X/ENS Physique PSI 2008

Thème de l'épreuve Principe d'un pyromètre bichromatique
Principaux outils utilisés électrocinétique, thermodynamique, optique, électromagnétisme

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


mm.--:o: w ..... owËû

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5.--

:«:ËU % mZM | ...EEEËBÈP-- 28m Ë:EES o:@âOE

Aucun document n 'est autorisé.

L 'usage de calculatriCes électroniques de poche à alimentation autonome, non 
imprimantes et
sans document d 'accompagnement, est autorisé. Cependant, une seule 
calculatrice & la fois est admise
sur la table ou le poste de travail, et aucun échange n 'est autorisé entre les 
candidats.

N.B. : L 'attention des candidats est attirée sur le fait que la natation 
tiendra compte du soin, de la
clarté et de la rigueur de la rédaction. Le candidat eSt prié d 'accorder une 
importance particulière
aux applications numériques.

Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d 
'énonce', il le signa--

lera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons 
des initiatives qu 'il a
été amené à prendre. <

- THERMOMÉTRIE OPTIQUE ; PRINCIPE D'UN PYROMÈTRE BICHROQMATIUE.

La température est après le temps, la deuxième grandeur physique la plus 
fréquemment mesurée.
Pour des températures supérieures à 660 °C, on utilise les relations entre la 
température d 'un corps et
le rayonnement (infrarouge ou visible) que ce corps émet. Cette méthode, 
utilisée par exemple dans
les pyromètres optiques ou les bolomètres dans le domaine de l'imagerie 
thermique, présente
1 'aVantage de déterminer sans contact la température d 'un corps, celui--ci 
pouvant être alors situé à
grande distance ou dans un environnement hostile.

La partie ] traite de la réalisation d 'un capteur résistif de température à l 
'aide d 'une thermis--
tance, suivie d'un conditionnement du signal.

La partie Il traite du problème du rayonnement du corps noir et de ! 'émittance 
des corps en gé--
néral (aucune connaissance particulière sur ces sujets n 'est nécessaire pour 
aborder cette partie),
ainsi que de ! 'absorpti0n infiarouge par l 'atmosphèæ. Une modélisation simple 
est proposée pour
rendre compte de cette absorption.

La partie Il] étudie le principe de fonctionnement d' un pyromètre aptique 
bichrontatique, son in-
térêt et ses performances.

Les trois parties sont largement indépendantes entre elles, mais il est 
conseillé au candidat de les
aborder dans leur ordre d 'apparition.

Notations et données numériques .
On notera T une température exprimée en Kelvin et 49 cette même température 
exprimée en degré

Celsius. On rappelle que 72e... =9(...°C) + 273.

Célérité de la lumière dans le vide : c == 3 .108 m.s"

Constante de Planck : h = 6, 63.10"34 J.s

Constahte de Boltzmann : kB :: 1,38.10"" J.K"'

Perméabilité magnétique du vide : ,ou = 472r.10'7 H .m'l

Penniüivîté diélectrique du vide : eo = 1 2 === 8,85.10"'2 F.m"
1100

I. Therm0métrie par résistance.

D'une façon générale, la valeur d'une résistance' dépend de sa tempéraüue T. On 
caractérise cette

dépendance par le coefficient de température, noté ocR défini confine : a,, = 
;ä£â?.

I.]. Étude d'une thermistance.
On considère une thermistanae, dont la résistance est fonction de la 
température suivant la loi :

R(T)= R ...«explîB(--- ] I

T T «;;--H , où B est considéré comme constant dans le domaine de températures 
en-

visagé.

On a représenté sur la figure 1 ci--dessous en échelle semi--logarithmique la 
variation de R en
fonction de I/T.

