une
équation sur la température réduite 9 = (T -- To)/TFK. Cela revient à utiliser 
comme
température de référence la température initiale et comme échelle, la 
température de
Frank--Kamenetskii.

II.2.b Montrer que, sous les hypothèses [H 1] et [H 2], et tant que 0 << 5, 0 
peut être
approchée par une fonction Ë(t), solution de l'équation différentielle :

d : l exp(ë), (11.5)

7'1

M

avec la condition initiale 9(0) : O. Le paramètre 17 est appelé temps 
d'induction et
l'on donnera son expression explicite en fonction de B, R, E, T,, et T0.

II.2.c Dans l'équation précédente, on a remplacé sous l'hypothèse [H 1], 
l'argument de
l'exponentielle par 5. Reprendre cette approximation dans les variables 
dimensionnées
et expliquer pourquoi on l'appelle "linéarisation de Frank--Kamenetskii".

Il.2.d On pose 7 : t/r;; déduire de (11.5) l'équation différentielle sur ®(T) : 
Ô(t).
Résoudre l'équation correspondante et donner une formule explicite pour @(7').

II.2.e Décrire le comportement "explosif" de cette solution. '1Ïacer 
l'évolution tem--
porelle de la solution Ü(t), pour t EUR [Û,T1[, et ceci selon deux échelles 
différentes pour
l'axe des ordonnées : la première est telle que le maximum de l'axe des 
ordonnées est
5, et la seconde telle que le maximum est ,6 (on prendra fl égal à 50 pour 
l'exemple).

Décrire le comportement aux deux échelles et commenter.

II.2.f On appelle t1 le temps pour lequel EUR atteint 5/ 10 = 5. Exprimer la 
différence
relative entre t1 et 71, ainsi que le pourcentage de 71 que représente t1.

II.3 Il s'agit de montrer que l'équation simplifiée (11.5) est un "bon modèle" 
et d'en déduire
le comportement qualitatif général de la solution de (II.1--II.2).

II.3.a Montrer que la condition de validité 9 << ,8 n'est par contraignante en 
utilisant
la fin de la question 11.2 et en déduire le comportement du système de départ 
sur
l'intervalle [O,T[[.

II.3.b Calculer la température correspondant au taux de réaction maximum, en 
valeur
absolue, pour le système (II.1--IL2), sachant que le taux de réaction est le 
second
membre de l'équation sur Y et vaut donc --B exp(--E / RT) Y. Comment se 
situe--t--elle
par rapport à T,, ?

II.3.c Quel scénario peut-on déduire sur l'évolution du système (Ill--11.2) 
dans la
mesure où le taux de réaction maximum est atteint dans un proche voisinage de 
T] ?

II.3.d Caractériser l'évolution du système dans le plan des variables 
dimensionnées
(Y, T), Y EUR [0,1] et T EUR {TD,Tb] (appelé aussi plan de phase). Tracer par 
ailleurs les
fonctions Y(t) et T(t). Décomposer l'évolution du système en trois étapes que 
l'on
précisera.

II.3.e Que se passe--t-il pour la consommation de fuel (caractérisée par la 
fraction
massique de fuel Y) dans l'intervalle t EUR [O, T][ ? Interpréter l'hypothèse 
[H 2].

II.3.f Que devient l'évolution du système quand l'énergie d'activation devient 
de plus
en plus grande ?

II.3.g On choisit une application numérique avec To : SOUK, Tb : 3000K, fi : 
50. On
donnera la valeur de la température de P'rank--Kamenetskii et on refera les 
diagrammes
de la question II.3.d en marquant les points particuliers suivants tels que

-ttelque9=5,
-- t tel que le taux de réaction est à son maximum.

Commenter. (Remarque : les données numériques ne permettent pas de calculer T]
explicitement; les temps seront donc exprimés en pourcentage de 77)

IH TRAITEMENT DES PERTES THERMIQUES

Dans la partie précédente, l'absence de perte thermique au bord du réacteur 
engendre
systématiquement l'explosion thermique car la température ne peut qu'augmenter 
et attein-
dre Tb (température de l'ordre de 3000K pour les réactions de combustion). Dans 
ces condi-
tions, le modèle cesse d'être valide quand on arrive à de fortes températures 
dans des délais
courts, car d'autres phénomènes rentrent alors en jeu (création d'ondes de 
pression, etc...).
Nous levons ici l'hypothèse d'adiabaticité, mais conservons l'homogénéité 
spatiale. Dans un
modèle plus réaliste que dans la partie précédente, les pertes thermiques à la 
frontière peu-
vent empêcher l'explosion si elles compensent le terme source issu de la 
réaction chimique.
Il s'agit de caractériser les conditions d'explosion, c'est-à--dire dans quels 
cas les pertes ther--
miques à la frontière empêchent l'explosion et dans quel cas elles ne suffisent 
pas à limiter la
croissance de la température du système.

