Mines Physique 2 PSI 2017

A2017 ­ PHYSIQUE II PSI

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH,
ISAE-SUPAERO, ENSTA PARISTECH,
TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH,
MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY,
IMT Atlantique (ex Télécom Bretagne),
ENSAE PARISTECH.
Concours Centrale-Supelec (Cycle International),
Concours Mines-Télécom, Concours Commun TPE/EIVP.
CONCOURS 2017
DEUXIÈME ÉPREUVE DE PHYSIQUE
Durée de l'épreuve : 4 heures
L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :

PHYSIQUE II - PSI
L'énoncé de cette épreuve comporte 7 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur
d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant 
les
raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Physique II, annee 2017 -- filiere PSI

La mission spatiale Rosetta
Ce sujet propose de revenir sur l'exploit realise par l'Agence Spatiale 
Europeenne lors de l'accomplissement de la mission Rosetta. Cette mission 
consistait a rejoindre la comete 67P Churyomov ­
Gerasimenko (rebaptisee Churry a cette occasion) sur son orbite a plusieurs 
centaines de millions de
kilometres de la Terre. Une fois sur place la sonde devait etudier 
l'environnement de Churry en se
satellisant autour d'elle. Une fois ce premier exploit realise le 6 aout 2014, 
la sonde Rosetta devait
envoyer un robot, nomme Philæ, pour qu'il se pose sur la comete et realise une 
etude in situ. Ce robot
a reussi a se poser sur la comete le 12 novembre 2014, il a ensuite realise sa 
mission de facon quasinominale pendant 3 jours dans des conditions physiques 
extremes. Il a ensuite transmis les donnees
recueillies vers Rosetta toujours en orbite autour de Churry. Rosetta les a 
ensuite envoyees vers la
Terre ou nous les avons recues quelques dizaines de minutes plus tard.
La realisation complete de cette mission aurait pu etre presentee comme un 
exploit retentissant de la
conquete spatiale, n'ayant rien a envier aux premiers pas de l'homme sur la 
Lune. Cependant, le fait
que Philæ se soit pose de facon peu stable, le traitement mediatique de ce 
genre d'evenement, et bien
d'autres facteurs plus complexes, n'ont pas permis de se rendre compte de 
l'incroyable performance
scientifique realisee a l'occasion de cette mission.
Ce sujet revient sur differents aspects de la problematique associe a cette 
mission. La premiere partie
consiste en l'etude des proprietes orbitales de Churry, la seconde partie 
consiste en une etude de
l'environnement des cometes du type de Churry et notamment de sa chevelure et 
de sa queue. La
derniere partie est une etude technique de la motorisation de la foreuse de 
Philæ. Ces trois parties
sont totalement independantes.
Les resultats numeriques des calculs seront des ordres de grandeurs ne 
possedant au plus qu'un seul
chiffre significatif. Les valeurs numeriques utiles sont rassemblees en fin 
d'enonce. Hormis le nombre j
tel que j 2 = -1, les grandeurs complexes sont soulignees. Une quantite 
surmontee d'un point designe
dr
la derivee temporelle de cette quantite : r = .
dt

