X/ENS Physique PSI 2010

Thème de l'épreuve Quelques aspects du fonctionnement d'un laser
Principaux outils utilisés optique ondulatoire, électromagnétisme
Mots clefs profil de raie, effet Dopler, interféromètre de Michelson, cohérence temporelle, laser, spectroscopie par transformée de Fourier, cavité résonante, milieu amplificateur, équations du laser, inversion de population

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


CX0613
Banque commune École Polytechnique ­ ENS de Cachan

PSI
Session 2010
__________

Épreuve de Physique
__________
Durée : 4 heures
__________
Aucun document n'est autorisé
L'usage de calculatrice électronique de poche à alimentation autonome, non 
imprimantes et
sans document d'accompagnement, est autorisé selon la circulaire n°99018 du 1er 
février
1999. De plus, une seule calculatrice est admise sur la table, et aucun échange 
n'est autorisé
entre les candidats.
N.B : L'attention des candidats est attirée sur le fait que la notation tiendra 
compte du soin,
de la clarté et de la rigueur de la rédaction. Le candidat est prié d'accorder 
une importance
particulière aux applications numériques.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il
est amené à prendre.

Quelques aspects du fonctionnement d'un laser
Les lasers sont des sources de lumière à la fois très intenses et très 
cohérentes. On se propose
d'étudier quelques aspects du fonctionnement d'un laser hélium-néon. Ce 
problème comporte deux
parties dans une large mesure indépendantes. Dans la première partie, on étudie 
la largeur d'une raie
spectrale, puis le principe de la cavité optique qui explique la finesse du 
spectre d'émission d'un laser.
Dans la seconde partie, après avoir étudié la propagation d'une onde dans un 
milieu amplificateur, on
s'intéresse aux régimes de fonctionnement stationnaire d'un laser.
Lors de la correction, une grande attention sera portée aux remarques à 
caractère physique, à la
clarté de la rédaction, ainsi qu'à la présentation. Il est demandé au candidat 
de rappeler le numéro
identifiant une question avant la solution qu'il propose.
Convention de signe et notation
A tout signal sinusoïdal de la forme : s t s 0 cos Zt  I , on associe un signal 
complexe de la
forme : s t s 0 exp>i Zt  I @ où i est le nombre complexe dont le module est 
égal à 1 et l'argument à
S
.
2
&
&
&
Pour une grandeur se propageant, on écrit : s r , t s 0 exp>i Zt  I r @ S r 
exp>i Zt @
&
&
&
où S r s 0 exp> iI r @ est l'amplitude complexe de l'onde en r .
&
On écrira l'intensité lumineuse associée à une onde d'amplitude complexe S r :
&
&
&
& 2
I r S r S* r S r .
1

TOURNEZ LA PAGE S.V.P.

Données numériques :

20,2 g.mol -1

Masse molaire du néon :

M néon

Vitesse de la lumière dans le vide :

c 3,00 10 8 m.s -1

Constante des gaz parfaits :

R 8,31 J.mol 1 .K 1

Formulaire :
f

³

x exp(  z 2 )dz

S

f
f

§ D2 ·
¸
S exp¨¨ 
¸
© 4 ¹

³

x exp  z 2 cos Dz dz
f
f

³

x exp  z 2 sin Dz dz

0

f

0.
Les lasers sont des sources lumineuses caractérisées la plupart du temps par 
les trois
propriétés suivantes : forte intensité, très grande cohérence temporelle et 
grande directivité. Citer au
moins trois applications des lasers. Préciser dans chaque cas quelles 
propriétés spécifiques du laser
sont utilisées.

Partie I : Profil spectral et cohérence temporelle.
I.1°) Elargissement d'une raie spectrale par effet Doppler

I.1°) a) Effet Doppler.
Soit un détecteur D fixe en un point O de l'espace, une source S se déplace à 
la vitesse
algébrique V sur un axe (Ox) orienté du détecteur vers la source. L'abscisse 
x(t) représente la distance
entre D et S. La source S émet un signal de période T ; la célérité du signal 
dans le milieu qui sépare S
de D est c.
1.
Soit t (respectivement t') et t+T (respectivement t'+T') les instants 
correspondant à
l'émission par la source (respectivement la réception par le détecteur) du 
début et de la fin d'une
période du signal. Calculer t' et t'+T' en fonction des données.
2.
Si on suppose que le temps caractéristique de variation de la vitesse de la 
source est
très grand devant T, exprimer T' en fonction de T, V et c.
Dans le cas où V<i Zt  kz @e x , établir 
l'équation de dispersion
&
&
&&
reliant Z et k. On rappelle la relation vectorielle suivante : rot rot X Grad 
div X  'X
2

