X/ENS Physique PSI 2004

SCIENCES PHYSIQUES

DURÉE: 4 HEURES

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Pour les épreuves d 'admissibilité, l'usage de calculatrices électroniques de 
poche à alimentation
autonome, non imprimantes et sans document d'accompagnement, est autorisé, une 
seule à la fois
étant admise sur la table ou le poste de travail, et aucun n 'e'change n 'est 
autorisé entre les candidats.

Dans ce problème, on s'intéresse à deux méthodes pour refroidir, l'une 
classique et l'autre,
plus originale utilise des ondes sonores.

. La première partie étudie un congélateur usuel.

. La deuxième partie traite des ondes sonores dans un fluide parfait puis dans 
un fluide
diffusif de Fourier.

. La troisième partie rend compte du refroidissement dans un réfrigérateur 
thermo

acoustique.

Remarque : les trois parties sont largement indépendantes.

1) Etude d'un congélateur

Le but de cette partie est d'étudier un congélateur. Sur la fiche technique 
(accessible sur les
sites Internet des constructeurs) on peut relever les données suivantes pour un 
modèle

standard :
Volume utile : 230 EUR

HXLXP : 130x60x60(encm)
Consommation électrique : 0,70 kWh par jour

A) Evaluation simple de l'efficacité

1°) On suppose le congélateur parallélépipédique, l'épaisseur des parois notée 
e est supposée
uniforme. A l'aide des données, évaluer e. Pour simplifier, on pourra supposer 
e petit devant

H, L ou P.

En régime permanent, la machine frigorifique du congélateur maintient une 
température
intérieure 05 = -18 °C pour une température extérieure 0e = 20 °C. On suppose 
la conduction
thermique comme unique responsable des fuites thermiques à travers les parois du

congélateur de conductivité X = 0,04 SI.

2°) Donner l'unité de À. Est-ce un bon isolant '? On citera des ordres de 
grandeur connus de À

à titre de comparaison.

3°) Evaluer la puissance thermique de ces fuites.

4°) A l'aide des données, calculer la puissance moyenne électrique consommée 
par le

congélateur.

5°) On suppose que le compresseur convertit l'intégralité de l'énergie 
électrique en travail

mécanique reçu par le fluide. Evaluer l'efficacité de ce congélateur.

B) Modélisation du cycle de fonctionnement de la machine frigorifique

On modélise notre congélateur par une machine frigorifique contenant un fluide 
frigorigène
tetrafluoroéthane R134a dont le diagramme Pression--Enthalpie massique (P -- h) 
est joint. Le
mélange liquide--vapeur est situé dans la zone centrale sous la courbe de 
saturation. Sur ce

diagramme apparaissent les courbes isothermes et isentr0piques.
Cette machine ditherme qui fonctionne en régime permanent échange de la chaleur 
avec une
source chaude à 20°C (atmosphère extérieure) et une source froide à -18°C 
(intérieur du

congélateur). On note T la température absolue et 6 la température Celsius.

Le schéma général de fonctionnement avec sens de circulation du fluide est 
défini ci--après :

Echangeur
condenseur

Compresseur
à moteur

électrique

1 | Sens
Echangeur de

évaporateur

circulation

Le cycle décrit par le fluide présente les caractéristiques suivantes (4 
transformations

successives) :

- la compression de 1 à 2 est adiabatique et réversible,
- le passage dans les deux échangeurs (condenseur et évaporateur) est isobare 
(de 2 à 3

et de4 à1),

- la vanne est considérée comme un tuyau indéformable et ne permettant pas les

échanges de chaleur.

Dans tout le problème, on supposera que l'état du fluide n'est pas modifié dans 
les tuyauteries

de liaison entre 2 éléments consécutifs et on négligera les variations 
d'énergie cinétique. _

6°) Pour l'une des transformations du cycle et pour une masse unité de fluide, 
on pose :
w : travail massique total échangé avec l'extérieur,

q : chaleur massique échangée avec l'extérieur,

h : enthalpie massique.

Montrer que le premier principe de la thermodynamique peut s'écrire : Ah = w' +q

Donner l'expression de w' en fonction de w et des variables pression P et 
volume massique u.