I. -- Etude de la comete 67P Churyomov ­ Gerasimenko
La comete etudiee s'appelle Churyomov ­ Gerasimenko, du nom des scientifiques 
ukrainiens M. Churyumov, l'utilisateur du telescope, et Mme Gerasimenko, la 
comparatrice d'images, qui l'ont codecouverte en 1969. Cette comete mesure 
entre 3 et 5 km de diametre et tourne sur elle-meme en
une douzaine d'heures. Voila a peu pres tout ce que l'on savait sur la comete 
objet de Rosetta et
Philae. Les estimations sur sa masse, varient, quant a elles, d'un facteur 10 
et sa forme exacte restera
un mystere jusqu'en juillet 2014 date de la premiere photo envoyee par Rosetta. 
Le noyau de la comete
n'a pu etre observe que depuis la Terre (le Very Large Telescope au Chili en 
lumiere visible ou proche
infrarouge) ou les satellites tournant autour de la Terre (Hubble en lumiere 
visible, Spitzer en moyen
infrarouge). De ces observations ont ete tirees des courbes de lumiere qui, 
elles-memes, ont permis de
determiner quelques unes de ses caracteristiques.
1 -- En appliquant le principe fondamental de la mecanique
(Comète)
!
Centre
a une comete de masse m en orbite circulaire de rayon R autour
de
l'ellipse
$
du Soleil, retrouver la 3e loi de Kepler. Dans le cas d'une orbite
%
%&
elliptique, on peut demontrer que cette relation se generalise en
"#
remplacant le rayon R par le demi grand axe a de l'ellipse (voir
(Soleil)
figure 1). En deduire la relation entre le demi-grand axe a de Aphélie
Périhélie
l'ellipse parcourue par la comete, la periode T de la comete, la
masse du Soleil M et la constante de gravitation G. Determiner Figure 1 ­ 
Orbite elliptique d'exla valeur numerique de la periode Tc de la comete Churry. 
On centricite e et de demi-grand axe a.
donne 2ac = 33 · 1011 si et on prendra 1 an  31 · 108 secondes.
2 -- On ne suppose plus la trajectoire circulaire, et on note "r le vecteur 
position de la comete dans
le referentiel heliocentrique et r = #"r#. Donner l'expression du moment 
cinetique "s de la comete par
rapport au Soleil. Montrer que la trajectoire de la comete est contenue dans un 
plan que l'on precisera.
Determiner l'expression de C = "!ms " en fonction des coordonnees polaires (r,) 
de la comete dans ce
plan.
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La mission spatiale Rosetta

3 -- Etablir la relation 12 mr2 = Em - Eeff (r) ou Em est l'energie mecanique 
supposee negative de
la comete et Eeff (r) son energie potentielle effective que l'on exprimera en 
fonction de C, G, m, M
et r. Tracer la representation graphique de Eeff (r), et positionner sur ce 
graphique Em , l'aphelie rmax
et le periphelie rmin (voir figure 1).
4 -- Montrer qu'il existe une trajectoire circulaire correspondant a r = rmin = 
rmax = r0 et
Em = E0 . Determiner l'expression de r0 en fonction de C, G et M puis en 
deduire celle de E0 en
fonction de C, G, M et m. On note respectivement Ec (r) et Ep (r) les energies 
cinetique et potentielle
de la comete a la distance r du Soleil, determiner la relation entre Ec (r0 ) 
et Ep (r0 ).
5 -- Etablir l'equation du second degre en r dont rmin et rmax sont solutions, 
qui permet de
deduire l'expression de Em en fonction de G, m, M et a. On donnera cette 
expression. Apres avoir
montre que son discriminant est bien positif, resoudre l'equation et determiner 
la relation liant e a
Em , C, a et m.
6 -- Quelle est la propriete de la vitesse areolaire de la comete, rapport de 
la surface balayee par
le rayon vecteur de la comete sur le temps mis par la parcourir ? Quel est 
l'astronome qui a identifie
cette propriete quiporte son nom ? Sachant que l'aire d'une ellipse 
d'excentricite e et de demi-grand
axe a est S = a2 1 - e2 , determiner la relation entre la periode de la comete 
et le demi-grand axe
de l'ellipse. Commenter le resultat obtenu.
Rosetta a beneficie de 4 assistances gravitationnelles afin d'acquerir 
l'energie necessaire pour rejoindre
la comete sur son orbite. La precision requise pour l'accomplissement de cet 
exploit est absolument
insensee : fenetre de quelques kilometres entre des objets sur des orbites 
gravitationnelles a des vitesses
de l'ordre du kilometre par seconde, a plusieurs centaines de millions de 
kilometres de la Terre. Peu
de gens ont pris conscience de l'exploit realise par les ingenieurs de l'Agence 
Spatiale Europeenne.
7 -- Qu'entend-on par assistance gravitationnelle ? On etaiera sa reponse par 
un schema explicatif.
FIN DE LA PARTIE I

