X/ENS Physique PSI 2006

Thème de l'épreuve Étude des ondes de gravité et du ressaut hydraulique
Principaux outils utilisés mécanique des fluides

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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SCIENCES PHYSIQUES

DURÉE: 4 HEURES

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Pour les épreuves d'admissibilité, l'usage de calculatrices électroniques de 
poche à alimentation
autonome, non imprimantes et sans document d'accompagnement, est autorisé, une 
seule à la fois
étant admise sur la table ou le poste de'travail, et aucun n 'échange n 'est 
autorisé entre les candidats.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé, il le signale sur
sa c0pie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives 
qu'il est amené à prendre.

Le sujet comporte 9 pages

Autour des ondes de gravité

Ce problème étudie quelques situations assez courantes en hydrodynamique. On 
établit
dans la première partie les équations régissant les ondes de gravité dans un 
fluide, c'est--à-dîre,
pour prendre un exemple précis, les vagues dans l'eau. On s'intéresse alors 
sommairement à
la manière dont ces vagues sont engendrées par le vent à la surface d'une 
étendue d'eau. La
seconde partie modélise le phénomène de ressaut hydraulique qui se manifeste 
notamment au
fond d'un évier par l'apparition d'un bourrelet circulaire séparant deux zones 
pour lesquelles
la hauteur d'eau diffère notablement. On montrera alors que la vitesse de 
pr0pagation des
vagues joue un rôle essentiel dans l'interprétation du ressaut hydraulique.

Dans tout le problème, on se place implicitement dans le référentiel terrestre, 
supposé
galiléen. Tous les écoulements étudiés sont considérés comme parfaits.

Les différentes parties sont très largement indépendantes entre elles. Tout 
résultat donné

par l'énoncé pourra être utilisé même s'il n'a pas été démontré. Une grande 
importance sera

accordée aux ordres de grandeur demandés.

Données :
. constante des gaz parfaits : R = 8, 3 J.K_1.mol"1

. le noyau de l'atome d'azote comporte 7 protons et ? neutrons

Formulaire :
o en coordonnées cartésiennes, les différents opérateurs s'expriment sous la 
forme suivante,

où f (M , t) est un champ scalaire et Â(M, t) un champ vectoriel :

-- gradient : gîälf .-- %£üæ + --â--£û}, + %£üz

-- divergence : div  : %? %? dàîz

-- rotationnel ' OEt -- ôAz --ÔAy ---------)ü' + ((?/la. ôA2)ü° + (ôA ÜAOE)1Ï
' ôy 82 '" ôz ôæ " ôx ôy Z
-- laplacien: A f div grad f
--- div(fÂ)= fdivA +gradfÂ
--rot(fÂ)= frotA+gradeA
. la dérivée particulaire d' une grandeur scalaire X (M , t) est :

DX ÔX

"'D--t-- ---- --Ô-t-- + v. gradX.
En conséquence, la dérivée particulaire de la vitesse est :

Dv _ôv 817 ------> v2 --->

+(v. gradv )v= + grad ? + rotv /\Ü'

Dt Ôt Ôt

Préambule

0. Dans la suite du problème, les paramètres physiques d'importance sont 
notamment l'accélé-
ration de la pesanteur à la surface de la Terre 9, les masses volumiques de 
l'eau peau et de
l'air pair à température et pression usuelles. Pr0poser des valeurs numériques 
pour ces trois

quantités.

I Ondes de gravité dans un fluide (vagues)

I. 1 Pr0pagation

On considère une étendue d'eau de profondeur h uniforme quand aucune vague ne la
parcourt, la surface de l'eau occupe alors le plan :vOy. On suppose que la 
situation physique

est invariante selon la direction ù'y perpendiculaire au plan de la figure 1. 
Une onde se pr0page,
correspondant à une variation ô(a:, t) de la hauteur de la surface par rapport 
à la situation au

repos. La pression dans l'air est prise uniforme et égale à PO.

1. Rappeler la définition d'un écoulement parfait. Quelle est la différence par 
rapport à un
écoulement visqueux en ce qui concerne les conditions aux limites ? Dans quelle 
zone le modèle

de l'écoulement parfait peut--il être convenable pour décrire des écoulements 
réels ?

2. L'écoulement est supposé incompressible. Définir un tel écoulement du point 
de vue de la
masse volumique. Quelle est la conséquence pour le champ des vitesses? 
Pouvez-vous citer
dans d'autres domaines de la physique deux champs vectoriels présentant cette 
propriété?