Un modèle simple de perte, dans le cas d'un réacteur fermé, est de fixer la 
température à.
la paroi à la température de réference T0. Le réacteur peut alors être modélisé 
par le nouveau
système, pour t > O, T EUR [To/2,2Tb], Y EUR [0,1] :

th : --B e"ïïëï Y, (111.1)

dtT : (T,, -- To) Be-% Y -- Tl(T -- To), (111.2)
P

où T,, est un temps de transfert à la paroi et où l'on prend les mêmes données 
initiales que
dans la partie II. On suppose que les deux hypothèses [H 1] et [H 2] sont 
vérifiées.

III.1 Nous nous intéressons brièvement au comportement qualitatif général des 
solutions du
système pour Y EUR [0,1] et T EUR [To/2,2Tb].

III.1.a Appliquer le théorème donné dans l'énoncé et montrer l'existence d'une
solution maximale C°° sur l'interval t EUR [O, t...ax[.

III.1.b Montrer que T > T0 sur l'intervalle ]O,tmax[ (indication : écrire une 
équation
sur T : exp(t/Tp)(T -- To)). '

III.1.c Montrer que la quantité H introduite dans la partie Il n'est plus 
conservée au
cours du temps par (III.1-III.2) en présence de pertes thermiques. Montrer 
qu'elle est
majorée par la valeur obtenue pour H dans le cas adiabatique de la partie Il.

III.1.d Montrer que T < Tb.

III.1.e Montrer, en utilisant le même type d'argument que dans la partie Il, que
tmax : +00 et que Y(t) > O, Vt EUR [O, +oo[ (Indication : utiliser H 5 T,, et 
montrer que la
seule possibilité, si t...... est fini, est que Y --> 0 et T --+ T* quand t --> 
t...ax. Construire
alors une solution telle que Y : 0 et qui passe par le point (Y : O,T : T*) en 
tmax).

III.1.f Déduire des questions qui précèdent que Y tend vers zéro à l'infini et 
par
conséquent que T tend vers T0 à. l'infini.

III.1.g Donner le comportement qualitatif du système. Tracer la forme de Y(t) 
et T(t).

III.1.h Adimensionner les équations (fill--111.2) en utilisant le même 
adimension--

nement que dans la partie II, et en prenant comme temps adimensionné T : t/n
(donner d.Y, dT9 en fonction de Y et 0). '

\

111.2 Comme la quantité H n'est plus conservée, on ne peut plus se ramener a 
une seule
équation et il subsiste alors le problème de la présence de la fraction 
massique dans l'équation
sur 6 qui décrit l'influence de la consommation de fuel sur la vitesse de la 
réaction chimique.

111.2.a Montrer que, sous les hypothèses [H 1] et [H2], l'équation sur 0 peut 
être
approchée par :

N

dTë : exp(ë) -- q"(Û), (111.3)

N

où q'(û) : 75 et donner l'expression de 7.

111.2.b Sur quel intervalle de temps peut-on considérer que l'équation 
précédente est
représentative de la physique du système (fill--111.2) ? Quelle hypothèse 
implique son
utilisation sur la consommation de fuel dans cet intervalle ?

N

111.2.c Représenter sur un diagramme les graphes des deux fonctions exp(ë) et 
q" (9) en
fonction de 5 pour diverses valeurs de 7. Etudier les points stationnaires de 
l'équation
(111.3) définis par exp(ë) : q" (5), en fonction du rapport 7 = 77 /*r1D 
Proposer trois
scénarios. On donnera en particulier la valeur critique 7cr de 7 ainsi que la 
température

Ôcr du point stationnaire correspondant. Interpréter physiquement les trois cas.
111.2.d Relier 6... en variables dimensionnées, à la température de 
Frank--Kamenetskii.

111.2.e Classifier et caractériser les diverses dynamiques possibles pour 
l'équation
(111.3) en fonction de rapport 7. On étudiera en particulier les limites 7 --+ 
0 et 7 ----> +00.