----------------,--
...... Æ...EÆEEÆAAAA
N'NNMNNOEHËÆN
NNHHHHNHWÙ
___--___"---
'...... ààæàæàæ%àæ
"NNNHHÈTNNÜ
----------'l---
...... gææàæwqæg...ÿwà
Nflflñfiflfiflflfl
___--___-----
1... ààààäàææ...æà
......".........NÜ......
------...---------
...... àààlAæææææ%
HNMN-"Ë-"NNNNN
--.--____----

... --Vl------- ,

T(K) 1.10"3 2.10"3 3.10"3 4.10'3 5.10'3 "'"

1000 500 400 _ 300 250 "200

@ Préciser la dimension de B et calculer sa valeur.avec 2 chiffres 
significatifs.

@ Exprimer le coefficient de température de la thermistance et le calculer à 
25°C.

@ L'ordre de grandeur du coefficient de température des résistances métalliques 
autour de 25 °C est

typiquement de 0,5 % /°C. Vaut--il mieux utiliser une résistance métallique ou 
la thermistance précé--
dente pour réaliser un capteur de température résistif ?

L2. Lmeansatzon du cagteur. Fi ur e 2 1
La thermistanee est alimentée par un courant I et on 1

mesure la tension V à ses bornes : la caractéristique de ce

capteur est fortement non linéaire. On cherche & linéariser
la réponse V(I) en plaçant en parallèle sur la thermistance R(T) V @ V

un reszstor gasszz' de reszstance Rp. - R(T) R'p

On note R,, la résistance équivalente du dipôle ainsi

armé ; re 2 , thermistance thermistance
f (fgu ) _ linéarisée (THL)
Montrer que la linéarisation au voisinage d'une température T , correspond 
mathématiquement à
d2R" (T)

l'existence d'un point d'inflexion de la fonction R,,(T) pour la température T, 
(soit

dT2 = O').

T=T,

Donner l'expression de R ,,_ En déduire que la valeur de la résistance Rp 
permettant cette linéarisa-
B--2fi
B+2fl

tion s'écrit: R p : R(Tl) . Une telle linéarisaüon est--elle réalisable autour 
de 9, e 25 °C, avec

la thermistance étudiée ?

Exprimer le coefficient de température a...(T,) du dipôle linéarisé en fouetion 
de aR(TI), R(T,) et
R P. Quel inconvénient la linéarisation ainsi effectuée présente--t-elle ? 
Calculer a,hl(Tl).

1.3. Le système de mesure.
La thermistance linéarisée précédente, notée T HL, dont la

résistance peut s 'écrire sous la forme :
Ræu(T) : R(Ti)'[1+ ath/'(T '" T1)]

est montée dans un pont de Wheatstone (fig 3a) avec trois résis-
tances fixes de valeur R , = R(T,).

On prendra : R(T_,) = 5 000 .(2.

a,,,, a -- 1,58 .10"2K'1.

Le pont est alimenté par une source de courant continu
idéale la, de valeur fixée la m 1 mA.

On considère le pont diviseur de courant de la figure 3b. Ex--
primer les courants I et I' en fonction du courant la et des conduc--

tances G--«l--«et G'-------£--- ' I ' I°
R R' ' R | -

@ Utiliser les résultats de la question 7. pour exprimer la tension '

de mesure umes m VC ---VD (voir figure 3e) en fonction de R,hl(T), R , _

et la.

Figure 3b

R110 + 3um

En déduire que l'on a : R,h,(T) =- R1 R I .
1 0 "unies

@ Montrer, en effectuant un développement limité au premier ordre, que u,... 
peut s'écrire sous la
forme : um : fl (T --- Tl ) , où ,6 est une constante qu'on exprimera en 
fonctionde a,", R , et 10.

Calculer numériquement ,6'.
On conservera dans la suite du problème cette expression linéarisée de ames.

On place l'ensemble du pont précédent dans une enceinte thermostatée & la 
température Te * T ,.

Quelle valeur de la tension de mesure pourrait-on attendre en raisonnant de 
façon trop simpliste ?

On mesure enfait une tension de desequilibre du pont ames = «- 3 mV.

Calculer la résistance du dipôle THL et en déduire son échauffement 59 = T -- 
Te.

