Mines Physique 2 PSI 2015

Thème de l'épreuve Machines à écoulement permanent
Principaux outils utilisés thermodynamique générale, mécanique des fluides
Mots clefs machine thermique, liquéfaction, conversion d'énergie mécanique, compresseur, échangeur, diagramme enthalpique

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Rapport du jury

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ECOLE DES PONTS PARISTECH
SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH,
TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH,
MINES DE SAINT­ETIENNE, MINES DE NANCY,
TELECOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIERE MP)
ECOLE POLYTECHNIQUE (FILIERE TSI)
CONCOURS D'ADMISSION 2015
SECONDE EPREUVE DE PHYSIQUE
Filiere PSI
(Duree de l'epreuve: 4 heures)
L'usage de la calculatrice est autorise
Sujet mis a disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM 
INT, TPE­EIVP

Les candidats sont pries de mentionner de facon apparente sur la premiere page 
de la copie :
PHYSIQUE II -- PSI.
L'enonce de cette epreuve comporte 7 pages.
-- Si, au cours de l'epreuve, un candidat repere ce qui lui semble etre une 
erreur d'enonce, il est
invite a le signaler sur sa copie et a poursuivre sa composition en expliquant 
les raisons des
initiatives qu'il aura ete amene a prendre.
-- Il ne faudra pas hesiter a formuler les commentaires (incluant des 
considerations numeriques)
qui vous sembleront pertinents, meme lorsque l'enonce ne le demande pas 
explicitement. Le
bareme tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualites de redaction de 
la copie.

MACHINES A ECOULEMENT PERMANENT
Ce sujet traite de deux problemes relatifs a des ecoulements permanents de 
fluides, sous les
aspects dynamique et thermodynamique. L'enonce de cette epreuve comporte donc 
deux parties
I et II, qui sont totalement independantes et peuvent etre traitees separement.

I. -- Dimensionnement d'une installation de liquefaction
Dans ce probleme, on se propose de dimensionner une installation de production 
en continu de
diazote N2 liquide, fonctionnant en regime permanent (procede Linde). Le schema 
de principe
de l'installation est propose sur la figure 1. Le probleme debute par une 
description complete de
l'installation ; les reponses aux questions exigent la prise en compte de 
l'ensemble des donnees
decrivant l'installation ainsi que du diagramme enthalpique du diazote fourni 
en annexe.
Du diazote gazeux entre en continu dans la machine avec un debit massique Dm , 
dans les
conditions pE = 1 bar, TE = 300 K. Il atteint un melangeur ou on le melange 
avec du diazote
gazeux de debit D dans les memes conditions pE , TE . En sortie du melangeur (M 
), le debit
massique de diazote gazeux est donc D = Dm + D , toujours dans les conditions 
(pE , TE ).
Apres passage par le melangeur, le diazote traverse une serie d'etages de 
compression ; chacun
de ces etages est constitue d'un compresseur adiabatique (C) suivi d'un 
refrigerant isobare
(R) a circulation d'eau froide ; en sortie du refrigerant, le diazote gazeux 
est ramene a une
temperature de sortie egale a TE .
sortie
Les N etages compresseur­refrigerant sont identiques ; ainsi le rapport de 
compression r = ppentree
est le meme pour chacun des N compresseurs. Apres la traversee du dispositif, 
le diazote atteint
donc le point A a la pression pA = rN pE = 100 bar, a la temperature TA = TE = 
300 K.

Machines a ecoulement permanent

Dm (M )
(C)

(C)

(C)

(R)

D

(R)

(R) D

E

A
(E)
B
D

D

(V )

