Mines Physique 2 PSI 2016

Thème de l'épreuve Mesures de champs magnétiques
Principaux outils utilisés mécanique du solide, électromagnétisme, électronique

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Rapport du jury

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A 2016 - PHYSIQUE II PSI

CONCOURS
COMMUN

MINES
PONTS

Ecole des PONTS ParisTech,
ISAE-SUPAERO, ENSTA ParisTech,
TELECOM ParisTech, MINES ParisTech,
MINES Saint-Etienne, MINES Nancy,
TELECOM Bretagne, ENSAE ParisTech (Filiere MP).

CONCOURS 2016
SECONDE EPREUVE DE PHYSIQUE
(Duree de l'epreuve: 4 heures)
L'usage de l'ordinateur ou de la calculatrice est autorise.
Sujet mis a la disposition des concours :
Concours Commun TPE/EIVP, Concours Mines-Telecom, Concours
Centrale-Supelec (Cycle international).
Les candidats sont pries de mentionner de facon apparente
sur la premiere page de la copie :
PHYSIQUE II - PSI
L'enonce de cette epreuve comporte 7 pages de texte.

Si, au cours de l'epreuve, un candidat repere ce qui lui semble etre une erreur 
d'enonce, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il est
amene a prendre.

Mesures de champs magnetiques

Mesures de champs magnetiques
Dans ce probleme sont abordees quelques methodes de mesure de champs 
magnetiques, permanents ou eventuellement lentement variables dans le temps. 
Les vecteurs seront tradition~ pour le champ magnetique ; sauf s'ils sont
nellement surmontes d'une fleche, par exemple B
unitaires et seront alors surmontes d'un chapeau, par exemple u
b tel que kb
uk = 1. Le referentiel
terrestre sera considere comme galileen. On rappelle que µ0 = 4 × 10-7 H · m-1 .

I. -- La balance de Cotton
La photo d'un modele de balance de Cotton est
placee ci-contre. Ce type de balance, destinee a
la mesure de champ magnetique, a ete mis au
point par Aime Cotton en 1900. Elle est constituee de deux fleaux. L'un, a 
gauche, comprend
sur sa peripherie, un conducteur metallique qui
sera parcouru par un courant et dont une partie sera placee dans le champ 
magnetique, uniforme et permanent, a mesurer. Le conducteur
sera soumis a des forces de Laplace et la balance
penchera du cote de ce fleau. L'autre comporte
un plateau sur lequel on peut deposer des masses marquees pour equilibrer la 
balance et deduire
ainsi la norme du champ magnetique. Le schema de principe de la balance est 
represente sur
la figure 1.
A2

U
A5

i

~g

R
i

i
A1

A3

C

A4
~
B

Zone dans laquelle le
champ magnétique
est appliqué

D

Contrepoids

Axe de
A6
rotation
ubz
(O) ubx

uy
b
Plateau

Figure 1 ­ Schema de principe de la balance
Sur le fleau dessine a gauche, les conducteurs permettent le passage d'un 
courant d'intensite
i, selon le parcours A1  A2  A3  A4  A5  A6 . Les portions de circuit A2 A3 et 
A4 A5
sont des arcs de cercle de meme centre O. L'ensemble des deux fleaux constitue 
un systeme
rigide, mobile sans frottement, autour d'un axe horizontal passant par le point 
O et note Oz.
On designe par C le milieu du segment A3 A4 et D le point de suspension du 
plateau. On note d1
la distance OC entre les points O et C, d2 la distance OD entre les points O et 
D et  la
longueur du segment A3 A4 .
Page 2/7