FIG. 1 -- Schématisation de l'onde.

3. On choisit d'étudier les solutions potentielles, c'est--à-dire telles que le 
champ des vitesses

--->
s'écrive Ü(M , t) : grad cb(M , t). Montrer que le champ des vitesses est 
irrotationnel. Le choix
de d) est--il unique? Comment peut-on modifier le potentiel de manière la plus 
générale tout

en conservant le même champ des vitesses?

4. Quelle est l'équation aux dérivées partielles imposée à çb par les 
hypothèses précédentes?
Avez--vous déjà rencontré cette équation dans d'autres situations physiques? 
Donner deux

exemples.

5. Pour ----h 5 z 5 5, on cherche une solution de la forme $(oe, z,t) : sin(koe 
-- wt) f(z), où f
est une fonction à déterminer. Commenter précisément ce choix en termes 
ondulatoires : cette

onde se propage-t--elle, est-elle plane? Comment se nomment les constantes le 
et w? Exprimer

la longueur d'onde À. Montrer que f(z) : $D[exp(kz) + Aexp(--kz)], où A et çbg 
sont des
constantes. Que représente k vis--à--vis de la description du phénomène selon 
3: et selon 2?

6. À l'aide d'une condition aux limites, exprimer A.

7. On rappelle l'équation d'Euler qui régit le champ de vitesse U(M , t) d'un 
écoulement parfait
de masse volumique p :

DU --------+
---- = " --- ad P
p D t PQ gr ,
\ o --' . . D I . I . 0
ou P est la press1on, g le champ de grav1tat10n et D? la der1vee particulaire.

Séparer en deux groupements les termes apparaissant dans l'expression 
cinématique de la
dérivée particulaire de la vitesse et les commenter. À ce pr0pos, on donnera 
deux exemples
d'écoulements pour lesquels exactement l'un des deux groupes est nul.

8. Une approximation courante consiste à supposer que l'amplitude de des vagues 
est très

faible par rapport a la longueur d'onde /\ du phénomène. Donner un ordre de 
grandeur pour
chacun de ces deux termes dans le cas de vagues à la surface d'une mer ou d'un 
océan arrivant

à proximité du rivage. Faire un schéma précisant la signification de ces deux 
termes. Vérifier
que l'approximation pr0posée est valide. Cette approximation sera nommée vagues 
de faible

amplitude par la suite.

9. Donner l'ordre de grandeur typique de la vitesse des particules de fluide en 
fonction de 60 et

de la période T du phénomène. Sur quelle longueur varie typiquement la vitesse? 
Montrer, dans
----> 86
le cadre des vagues de faible amplitude, que |(Ü.grad)fil << |----|. Comment 
s'écrit l'équation

Ôt

d'Euler dans cette approximation ?

10. On suppose que l'eau est incompressible. Montrer, vu les hypothèses 
utilisées, que l'équation

d'Euler implique :
8 P
--(ê+--+gz=C(t), ...
Ôt p

où C est une fonction ne dépendant que du temps et p la masse volumique de 
l'eau. Comment

nommeriez--vous cette relation? Montrer qu'on peut imposer C(t) : O.

11. Relier la composante de la vitesse selon 2 àla surface et la déformation 
6(:1:, t) de l'interface.
Montrer que, toujours dans l'hypothèse des vagues de faible amplitude, on 
obtient à l'ordre le

plus bas non nul :

â--î(æ,t) : v,_(oe, z : O,t), (2)

où vz(oe, z, t) est la composante selon z de la vitesse de l'eau. On détaillera 
les approximations
réalisées.
12. En utilisant notamment les relations (l) et (2), et le fait que la pression 
soit continue

à l'interface eau--atmosphère, conclure de l'étude précédente que la relation 
de dispersion des

ondes est :
w2 : gkth(kh).

13. Que devient cette relation en eau peu profonde? On précisera par ailleurs 
cette notion.
Calculer au premier ordre les vitesses de phase % : Usurfæe et de groupe % en 
eau peu
profonde.

14. Rappeler en moins de cinq lignes ce qu'est la diSpersion. A--t-on ici un 
phénomène diSpersif,
en général et en eau peu profonde? Pr0poser des ordres de grandeur 
raisonnables, et en déduire
l'ordre de grandeur de la vitesse de pr0pagation des vagues à proximité du 
rivage.