C

D
diazote gazeux

Dm

sortie du liquide

diazote liquide

Figure 1 ­ Schema de principe d'une installation de liquefaction de diazote
L'eau liquide utilisee dans chacun des refrigerants circule a la pression 
constante de 1 bar ;
la temperature de l'eau a l'entree du dispositif de refroidissement est Te = 
280 K. On note
ce = 4, 19 kJ · kg-1 · K-1 la capacite thermique massique de l'eau liquide, 
consideree comme une
constante.
Le diazote gazeux aborde entre A et B un echangeur thermique a contre-courant 
le long duquel
il subit un refroidissement isobare ; a sa sortie, le fluide est dans l'etat pB 
= pA = 100 bar, TB .
Ce refroidissement est suivi d'une detente isenthalpique dans une vanne de 
detente (V ).
A la sortie du robinet, le diazote est au point C : c'est un melange 
liquide­vapeur dont la
fraction massique de liquide est notee x, a la pression atmospherique pC = pE = 
1 bar, et a
la temperature TC = Teb (pC ) = 77 K. A cette temperature, la densite du 
diazote liquide est
d = 0, 81.
La fraction massique x de diazote liquefie est faible, on extrait seulement du 
reservoir un debit
massique modeste Dm de diazote liquide dans les conditions (pC , TC ) ; le 
diazote gazeux recycle
est renvoye, avec un debit massique D , vers l'echangeur (E). Ce courant du 
diazote gazeux
entre dans (E) aux conditions pD = 1 bar, TD = 77 K.
Dans l'echangeur (E), le diazote se rechauffe a pression constante et arrive au 
point E dans les
conditions pE = 1 bar, TE = 300 K, avant d'etre renvoye vers le melangeur.
Pour des raisons techniques, on impose deux limites de fonctionnement :
-- la temperature du diazote ne doit, en aucun point du dispositif, depasser 
Tmax = 400 K ;

-- la temperature de l'eau de refroidissement ne doit pas depasser Tmax
= 350 K en sortie
des refrigerants (R).
Le diazote gazeux est diatomique, sa masse molaire vaut M = 28, 0 × 10-3 kg · 
mol-1 . On
notera hK son enthalpie massique en un point K du schema de la figure 1.
La constante molaire des gaz parfaits est R = 8, 31 J · K-1 · mol-1 .

Page 2/7

Physique H, année 2015 -- filière PSI

I.A. -- Dimensionnement des étages de compression

Dans cette seule partie I.A le diazote est assimilé a un gaz parfait.

Ü 1 -- Que vaut le rapport v : Clg/Cv des capacités thermiques du diazote ? On 
admet que
les compresseurs fonctionnent de manière réversible. Déterminer et calculer la 
valeur minimale
de N compatible avec les exigences décrites ci--dessus. On adoptera cette 
valeur dans la suite.

Ü 2 -- Si on prenait en compte le caractère irréversible du fonctionnement des 
compresseurs
sans changer la valeur de 7°, faudrait--il augmenter ou diminuer N ? On 
justifiera la réponse.

Ü 3 -- On note Deau le débit massique du courant d'eau liquide circulant dans 
chaque

eau

réfrigérant (R). Déterminer l'expression et calculer la valeur minimale du 
rapport com--

patible avec les exigences ci--dessus.

I.B. -- Diagramme enthalpique du diazote

Dans cette partie IE et la suivante I.O, le diazote n'est plus assimilé a un 
gaz parfait. La figure
5 fournie en annexe, représente le diagramme enthalpique du diazote sous la 
forme d'un réseau
de courbes.

Ü 4 -- Identifier la grandeur conservée le long de la courbe (fil. En 
justifiant votre réponse,
déterminer l'asymptote de cette courbe a basse pression.

Ü 5 -- Identifier la grandeur conservée le long de la courbe %2. Justifier le 
sens de variation
de cette courbe.

Ü 6 -- Identifier et nommer les états possibles du diazote sur la courbe (fig.

Ü 7 -- Identifier la grandeur conservée le long de la courbe (54. On considère 
la transformation
amenant le diazote de l'état représenté par le point M1 a celui représenté par 
le point M2 suivant
le segment [M1M2]. Décrire l'état du diazote en M.

I.C. -- Dimensionnement de l'échangeur (E)

Ü 8 -- Exprimer hc en fonction de a: et des enthalpies massiques du diazote 
liquide et gazeux,
notées hhq et h...p, dans le réservoir.

Ü 9 -- Le réservoir utilisé en sortie de l'appareil fonctionne aussi en régime 
permanent ; relier
a:, D et D... puis a:, D' et D.