On interprète l'auto échauffement de THL en prenant en compte d 'une part la 
puissance P J dis---

sipée par efi"et Joule et d'autre part la puissance thermique dissipée par 
convection avec ! 'enceinte,
proportionnelle à l'écart 66. On notera Ka le coeflicient de proportionnalité, 
exprimé en W.K [ . Soit m
la masse du dipôle THL etc sa capacité thermique massique, supposée Constante. '

Le capteur a la forme d'une plaquette carrée de coté de longueur L et 
d'épaisseur e, de conducti--

vité thermique À, supposée constante. On considère que les transferts 
thermiques, conductifs et
convectifs se font suivant la direction perpendiculaire à la face carrée, la 
conduction obéissant à la loi
de Fourier. Former deux durées caractéristiques d'évdlution- de la température 
du capteur, l'une rela--
tive à la conduction seule, l'autre à la convection seule et montrer que le 
transfert par conduction peut

Æ
K

a

être négligé si on a ; e << , hypothèse qui sera supposée réalisée dans la 
suite.

A partir d'un bilan thermique appliqué au dipôle THL, et en justifiant les 
signes des différents ter--
mes, établir l'équation différentielle en 56 .

Exprimer, en fonction des paramètres m, c et Ka un ordre de grandeur de la 
durée 12 du régime

transitoire. Lequel de ces paramètres est--il le plus facilement ajustable pour 
diminuer cette durée ? Ex-
primer en régime stationnaire, la relation liant P J, K,, et 56 .

Établir 1'expresSion de la puissance P J dissipée par effet Joule dans le 
dipôle THL en fonction de

la, R , et R,h,(D. Faire l'application numérique pour la valeur (9e = 25 °C de 
la température de
l'enceinte. En déduire la valeur du coefficient K a.

Compte tenu du domaine de températures envisagées, on constate que la puissance 
dissipée par
ejj'et Joule P J et l'auto échauflement de THL sont pratiquement constants, qu 
'on fixera à leurs valeurs

moyennes : P, =1,25mW{ et 35: 0,16°C.

Soit çà,, la puissance du rayonnement absorbé par la thermistance linéarisée 
THL. Exprimer, en

régime stationnaire, la relation liant l'échauffement total AT de THL à son 
auto échauffement 35 , au
coefficient K,, et à la puissance çôa absorbée.

En vue de traiter le signal, on souhaite obtenir une tension, qu'on notera uS, 
directement propor--

tionnelle à la puissance absorbée par la thermistance. On considère pour cela 
le montage décrit sur la
figure 4. Les amplficateurs opérationnels (A. O. ) sont supposés idéaux et 
fonctionnent en régime li--
néaire. Un générateur idéal de tension continue réglable délivre la tension Ua.

La source de polarisation des A. O. n 'est pas représentée.

Figure 4

...et...

Le signal de mesure uCD === U 2 ------ U ,, faible, est transmis à un système 
de détection chargé

d'éliminer les « bruits » présents (continus ou alternatifs). On suppose en 
pratique qu'existe un même
signal parasite sur les fils de liaison de résistance nulle, notés ( l) et (2).

Une résistance variable, notée xRO est placée entre" les entrées inverseuses 
des amplificateurs Opé--
rationnels A.O.l et A.0.2.

Exprimer la tension VS2 ------- VS| en fonction de U 2 ---- U 1 et x.

Exprimer la tension u S en fonction de U0 et Vs, ------- VS! .

En donnant à Ua une valeur particulière qu'on exprimera en fonction de ,6 (cf 
question 9), x et

35 , montrer que le montage de la figure 4 permet d'avoir us : G.çta .
On donnera G en fonction de ,B, x et K,,-

Application numérique : on veut G 3 24. Calculer x et Ua.

Il : Rayonnement du corps noir.

On définit l'exitance spectrale, notée M Â, d 'un corps comme la puissance 
émise par cette source
dans un demi--espace par unité de surface du corps et par bande unité de 
longueur d'onde.

