Mines Physique 2 PSI 2008

Thème de l'épreuve Dispositifs magnétiques
Principaux outils utilisés magnétostatique, mécanique du point, mouvement des particules chargées, électrostatique

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Rapport du jury

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES.
ECOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L'AERONAUTIQUE ET DE L'ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCEES, DES TELECOMMUNICATIONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT­ETIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE,
ECOLE POLYTECHNIQUE (FILIERE TSI)
CONCOURS D'ADMISSION 2008
SECONDE EPREUVE DE PHYSIQUE
Filiere PSI
(Duree de l'epreuve: 4 heures)
L'usage de la calculatrice est autorise
Sujet mis a disposition des concours : ENSAE (Statistique), ENSTIM, INT, 
TPE­EIVP, Cycle
international

Les candidats sont pries de mentionner de facon apparente sur la premiere page 
de la copie :
PHYSIQUE II -- PSI.
L'enonce de cette epreuve comporte 7 pages.
­ Si, au cours de l'epreuve, un candidat repere ce qui lui semble etre une 
erreur d'enonce, il est invite a le
signaler sur sa copie et a poursuivre sa composition en expliquant les raisons 
des initiatives qu'il aura ete
amene a prendre.
­ Il ne faudra pas hesiter a formuler les commentaires (incluant des 
considerations numeriques) qui vous
sembleront pertinents, meme lorsque l'enonce ne le demande pas explicitement. 
La bareme tiendra compte
de ces initiatives ainsi que des qualites de redaction de la copie.

DISPOSITIFS MAGNETIQUES
Ce probleme, dont les differentes parties sont largement independantes, aborde 
quelques dispositifs
utilises dans l'etude de certaines proprietes de particules fondamentales. Dans 
de tres nombreux cas
les particules, chargees, sont en mouvement dans un champ magnetique permanent.
Donnees :
Constantes electromagnetiques du vide : µo = 4 × 10-7 H.m-1 , o = 1/(36 ) × 
10-9 F.m-1 , masse
de l'electron : m = 9, 11 × 10-31 kg, charge elementaire : e = 1, 60 × 10-19 C, 
Constante de B OLTZ MANN k = 1, 38 × 10-23 J.K-1 , Constante d'AVOGADRO N = 6, 
02 × 1023 mol-1 .
-
-
-
er , 
e , 
ez ), pour tout champ scalaire
Dans le systeme de coordonnees cylindriques (r,  , z) de base (

-

-

-

-
V (r,  , z) et pour tout champ de vecteur F = Fr er + F e + Fz ez , on donne :
-----  V 
V 
1 V 
1  (rFr ) 1  F  Fz

-
-
-
-
er +
ez
div( F ) =
+
e +
grad(V ) =
+
r
r 
z
r r
r 
z

-
----
 Fr  Fz 
 (rF )  Fz 
1  Fz  F 
ez

-
-
-
rot( F ) =
er +
e +
-
-
-
r 
z
z
r
z

r

I. -- Creation de champs magnetiques ayant des proprietes particulieres
Deux structures de champs seront abordees : Le champ uniforme et le champ a 
variation lineaire. La
region de l'espace dans laquelle regnent ces champs possede les memes 
proprietes electromagnetiques
que le vide.

DISPOSITIFS MAGNETIQUES

I.A. -- Champ uniforme : solenoides et bobines de H ELMHOLTZ

On considere un solenoide cylindrique de longueur  comportant N spires 
jointives identiques, circulaires de rayon R. Ce solenoide est parcouru par un 
courant d'intensite I = cste.

1 -- On se place dans le cadre de l'approximation du solenoide infini. Etablir 
l'expression du
--
champ magnetique Bsol cree par le solenoide a l'interieur de celui-ci.

Une autre methode classique de production d'un champ magnetique uniforme est 
l'utilisation des
bobines de H ELMHOLTZ. Les questions suivantes vont permettre d'expliciter 
leurs caracteristiques.
On considere une spire circulaire C, de centre O, de rayon R, parcourue par un 
courant d'intensite
--
I = cste. L'axe Oz est perpendiculaire au plan de la spire. On appelle Bcoz (z) 
le champ magnetique
cree par la spire en un point situe sur Oz a la cote z.
--
--
--
2 -- Exprimer Bcoz (0) en fonction de µo , R et I puis Bcoz en fonction de Bcoz 
(0) et de la variable
sans dimension u = z/R.