Physique II, annee 2016 -- filiere PSI

La procedure de mesure est la suivante :
1. Equilibrage  a vide  : en l'absence de courant i et de masses marquees dans 
le plateau,
le contrepoids C est deplace de facon a ce que la balance soit a l'equilibre, 
les trois points
C, O et D etant alignes sur l'horizontale.
2. Mesure du champ : on ferme le circuit electrique, ce qui permet au courant 
d'intensite
i de circuler  dans la balance , le fleau de gauche penche vers le bas ; on 
ajoute alors
des masses dans le plateau jusqu'a ce que la balance soit a l'equilibre, les 
trois points C,
O et D etant alignes sur l'horizontale.
1 -- Montrer que, lorsque l'equilibrage a vide est realise, le centre de masse, 
G, des parties
mobiles de la balance est situe en O.
2 -- Lorsque le courant circule  dans la balance , montrer que le moment 
resultant en O
des forces de Laplace s'exercant sur les parties en arc de cercle est nul.
3 -- A l'equilibre, en presence de courant et de champ magnetique, etablir 
l'expression du
~ , la somme m des
moment en O des forces de Laplace. En deduire la relation liant B = B
masses marquees posees sur le plateau, i, , d1 , d2 et le module g du champ de 
pesanteur ~g .
4 -- La sensibilite de la balance etant de m = 0,05 g, determiner la plus 
petite valeur de
B mesurable pour i = 10 A, g = 10 m · s-2 ,  = 5 cm et d1 = d2 = 10 cm. En 
comparant cette
valeur avec une ou des references connues, conclure quant a l'utilisabilite de 
la balance.
FIN DE LA PARTIE I

II. -- Utilisation d'une boussole
II.A. -- Etude generale

G

Dans cette partie on utilise une boussole constituee d'une
Figure 2 ­ La Boussole
aiguille aimantee mobile, presentant un axe de symetrie
longitudinal. Cette aiguille peut pivoter sans frottement autour d'un axe 
passant par son centre
de masse G et perpendiculaire a l'axe de symetrie. La liaison avec l'axe est du 
type  pivot
parfait  sans frottement. Cette aiguille aimantee se comporte comme un dipole 
magnetique de
moment magnetique M~m ayant la direction de l'axe de symetrie de celle-ci.
~ permanent et localement uniforme
Cette boussole est placee dans un champ magnetique B,
(il est considere comme uniforme tout le long de l'aiguille aimantee). Les 
forces magnetiques
~ On note J le moment d'inertie de l'aiguille
soumettent la boussole a un couple ~ = M~m  B.
aimantee par rapport a l'axe de rotation. Dans un premier temps nous allons 
etudier les petits
mouvements de l'aiguille autour de sa position d'equilibre stable, en 
negligeant les frottements
fluides dus a l'air. Le champ magnetique et l'axe de symetrie de l'aiguille 
sont dans un plan
~ et celle de M~m .
horizontal. On appelle  l'angle entre la direction de B
5 -- Apres avoir exprime le couple des forces magnetiques s'exercant sur 
l'aiguille en fonc~ , Mm = M~m et , etablir l'equation
tion des parametres du probleme que sont B = B
differentielle dont  est solution. En deduire les positions d'equilibres de 
l'aiguille, et indiquer
sans calcul l'equilibre stable. En supposant   1, donner l'expression de  (t) 
en notant 0 la
Mm
et en supposant que
valeur maximale de cet angle, en faisant apparaitre le rapport  =
J
d
= 0 rad · s-1 .
dt t=0
Page 3/7

Tournez la page S.V.P.

Mesures de champs magnetiques

On cherche a mesurer le rapport . Pour cela on mesure la periode des peI
I
tites oscillations de l'aiguille aimantee placee dans un champ magnetique
uniforme connu, cree par des bobines de Helmholtz.
Les bobines de Helmholtz sont constitues de deux bobines plates, c'est-a- x
O
dire d'epaisseurs negligeables, identiques et equidistantes. Chacune d'entre
elles comprend N spires circulaires de rayon R, parcourues par le meme R
d
courant d'intensite I et dont le sens est indique sur la figure 3. Ces deux
bobines sont distantes de d = R. L'axe Ox de revolution des spires a
pour origine le point O tel que les bobines soient equidistantes de celui-ci.
Fig. 3 ­ Bobines
On montre qu'en un point M situe a l'abscisse x, sur l'axe Ox, le champ
de Helmholtz
~ (x) cree par les bobines s'ecrit
magnetique B

"

