Mines Physique 2 PSI 2012

Thème de l'épreuve Un houlogénérateur pendulaire
Principaux outils utilisés mécanique des fluides, mécanique du point, conversion électro-mécanique de puissance
Mots clefs propagation d'onde , onde de surface , référentiels non galiléens , résonance mécanique , alternateur, machine synchrone

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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ECOLE DES PONTS PARISTECH
SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH,
TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH,
MINES DE SAINT­ETIENNE, MINES DE NANCY,
TELECOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIERE MP)
ECOLE POLYTECHNIQUE (FILIERE TSI)
CONCOURS D'ADMISSION 2012
SECONDE EPREUVE DE PHYSIQUE
Filiere PSI
(Duree de l'epreuve: 4 heures)
L'usage de la calculatrice est autorise
Sujet mis a disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM 
INT, TPE­EIVP

Les candidats sont pries de mentionner de facon apparente sur la premiere page 
de la copie :
PHYSIQUE II -- PSI.
L'enonce de cette epreuve comporte 7 pages.
­ Si, au cours de l'epreuve, un candidat repere ce qui lui semble etre une 
erreur d'enonce, il est invite a le
signaler sur sa copie et a poursuivre sa composition en expliquant les raisons 
des initiatives qu'il aura ete
amene a prendre.
­ Il ne faudra pas hesiter a formuler les commentaires (incluant des 
considerations numeriques) qui vous
sembleront pertinents, meme lorsque l'enonce ne le demande pas explicitement. 
Le bareme tiendra compte
de ces initiatives ainsi que des qualites de redaction de la copie.

UN HOULOGENERATEUR PENDULAIRE
On considere un houlogenerateur pendulaire destine a convertir l'energie 
mecanique de la houle marine en energie electrique. Celui-ci se compose d'un 
pendule oscillant a l'interieur d'un flotteur libre
de se deplacer a la surface de l'ocean. La houle entretient le mouvement du 
flotteur, et donc, par l'intermediaire des forces d'inertie, l'oscillation 
relative du pendule. Un alternateur solidaire de l'axe du
pendule assure la production d'energie electrique. Les trois parties du 
probleme sont independantes.
On y envisage successivement la caracterisation de la houle en tant qu'onde de 
surface, l'etude
mecanique du houlogenerateur, puis le probleme de la conversion 
electromecanique.
Dans tout le probleme, les vecteurs ~v sont notes avec une fleche en general 
mais avec un chapeau ub
s'ils sont unitaires, et on associe a une grandeur sinusoidale f (t) = A0 cos( 
t +  ) sa representation
complexe soulignee
f (t) = A0 exp j( t +  )

avec

f (t) = Re{ f (t)}

et

j2 = -1

Une grandeur surmontee d'un point represente la derivee temporelle de celle ci 
:  =

d
.
dt

Un houlogenerateur pendulaire

I. -- Caracterisation de la houle
Dans une modelisation simplifiee, le probleme est suppose illimite selon la 
direction eby et invariant vis-a-vis de la variable x. La
houle en surface est caracterisee par l'equation de la surface libre
z = H +  (y,t)

ou

 (y,t) = a cos( t - ky)

