X/ENS Physique PSI 2009

Thème de l'épreuve Réalisation de milieux continus à l'aide de composants discrets: application dans le domaine de l'électromagnétisme et de la thermodynamique
Principaux outils utilisés électrocinétique, thermodynamique, électromagnétisme, ondes

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Rapport du jury

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


CX9613
Banque commune École Polytechnique ­ ENS de Cachan

PSI
Session 2009
__________

Épreuve de Physique
__________
Durée : 4 heures
__________
Aucun document n'est autorisé
L'usage de calculatrice électronique de poche à alimentation autonome, non 
imprimantes et
sans document d'accompagnement, est autorisé selon la circulaire n°99018 du 1er 
février
1999. De plus, une seule calculatrice est admise sur la table, et aucun échange 
n'est autorisé
entre les candidats.
N.B : L'attention des candidats est attirée sur le fait que la notation tiendra 
compte du soin,
de la clarté et de la rigueur de la rédaction. Le candidat est prié d'accorder 
une importance
particulière aux applications numériques.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il
est amené à prendre.

__________

1/9

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Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



X/ENS Physique PSI 2009 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par David Chapot (Professeur agrégé) ; il a été relu par
Emmanuel Bourgeois (Professeur en CPGE) et Rémy Hervé (Professeur agrégé en
école d'ingénieur).

Ce sujet traite de la description de milieux continus à l'aide de composants 
discrets
dans les domaines de l'électromagnétisme et de la thermodynamique.
· La première partie est consacrée à l'étude des ondes électromagnétiques dans
un câble coaxial puis à la représentation de ce dernier par une ligne à 
constantes
réparties ou par des composants discrets. On s'intéresse dans un premier temps
au cas où les pertes sont négligeables, puis au cas des ondes atténuées ou 
amplifiées et, enfin, aux « milieux paradoxaux » dans lesquels l'énergie des 
ondes
électromagnétiques se propage dans le sens opposé de celui des ondes qui la
transportent.
· Dans la deuxième partie, on s'intéresse à une modélisation électrique de la 
diffusion thermique dans un milieu unidimensionnel. Dans le domaine des hautes
fréquences, on assiste à un effet thermique particulier : le flux thermique peut
s'effectuer des zones de basse température vers celles de température plus 
élevée,
ce qui est en apparence contraire au second principe de la thermodynamique.
· La dernière partie reprend le cas d'un transfert thermique « du froid vers le
chaud » avec l'exemple d'une machine frigorifique. Elle s'achève par l'analyse
des propriétés d'une ligne continue de micromachines frigorifiques, qui permet
de réaliser des matériaux aux propriétés particulières.
Ce sujet fait appel au programme d'électrocinétique et de thermodynamique des
machines thermiques et exige de maîtriser les bilans sur les systèmes fermés 
ainsi
que le calcul différentiel. Il comporte de nombreuses questions dont les 
réponses
nécessitent une bonne culture scientifique et une réflexion hors des sentiers 
battus.
L'énoncé annonce la plupart des réponses attendues mais recèle des ambiguïtés et
des imprécisions qui rendent le cheminement difficile.

Indications
Partie I
2 Penser à exploiter les relations de passage pour le champ électromagnétique à
travers la surface du conducteur interne.
3 L'intensité i(z, t) se détermine à partir du théorème d'Ampère appliqué sur un
périmètre du conducteur intérieur.
4 Appliquer la loi des mailles et la loi des noeuds au circuit puis effectuer 
un développement limité à l'ordre 1 en dz.
5 Le flux d'énergie est dans la direction du vecteur de Poynting moyen de 
l'onde.
6 La densité linéique de la ligne se détermine à partir des expressions 
usuelles des
énergies stockées par une inductance et un condensateur.
7 Établir l'équation de dispersion du milieu. Montrer qu'elle n'est équivalente 
à celle
de la ligne à constantes réparties que si k a  1.

9 Écrire le vecteur d'onde k donné par la relation de dispersion sous la forme
k = k + j k  et faire le lien entre le signe de k  et une éventuelle 
atténuation.

14 Le montage à AOIPL sert à inverser le sens du courant entre les bornes  et 
(cf. question 10) ; toutes les impédances sont donc remplacées par leur opposée.
Partie II
19 Effectuer un bilan thermique sur une tranche de conducteur  comprise entre z
et z + dz.
21 Considérer que la température doit évoluer sur une distance grande devant a.
22 Introduire l'inductance linéique thermique th grâce à la relation Lth = a th 
/,
qu'il faut justifier.
24 Montrer que j th et T(z)/z peuvent être de même signe en régime sinusoïdal.
Partie III
26 Les transferts thermiques à travers les deux résistances thermiques R0 ne 
sont
possibles que si TC  > TC et TF  6 TF , ce qui conduit à une inégalité sur T0 .
27 L'efficacité d'une machine thermique est le rapport de la grandeur utile et 
de la
grandeur qui a un coût.
28 Travailler à puissance constante. Lorsque la taille de la machine diminue, 
comment
évoluent les échanges thermiques ?
29 Appliquer la condition de réversibilité de la machine ditherme interne.
Attention : les résultats annoncés par l'énoncé contiennent deux erreurs de 
signe
dues à celles commises sur les expressions de R0 dans la figure de la question 
25 :
R0 =