Figure 1 : Bobines de H ELMHOLTZ

On considere le montage de la Figure 1 constitute de
deux bobines plates d'epaisseur negligeable, composees
chacune de N spires circulaires de rayon R, de meme
axe de symetrie Oz. Ces deux bobines ont pour centres
de symetrie respectifs O1 et O2 , elles sont parcourues
par des courants identiques d'intensite I = cste. Les
extremites de ces bobines sont separees d'une distance
D = 2d. La configuration d'H ELMHOLTZ est obtenue
-

lorsque d = R/2 . On note Bh le champ cree par la
configuration d'H ELMHOLTZ et (Bhr , Bh , Bhz ) les com-

-
-
-
posantes de Bh dans la base (
er , 
e , 
ez ) des coordonnees
cylindriques (voir Figure 2).
3 -- On pose toujours u = z/R, determiner le champ
--
magnetique Bhoz (u) cree par la configuration de la Figure 1 en un point situe 
sur l'axe Oz a la cote z.
Representer sur un meme graphique les fonctions u -
7 
----
--
--
--
7  Bhoz (u) / Bhoz (0) . Que
Bcoz (u) / Bcoz (0) et u -
constatez-vous lorsque u  0 ?

--
4 -- On note g(u) = Bhoz (u) . Justifiez physiquement le fait que la fonction g 
(u) est paire. Ecrire,

en fonction de u et de la constante  = 8N µo I/(5 5R), le developpement limite 
g(u) de g (u) a
l'ordre 4 au voisinage de 0. On donne
"

 #-3/2

32 3 144 4
6
8
1 2
4
1+ x±
x +o x
=  1 x± x -
2
5
25
125
5 5
Page 2/7

avec n  1, lim xn o (xn ) = 0
x0

Physique II, annee 2008 -- filiere PSI

5 -- Determiner l'amplitude de l'intervalle centre sur
l'origine sur lequel la fonction g (u) ne varie pas de plus de
2% en erreur relative.
6 -- En considerant les symetries de la configuration
montrer que Bhr = Bhr (r, z), Bhz = Bhz (r, z) et Bh = 0.
-

7 -- On cherche une expression de Bh au voisinage de
l'axe Oz. Un developpement limite permet dans ce voisinage, d'obtenir
Bhz (r, z) = g (z) +  r2

d 2 g
+  (r)
dz2

ou  est une constante et  une fonction paire de la variable
r. En utilisant les equations de M AXWELL determiner la
valeur de  et l'expression de  (r) en fonction de  , R et
r. En deduire les expressions de Bhz et Bhr en fonction de
 , R, z et r.

Figure 2 : Coordonnees cylindriques

Un detecteur de particules chargees necessite la production d'un champ 
magnetique uniforme et permanent de norme B = 0, 5T dans un volume cylindrique 
de hauteur H = 4m et de diametre D = 4m.
On veut comparer les deux sources decrites precedemment. Les spires sont 
realisees avec un materiau
conducteur de section carree de 2mm de cote et l'intensite du courant I est 
limitee a 100A.
8 -- Dans le cas d'un solenoide de longueur  = 8m, determiner le nombre de 
spires que l'on
doit utiliser, eventuellement sur plusieurs couches, pour delivrer sur Oz un 
champ susceptible d'etre
utilise pour detecter des particules chargees. En deduire la longueur totale de 
fil conducteur que l'on
doit utiliser.
9 -- Pour l'utilisation des bobines de H ELMHOLTZ, on souhaite que le champ 
magnetique ne
varie pas de plus de 2% le long de l'axe Oz sur toute la hauteur H. Determiner 
le rayon des spires a
utiliser puis calculer le nombre N de spires pour chaque bobine. En deduire la 
longueur totale de fil
conducteur que l'on doit utiliser.
10 -- Le fil conducteur utilise est du cuivre de conductivite  = 6.107 S.m-1 . 
Apres avoir choisi la
source de champ la plus economique en fil, calculer la puissance perdue par 
effet J OULE dans celle-ci.
Commenter ce resultat. Dans la pratique quelle solution technologique doit-on 
utiliser pour r ealiser
cette source ?