ou H est la profondeur au repos,  (y,t) l'elevation par rapport a H
due a la houle,  la pulsation et ~k = keby le  vecteur d'onde  de
la houle, tous les deux reels. On leur associe la periode temporelle F IGURE 1 
­ Parametrisation de la
T et la longueur d'onde  .
houle
On s'interesse a l'ecoulement de l'eau de mer entre le fond plat et impermeable 
en z = 0 et la
surface libre en z = H +  (y,t). Cet ecoulement est parametre par les champs 
euleriens de vitesse
~v(y, z,t) = vy (y, z,t) eby + vz (y, z,t) ebz et de pression P(y, z,t). Pour 
cette etude, on se place dans le cadre
de l'approximation a   , dite  acoustique , ou les champs precedents traduisent 
une evolution de
 faible amplitude  de la particule fluide autour de sa position au repos (y, z).
On suppose que l'eau de mer est un fluide incompressible de masse volumique µ = 
1, 00 · 103 kg.m-3
en ecoulement irrotationnel. La pression atmospherique P0 et le champ de 
pesanteur ~g = -g ebz sont
uniformes, on prendra g = 9, 81 m.s-2 . Enfin, dans le referentiel terrestre 
(Oxyz), l'ecoulement verifie
l'equation de Navier-Stokes
h ~v
-- i
---
µ
+ (~v · grad)~v = -grad P + µ ~g - 2µ ~t ~v +  ~v
t
ou ~t designe le vecteur rotation de la Terre autour de son axe polaire et  la 
viscosite dynamique de
l'eau de mer. Pour les application numeriques on prendra  = 10-3 Pa . s.
Pour l'etude envisagee, l'equation de Navier-Stokes peut etre grandement 
simplifiee dans le cadre des
approximations suivantes :
­ A1 : le terme de viscosite est negligeable devant le terme de convection ;
­ A2 : le terme de Coriolis est negligeable devant le terme de convection ;
­ A3 : la derivee convective est negligeable devant la derivee temporelle 
locale.
1 -- En considerant a comme distance caracteristique du deplacement d'une 
particule fluide,
traduire litteralement chacune des approximations sous forme d'une inegalite en 
ordre de grandeur
portant sur les quantites a, T ,  , et les constantes du probleme.
2 -- Proposer des valeurs numeriques pour µ et t . En deduire les ordres de 
grandeurs inferieur
et superieur pour  imposes par les approximations A1 et A2 dans le cas d'une 
houle telle que
a = 1 m et T = 5 s. Ces approximations sont-elles justifiees ?
3 -- Quelle propriete doit verifier le champ de vitesse ~v pour qu'il existe un 
potentiel des vitesses
----
scalaire (y, z,t) tel que ~v = grad . Quelle est l'equation verifiee par  ?
4 -- Simplifier l'equation de Navier-Stokes dans le cadre des approximations A1 
, A2 et A3 .
 P
+ + gz est uniforme dans l'ecoulement. Quelle signification
En deduire que la quantite  =
t
µ
P
physique peut-on donner a + gz ?
µ

Page 2/7

Physique II, annee 2012 -- filiere PSI

5 -- On cherche  sous la forme d'une fonction a variables separees dont la 
representation complexe s'ecrit
(y, z,t) = f (z)e j( t-ky)
Determiner l'expression de f (z) en fonction de k, z et de deux constantes 
d'integration que l'on notera
c1 et c2 .
6 -- En etudiant la surface libre de cote z = H +  (y,t), justifier avec 
rigueur les conditions aux
limites imposees a  sur la surface libre, ce qui revient dans l'approximation  
acoustique  a se
placer en z = H.
  (y,t)

=
= -g  (y,t)
et
 z z=H
t
 t z=H
En deduire une relation reliant c1 , c2 et les parametres du probleme.
7 -- En ecrivant la condition aux limites imposee a  en z = 0, montrer que c1 = 
c2 . En deduire
l'expression de  2 sous la forme  2 = gk (kH) ou l'on precisera l'expression de 
la fonction (kH).
Verifier que
(kH)  kH si kH  1

et

(kH)  1 si kH  1

Dans le cadre de l'etude envisagee, il est possible de faire l'une ou l'autre 
des deux hypotheses
suivantes :
­ H1 : la houle se propage en eau peu profonde ainsi kH  1 ;
­ H2 : la houle se propage en eau profonde ainsi kH  1.
8 -- Preciser dans chacun des cas H1 et H2 si la propagation de la houle est ou 
n'est pas
dispersive. Comment cela se manifeste-t-il en pratique pour un observateur 
scrutant les oscillations
de la surface libre ?
9 -- L'etude envisagee par la suite est effectuee pour une profondeur au repos 
H  100 m. Laquelle
des deux hypotheses H1 ou H2 doit-on retenir dans le cas d'une houle telle que 
a = 1 m et T = 5 s ?
L'approximation  acoustique  est elle verifiee a posteriori ?
10 -- Les resultats precedents permettent de montrer qu'au voisinage de la 
surface libre le potentiel
des vitesses s'ecrit
ja k(z-H) j( t-ky)
(y, z,t) =
e
e
k
Exprimer, dans le cadre de l'approximation  acoustique , les deplacements reels 
 y(y, z,t) et  z(y, z,t)
d'une particule fluide autour de sa position au repos reperee par ses 
coordonnees (y, z). Quelle est,
dans ce cas, la nature de la trajectoire suivie au cours du temps par une 
particule fluide ? Quelle est
l'evolution de cette trajectoire en fonction de z ?
11 -- Le fonctionnement du houlogenerateur peut etre perturbe quand la vitesse 
horizontale
d'une particule fluide en surface depasse la vitesse de propagation de la 
houle. On dit alors qu'il
y a deferlement. On appelle  = 2a/ la cambrure de la houle. Etablir que le 
deferlement apparait
lorsque  devient superieur a une certaine cambrure critique c que l'on 
determinera. Une houle se
propageant en eau profonde et telle que a = 1 m et T = 5 s est-elle deferlante ?