7°) La masse unité, choisie comme système thermodynamique, subit l'une des 
transformations
du cycle de P1, u1 à P;, et u2, les indices ] et 2 se rapportant aux conditions 
d'entrée et de
sortie de l'étape. Exprimer la différence w'1z --_ W" en fonction des pressions 
et volumes

massiques.

En faisant un bilan d'énergie interne, en régime permanent, en supposant 
l'écoulement lent,
donner la signification physique de w'1_,2 ? :

Retrouver la caractéristique d'une détente de Joule Kelvin.

8°) Lorsque la masse unité de fluide décrit un cycle, quelle est la relation 
entre w'cyc|e et

chcle ?

9°) Montrer que la détente est isenthalpique dans la vanne de 3 à 4.

10°) Quelle propriété remarquable lie les isothermes et les isobares dans la 
zone mélange

liquide--vapeur.

11°) On donne les indications suivantes :

- La température du fluide lors de l'évaporation dans l'évaporateur est -- 30°C.

- La pression de fin de compression en 2 est 8 bars.
-- Le point 3 est du liquide saturé.
- La quantité de chaleur échangée dans l'évaporateur avec l'intérieur permet 
une évaporation

complète du fluide venant de 4 et conduit la vapeur de façon isobare jusqu'à 1, 
état saturé.

Placer les 4 points du cycle 1, 2, 3, 4 sur le diagramme joint, y représenter 
le cycle

(diagramme à rendre avec la copie) et déterminer, par lecture et interpolation 
linéaire sur ce
même diagramme, les valeurs de P, 6, h, s en ces différents points. Regrouper 
les résultats

dans un tableau.

12°) Si le compresseur était adiabatique mais non réversible, comment se 
situerait sa

température de sortie sous la même pression P2 par rapport à la température 92 ?

13°) Comment peut--on trouver, de deux façons différentes, sur le diagramme la 
valeur de la

chaleur latente massique £ de vaporisation du fluide à une température T donnée 
?

Application numérique :

Pour une pression de 3 bars, quelles sont les valeurs de £, et de 9 ?

14°) Peut--on trouver la valeur de EUR au point critique représenté sur le 
diagramme ? Quelle est

la nature de la transition de phase au point critique ?

15°) Si au lieu d'évaporer toute la masse de fluide on ne fait changer d'état 
qu'une fraction

massique x donnée, comment peut-on trouver géométriquement le point 
correspondant au

mélange liquide vapeur ainsi obtenu et réciproquement ? x s'appelle le titre 
massique en

vapeur.

16°) Calculer le titre x en vapeur aux points 3, 4 et 1. Peut--on définir un 
titre y en liquide '?

17°) En utilisant le tableau de résultats, calculer les quantités de chaleur 
massique qc et qf

échangées par le fluide avec l'extérieur (qC est échangée de 2 à 3 et qf de 4 à 
1).

18°) Calculer de même le travail absorbé lors de la compression de 1 à 2 : 
w'1_,2

qf

!
W l-->2

?La

19°) Pourquoi définit-on l'efficacité de la machine frigorifique étudiée par 77 
:

calculer numériquement.

20°) Comparer les efflcacités des parties I.A et LE (relever les défauts des 
différents modèles

utilisés et les erreurs qu'ils peuvent induire).

Il Propagation du son

A ) Modèle classique

21°) Qu'est ce qu'un fluide parfait ?

22°) Pour caractériser l'onde acoustique on écrit les champs de pression, masse 
volumique,

vitesse et température sous la forme suivante :

P(M, t) = PO + p(M, t)

p(M, t) = Ho + MM 0

Vitesse : 17 (M , t)

Température : T0 + T(M, t)

où l'indice "zéro" correspond aux valeurs des champs sans ondes au repos.

Qu'entend-t-on par "approximation acoustique" ?

23°) Rappeler brièvement les hypothèses du modèle classique de la propagation 
d'une onde

sonore dans un fluide parfait, dans le cadre de l'approximation acoustique.

24°) Établir l'équation d'onde vérifiée par la surpression p.

25°) Exprimer la célérité es du son dans un gaz parfait en fonction de sa 
température, de

y = cp/cV supposé constant et de sa masse molaire M.

26°) On donne R = 8,31 J.K'lmol'l. Pour de l'air on prend 7 =-- 1,4 et M = 29 
g/mol. Justifier
brièvement ces deux dernières valeurs.