II. 1. Loi de Planck.
On appelle corps noir un corps capable d'absorber intégralement tout 
rayonnement incident quel

que soit sa fréquence. A l'équilibre thermique, l 'exitance spectrale, notée M 
É" (T) d'un corps noir à

la température T et pour la longueur d'onde /l est donnée par la loi de Planck :

2 h '
" C :| , où h est la constante de Planck,

its exp hc -------l
tk,T

c la célérité de la lumière dans le vide et kB la constante de Boltzmann.

MÎ"(T,Â) =

hc
ÂkÈT

M f" (x) passe par un maximum (à T donnée) pour une certaine valeur non nulle 
x,,, que l'on calculera

Reformuler l'exitance spectrale du corps noir en fonction de la variable x w . 
Montrer que

. . . x
numériquement, comme l'intersection des courbes y1 (x) : exp (--x) et y2 (x) == 
1 ---- ---------.

5

En déduire que l'exitance d'un corps noir à la température T passe par un 
maximum pour la lon--
gueur d'onde Â... vérifiant la relation (appelée loi de déplacement de Wien) : 
ÀmT ::.--...-- C , où C est une

constante qu'on exprimera en fonction de xm, h, c et kB. Calculer la valeur de 
C en ,um.K.

La longueur d'onde Àm correspondant au spectre solaire est Àm : 530 nm . 
Préciser sa couleur et la

température de surface du soleil TS, assimilé à un corps noir. En justifiant la 
réponse, indiquer si le so--
leil peut être en équilibre thermique à cette température.

A quel domaine spectral appartient la longueur d'onde Àm émise par un corps 
noir à la tempéra--
ture de 300 K ?

Donner l'expression simplifiée de l'exitance spectrale du corps noir dans le 
cas où x »" 1 (cadre
de l'approximation de Wien, qui sera celui considéré dans la partie III).

II. 2. Absorption sélective par ! 'atmosghère.

Dans son trajet entre la cible et le détecteur, le rayonnement subit une 
atténuation liée à la na-
ture et à l'épaisseur des milieux traversés. L 'atténuati0n atmosphérique est 
principalement due à la
vapeur d 'eau et au dioxyde de carbone, qui présentent des bandes d'absorption 
dans [ infrarouge, sé--
parées par des «fenêtres de transparence », notamment les plages [O, 75 pm ; 2, 
7 pm ], [3 pm ; 5 pm]
et[7um ; I4um] -

Le dioxyde de carbone et la vapeur d'eau présentent une bande d'absorption 
importante entre 5 et
7 pm : dé quel phénomène important sur le système Terre ------ atmosphère ces 
gaz sont--ils responsables ?
Pourquoi ces domaines spectraux ont-ils une importance particulière '?

En considérant que l'interaction entre une onde élecüomagnétique et un milieu 
matériel est
d'origine électrique, expliquez pourquoi les molécules de type H20 ou CO2 sont 
plus « efficaces »

pour absorber le rayonnement infrarouge que les molécules 02 ou N2, pourtant 
présentes dans
l'atmosphère en plus grande proportion.

On cherche à interpréter l'absorption sélective de l'atmosphère dans la fenêtre 
[5 pm ; 7 pm ] en

adoptant le modèle simplifié suivant :
On considère la propagation suivant ! 'axe des x dans le sens des x croissants, 
d'une onde élec--

tromagnétique plane progressive harmonique de pulsation a) polarisée 
rectilignement suivant l'axe
des y, dont l 'image complexe du champ électrique s 'écrit :

---- w _ _ _ ,. . , . .
 : E,,exp [f (cat ' !..":xH ey , avec ]2 m -1 et ou ! mdzce @ est a przorz 
complexe.

L 'interacti0n de [ 'ahn0sphère avec cette onde conduit à la relation de 
dispersion liant ! 'indice

2
wc

_w
(mê--w')+;...
':

quence nulle). wo et 't" sont des constantes caractéristiques du milieu.

P 1 A l , d' I 0 0 . 1
our a fenetre spectra e etu zee zcz, on supposera . «-- << (00.