I.B. -- Champ lineaire : bobines de
M HOLTZHEL
On reprend la configuration de H ELMHOLTZ mais avec
deux courants de meme intensite circulant en sens
contraire
 conformement a la Figure 3 avec maintenant
d = 3R/2. Cette configuration inversee est appelee «
bobines de M HOLTZHEL ». On s'interesse au champ
--
magnetique Bmoz cree par ces bobines sur l'axe Oz au
voisinage de O.
11 -- En utilisant toujours la variable reduite u =
--
z/R, etablir l'expression du champ Bmoz (u) cree sur l'axe
Oz en un point de cote z.
Page 3/7

Figure 3 : Bobines de M HOLTZHEL

Tournez la page S.V.P.

DISPOSITIFS MAGNETIQUES

12 -- On donne maintenant la relation

!

 !2 -3/2

3
7
3
3
8
6
48
240
1056
1 + x ±

=
1
x + x2 -
x4 ±
x5 + o x5
2
49
7
49
343
2401

Montrer que le champ magnetique cree par une bobine de M HOLTZHEL au voisinage 
de l'origine
--
-
est tres proche d'un champ lineaire de la forme Bmoz (z) = az 
e z . On exprimera la constante a en
fonction de N, µo , I et R.
--
13 -- Determiner l'amplitude de l'intervalle contenu dans Oz et centre sur O 
sur lequel Bmoz (z)
est approximable a moins de 2% d'erreur relative par un champ lineaire de pente 
a.
14 -- On souhaite realiser un champ lineaire de pente a = 10 T.m-1 en utilisant 
un courant
permanent d'intensite I = 10 A et des bobines de M HOLTZHEL de 10 cm de rayon. 
Calculer le nombre
de spires N a utiliser.
FIN DE LA PARTIE I

II. -- L'experience de Stern et Gerlach
Dans une enceinte, ou regne une faible pression,
est place un four contenant du lithium porte a la
temperature T . Le lithium se vaporise et le gaz
d'atomes obtenu se comporte comme un gaz parfait monoatomique a la temperature 
T . Un ensemble d'ouvertures pratiquees dans le four permet d'obtenir un jet 
d'atomes de lithium. On suppose que ce jet est monocinetique et donc que les
atomes ont tous la meme energie cinetique Eco =
2
-
m k
vo k /2 ou m est la masse d'un atome de li-
thium et 
vo la vitesse moyenne des atomes dans le
-
-
Figure 4
four. On supposera qu'en sortie du four 
vo = v o 
ex .
Le poids des atomes de lithium est negligeable
dans toute cette experience.
15 -- On regle la temperature T de facon a obtenir Eco = 1, 6.10-20 J. Calculer 
la valeur numerique
de T .
En sortie du four, le jet d'atomes de lithium passe dans une region ou regne un 
champ magnetique

-
-
B = B (z) 
ez tel que B (z) = az (voir Figure 4). On admet que cette region est de largeur 
 et qu'en
dehors de celle-ci le champ magnetique est negligeable. On constate que le jet 
est devie et que son
impact sur un ecran situe a l'abcisse d =  + D se situe a une cote zo non 
nulle. Cette deviation est
-

explicable par le fait que les atomes de lithium sont porteurs de moments 
dipolaires magn etiques M
constants et que dans la zone ou regne le champ magnetique ils sont soumis a 
une force magnetique
-

-
derivant de l'energie potentielle E p = -M . B
-
-
16 -- Apres avoir exprime cette force, etablir, en fonction de a, M = M .
e , et E , la relation
z

z

co

entre z et x decrivant la trajectoire d'un atome dans la region ou regne le 
champ magnetique lineaire.
17 -- Exprimer la cote zo en fonction de D,  , Eco , a et Mz .