Page 3/7

Tournez la page S.V.P.

Un houlogenerateur pendulaire

12 -- Avant de passer au principe meme du houlogenerateur, il reste a 
quantifier la puissance
disponible. Justifier que l'on puisse exprimer la puissance mecanique Pm 
developpee par la houle a
travers une section verticale S d'ecoulement sous la forme
Pm = -

ZZ

S

µ

d
y t

Exprimer, dans le cadre de l'approximation  acoustique , la puissance mecanique 
moyenne 
developpee par la houle sur toute la hauteur de l'ecoulement en fonction de µ , 
 , g, a et de la largeur
x selon la direction ebx . Determiner la valeur de la puissance /x 
disponible par metre de front
d'onde dans le cas d'une houle telle que a = 1 m et T = 5 s. Que pensez-vous de 
cette valeur ?
FIN DE LA PARTIE I

II. -- Etude mecanique du houlogenerateur
Le houlogenerateur considere est modelise par
deux composants :
­ un flotteur de centre d'inertie G ;
­ un pendule pesant de longueur  = AB, dont la
masse mp = 105 kg est concentree a l'extremite
B et dont le point d'attache A est confondu avec
G.
On note, dans ce cas,  (t) l'inclinaison du pendule relativement au flotteur 
qui, lui-meme, reste
vertical. Enfin, le couplage electromecanique entre
le pendule et l'alternateur qui permet de convertir l'energie mecanique du 
pendule en energie
electrique introduit un couple resistant de moment
F IGURE 2 ­ Houlogenerateur mecanique
-  ebx ou le coefficient de conversion est fixe a la
valeur  = 1, 05.106 N.m.rad-1 .s.
Le champ de pesanteur ~g = -g ebz est toujours uniforme. La liaison pivot d'axe 
(Gx) entre le pendule
et le flotteur est parfaite. On considere que l'action de la houle sur le 
flotteur se resume aux seules
translations selon les directions eby et ebz du centre d'inertie G, appelees 
cavalement et pilonnement, et
caracterisees par les coordonnees Y (t) et Z(t) de G dans le referentiel 
terrestre R = (Oxyz) suppose
galileen.
13 -- Donner l'expression de la force d'inertie qui s'exerce sur le pendule 
dans le referentiel
barycentrique R  = (Gxyz) du flotteur.
14 -- En appliquant le theoreme du moment cinetique en G = A au pendule dans le 
referentiel
barycentrique R  du flotteur, montrer que l'equation differentielle verifiee 
par  s'ecrit

 +   + s( ) = 0

(1)

ou l'on exprimera  en fonction de  , m p et  et la fonction s( ) en fonction de 
, g, Y , Z et  .
15 -- Exprimer l'energie mecanique E m du pendule dans le referentiel 
barycentrique R  du flotteur.
A l'aide d'un bilan energetique, retrouver l'equation differentielle etablie a 
la question 14.
L'action de la houle est dorenavant caracterisee par une periode T = 5 s et par 
les fonctions Y (t) =
a cos( t) et Z(t) = a sin( t) avec  = 2 /T .