15. Si le fond de l'océan n'est pas horizontal, la profondeur de l'eau au repos 
h n'est pas
constante mais varie sur une distance typique d dans la direction de 
pr0pagation des vagues,
indiquer qualitativement à quelle condition l'étude précédente reste valable en 
remplaçant h

par h(a:).

16. Expliquer qualitativement le déferlement des vagues observé sur le rivage.

I.2 Genèse des vagues : instabilité de Kelvin--Helmholtz

En fait, le vent soufflant parallèlement à la surface de l'eau entraîne 
l'apparition de vagues

dont l'amplitude peut notablement s'amplifier. Ce phénomène constitue un cas 
particulier de
l'instabilité de Kelvin--Helmholtz dont les résultats sont sommairement 
discutés ci--après.

17. On étudie un écoulement comprenant deux fluides superposés (voir la figure 
2 sur laquelle
les vitesses ont été supposées uniformes). Contrairement à ce qui a été réalisé 
dans la partie 1.1,
le fluide du dessus doit être décrit avec le même niveau de précision que le 
fluide du dessous.
Par exemple, les vitesses dans chaque fluide loin de l'interface sont notées 
17100 : Uyäoe pour
2 --> oo et 6200 : U2'ÜOE pour z ----> --00.

En utilisant un principe de la physique, montrer qu'il est équivalent d'étudier 
un écoulement
de vitesse moyenne nulle à l'infini, c'est--à--dire tel que U1 : --U2 : U.

18. On recherche l'évolution d'une solution des équations de la mécanique des 
fluides voisine
d'un écoulement uniforme. On note, comme précédemment, 6(æ,t) la variation 
d'altitude de
l'interface par rapport à une interface horizontale non perturbée.

FIG. 2 ---- Ecoulement de deux fluides superposés. Les vitesses sont 
représentées comme uni--
formes dans chaque fluide.

On considère une perturbation de l'interface de la forme, en notation complexe,
é(oe, t) = 50 exp(ikoe -- at),

avec le réel, et a a priori complexe. Quelle est la dimension de a? Comment 
peut--on interpréter
cette quantité (on pourra distinguer sa partie réelle de sa partie imaginaire) ?

19. Les équations linéarisées de la mécanique des fluides (dans le cadre 
d'approximations sem--
blables à celles de la partie 1.1) impliquent 02 : k?U2 dans le cas où les deux 
fluides ont même
masse volumique.

On suppose que la perturbation est initialement spatialement périodique et 
possède une cer-
taine longueur d'onde À. Que vaut alors a ? Écrire l'expression de la forme 
générale de l'inter--
face 6(a:, t). Décrire l'évolution temporelle d'une telle perturbation. Quelle 
est l'influence de la

longueur d'onde sur l'évolution d'une perturbation?

20. Pourquoi parle-t-on d'instabilité? Citer un autre domaine de la physique où 
la notion de
stabilité/ instabilité intervient.

21. Si on prend en compte la différence de masse volumique des deux fluides, la 
condition

2 _ 2

d'instabilité est U 2 > Qp2 pl
k P1P2

et pg : pl. Caractériser le type de vagues pouvant être engendrées par un vent 
de 100 km.h--l.

. Vérifier son homogénéité. Commenter les cas pg > p1, pg < p1

II Ressaut hydraulique

Un ressaut hydraulique est une rupture brusque de l'aspect de la surface d'un 
fluide en
écoulement. On va mettre en évidence dans deux cas l'apparition d'un ressaut 
hydraulique et
sa relation avec la vitesse de pr0pagation des ondes de gravité en eau peu 
profonde établie à

la question 13.
L'écoulement est considéré parfait, incompressible et permanent dans les parties

11.1 et 11.3. Pour les applications, ce fluide sera de l'eau.

II.1 Écoulement au--dessus d'un obstacle

On étudie un écoulement au-dessus d'un obstacle, décrit sur la figure 3. On 
appelle eg(a:)
la hauteur de l'obstacle par rapport au sol supposé horizontal et h(a:) la 
hauteur réelle d'eau.

La situation est supposée invariante selon la direction ü'y et la vitesse est 
prise uniforme dans
les sections verticales d'abscisse constante. La vitesse est par conséquent de 
la forme v(:v) et
est dirigée selon ü'OE. Loin avant l'obstacle, la hauteur de fluide se note h 
et sa vitesse @.

obstacle

FIG. 3 -- Écoulement au-dessus d'un obstacle. Les traits (a) et (b) indiquent 
l'aspect de la
surface dans deux régimes d'écoulement.