Proposer une application numérique pour la célérité adiabatique d'une onde 
sonore dans l'air à _

température ambiante.

27°) Expliquer le principe de l'évaluation de la distance entre le lieu (où on 
est) et un orage.

Donner la règle mnémotechnique "populaire" pour l'évaluer numériquement.

28°) Supposons maintenant que la propagation de l'onde est isotherme. Reprendre 
les

questions 24, 25 et 26.

29°) La valeur numérique de c, mesurée expérimentalement, valide--t-elle le 
modèle

adiabatique ou isotherme ?

B Son et diffusion thermi ue

On se propose de prendre en compte la diffusion thermique lors de la 
propagation d'une onde
sonore. Les ondes considérées seront unidimensionnelles, les grandeurs 
physiques ne
dépendront que de x et de t.

Le milieu envisagé est un gaz parfait, de masse molaire M, de capacité 
thermique massique à

volume constant cv, de conductivité thermique 7t.

Maintenant, dans un cadre plus général, on envisage la diffusion thermique lors 
du passage de

l'onde sonore. Il s'agit de déterminer les quatre équations liant les quatre 
variables : p, u, {i et

T.

30°) Effectuer un bilan énergétique sur le fluide compris entre x et x + dx. 
Montrer, dans le

cadre de l'approximation acoustique, que :

ôT 62T ôv
--=1 --P --,
% v ôt ôx2 0ôx

31°) On s'intéresse à une onde sinusoïdale. Les équations ayant été 
linéarisées, on utilisera la

notation complexe : à chaque grandeur physique 2_((x, t) correspond le complexe 
.X :
àä(x,t) = X. EUR""""'"'-
En écrivant, dans l'espace complexe les différentes équations linéarisées du 
problème,

montrer que la relation de dispersion pour une telle onde, liant a) et k (à 
priori complexe), se

met sous la forme :

2 - 3
À.k'* +k{jw(uocv +?)...%}...{...} :O.
0

32°) Commenter la relation de dispersion obtenue ci--dessus. Comment qualifier 
le milieu

étudié vis-à--vis de la propagation des ondes sonores ?
33°) Comment déterminez--vous la célérité d'une onde et pourquoi ? (calcul non 
demandé)
34°) Retrouver la célérité pour les deux modèles présentés dans la partie II.A.

35°) Interpréter qualitativement le phénomène d'atténuation de l'onde sonore qui
contrairement aux cas des modèles isotherme et isentropique apparaît ici, en 
analysant, lors

des étapes successives de l'évolution du fluide, les différents échanges qui 
l'expliquent.

Il!) Réfrigérateur thermo acoustigue

L'utilisation d'un système réfrigérant classique peut, dans certaines 
conditions, poser des
problèmes à cause de la présence de pièces mécaniques en mouvement dans le 
compresseur.
Pour refroidir les composants électroniques et pour conserver les échantillons 
de sang des
astronautes faisant des expériences biomédicales dans la navette spatiale, des 
réfrigérateurs

thermo acoustiques furent mis au point dans les années 1990 par la NASA.

A) La cavité résonnante

Une cavité parallélépipédique aux parois rigides est fermée à une extrémité et 
comporte un
haut--parleur à l'autre extrémité. On note L = 50 cm la longueur de cette 
cavité, a = 10 cm sa
largeur, et b = 10 cm sa profondeur.

Elle est remplie d'un gaz de masse molaire M = 2.10"3 kg/mol à la température 
To = 300 K et

à la pression P0 = 1 bar au repos. On notera y = 1,4 le rapport entre les 
capacités calorifiques

du gaz contenu dans la cavité. La construction de l'ensemble impose une 
pression P(L, t) = Po
constante au niveau du haut parleur. On se placera dans le cas classique pour 
la propagation

de l'onde sonore, cas étudié au II)A) d'un écoulement adiabatique réversible.

Haut-parleur

36°) Donner les conditions aux limites et déterminer les modes propres de la 
cavité. On

donnera la relation entre L et X,, longueur d'onde du mode considéré.

37°) Le haut parleur émet un son sinusoïdal dont la fréquence correspond à des 
modes propres

de la cavité. Parmi les modes propres, on choisit définitivement la fréquence 
correspondant à
la plus grande longueur d'onde (X = 4L) et on note pm l'amplitude maximum de la 
pression
acoustique dans la cavité.