18 -- On observe en fait sur l'ecran deux taches symetriques par rapport a Ox. 
Que peut-on en
deduire ?
19 -- On choisit Eco = 1, 6.10-20 J, a = 10 T.m-1 ,  = 10 cm et D = 10 m et on 
observe z =
±3 mm. Calculer la composante Mz du moment magnetique des atomes de lithium.
Page 4/7

Physique II, annee 2008 -- filiere PSI

Cette experience realisee par les physiciens OTTO S TERN et WALTHER G ERLACH en 
1921 a permis
de mettre en evidence la quantification du moment cinetique de spin des atomes 
etudies (et a valu le
prix Nobel de physique a OTTO S TERN en 1943).
FIN DE LA PARTIE II

III. -- Identification de particules dans une chambre a projection
temporelle
Dans l'experience D ELPHI du C ERN on realise des collisions a grande vitesse 
entre des electrons et
des positrons (anti-electrons). Ces dernieres produisent des particules 
chargees, appelees particules
filles, que l'on cherche a identifier. On tente pour cela de reconstituer leurs 
trajectoires dans une
chambre dite a projection temporelle.
Cette chambre comporte trois parties :
la chambre de derive, la chambre proportionnelle et la chambre a fils. 
L'ensemble du detecteur comporte un axe
z de symetrie de revolution. La trajectoire analysee est decrite dans le
systeme de coordonnees cylindriques
(r,  , z) utilise dans la partie I et
illustre par la Figure 2. A l'interieur
de la chambre de derive, les collisions
electrons-positrons ont lieu a proximite de l'axe z. Cette chambre est
remplie d'argon sous faible pression.
Le mouvement des particules filles
Figure 5 : Chambre a projection temporelle
dans l'enceinte gazeuse produit des
electrons d'ionisation.
Le mouvement d'un electron d'ionisation dans la chambre de derive et les 
signaux electriques qu'il
produit dans la chambre a fils permettent de determiner les coordonnees du 
point ou l'ionisation a eu
lieu. On peut ainsi obtenir toutes les informations cinematiques sur les 
particules filles et determiner
leurs natures. Dans toute cette etude on utilisera la mecanique classique non 
relativiste et le poids des
particules sera neglige.

III.A. -- Mouvement d'un electron d'ionisation dans la chambre de derive
On s'interesse au mouvement d'un electron d'ionisation, note ei , de masse me 
et de charge -e, a
l'interieur de la chambre de derive. Dans cette enceinte, cylindrique de 
longueur L = 2, 1 m, regne

-

-
-
-
un champ magnetique B = B
ez et un champ electrique E = -E 
ez permanents et uniformes (voir
Figure 5). Le champ electrique est obtenu en imposant une difference de 
potentiel U = 63 kV entre les
deux extremites de la chambre. En plus de la force electromagnetique, le gaz 
contenu dans la chambre

-
-
-
de derive impose a l'electron une force de frottement fluide F = -µ 
v ou 
v represente sa vitesse

-
-20
-1
kg.s . On appelle ve la vitesse de ei au moment de son emission par ionisation
et µ = 9, 6 × 10
-
-
-
d'un atome du gaz. On se place en coordonnees cartesiennes (x, y, z) dans la 
base (
ex , 
ey , 
ez ) de telle
-
-
maniere que 
ve .
ey = 0. L'origine O du referentiel est le point d'emission de ei a l'instant t 
= 0.
20 -- En prenant comme parametres e, B, µ , U et L, etablir les trois equations 
differentielles
-
-
-
-
-
-
regissant l'evolution des composantes vx = 
v .
ex , v y = 
v .
ey et vz = 
v .
ez de la vitesse de ei dans
la chambre de derive. Exprimer vz en fonction du temps t et determiner vlim = 
lim vz (t). On posera
t

 = me / µ
Page 5/7

Tournez la page S.V.P.

DISPOSITIFS MAGNETIQUES

-
-
21 -- Calculer la valeur numerique de vlim . En negligeant 
ve .
ez devant vlim , calculer le temps T
qu'il faut attendre pour que
t > T,

|vz (t) - vlim |
< 1%
|vlim |

22 -- Ecrire l'equation differentielle verifiee par la fonction complexe u(t) = 
vx (t) + i vy (t).
Deduire de la resolution de cette equation les expressions de vx (t) et de vy 
(t). On posera e = eB/me .
23 -- Apres une phase transitoire tres breve, quel type de mouvement adopte ei 
? Montrer alors que
la duree de ce mouvement permet d'obtenir la coordonnee z du point de la 
trajectoire de la particule
fille ou s'est produite l'ionisation a l'origine de ei .