111.2.f Que dire de la stabilité des points stationnaires quand ils existent 
(un point
stationnaire est dit stable pour l'équation différentielle (111.3) si 
l'évolution d'une
solution, dont la donnée initiale est prise dans un voisinage du point, est la 
convergence
vers cet état stationnaire et instable dans le cas contraire) ?

111.3 Parmi les divers scénarios pr0posés, certains correspondent au 
comportement du
système (III.1--III.2) et d'autres non. Nous allons étudier ce point dans cette 
sous-partie.

111.3.a Montrer que cette corre3pondance est effective dans le cas 7 --> 0 et 
faire le lien
avec la partie II.

111.3.b Pour 7 > 7... montrer que l'existence d'un état stationnaire vers 
lequel converge
la solution de (111.3) implique une borne sur la température réduite 0 pour le 
système
(1111-1112) et garantit la non-explosion.

111.3.c Dans le cas où il y a explosion pour l'équation (111.3), c'est-à--dire 
pour 7 < 7...
on estime F,, le temps d'induction non-adiabatique, par :

+00 (15
?] %] ------:------=--.
0 eXp(9) -- Q"(9)
Justifier la borne d'intégration en utilisant les hypothèses.

111.3.c On cherche la limite de ce temps quand 7 tend vers 7cr par valeur 
inférieure.

Pour cela on pose 0 Ô}, + x et 7 : 7cr(1 -- EUR) et l'on suppose & << 1 et donc

x << 1 (cette dernière estimation, que l'on admettra, vient du fait que lorsque
& << 1, la température s'établit en un temps de l'ordre de 1 autour de 0 = 1 et
reste dans ce voisinage pendant une grande partie de la dynamique). Donner une
estimation de ?; en fonction de EUR, pour { petit et montrer que ?; tend vers 
l'infini
quand EUR tend vers 0 (indication : on écrira l'intégrale en fonction de x et 
{, puis
on remplacera exp(x) par 1 + x + x2/2 puisque X supposé petit et enfin on 
utilisera
l'égalité EUR + x6 + x2/2 oe { + ((X + £)/fi)2). En déduire la dynamique de 
l'explosion
quand l'on s'approche des conditions critiques par valeur inférieure, et la 
représenter
sur un diagramme (t,6(t)).

III.3.d Que conclure sur le modèle (III.3) au voisinage des conditions 
critiques en
terme de l'hypothèse [H2] : "on néglige la consommation de fuel et l'on suppose
Y(t) % 1 sur t EUR [O,T;[" ?

III.4 En fait, la restriction sur l'applicabilité du modèle quand on s'approche 
des conditions

critiques n'a d'effet que dans un très petit voisinage inférieur de ';c,.

III.4.a Présenter un diagramme des diverses évolutions temporelles possibles de 
la
température dans le cas général du système (III.1--III.2).

III.4.b Donner l'évolution dans le plan de phase (Y, T) et faire le lien avec 
la partie
II, afin de synthétiser les scénarios possibles.

III.4.c Conclure cette étude.

IV LE CAS INHOMOGÈNE : DIFFUSION

Nous allons maintenant considérer le cas inhomogène pour lequel les champs de
température et fraction massique dépendent non seulement du temps, mais aussi 
de la va-
riable d'espace. On se place dans le cadre particulier d'une bande infinie dans 
la direction
horizontale a: et de hauteur 2L dans la direction z. On suppose le problème 
homogène dans
la direction a: ce qui revient donc à travailler sur un problème 
monodimensionnel présenté
sur la Figure 1.

T : T0, pertes thermiques

T : T0, pertes thermiques

Figure 1 : Configuration

On considère alors le système de deux équations aux dérivées partielles suivant 
:

6,Y - DôzzY : --Be--r% Y, (IV. 1)

ô,T -- D a,,cr : (T,, -- To) B e-:% Y, (IV.2)

où ôzz désigne la dérivée partielle seconde en la variable d'espace, 8, la 
dérivée partielle en
temps, avec les conditions initiales Y(O,z) : 1 et T(O,z) : To, pour tout z EUR 
[O,2L] et les
conditions aux limites T(t,0) : T(t,2L) : T0 et ôzY(t,0) : ôzY(t,2L) : 0. La 
condition aux
limites sur Y impose la non pénétration du fuel dans la paroi du tube et le 
fait d'imposer

la température au bord induit des pertes thermiques. On peut alors montrer 
qu'il existe une
solution régulière C°° de ce système pour 2 EUR [0,2L], t EUR [O,+oc[, telle 
que Y(t,z) EUR [0,1],

T(t, 2) EUR [T0,Tb[ et telle que la fonction z --+ T(t, z) est concave pour 
tout t EUR [O, +oo[.
IV.]