Typiquement, deux types d'écoulements sont observés suivant les conditions 
expérimentales.

L'aspect de la surface est indiqué sur la figure 3 : surface (a) ou (b). Dans 
le cas (a), on note
seulement une légère baisse du niveau de la surface sur l'obstacle. L'aspect du 
cas (b) est
nettement différent vu que la hauteur de fluide baisse très nettement et est 
minimale juste
après l'obstacle; on observe alors des remous jusqu'à ce que l'écoulement 
reprenne une forme

plus calme.
Nous allons plus précisément étudier quelle grandeur permet de déterminer le 
type d'écoulement.

On pourra s'aider des allures données sur la figure 3 pour répondre aux 
questions qui suivent.

22. Montrer que le débit volumique associé à l'écoulement ne dépend ni du temps 
ni de
l'abscisse a laquelle il est évalué.
23. Redémontrer la relation de Bernoulli juste à la surface du fluide en 
mouvement en suppo--

sant son incompressibilité. On précisera clairement les hypothèses nécessaires 
et on notera PO

la pression à la surface.
On admettra que cette relation reste vérifiée malgré la présence des remous qui 
est incompa-

tible avec certaines des hypothèses.

24. Établir la relation
v'(OE)

v(--'B)
25. De quelles manières peut--on réaliser un nombre sans dimension avec les 
grandeurs ca--
ractéristiques de l'écoulement : h, o, g et p?
v(oe)
gh(OE)
< 1.

(--çh<æ) + v2<æ)) + ge5<æ> = 0. (3)

26. On définit le nombre de Fraude F1(a:) : , dont la valeur varie le long de 
l'écoulement.

"U

\/ÿ7î

On s'intéresse au point a:o où l'obstacle est de hauteur maximale. Montrer que 
pour vérifier

d
l'équation (3), on a deux possibilités : £(æg) : 0 (cas i)), ou gh(æ0) : 
v2(oe0) (cas ii)).
a:

dh.
27. Dans le cas i), montrer alors que â--(OEo) : O. L'écoulement 
présente--t--il le profil (a) ou
a:

On suppose qu'avant l'obstacle Fr :

(b) de la figure 3? A-t--on un maximum ou un minimum de vitesse en a:0 ? Que 
dire du nombre
de Froude sur toute la longueur de l'obstacle?

du

28. Dans le cas ii), que vaut le nombre de Froude en 320? Montrer que Æ ne 
change pas de

signe dans la zone au-dessus de l'obstacle après 930. Préciser ce signe. Donner 
finalement les
signes des différents membres (c'est--à-dire v'(a:), --gh(æ) +v2(æ) et eô(oe)) 
de l'équation (3) au
niveau de l'obstacle, en séparant les cas avant et après 330.

29. Pour chacun des écoulements (a) et (b), situer le nombre de Froude par 
rapport à 1 en

fonction de a: dans la zone au-dessus de l'obstacle. Que peut--on conclure?

v2

30. Donner le sens physique de la grandeur B = ? + gh. D'après l'étude 
précédente, a-t-on

unicité de la hauteur de fluide h. et de la vitesse ?) en dehors de l'obstacle 
à débit volumique
et a B fixés? Montrer qu'il existe en général deux solutions en étudiant 
l'expression du débit
volumique en fonction de B, h et g.

31. On se pr0pose de montrer que l'une de ces deux solutions correspond a un 
nombre de
Froude inférieur à 1, et l'autre à un nombre de Fronde supérieur à 1. En 
d'autres termes, à
l'aide d'un obstacle adapté, il est a priori toujours possible d'observer un 
ressaut hydraulique.
Établir la relation :

nÏ/3Frâ/3(Frî/3 + FI'â/3) : 2,

où Fr1 et Fr2 sont les deux nombres de Froude solutions, et conclure.

Pour établir cette relation, on pourra écrire des lois de conservation entre 
les couples de
solutions (m,/L1) et ('U2,h2), puis éliminer les hauteurs et enfin mettre le 
terme 111 -- U;} en
facteur.