III.B. -- Etude des chambres proportionnelle et a fils
A la sortie de la chambre de derive, ei doit produire un signal sur un 
detecteur qui permet d'obtenir
les deux autres coordonnees pour la reconstruction de la trajectoire de la 
particule fille. La charge
d'un electron etant trop faible pour obtenir un signal detectable, on utilise 
une chambre dite proportionnelle pour produire un phenomene d'avalanche. Cette 
chambre est constituee de deux grilles
perpendiculaires a l'axe z distantes de L = 1cm et entre lesquelles on applique 
une difference de
potentiel U  = 1500V. La chambre proportionelle est remplie du meme gaz que 
celui contenu dans la
chambre de derive.
24 -- Sachant que l'energie molaire de premiere ionisation de l'argon vaut Ei = 
1520 kJ.mol-1 ,
et en admettant que seulement 50% de l'energie fournie par la difference de 
potentiel U  ne permette
d'ioniser les atomes d'argon, quel est le nombre d'ionisations produites par un 
electron de derive ?
Les electrons «produits» par ces ionisations, appeles electrons secondaires, 
provoquent eux aussi de
nouvelles ionisations : il se produit une avalanche qui permet d'obtenir 
environ 10 5 electrons pour un
electron de derive. La detection du signal est effectuee dans la chambre a 
fils. L'avalanche d'electrons
arrive sur un fil metallique qui va influencer un autre fil metallique 
parallele au precedent. Cette
charge permet de generer un signal electrique. On considere que chaque fil est 
un cylindre conducteur
de rayon a et de longueur h  a.

-
25 -- Etablir l'expression du champ electrique E f cree a l'exterieur d'un fil 
metallique cylindrique
infiniment long, portant une charge lineique uniforme  = q/h. En deduire le 
potentiel electrique
associe a ce champ.

Figure 6

26 -- On considere a present deux fils identiques
au precedent, d'axes paralleles et separes d'une distance
d, mais portant des charges lineiques opposees + =
+q/h et - = -q/h. Etablir l'expression du potentiel
electrique en un point M exterieur aux fils en fonction
des distances r1 et r2 entre ce point et chaque axe (voir
Figure 6), et des quantites q, h et o . On prendra le potentiel nul lorsque r1 
= r2 . Montrer que la capacite formee
par une longueur h de ces deux fils est donnee par la relation
o h

C=
ln d-a
a
Calculer la valeur de cette capacite pour h = 1, 0 ×
10-3 m, d = 3, 0 × 10-6 m et a = 1, 0 × 10-6 m.
Page 6/7

Physique II, annee 2008 -- filiere PSI

On place les deux fils de la question 26 en influence
dans le circuit de la Figure 7 comprenant une resistance
R et un generateur de force electromotrice constante
W = 1, 0 V. En l'absence d'avalanche, en regime permanent, on appelle qo la 
charge totale prise par l'armature
positive. Lorsqu'une avalanche se produit, cette charge
devient q1 et, par influence, l'autre armature acquiert,
apres un temps caracteristique   = 1, 0 × 10-12 s, une
charge opposee.
27 -- Calculer les valeurs numeriques de qo et q1 puis
etablir l'equation differentielle verifiee par la tension UR .
Figure 7
Resoudre cette equation en choisissant t = 0 pour l'arrivee de l'avalanche sur 
l'armature positive.
28 -- Comment doit-on choisir R pour que le temps   soit negligeable devant les 
temps caracteristiques des phenomenes etudies ? Expliquer la necessite de 
provoquer une avalanche a partir
d'un electron de derive. Comment un tel dispositif permet-il d'identifer les 
coordonnees x et y de la
particule fille au moment de l'ionisation de l'argon dans la chambre de derive ?
Les chambres proportionnelles a fils ont ete inventees et mises au point a la 
fin des annees 1960 par
le physicien francais G EORGES C HARPAK et lui valurent le prix N OBEL en 1992.
FIN DE LA PARTIE III
FIN DE L'EPREUVE

Page 7/7

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Mines Physique 2 PSI 2008 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Stéphane Ravier (Professeur en CPGE) ; il a été relu 
par
Emmanuel Loyer (Professeur en CPGE) et Jean-Julien Fleck (Professeur en CPGE).