IV.1.a Ecrire une équation d'évolution sur la moyenne Y(t) : -21Î 02L Y(t,z)dz 
de Y

2

OL T(t,z)dz, celle de T.

sur l'intervalle [O, 2L] et sur T(t) : 51Î

IV.1.b En utilisant les conditions aux limites, le signe de T -- T0, et donc le 
signe du
gradient de T aux limites en 2 = 0 et z : 2L, évaluer les champs de température 
et de

fraction massique à la limite t ---> +oo.

IV.1.c Faire le lien avec le modèle homogène de la partie III.

IV.2 On introduit un temps de diffusion T,... = L2 /D, ainsi que A : re.../n, 
son rapport au
temps d'induction introduit dans la partie II. En utilisant L comme échelle de 
longueur, en
notant EUR = z/L, T : t/r;, et 0 défini comme précédemment, donner la forme 
adimensionnée
de l'équation aux dérivées partielles sur 9 lorsque l'on néglige la 
consommation de fuel et que
l'on prend Y 5 1 comme nous l'avons fait auparavant. La mettre sous la forme

a,9 - -î-a,,e : exp(0), (IV.2)

où on explicitera et justifiera le calcul de À.

\

IV.3 Donner une expression analytique implicite de l'état stationnaire 0"(5) 
associé a
l'équation (IV.3) (indication : remarquer que l'équation différentielle sur 9" 
en & admet
une intégrale première en multipliant par la dérivée, utiliser la symétrie et 
la concavité pour
caractériser ng" en EUR = 1 au centre du réacteur. La seconde intégration se 
fait par changement
de variable adéquat d>2(EUR) = exp(9""(l)) -- exp(9"(£)) que l'on justifiera) 
ainsi qu'une équation
du type

'P(ÛÎÂ) = À/2,

reliant A à la température maximum 022 au centre.

IV.4 Tracer et donner la forme de cette fonction \Il ; montrer qu'elle admet un 
maximum et
un paramètre critique {@ : xpmax associé. En déduire, comme dans la partie III, 
trois
scénarios, sur l'existence ou non de profils de température réduite 
stationnaires, suivant si
A < A... A = A.;, ou A > A.....

IV.5 Dans le cas A < A... combien existe--t--il de profils stationnaires ? En 
se référant à la
partie 111, que peut--on prédire sur leur stabilité ?

V LES PHÉNOMÈNES CONVECTIFS

Nous n'envisageons pas dans cette partie une étude complète des phénomènes de 
couplage
entre l'explosion thermique dans une bande, comme dans le cas précédent, et la 
convection
naturelle qui va se déclencher lorsque la température au centre dépasse un 
seuil de stabilité.
Ce genre d'étude demande un ensemble de simulations numériques sur ordinateur 
et une
investigation paramétrique. Dans ce contexte, le modèle à utiliser est un 
couplage entre une
équation sur la température en variables adimensionnées :

1
8,0 + 11 6,0 + i") 650 : :\- (ô,...0 + 6550) + exp(0), (V. 1)

où n est la variable adimensionnée dans la direction a:, et les équations de 
Navier-Stokes
pour un fluide incompressible sur (11,17) avec un terme source, dans l'équation 
de la vitesse

verticale adimensionnée 17, qui inclue les variations de densité volumique de 
masse dues au
faibles variations de température.

V.1 Expliquer, à la lumière des parties précédentes, pourquoi un modèle qui 
néglige la
consommation du fuel, suppose de faibles variations de température et considère 
l'équation

(V.l) permet de rendre compte d'une grande partie des phénomènes d'explosion 
pour un
modèle plus complet quand les hypothèses [H 1] et [H 2] sont vérifiées.

PROBLÈME II

Dans ce second problème, nous allons aborder la théorie de la propagation de 
flammes
planes laminaires. Ces objets monodimensionnel peuvent se voir, dans certains 
cas simples,

comme des structures auto--similaires (c'est--à-dire dont le profil spatial est 
invariant au cours
du temps) se propageant à vitesse c. '

I PRÉSENTATION

Nous allons aborder ces structures que l'on appelle "ondes progressives" pour 
des systèmes
d'équations aux dérivées partielles, en dimension un d'espace, qui modél'isent 
le couplage
instationnaire entre des phénomènes de conduction thermique et des phénomènes 
de réaction
chimique. Nous allons considérer une chimie simple du type "Fuel ----> 
Produits" ; l'évolution

physique peut alors être décrite par celles de la fraction massique de fuel 
(qui donne le degré
d'avancement de la réaction) et de la température :