Page 4/7

Physique II, annee 2012 -- filiere PSI

16 -- Pour cette question on considerera l'exemple d'un houlogenerateur dote 
d'un pendule de longueur  = 2 m. Etudier la solution de l'equation (1) dans un 
regime de faibles accelerations verticales
( Z  g) et de petites oscillations (| |  1). On determinera en particulier la 
duree caracteristique 
et la pseudo-periode Tt du regime transitoire ainsi que l'amplitude Amax du 
regime sinusoidal force.

F IGURE 3 ­ Evolution de  en fonction de t pour differentes valeurs de a et de .
17 -- Une resolution numerique de l'equation (1) sans hypotheses sur  et Z est 
entreprise pour
differentes valeurs de a et  a partir de conditions initiales nulles. La 
representation graphique de certaines de ces solutions fait l'objet de la 
figure 3. En utilisant les resultats de la question 16, interpretez
le plus precisement possible ces courbes.
On s'interesse a present a la puissance moyenne convertie en regime 
d'oscillations forcees par le houlogenerateur,
notee < P >. On calcule pour cela la fonction < P > qui
representent l'evolution de 

en fonction du parametre du houlogenerateur, les autres parametres etant constants. La resolution numerique de l'equation (1) a permis d'obtenir la figure 4. Pour ces calculs et afin de tracer la courbe on a choisi a = 0, 1 m et T = 5 s. F IGURE 4 ­ < P > en fonction de 18 -- Comment peut-on evaluer < P > a partir de la solution numerique (t) de l'equation (1) ? Interpreter physiquement la courbe. FIN DE LA PARTIE II III. -- Probleme de la conversion electromecanique La conversion de l'energie mecanique du pendule en energie electrique est realisee par un alternateur. Les oscillations du pendule sont converties en un mouvement de rotation sensiblement uniforme a la vitesse angulaire autour de l'axe (Ox) d'une bobine appelee rotor. La bobine de resistance r et d'inductance propre L comporte N spires rectangulaires jointives et associees en serie, d'epaisseur negligeable, de hauteur h selon ebx et de largeur b perpendiculairement a cette direction. Elle est fermee sur une resistance de charge R. On suppose dans un premier temps qu'un champ magnetique uniforme ~B0 = B0 eby est cree par un aimant permanent et immobile, appele stator (voir figure 5). On note i l'intensite du courant induit par la rotation de la bobine dans le champ ~B0 , son sens est indique sur la figure 5. Page 5/7 Tournez la page S.V.P. Un houlogenerateur pendulaire x z v h v O z x b O y y b F IGURE 5 ­ Parametrisation de l'alternateur 19 -- En utilisant la methode de votre choix, exprimer d'une part, la force electromotrice e induite au sein de la bobine en fonction de N, h, b, B0 , et t, et d'autre part, le moment des forces de Laplace, ou couple de Laplace, ~L subi par la bobine en fonction de N, h, b, B0 , i, et t. 20 -- On suppose que le rotor se trouve dans un regime de rotation uniforme forcee a la vitesse angulaire . A l'aide d'un schema electrique equivalent, etablir l'equation differentielle verifiee par l'intensite i (t). Montrer que l'intensite se decompose en la somme d'un regime transitoire i0 (t) et d'un regime sinusoidal permanent i1 (t) = I1 cos(t + ). Quelle est la duree caracteristique 1 du regime transitoire ? Determiner les expressions de I1 , cos et sin en fonction de N, h, b, B0 , R, r, L et . On resume l'effet du couple de Laplace a sa valeur moyenne sur une periode notee hL i et l'effet d'entrainement du pendule sur la bobine a un couple moteur m stationnaire. 21 -- Exprimer le couple de Laplace moyen hL i en fonction de N, b, h, B0 , R, r, L et . Interpreter physiquement le signe de hL i. 22 -- Tracer l'allure de la fonction |hL i ()| pour 0. Etudier graphiquement l'existence et la stabilite d'un (ou plusieurs) regime(s) de rotation etabli(s) en fonction de la valeur du couple moteur m > 0. En deduire l'existence d'une vitesse de rotation et d'un couple moteur critiques, c et c , que l'on determinera. Que se passe-t-il si les conditions de fonctionnement du houlogenerateur conduisent a depasser l'une ou l'autre de ces valeurs critiques ? Dans la pratique, pour eviter ce probleme, on organise le stator en secteurs angulaires creant un champ magnetique tournant ~B0 = B0 ub ou ub est toujours le vecteur represente sur la figure 5. 23 -- Avec cette nouvelle geometrie radiale du stator, determiner la force electromotrice erad induite dans la bobine puis relier le couple de Laplace ~rad L subi par la bobine au courant i circulant dans celle-ci. 24 -- On suppose toujours que le rotor se trouve dans un regime de rotation uniforme forcee a la vitesse angulaire . Determiner l'expression du couple de Laplace ~Lrad en fonction de N, b, h, B0 , R, r et subi par la bobine a l'issue du regime de courant transitoire. Page 6/7 Physique II, annee 2012 -- filiere PSI 25 -- Les parametres physiques du montage sont b = h = 1 m et B0 = 1 T . Le bobinage est realise dans un fil de cuivre de section s = 1 mm2 et de conductivite electrique = 5, 8.106 -1 .m-1 . On suppose que l'on peut identifier a defini lors de l'etude mecanique et que l'on peut negliger R devant r. Determiner le nombre N de spires a realiser pour atteindre le coefficient de conversion = 1, 05.106 N.m.rad-1 .s utilise pour dimensionner la partie mecanique du houlogenerateur. FIN DE LA PARTIE III FIN DE L'EPREUVE Page 7/7