T

complexe _n_ à cosuivant : 112 ((O) = 1 + ;{0 , où Za est la susceptibilité 
statique (à flé-

On considère une Onde émettant dans l'infrarouge, de longueur d'onde dans le 
vide À : 6 pm .
Calculer la valeur de la pulsation correspondant à cette longueur d'onde (no.

On pose __n_ === n'---- jn". En considérant que 10 << 1 , on a n" << n'. Donner 
les expressions appro--
chées de n' et n" en fonction de %> co, oe0 et 1.

Montrer que pour ce variant peu autour de la valeur 600, n" peut s'écrire sous 
la forme :

n" &) . .
n" @ ... , où on expnmera n"(æ0) en fonction de X0: 000 et r.
[1+4r'(w--wÙ ]

Donner les expressions des images complexes É(x, t) et Â(x, t) des champs 
électrique et magné--
tique de l'onde, en fonction de E0, n ', n", (0 et c. En déduire les valeurs 
réelles associées à ces champs.

Exprimer le vecteur de P0ynting ÎÏ associé à l'onde dans le milieu. En déduire 
la norme de sa

. Que représente ®(x) ?

ternp

moyenne temporelle, notée 
			

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



X/ENS Physique PSI 2008 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Jérôme Lambert (Enseignant-chercheur à l'université) 
;
il a été relu par Éric Buchlin (Chercheur au CNRS) et Stéphane Ravier 
(Professeur
en CPGE).

Ce problème aborde différents aspects du fonctionnement d'un pyromètre optique 
bichromatique. Cet appareil permet de mesurer des températures élevées, sans
contact, y compris à de grandes distances (température de surface des étoiles, 
mesures
en milieu hostile, etc.). Le sujet est composé de trois parties.
· La première est consacrée à l'étude d'une thermistance (résistor dont la 
résistance varie avec la température) utilisée en tant que capteur de 
température,
depuis son fonctionnement et l'amélioration de ses caractéristiques (I.1 et I.2)
jusqu'à son intégration dans un capteur de rayonnement (I.3). Son traitement
fait appel aux connaissances de base en électrocinétique, mais nécessite un bon
recul sur les transferts thermiques.
· La deuxième partie est consacrée à l'étude du rayonnement d'un corps à 
l'équilibre thermique et de l'absorption par l'atmosphère du rayonnement émis 
par
ce corps. Comme l'étude du corps noir ne figure pas au programme de la filière 
PSI, tous les éléments nécessaires à la résolution de cette partie sont donnés 
par l'énoncé. La principale difficulté consiste à s'approprier les notions et
concepts présentés. Il s'agit dans un premier temps de préciser les 
caractéristiques du spectre du corps noir (II.1), puis de modifier ce dernier 
afin de tenir
compte de l'absorption sélective par l'atmosphère à l'aide du modèle classique
de dispersion des ondes par un diélectrique (II.2).
· L'étude du bilan radiatif d'un pyromètre optique et de son fonctionnement en
mode « bichromatique » font l'objet de la troisième partie. Celle-ci mobilise 
des
connaissances de base en optique géométrique et utilise quelques résultats de
la partie II.
Ce problème était trop long pour être traité dans le temps imparti. Il est 
cependant
très intéressant de le traiter intégralement dans la perspective des concours 
en raison
de la variété des sujets abordés.
Les difficultés sont réparties de manière très hétérogène. La partie a priori 
la plus
difficile (partie II) est en fait relativement simple mais calculatoire. En 
revanche,
les parties I.3 et III recèlent quelques difficultés qu'il est bon d'avoir 
rencontrées au
cours de sa préparation aux concours. Certaines d'entre elles sont d'ordre 
conceptuel
et tiennent à l'originalité du sujet traité, mais la plupart sont dues à une 
formulation
elliptique des questions qui met le sens critique à rude épreuve. On est ainsi 
très
souvent amené à formuler des hypothèses non triviales pour pouvoir progresser 
dans
le sujet.