ôtY - Dô...Y : -BJ(T) Y, (I. 1)

âtT -- DôuT : (T,, - To) BzZ(T) Y, (1.2)

II

pour Y EUR (0,1] et T EUR [T0,Tb]. On rappelle que @... désigne la dérivée 
partielle seconde en
la variable d'espace a:, ôt la dérivée partielle en temps; Y(t,x) désigne le 
champ de fraction
massique de fuel et T(t, a:) le champ de température. Par ailleurs, B est le 
facteur de fréquence
homogène à l'inverse d'un temps; & est une fonction monotone de T qui vaut 0 en 
T : T0.
La température du mélange où tout est brûlé de manière adiabatique est notée 
Tb, comme
dans le Problème I. On suppose dans ce problème que la réaction est 
exothermique et donc
que T,, -- To > 0. Par ailleurs B est une constante strictement positive. On 
remarquera que
le coefficient de diffusion de masse et conduction thermique sont pris égaux 
pour simplifier
l'analyse menée dans ce problème.

ONDES PROGRESSIVES

Nous allons donc chercher des profils çb(y) et 0(y), y EUR IR et une vitesse c 
(c fait partie des
inconnues du problème), tels que y = a: -- et et Y(t,æ) : qb(y) et T(t,:r) : 
9(y)(Tb -- T0) + T0
soient solution de (LI-1.2). Ils nous faut aussi imposer des conditions aux 
limites et c'est
sur les comportements à l'infini que nous les fixons en supposant que limy_++oe 
qfi(y) : 1,
limy_+_oe d>(y) : 0 et limy_,+oe 6(y) : O, limy_,_oe 0(y) : 1. Les gaz frais 
sont donc du "côté
+00" et les gaz brûlés du "côté --oo". La fraction massique Y vaut 1 quand la 
réaction n'a
pas eu lieu et 0 quand tout le fuel a été brûlé. On suppose que 0(y) EUR]O, 1[ 
et qñ(y) EUR]0, 1[. La
flamme se déplace à la vitesse inconnue 0 strictement positive, des gaz brûlés 
vers les gaz
frais (Figure 2).

Figure 2 : Onde progressive

II.] De la même manière que dans le problème 1, on peut se ramener à une seule 
équation
sur la température; c'est l'objet de cette question.

II.1.a Dans un premier temps, on se donne une vitesse de flamme c positive. 
Ecrire le
système de deux équations différentielles ordinaires satisfaites par les deux 
fonctions

d>(y) et 9(y)-

Il.1.b On note H : @ + 6. Montrer que cette quantité est constante, 
c'est-à--dire
qu'elle ne dépend ni du temps ni de l'espace. Donner sa valeur. (Indication : 
résoudre
l'équation différentielle satisfaite par "H en utilisant les conditions à 
l'infini pour

déterminer les constantes).

II.1.c Montrer alors que le problème se réduit à une équation sur 9(y) du type
c9' + D9" + 1b(0) : O,

et donner une expression explicite pour la non--linéarité 1,1).

II.2 On suppose que l'équation sur 9 ci--dessus admet une solution régulière 
C2. Montrer que
cette solution est monotone en y (indication : supposer l'existence d'un 
minimum et montrer
qu'il y a une contradiction en étudiant la convexité de la solution).

11.3 Nous allons maintenant faire quelques hypothèses sur la non--linéarité @ 
afin de montrer
l'existence et surtout l'unicité du profil de température 6 et de la vitesse 0. 
On suppose donc
qu'il existe 17 EUR]0,1[ tel que, 1,b(0) : 0 pour 6 EUR [0,17[, zp(9) > 0 pour 
9 EUR [77,1[ et w(1) : O,
d97,[2(1) : 7, avec 7 < 0 et fini. Une telle fonction est représentée sur la 
Figure 3.

0 Tl 1 0 1l 1

Figure 3 : Structure de la non-linéarité Figure 4 : Onde dans le plan de phase

On va réduire l'étude d'une équation du second ordre à. celle d'un système de 
deux équations
à deux inconnues du premier ordre et traiter l'existence dans le plan de phase 
(9,9' ). Par
soucis de simplicité, on suppose que D = 1.

II.3.a On note 5 == 0' : dye, la dérivée de 0. Ecrire le système de deux 
équations
différentielles du premier ordre sur le couple de nouvelles variables 
(0(y),ñ(y)). Le
plan (9, p') est appelé le plan de phase.