11.2 Tuyère convergente--divergente

Le phénomène de ressaut hydraulique au--dessus d'un obstacle présente de 
nombreuses
similitudes avec l'écoulement dans un certain type de tuyère, nommé 
convergente--divergente
d'après son aspect (figure 4). La tuyère, de révolution autour de l'axe ù'OE, 
possède une section
droite d'aire S (12) présentant un minimum au col d'abscisse :co.

FIG. 4 ---- Représentation de la tuyère convergente-divergente.

Un gaz supposé parfait est en écoulement permanent unidimensionnel, 
c'est-à--dire que
toutes les grandeurs d'intérêt comme la pression P, la température T, la 
vitesse macroeoepique
17 : oû... et la masse volumique p du fluide ne dépendent que de :1:. On note 
dP, dT, d'Ü' : dv "EZOE
et dp les variations entre a: et a: + da: des quantités précédentes. 
L'écoulement se fait dans la
direction û'æ.

32. Expliquer en quoi le modèle de l'écoulement parfait implique ici des 
transformations

adiabatiques réversibles du gaz. On note C,, (C.,) la capacité thermique 
massique du gaz à.

c
pression (volume) constant. Le gaz étant un gaz parfait de rapport 7 : c--p 
indépendant de

'U
la température, trouver une relation liant la pression P(æ) et la masse 
volumique p(:v). En

dP d
déduire un lien entre ---- et --E.
P p

33. En appliquant le premier principe à un système qu'on précisera, démontrer 
avec soin que

est une constante tout au long de la tuyère (h est dans cette partie Il.2 
l'enthalpie

massique du gaz). On justifiera notamment la valeur donnée à la contribution de 
l'action des
parois sur le système. Lier alors dT à dv.
, d du - _ , RT :L' , .
34. Relier --£ et --. On fera apparaitre la quantite c(a:) : Ï--M--(--)-- dont 
on pre01sera la
p ?) a

signification physique. R est la constante des gaz parfaits et Ma la masse 
molaire du gaz.

35. Établir une relation entre dS, dv, S(m), v(æ) et c(a:).

36. Quelle serait la relation entre notamment dS et du pour un écoulement 
incompressible?
En déduire un critère qui permette d'estimer la compressibilité de 
l'écoulement. Donner un
argument pour expliquer pourquoi les écoulements usuels concernant l'eau, 
connue ceux des

parties I, 11.1 et 11.3, sont considérés comme incompressibles.

v(æ)

37. Pour des écoulements dans l'air, on définit le nombre de Mach M (a:) == ( 
). Établir un
c a:

parallèle avec le nombre de Froude défini à la question 26.

38. Montrer qu'au col de la tuyère, soit la vitesse 11 est extrémale, soit 
v(:vo) : c(oeo). Com-
menter ce résultat.

39. Quel type de phénomène survient--il si, lors d'un écoulement, il arrive que 
M > 1 ?

40. Faire le bilan des analogies et différences entre le ressaut hydraulique 
étudié dans la partie
11.1 et l'écoulement dans la tuyère convergente--divergente.

II.3 Ressaut hydraulique dans un évier

L'écoulement de l'eau issue d'un robinet au contact d'un évier prend 
typiquement l'aspect
indiqué en figure 5.

/ jet d'eau provenant du robinet

faible épaisseur et vitesse rapide

forte épaisseur et vitesse lente

l

FIG. 5 --- Allure du ressaut hydraulique.

On va étudier la possibilité d'une telle configuration. On modélise 
l'écoulement supposé
permanent de manière unidimensionnelle, et la hauteur d'eau varie brusquement 
de 111 à h2

dans une zone avec des remous (figure 6). La situation est supposée invariante 
par translation
selon la direction normale au plan de la figure 6. En amont (aval) du ressaut, 
la vitesse supposée

uniforme est notée v1 (Ug).

BI
Hz
0 \ h2

FIG. 6 -- Modélisation du ressaut hydraulique.

41. L'écoulement est supposé parfait et le fluide incompressible dans le reste 
de l'énoncé.

Au niveau des sections [A, B] et [A',B'] (voir la figure 6), l'écoulement est 
quasi uniforme.
Montrer que sur ces verticales, la pression varie selon la loi de 
l'hydrostatique. Tracer l'allure

de la courbe P(z).

42. Par un bilan de quantité de mouvement sur le système délimité par le trait 
noir en figure 6,
établir une relation entre 111, h1, @, kg et g. L'air est supposé immobile, et 
de pression uniforme

P0.
43. En déduire l'expression des vitesses vl et w en fonction de g, h.] et ]'L2.