Indications
3 Une résistance utilisée comme capteur de température est d'autant plus 
sensible
que la valeur absolue de son coefficient de température est élevée.
4 Introduire un critère justifiant la linéarisation. Ici, un seul choix : la 
thermistance
a un comportement linéaire en fonction de T si R(T) se comporte comme une
fonction affine au voisinage de T1 au deuxième ordre en (T - T1 ).
6 Comparer thl et R . Est-ce que la sensibilité du dispositif a été modifiée ?
10 La thermistance est-elle vraiment à la température du thermostat ?
12 Le fait que l'on puisse « négliger » la conduction de la chaleur dans la 
plaquette
par rapport à la convection veut dire ici que ce dernier mécanisme est très 
lent,
et que l'on peut considérer la propagation de la chaleur dans la plaquette comme
instantanée.
14 Déduire  de la partie homogène de l'équation différentielle en faisant 
l'hypothèse
que PJ ne dépend pas de .
15 Soulignons à nouveau, même si le résultat final diffère peu, que la 
température
de la thermistance n'est pas e = 25 C.
16 Le flux du rayonnement vient juste s'ajouter au bilan thermique. Le flux 
transféré
par convection est maintenant fonction de T et non de .
17 Une erreur s'est glissée dans la figure 4 : la résistance Rthl est passée 
sur la
branche « D » alors qu'elle était sur la branche « C » sur la figure 3.a. 
Continuer avec le schéma 3.a pour pouvoir identifier umes à (T - T1 ).
19 L'unité de G a été oubliée dans l'énoncé. Postulons qu'il s'agit de V.W-1 .
20 Il n'est pas utile de calculer la dérivée seconde de MCN
 (T) pour montrer que
l'exitance est bien maximale en xm . On peut, par exemple, s'interroger sur le
nombre de fois que la dérivée de MCN
 (T) s'annule en tenant compte de la convexité
de la fonction exponentielle.
22 Serait-il possible de déclencher des réactions nucléaires à la température 
obtenue ?
25 Si l'on considère la Terre comme un corps noir, que vaut m ?
26 Est-il possible de modéliser les molécules d'eau et de dioxyde de carbone 
comme
des assemblages d'un ou plusieurs dipôles permanents ? Qu'en est-il des 
molécules
de diazote et de dioxygène ?
27 Tenir compte très tôt dans les calculs du fait que n  n .
28 Faire un développement limité à l'ordre 0 en  = ( - 0 )/0 . Attention !  
n'est pas petit devant 1 a priori.
32 Comparer les quantités (0 - )/0 et  2 (0 - )2 avant d'effectuer un 
développement limité de  à l'ordre 0 en ( - 0 )/0 .
36 Introduire l'hypothèse selon laquelle les rayons réfractés par la lentille 
sont paraxiaux. On peut alors assimiler le sinus de  à sa tangente.
40 L'exitance réelle de la source de température T à la longueur d'onde  
correspond
à l'exitance du corps noir à la température T+T à cette même longueur d'onde.
41 L'angle A est supposé petit. Cela entraîne que tous les angles intervenant 
dans
la réfraction par le prisme sont eux aussi petits, car les rayons arrivent avec 
une
incidence A sur le prisme.
44 La variable naturelle est « 1/T » pour r(T). Comparer les largeurs des gammes
proposées avec cette variable. Une linéarisation de r(T) est-elle envisageable 
sur
chacun de ces deux intervalles ?