2 #-3/2 "
2 #-3/2 

x
1
1
x
~ (x) = N B
~0
-
+ 1+
+
1+
B

R 2
R 2

~ 0 s'exprime en fonction de µ0 , R et I. Par comparaison avec
6 -- La quantite B0 = B
d'autres champs magnetiques, choisir en justifiant precisement ce choix, 
l'expression de B0
parmi les suivantes :
B0 =

µ0 I
2R

B0 =

µ0 R
2I

B0 =

µ0 IR
2

B0 =

IR
2µ0

7 -- Les bobines ont un rayon R = 15 cm. On donne le developpement limite 
suivant
"

1
1+ X ±
2

2 #-3/2

! 4
6
32 3 144 4
8
X +o X
=  1 X ± X -
5
25
125
5 5

Dans quelle zone situee sur l'axe Ox, peut-on considerer que la variation 
relative de la norme
du champ est inferieure a 2% ? Preciser la valeur numerique de cette norme 
sachant que N = 50
spires et I = 4 A ?
8 -- La valeur mesuree de la periode des petites oscillations de l'aiguille 
aimantee est
T = 0,30 s. Determiner l'unite et calculer la valeur numerique du rapport  pour 
cette boussole.

II.B. -- Applications au champ magnetique terrestre
On se place a Paris dont l'altitude (42 m) est negligeable devant le rayon 
terrestre RT =
6 400 km, la longitude est  = 2 21 et la latitude  = 48 52 nord. On rappelle 
que la latitude
est l'angle entre le plan de l'equateur et le rayon terrestre passant par le 
point considere. On
effectue deux mesures avec la boussole precedemment calibree :
-- Quand l'axe de la boussole est vertical, la periode des petites oscillations 
est de T =
2,31 s.
-- Quand l'axe de la boussole est horizontal, a l'equilibre, et que l'axe de 
symetrie de l'aiguille aimantee est dirige selon le champ magnetique local vers 
le pole nord magnetique
terrestre, l'aiguille fait un angle i = 64 0 avec l'horizontale locale.
On suppose que le champ magnetique terrestre est celui d'un dipole magnetique 
de moment
M~T place au centre de la terre, dont la direction est celle d'un axe (O,b
uz ) passant par les deux
poles magnetiques et oriente du nord vers le sud.
On indique qu'un dipole magnetique situe en l'origine O du referentiel 
considere, d'axe (O,b
uz )
et de moment M~ = M u
bz , cree en un point M eloigne de O et de coordonnees spheriques
Page 4/7

Physique II, annee 2016 -- filiere PSI

(r,,) un champ magnetique
µ0 M
~
(2 cos  u
br + sin  u
b ) .
B(M
)=
4r3
Dans le systeme de coordonnees spheriques adapte a la geometrie du champ 
magnetique terrestre, l'angle  = 0 indique la direction du pole sud magnetique 
et  correspond a une longitude.
~
9 -- Apres avoir fait un schema representant M~T ainsi que le vecteur B(M
), les angles i
et  si le point M est la ville de Paris, deduire des mesures effectuees la 
coordonnee  de cette
ville. Que peut-on en conclure concernant l'axe de symetrie du champ magnetique 
terrestre et
l'axe de rotation de la terre ?
10 -- En indiquant les arguments utilises, deduire des mesures effectuees et du 
resultat de
la question 8, l'intensite du champ magnetique terrestre a Paris. Calculer 
alors MT = M~T .
FIN DE LA PARTIE II

III. -- Utilisation d'une sonde a effet Hall
L'element principal d'une sonde a effet Hall
est une plaquette constituee d'un semi-conducteur, dope N, dans laquelle les 
porteurs
de charges libres sont des electrons, dont
la charge est q = -e = -1,6 × 10-19 C.

uy
b
ubx
ubz

2

1
a

La densite volumique de ces electrons dans
cette plaquette est n = 3,30 × 1018 m-3 .