II. -- Etude de la chevelure et de la queue de la comete
Le noyau des cometes est essentiellement compose d'une neige sale (un melange 
de glace et de grains
de toutes tailles) d'environ 10 km de rayon. En se rapprochant du Soleil sur 
une orbite elliptique, la
glace situee sur la surface de ce noyau se sublime et il s'entoure d'une sorte 
d'atmosphere de gaz et
de poussiere : la chevelure. La taille caracteristique de cette chevelure est 
de l'ordre de 105 km. Le
materiel de cette chevelure interagit avec d'une part la lumiere du Soleil et 
d'autre part le plasma emis
par notre etoile : le vent solaire. Le produit de cette interaction est la 
partie la plus souvent visible
d'une comete depuis la Terre : la queue. Elle est environ dix fois plus etendue 
que la chevelure, mais
dans une seule direction. Une fois la chevelure et la queue formees, le 
telescope Subaru installe a plus
de 4000 metres d'altitude sur l'ile d'Hawai a pu prendre une photo de Churry 
mettant en evidence de
nombreux details.

Taille de la Terre
Traînée de poussière

Chevelure

Queue de poussière

Photo 2 ­ Photo de la comete Churry prise avec le telescope Subaru prise le 8 
mars 2016 alors que
la comete se trouvait entre les orbites de Mars et de Jupiter. Le temps de pose 
de la photo est de 6
minutes.

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Physique II, annee 2017 -- filiere PSI

II.A. -- Taille critique d'un grain dans la chevelure
On considere un grain de poussiere spherique de la chevelure de la comete et on 
assimile la densite
volumique de ces grains a celle de la chevelure notee  et supposee constante. 
On note R le rayon du
grain et r sa distance au Soleil.
Les ondes electromagnetiques associees au rayonnement du Soleil exercent une 
pression Pr sur toute

surface sur laquelle elles s'appliquent. On montre que cette pression s'ecrit 
sous la forme Pr = #$
c
ou %& est la valeur moyenne temporelle du vecteur de Poynting associe a ces 
ondes,  et  sont deux
nombres entiers et c la vitesse de la lumiere.
8 -- Apres avoir rappele la definition du vecteur de Poynting et de son flux a 
travers une surface
orientee, preciser les valeurs de  et . Comment peut-on interpreter la pression 
de radiation ?
Dans le cas du rayonnement d'une etoile, le flux total d'energie est appele 
luminosite. Elle est supposee
isotrope et notee L ou L pour le Soleil dont la valeur est precisee en fin 
d'enonce. On definit egalement
la brillance B(r), ou flux radiant, d'une etoile comme la puissance disponible 
par unite de surface a
une distance r de l'etoile.
9 -- En utilisant par exemple des arguments dimensionnels determiner la 
relation entre B(r) et
%& dans le cas du Soleil. En deduire l'intensite Fr de la force exercee par la 
pression de radiation sur
un grain de section  = R2 .
10 -- En considerant que la repartition de la masse du Soleil est a symetrie 
spherique, determiner
l'expression du champ gravitationnel cree par le Soleil a l'exterieur de 
celui-ci. En deduire l'intensite
F
Fg de la force de gravitation exercee par le Soleil sur le grain considere. 
Exprimer le rapport  = Fgr
en fonction de G, M , R, , c et L . Commenter ce resultat.
11 -- En prenant  = 3 g · cm-3 , determiner l'ordre de grandeur d'un rayon 
critique de grain
Rc permettant d'expliquer, sur la photo 2, la presence d'une part d'une queue 
et d'autre part d'une
trainee de poussiere tracant l'orbite de la comete. Comment peut-on reperer la 
direction du Soleil sur
la photo 2 ? On indiquera la composition de ces deux structures en fonction de 
Rc . Pour le calcul on
prendra G = 21 × 10-11 m3 · kg-1 · s-2 .