Ü 10 -- Par un bilan que l'on précisera pour le fonctionnement de (E), 
déterminer a: en
fonction de hA, ME et hhq.

Ü 11 -- En exploitant le diagramme enthalpique du diazote fourni en annexe, 
déterminer les
valeurs de hA, ÎLE, hhq et h...p. Evaluer a: avec 2 chiffres significatifs. 
Quelle valeur aurait--on
obtenue en considérant que le diazote gazeux vérifie la loi des gaz parfaits ?

Ü 12 -- Reproduire sommairement le diagramme enthalpique du diazote en y 
faisant figurer
la courbe %3 et l'isobare a la pression du point B du dispositif. En déduire la 
valeur de la
température et l'état du diazote en ce point.

Page 3/7 Tournez la page S.V.P.

Ü 13 -- La production de dia--
zote liquide s'effectue avec un
débit D... = 3,0 >< 10_2 kg -
s_1. Dans le cadre du modèle
du gaz parfait, évaluer la puis--
sance mécanique qui est néces--
saire au fonctionnement de l'en--
semble des N compresseurs (C )
Comparer votre résultat a la ci--
tation suivante, publiée lors de

l'exposition universelle de 1900 :

Nous avons immédiatement dé--
crit le principe de l'appareil de
M. le Dr. Carl Linde; quelques
mois plus tard, M. le Dr. d 'Ar--
sonual faisait installer dans son

Machines & écoulement permanent

laboratoire du Collège de France une petite machine de 3 chevaua: destinée a 
fournir un litre
d'air liquide par heure. L'illustration ci--dessus accompagnait l'article cité.

On notera que 3,0 hp : 2, 2 kW; hp est le symbole de l'unité << cheval--vapeur 
>>.

FIN DE LA PARTIE I

II. -- Roue--vanne de Sagebien

Ce problème décrit le principe d'une roue-vanne utilisée pour les moulins a eau 
de forte puis--
sance depuis son invention au XIXe siècle par ALPHONSE SAGEBIEN.

..:-

.n-F

FIGURE 2 -- Schéma historique d'une roue Sagebien

Page 4/7

Physique U, année 2015 -- filière PS]

Les roues Sagebien construites a la fin du XIXEUR siècle ont atteint des 
rendements supérieurs a
ceux des meilleures turbines, dépassant régulièrement les 80%. La figure 2 
présente un schéma
historique de roue--vanne de Sagebien, montrant le dispositif d'obturation du 
canal d'entrée,
permettant l'arrêt de la roue.

La roue--vanne de Sagebien est une roue étroite, a aubes et a rotation lente. 
L'eau y est amenée
par un canal fermé de telle sorte que la roue empêche l'écoulement de l'eau 
lorsqu'elle ne tourne
pas (dans un fonctionnement idéal, sans fuite).

La masse volumique de l'eau vaut p = 103 kg--m_3 ; la pression atmosphérique 
est po : 1 bar. Le
schéma de principe de la roue--vanne est présenté sur la figure 3. On notera 
Oa: l'axe (horizontal)
de rotation de la roue--vanne.

La vitesse de l'eau dans le canal d'arrivée est égale a celle de l'eau dans le 
canal de sortie;
on notera v cette vitesse et ?} sa norme. Le canal d'arrivée (amont) est situé 
a une hauteur
supérieure de H a celle du canal de sortie (aval). On choisira un axe Oz 
vertical ascendant de
sorte que l'altitude de la surface du canal d'entrée est ?: = O. L'accélération 
de la pesanteur est
notée g, de norme g. On notera ho la profondeur commune des canaux d'entrée et 
de sortie.

FIGURE 3 -- Roue--vanne de Sagebien

La roue comporte N pales rectangulaires, de faible épaisseur, régulièrement 
disposées entre
deux cylindres de rayons R et R' > H. La largeur de la roue 
(perpendiculairement au plan de
la figure 3) est égale a celle des canaux d'entrée et de sortie; on la notera 
d. Chacune des pales
est inclinée d'un faible angle oz par rapport au rayon de la roue.

Afin d'assurer un fonctionnement sans déperdition d'énergie, on
souhaite que la vitesse des diverses pales de la roue en contact
avec l'eau soit aussi proche que possible de la vitesse d'amenée
et de départ de l'eau.