n  in ' avec n>0.
27.
On suppose que la constante diélectrique relative s'écrit H r
Ecrire le champ électrique de l'onde se propageant vers les z croissant. A 
quelle condition sur n',
l'amplitude de cette onde augmente-t-elle ?
28.
Ecrire le champ magnétique de l'onde étudiée à la question précédente. En 
déduire
&
l'expression du vecteur de Poynting S . Calculer la norme de sa valeur moyenne 
dans le temps
&
I
S .
29.
On appelle R le coefficient de réflexion en puissance du miroir de la cavité 
résonnante
situé en z=0. Si l'on néglige toutes autres sources de pertes, donner la valeur 
de n' pour que le laser
fonctionne en régime stationnaire, c'est-à-dire que l'amplification sur un 
aller retour de l'onde
compense exactement les pertes dues à l'émission du faisceau extérieur.
30.

Que se passe-t-il si n' a une valeur supérieure à celle calculée à la question 
29 ?

9

TOURNEZ LA PAGE S.V.P.

II.2°) Phénomène de saturation et régime de fonctionnement stationnaire

Pour pallier le problème soulevé à la question 30, il faut tenir compte du 
processus
microscopique à l'origine de l'amplification. On rappelle que l'émission ou 
l'absorption d'ondes
électromagnétiques par la matière, correspond à la transition au sein d'un 
atome d'un électron entre
deux niveaux énergétiques notés 1 et 2, d'énergie E1 et E2 (E10, en déduire une condition sur 'N
pour que le milieu soit amplificateur. En utilisant le résultat de la question 
29 déterminer la valeur
critique 'N C de 'N qui correspond à un fonctionnement stationnaire du laser.
32.
On appelle I0 l'intensité lumineuse totale dans la cavité qui part du miroir 
situé en z=0.
Si 1  R  1 , les pertes sont faibles, l'amplification de l'onde sur un aller 
retour est donc faible elle
4n ' ZL
 1 . En déduire qu'au premier ordre :
aussi. Cela permet de supposer que
c
- en tout point de la cavité on peut prendre I | I 0 .
4n ' ZL
I0
- le gain d'intensité sur un aller retour vaut : 'I g |
c
33.

Les pertes sur un aller retour s'écrivent 'I p

 1  R I 0 . En admettant que le temps

d'un aller retour dans la cavité est faible devant le temps d'évolution de I0, 
montrer que :
dI 0
J  1  g'N I 0
dt
Exprimer les constantes g et J respectivement en fonction de D, L, c, Z et R et 
de R, c et L.
On admettra que l'évolution de 'N est traduite par l'équation :
'N  'N 0
d'N
 E'NI 0

W
dt
où W et E sont des constantes et 'N 0 est la différence de peuplement des deux 
niveaux d'énergie en
l'absence d'onde dans la cavité. Cette valeur est maintenue positive par un 
dispositif dit de
``pompage'' extérieur à la cavité.
'N 0
Montrer qu'en régime stationnaire on a : 'N
, exprimer IS en fonction de W et E .
I
1 0
IS
34.

35.
En utilisant les résultats des deux questions précédentes, montrer qu'en régime
stationnaire il ne peut exister que deux intensités I' et I'' dans la cavité :
Soit I0=I'=0, soit I0=I''=(K-1)IS, exprimer 'N 0 en fonction de g et K.
36.

Etude de la stabilité de la solution stationnaire I'' :

10

Gi
 1 . Déterminer l'évolution temporelle Gi(t) pour Gi(t=0) = GI0. A quelle
I' '
condition sur K la solution est-elle stable ?
On pose I 0

37.

I' ' Gi avec

Effectuer la même étude qu'à la question précédente pour la solution 
stationnaire I'.

38.
En utilisant les résultats des deux questions précédentes tracer le graphe 
I0(stable) en
fonction de K. Quelle est la valeur minimale de K pour que le laser émette ? 
Que vaut alors 'N 0 ?
39.
Enfin tracer, pour les régimes stationnaires stables 'N en fonction de K. En 
déduire
que 'N ne peut dépasser une valeur seuil 'N S . Comparer 'N S au 'N C de la 
question 31 sachant
que 1-R<<1. Conclure que le problème de la question 30 est levé.