II.3.b Montrer que l'on peut reposer ce système dans le plan (0,5) avec 5 _>_ 0 
et
9 E [O, 1] sous la forme

pdep = cp -- w(9), (H- 1)

avec p(9(y)) : ñ(y) et les conditions aux limites p(9 : O) : p(6 : l) = 0, dont 
la solution
(courbe intégrale) permet de joindre les deux états stationnaires (0,0) et 
(1,0) comme
on le montre sur la Figure 4.

II.3.c On cherche dans un premier temps a = dap(1), la pente de la solution 
près du
point (1,0). On peut effectuer un développement de Taylor et supposer p : a(1 
-- 9)
et v,b(9) : 7(1 --- 9), avec 7 : dæp(1). En utilisant le fait que p vérifie 
l'équation (11.1),
déterminer a en fonction de c et de 7.

II.3.d On se place sur l'intervalle 9 EUR [77, 1]. On peut alors considérer 
qu'à une vitesse
c donnée, on peut trouver un profil p(9) qui vérifie (11.1). Montrer que la 
solution sur
cet intervalle est une fonction décroissante de c, donner l'expression de cette 
solution
16 pour c = 0 ainsi que la valeur de p(n) en fonction de I : [& gb(0)d0.

II.3.e Résoudre l'équation dans l'intervalle 9 EUR [0,17[. Quel est le sens de 
variation de
cette solution sur [0,17[ en fonction de c ? En déduire l'existence d'une 
unique vitesse
60 telle qu'il existe une courbe intégrale continue qui joigne (0,0) et (1,0) 
dans le plan
de phase (8, p). On note po(6) cette solution.

III VITESSE ET LIMITE ?) ---> 1

Nous allons maintenant donner une estimation sur la vitesse de flamme et en 
déduire sa
limite dans le cas 17 ---> 1 avec I fixé.

III.] Dans cette question, on cherche à obtenir un encadrement de la vitesse de 
flamme en
fonction de n.

III.1.a Montrer que co : po(n)/n.

III.1.b En utilisant les mêmes arguments que dans la partie précédente et la 
fonction
?, montrer que po(n) 5 \/21.

Ill.l.c Pour obtenir une borne inférieure, utiliser la solution 2, de l'équation
différentielle :

dog = 60 -- îP(9)/ÿ(9)

sur l'intervalle 0 EUR [n, 1] avec p(1) : 0. On montrera que dans cet 
intervalle p(0) 5 p0(0).
III.1.d En déduire :

Æ--col--ÛSCOSÆ,

III. 1
77 77 77 ( )

qui permet donc d'encadrer la vitesse de flamme en fonction du paramètre n.

III.2 En supposant que I reste constant en fonction de n et que l'on change 
donc simplement
la forme de la non-linéarité @, que dire de la vitesse de flamme lorsque 17 -) 
1 ? Que devient
alors le taux de réaction ? Donner une idée de la structure du profil de 
température dans ce
cas ? Où se trouve concentrée toute la réaction ? Le profil de température 
reste--t--il régulier ?
Le tracer.

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



X/ENS Modélisation PSI 2004 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Benoît Lobry (Professeur en CPGE) ; il a été relu par
Vincent Fourmond (ENS Ulm) et Emmanuel Loyer (Professeur en CPGE).

Ce sujet s'intéresse aux équations d'évolution des phénomènes de combustion
et d'explosion. Il est divisé en deux problèmes :
· Le premier est consacré à l'étude locale d'un milieu siège d'une réaction de 
combustion potentiellement explosive. Après une première partie de présentation,
on étudie, dans les deuxième et troisième parties, l'évolution de la température
et les conditions critiques d'explosion avec ou sans pertes thermiques. La 
quatrième partie permet d'aborder le cas d'un milieu réactionnel non homogène et
sujet aux phénomènes de diffusion. La cinquième partie envisage l'influence de
la convection mais, bien qu'évoquée dans l'introduction, elle n'est l'objet que
d'une unique question qualitative.
· Contrairement au premier, le deuxième problème ne s'en tient pas à une étude
locale mais se penche sur la propagation d'une flamme dans le milieu réactionnel
et permet d'aboutir à l'expression de sa vitesse de propagation.
Les concepts physiques mis en jeu dans ce sujet sont inexistants. Bien que 
l'objet
d'étude soit très concret, l'énoncé annonce en introduction une modélisation 
mathématique et c'est bien ce qu'il propose par la suite. Ainsi, partant 
d'équations
d'évolution préétablies, on détermine certaines propriétés de leurs solutions 
mathématiques mais ces résultats ne sont jamais comparés à des données 
expérimentales.
Par ailleurs, l'énoncé fait trop rarement appel à l'analyse physique. Le second 
problème, par exemple, n'est qu'une épreuve de mathématiques appliquées et 
comporte,
de plus, quelques fautes de signe pour le moins préjudiciables.
En conclusion, ce sujet est trop long et il est surtout trop mathématique pour
être intéressant physiquement. Cependant, il peut s'agir d'un choix délibéré 
qui se
répétera aux sessions prochaines et dans ce cas, mieux vaut y être préparé.