44. Vérifier que h.1 < h.g implique en > "02. Que valent les nombres de Froude 
(cf. question 26)
en amont et en aval en fonction de h,1 et hg? Les situer par rapport a l.

45. Donner les ordres de grandeur de U1 et fil en amont pour le ressaut 
hydraulique familier
qu'on observe dans les éviers. Vérifier que le nombre de Froude est bien dans 
la zone déterminée

à la question précédente.

46. Dans quelles conditions et dans quelle zone de l'écoulement le schéma de la 
figure 6 peut-il
s'appliquer à l'écoulement en présence d'un obstacle étudié dans la partie II.1 
?

h 'U
47. Exprimer --2-- en fonction du nombre de Froude en amont : Fr1 : 1 . Estimer 
(grossière--
h1 vyh1

ment) sa valeur. Commenter le résultat.

48. L'étude précédente s'applique--t-elle au ressaut hydraulique apparaissant 
dans un évier?
De manière générale, quelle contrainte entre les différents paramètres du 
problème permet--elle

de se ramener à un problème unidimensionnel'? On pourra fournir un ordre de 
grandeur pour
le ressaut hydraulique dans un évier.

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



X/ENS Physique PSI 2006 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Antoine Senger (École Polytechnique) ; il a été relu 
par
Marc Legendre (Professeur en CPGE) et Emmanuel Loyer (Professeur en CPGE).

Ce problème traite de mécanique des fluides et plus particulièrement des ondes
de gravité et du phénomène de ressaut hydraulique.
· La première partie s'intéresse à la propagation des ondes de gravité. On y 
démontre, entre autres, la forme du potentiel dont dérive le champ de vitesses
dans le cas d'un écoulement régi par les ondes de gravité. Cette partie s'achève
par l'étude des instabilités de Kelvin-Helmholtz qui peuvent se produire à 
l'interface entre deux fluides en mouvement l'un par rapport à l'autre.
· La seconde partie se focalise sur le phénomène de ressaut hydraulique, que 
l'on
peut observer dans le cas d'un écoulement unidimensionnel dont la hauteur de
fond est variable. Ensuite, l'écoulement compressible d'un gaz au passage d'une
tuyère convergente-divergente est analysé. Cette partie se termine par l'étude
du ressaut hydraulique observé lorsque l'on fait couler de l'eau dans un évier.
Ce problème est d'un niveau raisonnable pour le concours X/ENS. Il est assez
classique ; les thèmes abordés ont déjà fait l'objet d'un bon nombre d'épreuves 
de
concours, ce qui en fait un bon problème de révision du cours de mécanique des
fluides. Signalons enfin que de nombreux résultats à démontrer sont donnés dans
l'énoncé, ce qui permet (au besoin) de poursuivre le travail en les admettant.

Indications
Partie I
2 Utiliser l'équation de conservation de la masse.
3 Le rotationnel d'un gradient est nul. Faire le parallèle avec 
l'électrostatique.
5 Utiliser la question 4 et penser que l'équation doit être vérifiée pour tout 
x et t.
6 Qu'implique l'hypothèse d'écoulement parfait pour les conditions aux limites ?
9 Faire apparaître 0 / pour démontrer l'inégalité.
10 Regrouper tous les termes de l'équation d'Euler dans un unique gradient.
11 Faire un développement limité en z = 0.
12 Identifier les termes apparaissant dans la relation demandée. En déduire les 
transformations à effectuer sur la relation obtenue à la question 10.
16 Creux et crêtes des vagues se déplacent-ils à la même vitesse ?
18 Poser  =   + i  .
Partie II
22 Utiliser la conservation du débit volumique sur un système correctement 
délimité.
23 Adapter la démonstration de cours.
24 Utiliser la relation de Bernoulli et la conservation du débit volumique.
25 Chercher un nombre de la forme h v  g   et trouver un critère sur les 
différents
exposants pour que ce nombre soit sans dimension.
30 Tracer D en fonction de h.
31 Considérer deux écoulements de même débit et de même énergie mécanique.
32 Pour l'irréversibilité, penser à changer le signe du temps dans l'équation 
d'Euler.
Pour l'adiabaticité, se reporter à la question 1. Utiliser les relations de 
Laplace.
33 Adapter la démonstration de cours.
34 Utiliser les relations de Laplace.
35 Utiliser la conservation du débit massique.
-- 

41 Évaluer (-
v · grad )-
v.
42 Faire un bilan détaillé des forces en présence et de la variation de 
quantité de
mouvement sur un système fermé bien choisi.
43 Combiner la conservation du débit volumique à la relation établie à la 
question 42.
48 Évaluer le nombre de paramètres qui régissent le problème réel.