FIN DE L'EPREUVE

11

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



X/ENS Physique PSI 2010 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Emmanuel Bourgeois (Professeur en CPGE) ; il a été
relu par Pierre Fleury (ENS Lyon) et Julie Zutter (Professeur en CPGE).

Ce sujet porte sur quelques aspects du principe d'un laser (Light Amplification 
by
Stimulated Emission of Radiation). Il est constitué de deux parties 
indépendantes.
· Dans un premier temps, on étudie le profil spectral d'un laser. Après avoir 
modélisé l'importance de l'effet Doppler sur l'émission d'une vapeur atomique, 
on
étudie un dispositif interférentiel de mesure. On montre enfin comment 
l'utilisation d'une cavité optique permet de réduire la largeur de la raie 
spectrale
afin d'améliorer la cohérence temporelle du dispositif. La difficulté des 
questions est très variable au cours de cette partie, qui alterne aspects 
techniques
et pratiques.
· La deuxième partie s'intéresse au processus d'amplification laser. Après avoir
étudié la propagation d'une onde électromagnétique dans un milieu 
amplificateur, on passe en revue les différents régimes de fonctionnement du 
laser.
Ceci ne nécessite aucune connaissance particulière, mais la présence d'effets
non linéaires fait sortir des sentiers battus.
La première partie permet de travailler en profondeur les interférences, en 
particulier la notion de cohérence temporelle. La seconde est plus spécifique 
au laser.
Ce sujet s'inscrit dans l'actualité puisque l'on fête cette année les 50 ans du 
laser.
Cet instrument est un bel exemple de transfert de la recherche fondamentale vers
les applications : en à peine un demi-siècle, cette curiosité de laboratoire, 
créée par
l'Américain Théodore Maiman en mai 1960, est devenue un outil du quotidien.

Indications
Partie I
1 Pour cette question, la vitesse V de la source n'est pas constante. De quelle
longueur x(T) cette source se déplace-t-elle pendant une durée T ? Quelle est
alors la distance que la lumière doit parcourir ?
4 Utiliser la question 2 pour écrire Vx et dVx en fonction de  et d. Supposer 
que
le détecteur reçoit de la part de chaque atome la même intensité lumineuse.
6 Faire le changement de variables  = c/. Effectuer un développement limité des
fonctions K et .
10 Seul le passage par la lame d'air induit un déphasage. L'incidence est ici 
nulle.
12 Effectuer le changement de variables   = ( - 0 )/, ainsi que la formule de
trigonométrie donnant le développement de cos(a + b).
13 Montrer dans un premier temps que x = (V0 /V1 ) X en explicitant les 
différentes
distances parcourues pendant une durée t.
14 Utiliser les questions 4 et 5 pour exprimer la largeur à mi-hauteur de 
l'enveloppe
gaussienne en fonction de la température.
15 Mesurer la période spatiale X0 en utilisant tout le chronogramme pour 
améliorer
la précision.
16 L'angle i est supposé faible : on peut limiter les calculs à l'ordre 2.
17 Attention, ici, la réflexion en z = L est parfaite et n'induit pas de 
coefficient r.
18 L'amplitude s'écrit comme la somme des termes d'une suite géométrique. Pour
obtenir le résultat, noter que

cos  = 1 - 2 sin2
2
23 La largeur de raie est fixée par la cavité. Utiliser alors la question 12 
pour exprimer
la longueur de cohérence.
Partie II
27 La propagation se faisant suivant les z croissants, Re (k) > 0.
28 Utiliser l'équation de Maxwell-Faraday en notation complexe pour trouver le
champ magnétique. Pour le calcul du vecteur de Poynting, il faut repasser aux
champs réels. On rappelle que
1
cos2 (a t) =
et
hcos(a t) sin(a t)i = 0
2
29 Évaluer la puissance moyenne reçue par le miroir après une réflexion et un 
allerretour dans la cavité. En déduire la condition de fonctionnement 
stationnaire.
32 Utiliser la question 29 et faire un développement limité au premier ordre de 
I(z).
33 Écrire la variation dI0 d'intensité lumineuse de la cavité sortant entre les 
instants t
et t + t, où t = 2 L/c est le temps nécessaire à la lumière pour parcourir un
aller-retour dans la cavité.
36 Pour une petite variation i d'intensité, N reste proche de sa valeur 
stationnaire
ce qui permet d'utiliser le résultat de la question 34. Exprimer alors g N, puis
le second membre de l'équation d'évolution établie à la question 33 au premier
ordre en i. On trouve une équation différentielle du premier ordre.
39 Exprimer N en fonction de g et  pour chaque régime et vérifier que N < 1/g.
Utiliser la question 33 pour exprimer g en fonction de R.