A toutes fins utiles, on précise que le volume V de la section
d'angle 5 du tore a section rectangulaire représenté en gris sur

la figure 4 est donné par la relation V : %5c(b2 -- a2). FIGURE 4 -- TOTEUR à 
SGCËiOH
rectangulaire

Page 5/7 Tournez la page S.V.P.

Machines a écoulement permanent

II.A. -- Étude dynamique du mouvement de la roue-vanne.

Ü 14 -- Déterminer le débit massique D... d'eau qui traverse le dispositif. 
Expliciter la vitesse
angulaire au de la roue en fonction de u et des paramètres géométriques 
décrivant la roue--vanne.

Ü 15 -- Quelle relation faut--il imposer entre R, R' et ho pour que la vitesse 
@ de l'eau soit
égale a la vitesse moyenne des points d'une pale de la roue ? On se placera 
dans ce cas dans la
suite. Déterminer les valeurs de ho et R' si D... = 3, 6 >< 103 kg - s_1, ol : 
1, 40 m, R = 11,0 m
et u : 0,60m-s_1.

Ü 16 -- Déterminer les relations donnant les champs de pression en amont de la 
roue p1(z)
et en aval de celle--ci p2(z) en fonction des données.

Dans un modèle élémentaire, toutes les pales sauf une subissent la même 
répartition de pression
sur les deux faces de la pale, qu'il s'agisse de pa : pb : pc : p1(z) (pour les 
pales immergées
du côté amont) ou de pd : pEUR : pf : p2(z) (pour les pales immergées du côté 
aval). Ces pales
sont dites tnacttues.

La seule pale active subit sur l'une de ses faces le champ de pression pc : 
p1(z) et sur l'autre
le champ de pression pd : p2(z).

Ü 17 -- Déterminer la résultante des forces de pression exercées sur une pale 
inactive. Déterminer
la résultante des forces de pression exercées sur la pale active. Déterminer le 
moment M = M e,,
des forces de pression exercées sur l'ensemble de la roue.

Ü 18 -- Comment ce résultat est--il modifié si les diverses pales séparent la 
zone d'écoulement
en volumes a pression constante et régulièrement décalées : p1(z) : pa > pb > 
pC > pd > pEUR >
19 f : P2(Z)

Ü 19 -- Application numérique : on donne H = 3,0 m et g = 9, 80 m - s_2. 
Déterminer le
couple F exercé par la roue--vanne sur son axe de rotation.

Ü 20 -- Déduire de vos connaissances personnelles une évaluation de l'ordre de 
grandeur du
couple moteur nominal développé par une automobile courante, et le comparer a 
l'.
A titre documentaire, on rappelle qu'un << cheval--vapeur >> ou hp vaut 1 hp : 
O, 74 kW.

II.B. -- Bilans énergétiques de fonctionnement.

Ü 21 -- Quelle est la puissance 79 des forces mécaniques exercées sur la roue 
par l'eau?
Commenter l'ordre de grandeur obtenu.

On considère le système &" constitué par l'eau contenue entre deux sections 
droites du canal,
l'une située en amont de la roue et l'autre en aval.

Ü 22 -- Déduire d'un bilan d'énergie appliqué a .5" , l'expression de la 
puissance fournie par
l'eau a la roue.

Ü 23 -- Définir et calculer le rendement énergétique 77 de la roue. Commenter; 
préciser en
particulier les causes probables, a votre avis, d'une diminution du rendement 
effectif du dispo--
sitif.

Une roue--vanne a été construite par Alphonse Sagebten en 1867 pour 
l'alimentation de puis--
sance des pompes d'amenée d'eau au canal de l'Ourcq (par prélèvement dans le 
cours de la

Marne). Cette pompe est toujours en état de marche; son rendement pratique est 
estimé à
90%.