Indications
Premier problème
I.2
II.1.a
II.1.c
II.1.d
II.1.e
II.1.g
II.2.b
II.3.b
II.3.d
II.3.e
III.1.d
III.1.e
III.1.f

III.2.a
III.2.c
III.2.e
III.2.f
III.3.d
III.4.b
IV.1.a
IV.1.b

IV.3

La question est mal posée. Seule la réciproque peut être démontrée.
Isoler les termes communs aux équations (II.1) et (II.2).
Utiliser l'équation (II.1) et le corollaire pour montrer la décroissance 
stricte.
Utiliser la question II.1.a.
Montrer que Y converge vers une limite finie ne pouvant qu'être nulle.
Utiliser la question II.1.a.
Le développement 1 + u = exp u conduit à une unique exponentielle.
Utiliser la question II.1.a pour exprimer dt Y en fonction de T.
Utiliser la question II.1.a afin d'obtenir le diagramme de phase.
Que vaut implicitement Y selon l'équation obtenue à la question II.2.b ?
Utiliser la question III.1.c.
Dans le plan (Y, T), la frontière  est un rectangle.
S'inspirer de la question II.1.e pour Y. Montrer que H, puis T convergent
nécessairement vers une limite finie. Relier la limite de dt T à celle de T à
l'aide de l'équation (III.2) et conclure.
Supposer que Y  1.
La droite e 7-  cr e est tangente à e 7- exp e en ecr .
Comparer les pertes thermiques et l'apport d'énergie par combustion.
Comparer graphiquement exp e et  e autour des états stationnaires.
Que dire de dt Y d'après l'équation (III.1) avec Y  1 ?
Traduire graphiquement le fait que H décroît.
Prendre les moyennes des équations (IV.1) et (IV.2). Les dérivées temporelles
et les intégrations spatiales peuvent être interverties.
S'inspirer de la question II.1.e pour Y. Montrer, par l'étude de la monotonie
de H = T + (Tb - T0 )Y, que H puis T convergent. Grâce à l'expression de
dt H, la concavité et la symétrie de T, justifier que l'existence d'une limite 
de
T strictement supérieure à T0 contredit l'existence d'une limite finie pour H.
Dériver l'expression de 2 () pour obtenir d (). Développer en éléments
st
simples la fraction en () avant de l'intégrer. On a  st (1) = m
et  st (0) = 0.
Deuxième problème

II.2 Justifier que  est positive. Si  n'est pas monotone, elle présente un 
minimum.
II.3.b Il y a une erreur dans l'énoncé. Reprendre la question II.3.a avec pe = 
-dy .
II.3.c Il faut corriger l'énoncé et poser p() = ( - 1) et () = ( - 1). Prendre
garde aux signes de ,  et c.
II.3.d Comparer les pentes  et  en  = 1 des solutions p et p associées à c
et c > c. Raisonner par l'absurde en intégrant les expressions de d p et d p .
II.3.e Avec pc solution associée à c, montrer que c 7- pc () - c  est monotone.
Considérer la valeur en 0 et la limite en + pour conclure.
III.1.c Intégrer d (p0 - p) entre  et 1 puis déterminer son signe. Calculer p() 
après
avoir montré que d p = c0 + d p.

Problème I
I.