II.B. -- Effet Poynting-Robertson
Les grains laisses sur son orbite par une comete finissent par tomber vers le 
Soleil, c'est l'effet PoyntingRobertson.
Soit un grain de poussiere spherique de rayon R en orbite circulaire de rayon r 
dans le systeme solaire.
Il absorbe et reemet en totalite la radiation qu'il recoit du Soleil. Le fait 
que ce grain soit en mouvement
rend cette reemission non isotrope et principalement selon l'axe dirige par la 
direction de sa vitesse :
c'est un effet relativiste appele aberration. Cette non isotropie induit une 
perte de moment cinetique
qui conduit au fait que le grain tombe vers le Soleil selon une trajectoire 
spirale.
12 -- En supposant que toute la puissance absorbee par le grain est reemise, 
quelle serait la
luminosite d'un grain de section  a une distance r du Soleil. Faire 
l'application numerique pour un
grain de 1 centimetre de rayon se situant entre Mars et Jupiter a une distance 
r = 5 × 108 km du
Soleil.
13 -- En supposant que les photons reemis emportent une masse effective m = E 
/c2 et en
faisant par exemple un bilan de moment cinetique entre t et t + dt, montrer que 
l'intensite du moment
! R "2 L
cinetique orbital des grains L = mvr verifie l'equation differentielle L = - rc
4m L
14 -- En supposant la decroissance du moment cinetique tres faible, on peut 
considerer que le
grain est constamment sur une orbite circulaire dont le rayon diminue tres 
doucement. En separant les
variables pour resoudre l'equation de la question precedente, determiner dans 
ces conditions le temps
t mis par un grain spherique de rayon R et de densite volumique de masse 
constante  pour tomber
sur le Soleil a partir d'une distance initiale r tres grande devant le rayon du 
Soleil r . On exprimera
t en fonction de , c, R, r et L .
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La mission spatiale Rosetta

15 -- Determiner la taille du plus gros grain spherique qui a pu  spiraler  
jusqu'au Soleil en
partant de l'orbite de Mars depuis la formation du systeme solaire il y a 4,5 
milliards d'annees
(soit

17
10 secondes). Afin de simplifier ce calcul, on prendra pour Mars un distance 
moyenne de 5 millions
1
= 7 × 10-3 .
de km et on donne 45
FIN DE LA PARTIE II

III. -- Etude de la motorisation de la foreuse du robot Philæ
Le robot Philæ avait notamment pour mission de forer le sol de la comete sur 
une profondeur de
40 cm. Il n'a pu realiser pleinement cette partie de sa mission car le site sur 
lequel il s'est finalement
pose apres trois rebonds etait trop incline. Il a cependant pu faire de tres 
nombreuses mesures dont
l'analyse permettra de mieux comprendre la formation du systeme solaire. Dans 
cette partie nous
allons etudier les caracteristiques techniques du moteur de sa foreuse. Il 
s'agit d'un moteur synchrone
associe a un onduleur de tension. Cette structure permet de concevoir un 
dispositif robuste de forte
puissance, delivrant un fort couple et presentant une bonne duree de vie, 
toutes ses qualites etant
ici necessaires. Afin de simplifier l'etude, les pertes mecaniques ainsi que 
les pertes fer de ce moteur
synchrone seront negligees. Finalement, le moteur sera assimile a une machine 
synchrone diphasee
dont les deux enroulements statoriques sont identiques.