TC  - TC
TF - TF 
=
PthC
PthF

34 Remarquer que la micromachine étudiée est identique à celle de la question 
21.
38 Utiliser les résultats des questions 33 et 35 pour établir une équation 
différentielle
linéaire du premier ordre en T(z). L'intégrer en appliquant la méthode de la
variation de la constante.

I. Propagation des ondes électromagnétiques
A.

Propagation dans un câble coaxial sans pertes

1 Dans le vide, les densités volumiques de charge et de courant sont nulles en 
tout
point M et à chaque instant t ; par conséquent, les équations de Maxwell 
s'écrivent

-

div E (M, t) = 0
Maxwell-Gauss

-

 B (M, t)
-

-
rot E (M, t) = -
Maxwell-Faraday
t

-

div B (M, t) = 0
Maxwell-flux

-

 E (M, t)
-

-
rot B (M, t) = 0 µ0
Maxwell-Ampère
t
Pour alléger l'écriture, on ne précise plus les variables M et t.
En formant le rotationnel de l'équation de Maxwell-Faraday, on obtient :
 -

- - -
-  B
rot (rot E ) = - rot
t
En notant que les dérivées partielles par rapport aux variables spatiales et 
temporelle

- -
commutent et en remplaçant rot B grâce à l'équation de Maxwell-Ampère, il vient

-

2 E
- - -
rot (rot E ) = -0 µ0
t2
Compte tenu des identités
--

-

-
1
- - -
 0 µ0 = 2
et
rot (rot A ) = grad (div A ) -  A
c

-
pour tout champ de vecteurs A , on obtient

-
--

-

-
1 2 E
grad (div E ) -  E = - 2
c t2

-
Comme div E = 0 d'après l'équation de Maxwell-Gauss, on aboutit à l'équation de
propagation du champ électrique :

-
-

1 2 E
E = 2
c t2
De même, le rotationnel de l'équation de Maxwell-Ampère s'écrit

- -

1  rot E
- - -
rot (rot B ) = 2
c
t
D'après l'équation de Maxwell-Faraday, on obtient

-

1 2 B
- - -
rot (rot B ) = - 2
c t2

-
et, comme précédemment, en notant que div B = 0 d'après l'équation de 
Maxwellflux, on arrive à l'équation de propagation du champ magnétique :

-

-
1  2 B (M, t)
 B (M, t) = 2
c
t2
On recherche désormais des solutions particulières aux équations de propagation
sous la forme d'ondes planes monochromatiques homogènes progressives de pulsa
-
 (k > 0) :
tion  et de vecteur d'onde k = k -
u
z
-

-

-

-

E = E0 e j (t-kz) et B = B0 e j (t-kz)
-

-

où E0 et B0 sont constants et uniformes. On a alors

-
 2 E
-

-
E =
= (-jk)2 E
2
z
Par conséquent,

-

-
2 E
= (j)2 E
2
t

-

-

1
(-jk)2 E0 e j (t-kz) = 2 (j)2 E0 e j (t-kz)
c

Après simplification, il vient
c'est-à-dire

et

k2 =

2
c2

k=

c

On choisit k > 0 car la valeur négative correspond à des ondes qui se
.
propagent dans le sens --
u
z
Cette relation, que l'on peut également obtenir à partir de l'équation
de propagation du champ magnétique, correspond à un cas où il n'y a pas
dispersion (la vitesse de phase v = /k = c ne dépend pas de ).
2 Dans les conducteurs intérieur et extérieur supposés parfaits, les champs 
électrique et magnétique sont nuls. Lors de la traversée des conducteurs, la 
composante
tangentielle du champ électrique et la composante normale du champ magnétique
sont continues, donc nulles ici, ce qui se traduit par
 -
-
 -
-

=-
=0
E u
0
et
B ·u
r
r
Ces deux conditions sont effectivement vérifiées par les champs proposés.
Si les conducteurs ne sont pas parfaits ­ c'est-à-dire s'ils ont une 
conductivité finie  ­ il se produit le phénomène d'effet de peau. Le champ 
électro
magnétique pénètre dans les conducteurs sur une épaisseur  = 1/ µ0  
dans laquelle de l'énergie est dissipée par effet Joule.
Dans la suite, l'énoncé demande de vérifier que chacun des deux
-
 -

champs E et B obéit au théorème de Gauss et à celui d'Ampère ; en fait, il
faut seulement s'assurer que les champs électrique et magnétique obéissent
respectivement à ces deux théorèmes.