Cette plaquette possede la forme d'un pac
4
rallelepipede, dont les six faces sont nume6
b
rotees conformement a la figure 4, ses diFigure 4 ­ Plaquette de semi-conducteur
mensions sont a = 3 mm, b = 6 mm et c =
0,2 mm. Les faces 1 et 3 sont reliees aux
bornes d'une source de courant ideale, delivrant un courant d'intensite I0 = 10 
mA constante.
En regime permanent, on peut considerer que les lignes de courant sont 
rectilignes et paralleles,
le vecteur densite volumique de courant est uniforme et s'ecrit ~j = j u
bx .
11 -- Etablir l'expression de la vitesse ~v des porteurs de charge et calculer 
sa norme.
La plaquette est placee dans une zone de l'espace ou regne un champ magnetique 
considere
~ =Bu
comme constant, tel que B
by avec B > 0.
12 -- Apres avoir exprime la force magnetique s'exercant sur une charge mobile, 
justifier
que des densites surfaciques de charge apparaissent sur les faces 2 et 4. On 
precisera les signes
de ces densites.
Ces densites surfaciques de charges creent un champ electrique E~h = Eh u
bz au sein de la
plaquette. En regime permanent, la vitesse des porteurs de charge reste 
inchangee.
13 -- En appliquant le principe fondamental de la mecanique a un porteur de 
charge
en projection sur u
bz , determiner l'expression de Eh . Montrer qu'il apparait une difference de
potentiel uh = V4 - V2 entre les faces 4 et 2. Celle-ci est appelee tension de 
Hall, on l'ecrira
sous la forme uh = B en precisant l'expression et la valeur numerique de la 
constante .
Page 5/7

Tournez la page S.V.P.

Mesures de champs magnetiques

La creation de la source de courant necessite un cirR
e
s
A
cuit electronique de commande. Les tensions de Hall
etant souvent tres faibles, on doit les amplifier a l'aide
c
d'un circuit electronique de mesure. Le circuit de comIc
mande comprend un circuit integre, nomme regulateur
Vcc
de tension, ayant trois broches, notees : e (entree), s
M
(sortie) et c (commun). La tension u = Vs - Vc est
constante et sa valeur est fixee a u = 5 V. La tension Figure 5 ­ Source de 
courant ideale
d'alimentation est Vcc = 9V . L'intensite Ic du courant entrant en c, est 
controlee a la valeur
Ic = 10 nA. Le dipole AM ainsi realise est represente sur la figure 5.
14 -- Pour quelle valeur de la resistance R le dipole AM se comporte-t-il comme 
une source
de courant ideale, delivrant un courant I0 = 10 mA ?
Le premier amplificateur de mesure que l'on pourrait envisager
pourrait etre constitue d'un amplificateur lineaire integre (ALI)
ideal utilise en montage non inverseur conformement a la figure
6. L'entree e+ est reliee a la face 4, la masse M est reliee a la
face 2.

e+

+
¡

ue

R0

us

R
15 -- Montrer que l'utilisation du montage de la figure 6
associe a celui de la figure 5 peut poser des problemes de reference M
de potentiel.
Figure 6 ­ Montage non
On modifie le circuit de mesure en utilisant un amplificateur inverseur
differentiel represente sur la figure 7, qui utilise un ALI, suppose
ideal et en fonctionnement lineaire. Les courants sur les deux
entrees sont nuls et ses deux entrees sont au meme potentiel.
16 -- Montrer que le probleme rencontre a la question 15 est resolu par 
l'utilisation d'un
amplificateur differentiel. Etablir la relation entre us et uh = V4 - V2 . A 
quelle condition sur
R2 et R1 la tension de Hall est elle amplifiee ?
R2
17 -- Etablir l'expression de la resistance d'entree
sur la face 4. Quel probleme pose le resultat obtenu ?

R1

Face 2

¡
Face 4

V2

Afin de pallier ce probleme, on utilise le montage de la
figure 6 dans un cas limite.

+

R1

us

18 -- Etablir l'expression de la resistance d'entree
et du gain en tension A = uues pour le montage de la
figure 6.

Figure 7 ­ Amplificateur differentiel

19 -- Dans quelle limite peut-on se placer en ce
qui concerne les valeurs de R et de R pour resoudre le
probleme souleve a la question 17. Comment s'appelle
le montage de la figure 6 dans cette limite.