III.A. -- Essais prealables
L'inducteur du moteur synchrone de la foreuse
de Philæ est a aimants permanents et possede 8
+
,
poles, soit 4 paires de poles.
Chaque bobinage du stator possede une resis'() ,
*
0
+
tance de 0,03 .
/
L'intensite nominale du courant dans un enrou.
lement du stator est IN = 155 A. Pendant une
+
duree limitee, elle peut atteindre la valeur maxi- Fig. 3 ­ Schema electrique 
et diagramme vectoriel
male IM = 185 A.
d'une phase du moteur.
La machine est etudiee en convention recepteur.
Le modele equivalent a une phase de l'induit est represente sur la figure 3. 
Les tensions et courants
sont supposes sinusoidaux de pulsation  = 2f . Afin de determiner les 
parametres du modele, divers
essais ont ete effectues :
-- Essai n 1 : sur un banc d'essais, on a entraine la machine synchrone a vide 
par l'intermediaire
d'un moteur auxiliaire a la vitesse n = 1500 tr · min-1 . Aux bornes d'une 
phase, on a mesure
une tension simple de 57 V.
-- Essai n 2 : avec une alimentation electrique appropriee, on a effectue un 
essai de la machine en
moteur a 1500 tr · min-1 pour lequel  = 0, I = IM = 185 A, et V = 72 V.
16 -- On admet qu'en regime permanent de vitesse, la condition de synchronisme 
pour un moteur
possedant p paires de poles s'ecrit  = p, ou  designe la vitesse de rotation du 
rotor en rad · s-1 .
Determiner la frequence des tensions statoriques quand n = 1500 tr · min-1 .
17 -- Representer le diagramme vectoriel relatif a l'essai n 2. La resistance R 
n'etant pas negligee,
en deduire la valeur de L.
18 -- La valeur efficace de la force contre-electromotrice E a pour expression 
E = 0 . Quelle est
l'unite de la constante 0 ? Que represente-t-elle ? De quels parametres de la 
machine depend-elle ?
Montrer que E = A, ou A est une constante dont on precisera l'expression et la 
valeur numerique.
Dans toute la suite on negligera la chute de tension ohmique ainsi que les 
pertes par effet Joule dans
les circuits statoriques.
19 -- Tracer un diagramme vectoriel representatif d'un point de fonctionnement 
quelconque dans
le cas ou 0 <  < 2 . En deduire une relation entre V , E,  et . 20 -- Determiner l'expression de la puissance electrique absorbee par le moteur Pa en fonction de V , I et  puis en fonction de E, I et . Quelle relation existe-t-il entre cette puissance electrique Pa et la puissance mecanique electromagnetique Pm recue par le rotor ? Page 4/7 Physique II, annee 2017 -- filiere PSI 21 -- Exprimer le couple electromagnetique C developpe par le moteur en fonction de A, I et . Pour une intensite efficace I donnee, que doit-on faire pour maximiser le couple developpe par la machine ? De quelle unique variable le couple depend-il alors ? A quel autre moteur ce fonctionnement fait-il penser ? 22 -- On se placera sur un point de fonctionnement a  = 0, I = IN , et n = 1500 tr · min-1 . Que vaut le moment du couple C developpe par le moteur ? Representer le diagramme vectoriel representatif du fonctionnement. Placer les vecteurs representatifs des complexes E, V , I. En deduire les expressions de V et . Calculer leurs valeurs numeriques correspondantes. On pourra considerer que 13  12 . III.B. -- Etude simplifiee de la logique de commande mli Le moteur est alimente par un onduleur a commande mli (Modulation de Largeur d'Impulsion). Nous simplifierons l'etude de l'onduleur par le schema monophase de la partie gauche de la figure 4. +-cc Comp. $4 !4 $1 !1 ¡-cc Vers la commande de 11 et 13 -13 0 volt #ch + -T -C Charge " ch +-cc Comp. $2 !2 $3 !3 Vers la commande de 12 et 14 -24 ¡-cc 0 volt Fig. 4 ­ Schema de l'onduleur (a gauche) et de son circuit de commande (a droite) Les deux comparateurs a base d'ali supposes ideaux sont alimentes entre +Vcc et -Vcc . La tension de sortie de ces deux comparateurs commute entre +Vcc et -Vcc . Lorsque la tension de sortie d'un comparateur est au niveau +Vcc , les interrupteurs associes sont commandes a la fermeture ; quand cette tension est au niveau -Vcc , les interrupteurs associes sont commandes a l'ouverture. Les tensions VT et VC sont definies sur la partie droite de la figure 4 representant le circuit de commande de l'onduleur. Leurs chronogrammmes sont representes sur la figure 5. 