Autour des ondes de gravité
Préambule
0 Donnons les valeurs numériques aux trois quantités demandées
g = 9, 81 m.s-2

eau = 1, 00 · 103 kg.m-3

air = 1, 16 kg.m-3

Si l'on ne souvient pas de la valeur numérique de air (les deux autres valeurs
étant bien sûr à connaître), on peut considérer l'air comme un gaz parfait de
masse molaire M = 29 g.mol-1 . La loi des gaz parfaits donne
air =

PM
= 1, 16 kg.m-3
RT

I. Ondes de gravité dans un fluide (vagues)
1.

Propagation

1 Un écoulement parfait est un écoulement dans lequel on peut négliger les 
phénomènes de transports diffusifs : viscosité (diffusion de quantité de 
mouvement) et
transfert thermique (diffusion d'énergie interne).
Pour un écoulement visqueux, la vitesse du fluide doit être égale à la vitesse 
de la
paroi en tout point de l'interface fluide-paroi. Pour un écoulement parfait, 
seules les
composantes normales des vitesses précédemment citées doivent être égales en 
tout
point de l'interface fluide-paroi.
Le modèle de l'écoulement parfait est convenable pour décrire des écoulements
réels en dehors d'une couche dite « couche limite ».
2 Dans un écoulement incompressible, on a
D
=0
Dt
On rappelle que cette relation traduit le fait que la masse volumique d'une
particule de fluide reste constante au cours de son mouvement.
--
D
 -
=
+
v · grad  = 0
Dt
t
Or, l'équation de conservation de la masse indique que

= - div (-
v)
t
soit

donc

--

- div (-
v)+-
v · grad  = 0

En utilisant la relation
--

div (-
v)=-
v · grad  +  div -
v
on obtient

Ainsi, -
v est à flux conservatif.

-
div 
v =0

-
En électromagnétisme, on a la même relation pour le champ magnétique B :

-

div B = 0. De même en régime permanent dans un conducteur, on a div -
 = 0

-
où  désigne le vecteur densité de courant électrique.
- 
- --
rot -
v (M, t) = rot grad (M, t))

3 On a

Or on sait que le rotationnel du gradient d'une fonction quelconque de M et de 
t est
identiquement nul. On obtient donc

-
- 
rot -
v (M, t) = 0
quels que soient M et t. L'écoulement est donc irrotationnel. Soit
 (M, t) = (M, t) + g(M, t)
où g(M, t) est une fonction quelconque de t et de M. Cherchons g de telle sorte 
que 
et  engendrent le même champ de vitesse. On a
-- 
--
--
--

grad  (M, t) = grad (M, t) + grad g(M, t) = -
v (M, t) + grad g(M, t)
--

-
grad g(M, t) = 0

on en déduit

Ainsi g doit être uniforme dans tout l'espace : g ne peut dépendre que du temps.
On a donc montré que  (M, t) = (M, t) + g(t), où g est une fonction quelconque,
engendre un champ de vitesses identique à celui engendré par (M, t). Le choix 
de 
n'est donc pas unique.
Le raisonnement sur le changement de potentiel est le même que celui employé 
lorsque l'on montre en électrostatique que le potentiel V est défini à
une fonction dépendant du temps près. En électrostatique, on choisit 
généralement d'imposer que le potentiel ne dépende pas du temps ; le potentiel 
est
donc défini à une constante additive près.
--

4 L'incompressibilité de l'écoulement s'écrit div -
v = 0. Or -
v = grad (M, t), d'où
--
div grad ((M, t)) = 0
soit l'équation de Laplace

 = 0

En électrostatique, en l'absence de charges on a également l'équation de Laplace
qui s'écrit V = 0, où V est le potentiel électrostatique. L'équation de la 
diffusion
thermique en régime permanent donne T = 0, où T est la température.
5 L'onde se propage selon +x comme on va le montrer. Cherchons les valeurs dx,
dz, dt telles que
(x + dx, z + dz, t + dt) = (x, z, t)
soit

sin[k(x + dx) - (t + dt)]f (z + dz) = sin(kx - t)f (z)