FIN DE LA PARTIE II

Page 6/7

L/L 939d

OE[ADOE[HdOE[JI OE[(I NIH

Pression [Bar]

}_\

50

Al

75

5=0,

11H) 125 150

0,2 0,4 06 0,8 1,0

a:=0,9 0,8 0,7 0,6

175 200

,2 1,
0,5 0,4

1,6

225

,8 2,
0,3 0,2

Enthalpie massique [kJ-kg"1 ]
250 275 300 325 350 375 400 425

\\

M2 _
272 274 T=-180 -160 -140 420 400 --80 --60

0,1

FIGURE 5 -- Diagramme enthalpique du diazote

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Mines Physique 2 PSI 2015 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Guillaume Maimbourg (ENS Cachan) ; il a été relu
par Vincent Freulon (Professeur en CPGE) et Emmanuel Bourgeois (Professeur en
CPGE).

Ce sujet comporte deux parties totalement indépendantes.
· La première partie, la plus longue, étudie le principe de fonctionnement d'une
machine à liquéfier de l'azote. Elle est divisée en trois sous-parties. La 
première vise à dimensionner l'étage de compression de l'azote, constitué de 
plusieurs sous-ensembles compresseurs-réfrigérants en série. La deuxième étudie 
un
diagramme enthalpique pour une transformation comportant un changement
d'état liquide-vapeur. Quant à la troisième, elle a pour objectif de 
dimensionner
l'échangeur thermique (E) à partir d'un raisonnement sur l'enthalpie. En 
particulier, le premier principe industriel est largement mis à profit dans 
cette étude.
· La seconde partie étudie par une approche mécanique une machine hydraulique : 
la roue-vanne de Sagebien. Cette partie est divisée en deux sous-parties.
La première détermine le couple exercé par l'eau sur l'arbre de la roue en 
faisant
le lien entre le débit et la vitesse de rotation de la roue, puis en 
explicitant la
force exercée par l'eau sur les pales afin de déterminer le moment des forces.
La dernière sous-partie permet enfin de comparer la puissance fournie par l'eau
à la roue à celle effectivement disponible sur l'axe de rotation. Il est alors 
possible d'établir le rendement mécanique du système.
La première partie est d'une difficulté raisonnable sous réserve d'avoir bien 
assimilé le cours de thermodynamique. La seconde comporte des questions 
délicates
pouvant conduire à des calculs lourds.

Indications
Partie I
1 Utiliser la loi de Laplace pour déterminer la valeur maximale de r, après 
avoir
précisé les conditions de son application.
2 La pression finale ne dépend que du rapport de compression et du nombre de
compresseurs.
3 Appliquer le premier principe industriel entre les instants t et t+dt aux 
deux soussystèmes {diazote} puis {eau}. Exprimer la variation d'enthalpie dH du 
système
en fonction des enthalpies et des débits massiques.
10 Utiliser le même raisonnement qu'à la question 3.
13 Appliquer le premier principe industriel à l'un des compresseurs.
Partie II
14 Écrire le volume passant dans la roue en fonction de  et le comparer au 
volume
entrant.
16 Utiliser l'équation d'Euler en la simplifiant pour un champ de vitesse 
constant et
homogène. L'eau est supposée incompressible.
17 Pour le calcul de la résultante, comparer les pressions de part et d'autre 
de la pale.
En ce qui concerne le calcul du moment des forces, noter que le point 
d'application
de la résultante est au milieu de la pale. On pourra faire l'approximation des 
petits
angles pour alléger les calculs.
20 Une puissance de 100 hp et une vitesse de 100 km.h-1 sont de bons ordres de
grandeur.
22 Faire un bilan d'énergie en tenant compte du poids et de l'action de la 
roue. Que
peut-on dire des forces de pression ?

Machines à écoulement permanent
I. Dimensionnement d'une installation
de liquéfaction
1 Le diazote est assimilé à un gaz parfait diatomique. Aux températures 
usuelles,
en notant R la constante des gaz parfaits, la capacité thermique à volume 
constant
associée à une quantité de matière n de gaz s'écrit par conséquent
5
Cv = nR
2
Pour un gaz parfait, l'énergie interne est associée aux nombres de degrés
de liberté des molécules. Par ailleurs, le théorème d'équipartition de 
l'énergie, issu de la physique statistique, assure que chaque degré de liberté 
des
particules contribue à raison de RT/2 à l'énergie cinétique molaire du gaz.
Pour un gaz diatomique, aux températures usuelles, les degrés de liberté sont
les translations du centre de masse de la molécule dans les trois directions
de l'espace (trois degrés de liberté) et la rotation de la molécule autour de
son centre de masse (deux degrés de liberté). Ainsi, cinq degrés de liberté
contribuent à l'énergie interne molaire, d'où U = 5/2nRT .
De plus, d'après la relation de Mayer, pour un gaz parfait
7
CP = CV + nR = nR
2
d'où