23 -- Representer sur la copie en concordance des temps les signaux VT , VC ainsi que les chronogrammes de V13 et V24 . Calculer la date t1 en fonction de T , VC et VT,m . +-T,m -C 1 0 2 21 -T ¡-T,m Fig. 5 ­ Chronogrammmes des tensions VT et VC . 24 -- En deduire l'allure de la tension vch (t). Determiner l'expression du rapport cyclique de la tension vch (t) en fonction de VC et VT,m . Quel inconvenient presente ce type de commande ? La commande reelle permet d'alimenter le moteur avec une tension dont la forme est representee sur la figure 6. Les angles 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 # $ compris dans l'intervalle 0, et representes sur la figure 6 sont fixes, les suivants, situes dans les #  $ # 3 $ # 23 $ intervalles 2 , , , 2 et 2 , 2 s'en deduisent par symetrie. eff de la tension v (t) en fonction des angles 25 -- Exprimer la valeur efficace Vch i=1,...,6 et de la ch tension E. Si l'on note f la frequence du fondamental de vch (t), la commande mli permet de faire en sorte que eff Vch f = cte et d'eliminer les harmoniques de tension les plus genants. Page 5/7 Tournez la page S.V.P. La mission spatiale Rosetta # ch ' 0 3& 2 % 1 %2 % 3 %4 % 5 %6 & 2 & 2& ( = )* ¡' Fig. 6 ­ Commande reelle d'alimentation 26 -- Les symetries du signal vch permettent d'etablir que seuls les harmoniques de rangs impairs figurent dans son spectre. Donner l'allure de ce spectre en precisant les positions des quatre premiers harmoniques. Montrer qualitativement que les 6 parametres i=1,...,6 de la commande mli permettent eff et d'autre part de faire en sorte que le premier harmonique d'ajuster d'une part la valeur efficace de Vch d'amplitude non nulle ne soit que d'ordre 13. III.C. -- Etude d'une commande mli numerique, precalculee +! Pour chaque angle i=1,··· ,6 predetermine par un calculateur, on fabrique un signal de base note mi (t) dont le chronogramme et la decomposition de Fourier sont donnes sur la figure 7. Ces signaux de base permettent de reconstruire la tension d'alimentation du moteur. ' &+% ! %! ¡' & 2 &¡%! 3& 2 2&¡%! & 2& ( 4' X cos [(2, + 1) %! ] sin [(2, + 1) )*] +! (*) = ¡¡ 2, + 1 & "=0 +1 Fig. 7 ­ Signal de base. 27 -- Representer sur un meme graphe les signaux m1 et m2 en fonction de  puis en deduire le graphe de m1 - m2 en fonction de . En deduire l'expression de la tension vch (t) de la figure 6 en fonction des signaux de base mi=1,··· ,6 (t). 28 -- Determiner la relation que doivent verifier les angles i afin que l'on puisse eliminer l'harmonique d'ordre 5 dans le spectre de vch . III.D. -- Utilisation de la technique de surmodulation On realise un decoupage de la commande mli a frequence elevee fd devant la frequence f de cette commande : fd  f . Par exemple, pour une frequence f = 50 Hz, on prendra fd = 1 kHz. On note le rapport cyclique de la tension de decoupage D(t) et l'on donne sa decomposition de Fourier % D (t) = A0 + Ak sin [kd t + k ]. Les signaux decoupe et de decoupe sont representes sur la figure 8. k=1 29 -- Exprimer A0 en fonction de . (t) = v (t)× 30 -- Determiner l'expression de la valeur instantanee vch,F (t) du fondamental de vch ch ,eff D(t). En deduire l'expression de sa valeur efficace Vch,F en fonction de E,  et des angles i=1,··· ,6 . 31 -- Quel est l'interet d'utiliser cette technique de surmodulation ? Page 6/7 Physique II, annee 2017 -- filiere PSI # ch '¡ $(*) # ch Zoom 1 ' 2 2 % 1 %2 % 3 %4 % 5 %6 -! # !# 2 -! # !# Fig. 8 ­ Decoupage de la commande mli (a gauche) et signal de decoupe (a droite) (t) correspondant a la tension d'alimentation 32 -- Representer l'allure du spectre du signal vch du moteur de la foreuse. Conclure. FIN DE LA PARTIE III Donnees numeriques · Constante de la gravitation : G = 6,7 × 10-11 m3 · kg-1 · s-2 · Vitesse de la lumiere : c = 3 × 108 m · s-1 . · Masse du Soleil : M = 2 × 1030 kg. · Luminosite du Soleil : L = 4 × 1026 W · Unite astronomique : 1 ua = 1,5 × 1011 m Caracteristiques de la comete Churry · rmax : aphelie, distance au plus loin du Soleil : 5,70 ua · rmin : perihelie, distance au plus pres du Soleil : 1,30 ua · Taille caracteristique : 2000 m (albedo de 4%) · Periode de rotation autour de son axe principal : 12,6 h FIN DE L'EPREUVE Page 7/7