Donner l'expression de la période t en fonction de M, To, 7, la constante des 
gaz parfaits R et

L. Faire l'application numérique.

38°) Déterminer la pression acoustique p(x, t) et la vitesse v(x, t) du gaz 
dans la cavité.

39°) Déterminer le déplacement & et la température T du gaz dans la cavité en 
fonction du
temps.

On donnera l'expression de v..., &... et T... en fonction de p... et des 
données du problème.

B) Réfrigérateur

métal

d

On place, au milieu de la cavité un système métallique composé de lamelles 
parallèles. Ce

système est de longueur EUR! << L et on supposera qu'il ne modifie pas l'écoulement. On a représenté ci-dessus deux lamelles du dispositif encadrant une lame de gaz de largeur al. Les lamelles métalliques sont d'épaisseur 32 telles que al >> az.
Le système de lamelles est relié, par ses extrémités à une source froide de 
température TF et

une source chaude de température Tc. On impose dans le métal une température 
indépendante

du temps de la forme TM(x') = Tc + (TF -- Tc)%, x' étant l'abscisse choisie à 
partir du

commencement des lamelles O' (00' = L/2). On supposera, de plus, que :

Tc --TF _ Tc "TF

__ <<]. TC+TF 2T0 On modélise le mouvement du gaz selon le cycle suivant : tant que le gaz est en mouvement il subit une transformation adiabatique réversible. Dès qu'il est immobile, l'équilibre thermique avec le métal se produit de manière isoehore. La largeur a1 est choisie de manière à pouvoir considérer la température du gaz dépendant seulement du temps et de la variable spatiale x'. Les transferts thermiques dans le gaz sont négligés dans la direction x'. 40°) Une tranche de gaz d'épaisseur dx', placée entre deux lamelles métalliques, d'abscisse xo' au repos telle que 0 s x0' 5 d est choisie comme système. L'origine des temps est telle que la tranche de gaz soit immobile à t = 0. Montrer qu'en première approximation le déplacement du gaz peut se mettre sous la forme Î;(xd, t) = -&...'cos(oet) En déduire que la température s'écrit alors T(xo', t) = T...'cos(oet) où T...' =a T.... Calculer @. 41°) Calculs des transferts thermiques. a) On appelle ôqF le transfert thermique reçu par le fluide lors de son contact avec le point le plus froid. Quel doit être le signe de ôqF pour que le dispositif fonctionne en machine frigorifique ? b) A t = 0, lorsque l'équilibre thermique est atteint, déterminer la température T1 du fluide en fonction de x0' et Ç...'. L'état du fluide est alors nommé état (1). 0) Lors du transfert adiabatique réversible du fluide à partir de l'état (1), la variation de température est celle associée à l'onde acoustique. Déterminer la température T; à l'instant d'arrivée du fluide au point le plus froid tel que oet = TE. (état (2)) (1) Avant de repartir le fluide passe àla température T3 (état (3)). Déterminer T3 en fonction de XO. et Çn1'. e) Déterminer la température de l'état (4) àla fin de la dernière transformation adiabatique. f) Représenter le cycle effectué par le fluide dans les axes de Clapeyron et calculer ôqF (respectivement ôqc) en fonction de T...', Ç...' et des données du problème. g) Montrer que le système ne fonctionne en réfrigérateur que si la différence Tc --TF reste inférieure à une valeur que l'on exprimera en fonction de (1, To, 7 et L. 42°) Calculer la puissance thermique développée par le réfrigérateur. On réalisera l'application numérique avec d = 10 cm, une amplitude pour la pression acoustique de pm = 1000 Pa et Tc-- Tp= 20°C. 43°) Dans quelle condition faudrait-il se placer pour obtenir une efficacité maximale. Quel serait cette efficacité ? Que peut--on dire de la puissance thermique développée par le système dans ces conditions ? C) Justification des dimensions du système 44°) Les lamelles métalliques ne sont plus placées au milieu de la cavité, mais à une abscisse L1. Déterminer, en utilisant les calculs effectués précédemment la puissance thermique développée par le système. Déterminer la position optimale L1 des lamelles métalliques avec d <