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Mines Physique 2 PSI 2012 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Guillaume Maimbourg (ENS Cachan) ; il a été relu par
Vincent Freulon (ENS Ulm) et Stéphane Ravier (Professeur en CPGE).

Ce sujet propose l'étude d'un dispositif de conversion de l'énergie de la houle 
en
électricité.
· La première partie étudie la houle, particulièrement les ondes de surface
qu'elle engendre dans l'eau. À partir de l'équation de Navier-Stokes, dont
on néglige différents termes compte tenu des hypothèses, on établit l'expression
générale de la vitesse de phase de ces ondes. Les deux approches asymptotiques
des ondes dites en « eau profonde » ou en « eau peu profonde » sont comparées
afin de déterminer la plus adaptée au problème. Cette partie se conclut par
l'évaluation de la puissance mécanique due à la houle.
· La deuxième partie aborde un modèle simplifié de pendule oscillant soumis aux
ondes de surface dues à la houle. Avec la modélisation retenue, cette partie
n'utilise que les outils de mécanique du point. Les calculs sont conduits dans
une situation simplifiée et on les compare avec les solutions issues de 
simulations
numériques pour vérifier la pertinence des approximations faites. On termine
par l'analyse qualitative de la courbe de réponse de cet oscillateur, ce qui 
permet
d'aborder la puissance mécanique que l'on peut espérer obtenir.
· Enfin, la conversion électromécanique de puissance est l'objet de la troisième
partie. L'alternateur simple étudié au début fait apparaître un risque 
d'emballement de ce dernier. Pour pallier ce défaut, on s'intéresse à une 
machine
synchrone.
D'une longueur et d'une difficulté raisonnables, ce sujet, centré sur un objet 
technologique, aborde différentes parties du programme : hydrodynamique, ondes, 
mécanique du point, induction et couplage électromécanique. Il mêle étude 
analytique et
critique de résultats numériques. Regrettons seulement une erreur d'énoncé qui, 
si
elle n'est pas détectée, empêche d'aborder la fin du problème.

Indications
Première partie
5 Utiliser le résultat trouvé à la question 3.
6 Différents potentiels peuvent conduire au même champ des vitesses. Un choix
judicieux permet alors de retrouver la deuxième expression proposée.
10 Les grandeurs de position y et z doivent être supposées quasi-constantes pour
pouvoir mener l'intégration.
12 En mécanique, une expression usuelle de la puissance est
 
-
P = F ·-
v
Exploiter alors le résultat de la question 4 pour conclure.
Deuxième partie
13 Le mouvement de R  par rapport à R se réduit à une translation qui n'est
pas uniforme. L'expression des forces d'inertie est donc très simple.
14 Ne pas oublier le couple associé à la force d'inertie d'entraînement.
15 La force d'inertie d'entraînement n'est pas conservative. Elle ne dérive donc
pas d'une énergie potentielle mais est responsable de la diminution de 
l'énergie mécanique.
Troisième partie
22 Les points critiques se déterminent en exhibant les valeurs incompatibles 
avec
un régime stable.
23 Le champ magnétique proposé conduit à un fonctionnement impossible :
aucune puissance électrique n'est fournie. Il semble que dans toute la suite
-

le choix d'un champ B0 = B0 -
v soit adapté pour conclure.
25 Un raisonnement par homogénéité est le moyen le plus simple de retrouver
la valeur de la résistance connaissant la conductivité électrique d'un matériau.