V4

R2

20 -- Representer le montage complet incluant la
plaquette semi-conductrice et l'electronique qui permet la mesure de la 
composante horizontale
du champ magnetique terrestre. On placera cette composante sur la figure qui 
utilisera entre
autres 5 resistances et 3 ALI.
Page 6/7

Physique II, annee 2016 -- filiere PSI

21 -- On choisit R1 = 100  et R2 = 1 k. On obtient alors us = 20,0 mV, quelle 
est la
valeur de cette composante ?
~ 0 cree par le courant
On veut maintenant verifier l'influence du champ magnetique propre B
I0 . Pour cela on adopte un modele simplifie dans lequel la plaquette est 
supposee infiniment
longue dans les directions u
bx et u
bz uniquement. Le semi-conducteur est suppose avoir la meme
permeabilite µ0 que le vide.
~ 0 ainsi que les variables spatiales du
22 -- Determiner, dans ce modele, la direction de B

probleme dont ce champ ne depend pas. A l'interieur de la plaquette ou la 
variable y  - 2c , 2c ,
~ 0 sont solutions. En deduire
ecrire la ou les equations differentielles dont les composantes de B
~ 0 . Calculer la valeur maximale de la norme de ce champ. Dans la mesure du
l'expression de B
~0 ?
champ terrestre, pouvait-on negliger l'influence de B
FIN DE LA PARTIE III

IV. -- Utilisation d'une magnetoresistance
On considere un conducteur electrique se presentant sous la forme d'une 
couronne cylindrique
d'axe Oz, de hauteur h, delimitee par un cylindre interieur de rayon r1 et par 
un cylindre
exterieur de rayon r2 . A l'aide d'une source de tension on impose les 
potentiels V (r1 ) = V1 et
V (r2 ) = V2 . On se place en regime permanent et on neglige les effets de 
bord, ce qui revient a
supposer que le comportement de cette couronne est le meme que si elle etait 
infiniment haute.
L'existence de deux equipotentielles cylindriques permet d'emettre l'hypothese 
que le potentiel
ne depend que de r, ainsi

1 d
dV
dV
~
V = V (r) , V (r) =
u
br .
r
et gradV
(r) =
r dr
dr
dr

23 -- Le conducteur est globalement non charge, verifier que l'hypothese V = V 
(r) est la
seule possible. Determiner le potentiel electrique en un point M de ce 
conducteur. En deduire
~ en ce meme point en fonction de V1 , V2 , r1 , r2 et r.
l'intensite E du champ electrique E

~ = Bu
La couronne cylindrique est placee dans un champ magnetique B
bz avec B > 0. Le
3
conducteur contient n electrons libres par m . On considere de plus le modele 
de Drude dans
lequel chaque electron de vitesse ~v est soumis, en plus des forces 
electromagnetiques, a une
force de frottement s'exprimant sous la forme F~ = -~v avec  > 0.
~ et E
~
24 -- Pour chaque electron, etablir, en regime permanent, la relation entre ~v 
, B
parametree par  et la charge elementaire e. En deduire l'expression, dans la 
base cylindrique
(b
ur ,b
u ,b
uz ), des coordonnees de ~v en fonction de e, , E et B puis celles du vecteur 
densite
volumique de courant ~j.
25 -- Exprimer l'intensite du courant electrique traversant une surface 
equipotentielle de
rayon r. En deduire la resistance electrique R de la couronne, en fonction de 
e, n, , B, h, r1 et r2 .
0
en
On note R0 la resistance en l'absence de champ magnetique. Exprimer l'ecart 
relatif  = R-R
R0
fonction de e, B et . Calculer la valeur numerique de R0 ainsi que celle de  
pour B = 1,0 mT,
r1 = 1,0 mm, r2 = 3,0 mm, h = 1,0 mm, n = 1,1 × 1021 m-3 et  = 1,8 × 10-17 kg · 
s-1 .
Commenter l'utilisation du phenomene pour la mesure de champs magnetiques.
FIN DE LA PARTIE IV
FIN DE L'EPREUVE
Page 7/7

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Mines Physique 2 PSI 2016 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Guillaume Maimbourg (Agrégé de physique) ; il a été
relu par Cyril Jean (ENS Ulm) et Tom Morel (Professeur en CPGE).