I. Thermométrie par résistance
I.1

Étude d'une thermistance

1 La résistance de la thermistance est

1
1
R(T) = R0 exp B
-
T T0
L'argument de l'exponentielle est sans dimension, donc
B a la dimension d'une température et s'exprime en kelvins.
La courbe représentée sur la figure 1 fournit les valeurs suivantes de R(T) :
(
R(Ta ) = 10 
pour 1/Ta = 1,5.10-3 K-1
R(Tb ) = 8 M

pour 1/Tb = 5,5.10-3 K-1

B se déduit immédiatement du rapport de ces deux résistances :
B=

ln(R(Ta )/R(Tb ))
= 3,4.103 K
1/Ta - 1/Tb

2 Calculons le coefficient de température de la thermistance :
1 dR(T)
R dT

1
B
=
- 2 R(T)
R(T)
T

R =

R = -

B
= -3,83.10-2 K-1
T2

La thermistance étudiée est une thermistance à Coefficient de Température
Négative, usuellement appelée CTN.
3 L'ordre de grandeur du coefficient de température d'une résistance métallique 
est
de 0,5 %/ C à 25 C, soit 5.10-3 K-1 . Ce coefficient est (en valeur absolue) 
plus faible
que celui de la thermistance à la même température. Le coefficient de 
température
traduit la sensibilité de la résistance à une variation de température, donc
Il vaut mieux utiliser une thermistance à 25 C.

I.2

Linéarisation du capteur

L'énoncé ne précise malheureusement pas quels sont les bons critères de 
linéarisation : comprendre que la linéarisation est un développement limité à
l'ordre 2 en (T - T1 ) pour lequel le coefficient du deuxième ordre s'annule.
Un autre critère aurait pu être choisi (un développement limité à l'ordre 1
par exemple).

4 Calculons le développement de Taylor à l'ordre 2 de R// (T) autour de T1 :
dR// (T) (T - T1 )2 d2 R// (T)
+
+ o((T - T1 )2 )
R// (T) = R// (T1 ) + (T - T1 )
dT
2
dT2
Ce développement montre que le comportement de R// (T) est linéaire autour de T1
à l'ordre 2 en (T - T1 ) si le coefficient de (T - T1 )2 dans le développement 
de Taylor
s'annule. Donc
R// (T) est linéaire autour de T1 

d2 R// (T)
dT2

=0
T=T1

5 R// est la résistance équivalente à R(T) et Rp placées en parallèle, et 
s'écrit
R// (T) =

Rp R(T)
Rp + R(T)

Calculons la dérivée première de R// par rapport à T :
dR// (T)
Rp
dR(T)
R(T) Rp dR(T)
=
-
dT
Rp + R(T) dT
(Rp + R(T))2 dT
=

dR(T)
Rp 2
2
(Rp + R(T)) dT

puis sa dérivée seconde :

2
d2 R// (T)
Rp 2
d2 R(T)
2 Rp 2
dR(T)
=
-
dT2
(Rp + R(T))2 dT2
(Rp + R(T))3
dT
"

2 #
Rp 2
d2 R(T)
2
dR(T)
=
-
(Rp + R(T))2
dT2
Rp + R(T)
dT

D'après la question 4, la linéarisation est réalisable si R// (T) admet un 
point d'inflexion en T1 , ce qui implique que

2
d2 R(T)
2
dR(T)
Rp 2
=
car
>0
dT2
Rp + R(T)
dT
(Rp + R(T))2
Exprimons à nouveau les dérivées de R(T) en fonction de R(T) :
 2

B
d2 R(T)
B
2B
dR(T)
= - 2 R(T)
et
=
+
R(T)
dT
T
dT2
T4
T3
puis reformulons la condition de linéarisation à T = T1 :
B2
2B
2B2 R(T1 )2
=0
4 R(T1 ) +
3 R(T1 ) -
T1
T1
T1 4 Rp + R(T1 )
Après factorisation et simplification par BR(T1 )/T1 3 qui est non nul, il vient
Rp =

B - 2 T1
R(T1 )
B + 2 T1

D'après la figure 1 de l'énoncé, la thermistance étudiée a une résistance 
d'environ 5 k à 1 = 25 C = 298 K. La résistance Rp a donc pour valeur
Rp = 0,70 × 5.103 = 3,5 k
Cette valeur est positive, donc acceptable. D'autre part elle est tout à fait 
atteignable
avec les composants habituels.
La linéarisation de la thermistance est donc réalisable à 1 = 25 C.