=

CP
7
= = 1,4
CV
5

Le compresseur réalise la compression adiabatique réversible d'un gaz parfait.
Il est donc possible d'appliquer l'une des formes de la loi de Laplace. Ici, il 
convient
de choisir celle faisant intervenir la température et la pression
T P1- = Cte
Il est évidemment inutile de connaître l'ensemble des formes de la loi de 
Laplace. La plus simple à mémoriser est probablement PV = Cte . Il suffit alors
d'utiliser l'équation d'état des gaz parfaits pour obtenir la forme nécessaire.
La température d'entrée du gaz est fixée à TE et la température de sortie du 
diazote
ne peut dépasser Tmax , si bien que dans le cas limite, on obtient la valeur 
maximale
du rapport de compression

/(-1)
Tmax
rmax =
TE
Par ailleurs, les étages de compression étant tous identiques,
pA = r N pE
Utilisons alors la valeur limite rmax afin de calculer le nombre minimum 
d'étages de
compression nécessaires Nmin . En prenant le logarithme de l'expression 
précédente,
il vient
Nmin =

ln (PA /PE )
( - 1) ln (PA /PE )
=
= 4,6
ln rmax
 ln (Tmax /TE )

Le nombre N étant entier, choisissons donc l'entier immédiatement supérieur 
comme
nombre minimal de compresseur, soit

N=5
2 Le rapport de compression r étant maintenu constant, le même nombre d'étages
de compression est nécessaire pour obtenir la compression finale pA . Par 
conséquent,
Le nombre N de compresseurs est identique.
Si l'ajout d'irréversibilités ne modifie pas le nombre d'étages de compression 
nécessaires, en revanche, la dimension du corps des cylindres des compresseurs 
est augmentée pour maintenir le même rapport r. Une puissance
mécanique supérieure est donc nécessaire pour l'actionnement de chacun des
compresseurs.
En pratique, la prise en compte d'irréversibilités s'accompagne d'une
augmentation plus élevée de la température lors de la compression. Il est alors
nécessaire de diminuer r afin de vérifier la contrainte sur la température.
3 En se plaçant comme indiqué par l'énoncé dans le cas N = 5, le rapport de
compression prend la valeur r = (PA /PE )1/N . Calculons la température Tsortie 
du
diazote en sortie de l'un des compresseurs. En utilisant la relation de 
Laplace, avec TE
la température d'entrée, il vient
Tsortie = r(-1)/ TE =

PA
PE

(-1)/(N)

TE

Appliquons le premier principe industriel aux systèmes constitués par chacun des
deux fluides dans l'échangeur thermique. En toute généralité, le bilan s'écrit, 
pour
des grandeurs massiques,
(h + ec,macro + gz) = wm + q m
Dans le cas présent, le système est isolé de l'extérieur. L'unique échange 
d'énergie
est le transfert thermique d'un fluide vers l'autre. Par ailleurs, la variation 
d'énergie
macroscopique est supposée négligeable : il n'y a ni variation de l'énergie 
cinétique,
ni variation de l'énergie potentielle de pesanteur. Écrivons le bilan pour 
chacun des
deux fluides :
et

hazote = q azote

heau = q eau

Par ailleurs, pendant l'instant dt, les masses Ddt de diazote et Deau dt d'eau 
passent
dans l'échangeur. Les équations précédentes se réécrivent alors, par 
extensivité,
hazote Ddt = q azote Ddt

et

heau Deau dt = q eau Deau dt

L'échange thermique se faisant uniquement entre les deux fluides, il vient
q eau Deau dt = -q azote Ddt
Finalement,

Deau heau + D hazote = 0