Ce sujet présente différentes méthodes de mesure d'un champ magnétique 
statique. Il comporte quatre parties totalement indépendantes.
· La première partie, facile et bien guidée, propose l'étude de la balance de 
Cotton, dispositif de mesure du champ magnétique par évaluation de la force 
exercée sur un fil traversé par un courant. Une bonne maîtrise de la mécanique 
des
solides et en particulier du théorème du moment cinétique est requise. Cette
partie permettait également de tester la capacité des candidats à utiliser la
force de Laplace.
· La deuxième partie, la plus difficile, étudie une boussole. Elle est divisée 
en
deux sous-parties. La première, calculatoire, s'intéresse au comportement d'une
boussole, modélisée par un moment magnétique permanent, placée au centre de
bobines de Helmholtz. La seconde cherche la direction et l'intensité du champ
magnétique terrestre local à Paris. La difficulté réside principalement dans une
bonne compréhension de l'énoncé afin d'effectuer un schéma clair de la 
situation. Ensuite, la résolution est directe.
· La troisième partie, la plus longue, étudie dans un premier temps l'effet Hall
et son intérêt dans la mesure d'un champ magnétique. Ensuite, l'intégration
électronique du capteur est étudiée. Certaines questions sont délicates et il 
faut
bien maîtriser les chapitres portant sur les amplificateurs linéaires intégrés.
· La dernière partie propose enfin l'étude de l'effet magnétorésistif et de son
application à la mesure d'un champ magnétique. Un cylindre creux est traversé
par un courant de sa face interne vers sa face externe, tandis qu'un champ
magnétique est appliqué dans l'axe du cylindre. On montre que la résistance
du matériau est modifiée par le champ magnétique.
L'énoncé est long et parfois difficile. Cependant, l'indépendance totale entre 
les
parties offrait aux candidats de nombreux points d'entrée dans le sujet. Il 
permet
par ailleurs d'aborder de nombreux aspects du cours de physique tels que 
l'électromagnétisme, la mécanique et l'électronique.

Indications
Partie I
1 Montrer que G est situé à la verticale de O.
3 Se placer sur une section élémentaire du segment [A3 A4 ] pour calculer la 
force de
Laplace locale puis intégrer sur tout ce segment.
Partie II
5 Une position d'équilibre stable correspond à un minimum d'énergie 
potentielle. Par
ailleurs, l'énergie potentielle associée à cette interaction magnétique s'écrit
-- -

E p = - Mm · B
6 Utiliser la formule du champ magnétique à l'intérieur d'un solénoïde infini.
9 L'équateur est défini comme l'intersection de la surface de la Terre avec le 
plan
perpendiculaire à son axe de rotation. Il n'est donc pas orthogonal au moment
magnétique terrestre.
Partie III
17 La résistance d'entrée est par définition le rapport entre la tension et le 
courant
à l'entrée du composant.
19 Montrer qu'un suiveur est le montage le plus simple pour résoudre le problème
introduit par la question 17.
20 L'amplificateur différentiel doit être précédé par deux montages suiveurs 
afin que
sa résistance d'entrée soit infinie.
21 Utiliser les invariances et symétries du problème afin de simplifier 
l'expression de
-

B0 . Appliquer ensuite l'équation de Maxwell-Ampère afin de déterminer l'expres-

sion de B en fonction de -
.
0

Partie IV
23 Montrer que le problème est invariant par rotation et translation selon 
l'axe de
révolution du cylindre.
25 La résistance de la couronne cylindrique est définie comme le rapport entre 
la
différence de potentiel V2 - V1 et l'intensité I traversant le conducteur.

Mesures de champs magnétiques
I. La balance de Cotton
1 Notons (S) la partie mobile de la balance. À vide, deux forces s'appliquent 
sur le
système (S) :
· l'action de contact de l'axe sur (S) modélisée par une liaison pivot parfait 
(car
sans frottement) ;

-
· le poids P qui s'applique en G.
Appliquons le théorème du moment cinétique sur (S) au point O. Le système est
à l'équilibre, ce qui implique que la somme des moments des forces s'annule. Par
ailleurs, la liaison pivot étant parfaite, son moment associé est nul en O. Si 
bien que
le moment du poids doit être nul également.
-- -

-- -

MO ( P ) = OG  P = 0
Par conséquent,

G est situé sur la verticale passant par O.