Présentation

I.1 Avec pour les n espèces du mélange mk = m,
n

n

k=1

k=1

X Yk
1
1 X
1
=
=
Yk =
m
e
mk
m
m

et la loi d'état (I.2) se réduit bien à la loi d'état d'un gaz parfait simple :
p=

R
T
m

I.2 Comme m est une constante, le résultat précédent donne

m p p0
T - T0
0 p p 0
T - T0 =
-
soit
=
-
R  0
T0
p 0  0
où

p
p0 + (p - p0 )
p0
1 + (p - p0 )/p0
=
=
×

0 + ( - 0 )
0
1 + ( - 0 )/0

Un développement de Taylor à l'ordre 1 en (p - p0 )/p0 et ( - 0 )/0 donne alors

p
p0
p - p0
 - 0
=
1+
-

0
p0
0
T - T0
p - p0
 - 0
On en déduit
=
-
T0
p0
0
ce qui permet de vérifier que si l'approximation de Oberbeck-Boussinesq est 
valable,
alors T - T0  T0 .
L'approximation de Oberbeck-Boussinesq n'est pas nécessairement valable
pour de faibles variations de température : (T - T0 )/T0  1 n'implique pas
(p - p0 )/p0  1 et ( - 0 )/0  1. Seule la réciproque est juste.

II.

Explosion adiabatique homogène

II.1.a Des équations (II.1) et (II.2), on déduit que
dt T = -(Tb - T0 ) dt Y
donc
dt [T + (Tb - T0 )Y] = 0
et

H = T + (Tb - T0 )Y = Cte
À t = 0, T = T0 et Y = 1 donc
H = Tb

II.1.b La question précédente permet d'écrire, avec H = Tb ,
T = Tb - (Tb - T0 )Y
donc, en remplaçant T dans l'équation (II.1), on trouve

E
dt Y = (Y)
avec
(Y) = -B Y exp -
R (Tb - (Tb - T0 )Y)

II.1.c Avec T0 < Tb et 0 6 Y 6 1, le dénominateur Tb - (Tb - T0 )Y ne peut 
s'annuler, donc la fonction  est de classe C  et lipschitzienne sur l'ensemble 
compact
 = [ 0 ; 1 ] de R. La donnée initiale Y0 vaut 1, elle appartient à la frontière 
 et
avec dt Y(0) = (Y0 ) 6 0, l'évolution initiale est bien dirigée vers 
l'intérieur de .
On se trouve donc dans les conditions d'application du théorème, avec k = +.
Il permet d'affirmer qu'il existe une unique solution Y maximale de classe C  
sur
un intervalle de temps [ 0 ; tmax [ et prenant ses valeurs dans  = [ 0 ; 1 ].
Avec B > 0 et Y > 0, on a

E
dt Y = -B Y exp -
60
R (Tb - (Tb - T0 )Y)
La solution Y est donc décroissante. Par ailleurs, d'après l'équation (II.1), 
on peut
écrire pour tout instant t0 de [ 0 ; tmax [ :
dt Y(t0 ) = 0

Y(t0 ) = 0

Ainsi, si Y n'est pas strictement monotone, il existe un instant t0 pour lequel 
Y
coïncide avec la solution constante égale à 0. Cette solution constante peut 
être
définie sur [ 0 ; + [ donc, d'après le corollaire, elle coïncide avec Y sur 
tout l'intervalle
[ 0 ; tmax [. Comme cela n'est pas compatible avec Y0 = 1, on en conclut que
Y est strictement décroissante sur [ 0 ; tmax [.
D'après le théorème, si tmax est fini, alors
où

lim Y(t) = µ

ttmax

µ   = {0 ; 1}

Avec Y0 = 1 et Y strictement décroissante, la seule possibilité est
lim Y(t) = 0

ttmax

Alors, Y coïncide avec la solution constante égale à 0 au temps d'existence 
maximal tmax fini. Comme précédemment, cette solution constante peut être 
définie sur
[ 0 ; + [ donc, d'après le corollaire, elle coïncide avec Y sur tout 
l'intervalle [ 0 ; tmax [.
Cela n'est pas compatible avec Y0 = 1, si bien que
tmax = +
La solution Y est strictement décroissante donc, d'après l'équation (II.1), Y ne
s'annule jamais. Ainsi,
t  [ 0 ; + [

Y(t) > 0

II.1.d D'après la question II.1.a,
T = Tb - (Tb - T0 )Y
Avec Y strictement décroissante sur [ 0 ; + [ et Tb > T0 , on peut en déduire 
que
T est strictement croissante sur [ 0 ; + [.
De même, Y strictement positive et Tb > T0 imposent
t  [ 0 ; + [

T(t) < Tb

II.1.e Comme Y est décroissante, de classe C  et bornée inférieurement par 0
sur [ 0 ; + [, Y admet nécessairement une limite finie Y , positive ou nulle, 
quand
t  +. Si la limite Y est strictement positive, avec Y décroissante, on a
t  [ 0 ; + [

Y(t) > Y > 0