Quelques aspects du
fonctionnement d'un laser
0 Citons, pour chaque propriété du laser énoncée, quelques applications.
· Forte intensité : propriété utilisée dans l'industrie pour réaliser des 
découpes ou
des soudures plus propres qu'avec d'autres procédés. On l'utilise également en
chirurgie pour soigner la myopie, ou encore en recherche fondamentale (projet
du laser mégajoule pour la fusion inertielle).
· Cohérence temporelle : on utilise le caractère monochromatique du laser en
interférométrie, mais aussi pour la lecture de disques compacts, de DVD bluray 
ou encore de codes barres. Le laser est également une source de lumière
intéressante en spectroscopie, ce qui est utilisé par le LIDAR pour sonder la
composition de l'atmosphère.
· Directivité : dans le génie civil, on l'utilise pour l'alignement optique 
(construction de routes ou de tunnels) ou pour remplacer le fil à plomb 
(bâtiment).
On réalise également des mesures de distance par télémétrie.

I. Profil spectral et cohérence temporelle
I.1

Élargissement d'une raie spectrale par effet Doppler

1 Le signal émis à l'instant t doit parcourir une distance x(t) avant d'être 
reçu à
l'instant t par le récepteur. Ainsi,
t = t +

recepteur
x(t)
t

emetteur

x

x(t)
c

x(T)

t+T

x
Pendant la durée T, l'émetteur s'est déplacé d'une distance
Z t+T
x(T) =
V(t) dt
t

Ainsi, le signal émis à l'instant t + T doit parcourir la distance x(t) + x(T) 
avant
d'être capté par le récepteur à l'instant t + T , et donc
!
Z t+T
1

t +T = t+T+
x(t) +
V(t) dt
c
t

2 On suppose qu'entre les instants t et t + T, la vitesse de la source reste 
constante.
Il en résulte
1
t + T = t + T + (x(t) + V T)
c
On retranche alors membre à membre l'expression de t établie à la question 1 :

V

T =T 1+
c
La fréquence mesurée par le détecteur s'écrit
1
1
1
 =  =
T
T 1 + V/c

V
 =  1 -
Soit, pour V/c  1,
c

On peut vérifier la pertinence du résultat : si V = 0, alors   = .
3 On note  étoile et  sol les fréquences reçues sur Terre respectivement émises 
depuis
une étoile et depuis la Terre. Un décalage vers le rouge du spectre reçu en 
provenance
d'une étoile signifie que
 étoile <  sol
et donc, d'après la question 2,

Vétoile > 0

autrement dit, l'étoile s'éloigne de la Terre.
Toutes les étoiles ne s'éloignent pas de la Terre, en particulier au sein
de notre galaxie. En revanche, c'est quasiment systématiquement le cas
des étoiles provenant d'autres galaxies. Ce phénomène, mis en évidence par
Hubble en 1929, est aujourd'hui interprété par l'expansion de l'univers.
L'effet Doppler est un phénomène purement ondulatoire, utilisé dans différents 
domaines de la physique. En acoustique, le son d'une moto devient
de plus en plus aigu quand elle se rapproche de nous, et plus grave lorsqu'elle 
s'éloigne. Le sonar (utilisant les ultra-sons), mais aussi le radar (dans
le domaine des micro-ondes), sont deux applications de cet effet.
4 Évaluons le nombre d'atomes dont la longueur d'onde reçue par le détecteur est
comprise entre  et  + d. D'après la question 2,

Vx
 = 0 1 +
c
où 0 est la longueur d'onde associée à une source immobile. À une extension en
longueur d'onde de d est donc associée une extension en vitesse
d
dVx = c
0
Le nombre d'atomes associé s'écrit alors
r

M
M Vx 2
dN = N
exp -
dVx
2 RT
2 RT
r

M
M Vx 2
d
=N
exp -
c
2 RT
2 RT
0
r

c
M
M ( - 0 )2 c2
dN = N
exp -
d
0 2 RT
2 0 2 RT