La situation proposée par l'énoncé ne permet pas de démontrer que le barycentre 
G est situé exactement en O. En effet l'équilibre est réalisé (absence de
moment mécanique en O du au poids de l'objet) à la condition que le vecteur
--
OG soit colinéaire au poids. Il est même d'usage afin d'assurer la stabilité de
l'équilibre que le barycentre des masses soit situé en dessous de l'axe. Cette
considération n'est pas importante pour la suite du sujet, puisque la balance
est toujours considérée à l'équilibre. Par conséquent, le moment du poids des
parties mobiles n'intervient pas dans les calculs suivants.
, -
 -

2 Introduisons le repère polaire (-
u
r u , uz ) et le point M(r, , z) situé sur les parties
en arc de cercle.
A3
i
-

u
r
-

u

-
d

A4

-
ux

(O)
-

u
z

-

u
y

-
-

Évaluons alors la force de Laplace élémentaire dFL sur une section d  de l'arc 
de
cercle [A4 A5 ] de rayon r = d1 - l/2, orienté dans le sens du courant 
d'intensité i :

-
 -
-
-

soit
dFL = i d   B = -iB rd -
u
d  = -r d -
u

r
Calculons alors le moment associé au point O.

-- -

  (-iB rd -
) = -
MO (dFL ) = r-
u
u
0
r
r
Une démonstration équivalente permet de montrer que ce moment est également nul
sur l'arc de cercle [A2 A3 ].
Le moment des forces de Laplace sur les parties en arc de cercle est nul.

-
 un élément de
3 Notons N un point situé sur le segment [A3 A4 ] et d  = -dr -
u
r
longueur infinitésimale centré sur N et orienté dans le sens du courant 
d'intensité i.
La force de Laplace élémentaire sur cette section s'écrit
 -
-
-

dFL = i d   B = iB dr -
u

Le moment élémentaire associé vaut
-- -

  (iB dr -
) = iB rdr -

MO (dFL ) = r-
u
u
u
r

z
Intégrons ces moments élémentaires sur le segment [A3 A4 ] pour obtenir la 
résultante
Z d1 +/2
-- -

MO (FL ) = iB
rdr -
u
z
d1 -/2

= iB

(d1 + /2)2
(d1 - /2)2
-
2
2

-

u
z

-- -

MO (FL ) = iB d1  -
u
z
Pour conserver l'équilibre mécanique des parties mobiles, ce moment doit être
-
compensé par celui associé à la force Paj , créée par les masses ajoutées en D. 
Lorsque
-
la balance est à l'équilibre, OD = -d -
u. Le moment du poids s'écrit donc
2 x

-- -
-
) = -d mg -

MO (Paj ) = OD  (mg -
u
u
y
2
z
L'équilibre est maintenu à la condition
-- -

-- -

-
MO (FL ) + MO (Paj ) = 0
D'où

B=

d2 mg
i d1 

4 Évaluons le champ magnétique B associé une variation de masse  m = 0,05 g.
Cette valeur correspond à la plus petite valeur du champ magnétique mesurable.
B =

d2  m g
= 1 mT
i d1 

Comparons cette valeur à quelques valeurs typiques de champs magnétiques. Le
champ terrestre vaut environ 50 µT, le champ induit par un aimant est de 
l'ordre de
100 mT et le champ associé à une bobine peut aller de 1 T (bobine classique 
disponible en salle de travaux pratiques) à plus de 10 T (bobine 
supraconductrice utilisée
par exemple pour générer le champ magnétique nécessaire à un appareil d'imagerie
par résonance magnétique). Par conséquent, cette balance est utilisable pour
la mesure de champ magnétique supérieur à 1 mT. Il est en revanche
impossible de mesurer ainsi le champ magnétique terrestre.