Un houlogénérateur pendulaire
I. Caractéristique de la houle
1 Reprenons chacune des approximations pour les traduire sous forme 
d'inégalités.
Évaluons d'abord chacune des grandeurs mises en jeu. Ici, deux grandeurs (a et
) sont des longueurs. Il faut se rappeler que la vitesse est liée au 
déplacement de
la particule sur la période T ; tandis que la dérivation spatiale est liée à 
une échelle
caractéristique de variation que l'on identifie ici à la longueur d'onde 
spatiale de
la houle, si bien que
|v| 

a
T

et

d
d
1

dy
dz

et

d
1

dt
T

Ce faisant, on obtient trois inégalités traduisant ces approximations.
-- 

· L'hypothèse A1 devient |µ (-
v · grad )-
v |  | -
v |, qui implique
µ

a2
a

T2 
T 2

T
µa

-- 
-

· L'hypothèse A2 impose |µ (-
v · grad )-
v |  |µ t  -
v | donc
a2
a
 t
2
T 
T
a

T t
· L'hypothèse A3 se traduit par

-- 
-
v

 |(-
v · grad )-
v | ainsi
t

a
a2

T2
T2 
a
On travaille ici sur des ordres de grandeur. Le facteur 2 dans le terme de
Coriolis peut donc être omis.
L'hypothèse A3 est une conséquence de l'approximation acoustique.

µ = 103 kg.m-3

2 D'après l'énoncé,

La vitesse angulaire de rotation de la Terre t est à déterminer en considérant 
que
la Terre tourne de 2 en 24 heures :
t =

2
TTerre

= 10-4 rad.s-1

Si bien que
· L'hypothèse A1 donne   5 µm.
· L'hypothèse A2 donne   2 km.
donc

5 µm    2 km

La houle est caractérisée par une longueur d'onde comprise entre quelques 
centimètres et une dizaine de mètres. Ces bornes sont donc comprises dans le 
cadre des
approximations proposées par l'énoncé.
La valeur de µ était donnée par l'énoncé. Il n'y avait donc pas de valeur
numérique à proposer. Cette valeur est en revanche étonnante pour de l'eau
de mer (donc salée), qui devrait posséder une densité supérieure à l'unité.
-

- -
3 L'écoulement est supposé irrotationnel, soit rot 
v = 0 . L'écoulement est donc
potentiel, ainsi
--
-
Il existe un potentiel  tel que 
v = grad .
L'écoulement est de plus supposé incompressible, donc

div -
v =0
Par définition de l'opérateur laplacien,  vérifie l'équation de Laplace, soit
 = 0
4 Les trois premières approximations permettent de négliger le terme de 
viscosité, celui de Coriolis ainsi que la dérivée convective. Ne restent alors 
que la dérivée
temporelle locale de la vitesse, la force volumique de pression et la force de 
pesanteur

--
-
v

µ
= - grad P + µ -
g
t
--

L'écoulement potentiel permet d'écrire -
v = grad  ; et la force volumique de pesan
-
teur µ g dérive d'un potentiel
--

µ-
g = - grad (µg z)
--
grad

d'où

 P
+ +gz
t
µ

-
= 0

 P
+ +g z est uniforme sur tout l'écoulement.  est homogène
t µ
à une énergie massique et l'on peut assimiler P/µ+g z à l'énergie potentielle 
massique.

Ainsi, la quantité  =

5 Cherchons le potentiel des vitesses sous la forme
(y, z, t) = f (z) e j(t-ky)
Développons l'équation de Laplace établie à la question 3
 = 0