Ce sujet traite de différents aspects de dispositifs magnétiques utilisés dans 
l'étude
des propriétés des particules fondamentales. Il se compose de trois parties 
qui, hormis
les notations, sont totalement indépendantes les unes des autres.
· La première partie a trait à la production de champs magnétiques uniformes
ou variant linéairement avec la distance. Pour les premiers, on étudie le 
solénoïde infini et les bobines d'Helmholtz. Pour les seconds, c'est une 
variante de
la configuration d'Helmholtz qui est abordée. Cette partie, la plus longue de
l'épreuve, n'est pas conceptuellement ardue mais elle demande des calculs (qui
ne sont pas difficiles). Il faut être organisé pour réutiliser au mieux le 
travail
déjà fait dans de nombreuses questions et ainsi gagner du temps.
· La deuxième partie concerne l'expérience de Stern et Gerlach, qui a permis de
mettre en évidence la quantification du moment cinétique de spin des atomes de
lithium. Cette partie est la plus courte ; elle utilise principalement la 
mécanique
du point matériel.
· Dans la dernière partie, on s'intéresse à un dispositif expérimental utilisé 
pour
l'étude des particules de hautes énergies. Il s'agit de l'association d'une 
chambre
de dérive, où se produisent les collisions entre particules, d'une chambre 
proportionnelle qui amplifie le signal, et enfin d'une chambre à fils qui 
permet la
détection effective. Rappelons que c'est la mise au point de la chambre à fils
qui valut à Georges Charpak son prix Nobel en 1992. Cette partie traite 
principalement de différents mouvements de particules chargées et se termine par
quelques questions d'électrocinétique des régimes transitoires.
Dans l'ensemble, cette épreuve est d'une longueur tout à fait raisonnable.
Signalons que, même si les raisonnements et calculs demandés sont très 
classiques,
de nombreuses questions intermédiaires guident le candidat. Beaucoup 
d'applications
numériques, qu'il convient de ne pas négliger, sont demandées. Une seule 
question,
la 7 dans la première partie, se distingue par sa difficulté. C'est sans 
conteste la plus
délicate de tout le sujet : elle nécessite plusieurs raisonnements et pas mal 
de calculs
sur des dérivées partielles pour être correctement résolue. Elle est cependant 
indépendante du reste de l'épreuve : ne pas réussir à y répondre n'empêche 
nullement de
poursuivre.
En dehors de la question 7, qui fait intervenir les équations de Maxwell, cette
épreuve n'utilise que le programme de première année. Qui plus est, elle aborde 
un pan
du programme peu fréquent dans les épreuves écrites de concours, la 
magnétostatique,
et, dans une moindre mesure, les mouvements des particules chargées. Notons 
qu'il
est rare qu'une épreuve utilisant uniquement le programme de première année soit
proposée dans cette filière (contrairement à la filière MP, où c'est plus 
fréquent).
C'est l'occasion de rappeler que le programme des concours porte bien sur 
l'intégralité
de la formation reçue durant les deux années de classes préparatoires.

Indications
Partie I

-

1 Montrer par une analyse des symétries que B est porté par -
ez et que sa norme
ne dépend que de r. Le théorème d'Ampère permet ensuite de montrer que le
champ est uniforme à l'intérieur du solénoïde et que sa valeur est celle obtenue
par exemple sur l'axe.
3 Négliger l'épaisseur des bobines. Ainsi, tout se passe comme s'il y avait N 
spires
identiques de mêmes caractéristiques.
7 Écrire la conservation du flux du champ magnétique et l'équation de 
MaxwellAmpère en l'absence de source et les simplifier en utilisant les 
symétries établies
à la question 6. Dériver l'équation de Maxwell-Ampère par rapport à z et 
utiliser
la conservation du flux pour obtenir une équation aux dérivées partielles qui
ne fait intervenir que Bhz . Remplacer alors l'expression fournie par l'énoncé 
et
identifier . Calculer ensuite la fonction (r).
Partie II
15 Utiliser la définition de la température cinétique T à partir de l'énergie 
cinétique
d'agitation des particules à l'équilibre.
16 La relation entre une force conservative et son énergie potentielle associée 
est
--

-
F = - grad Ep . Appliquer le principe fondamental de la dynamique à un atome
de lithium pour déterminer la trajectoire.
Partie III
-

-
20 Le champ électrique E = -E 
ez uniforme est lié à la différence de potentiel U
par E  = U. Écrire ensuite le principe fondamental de la dynamique appliqué à
un électron d'ionisation. Attention lors de l'intégration de la vitesse vz , la 
vitesse

initiale vz (0) n'est pas nulle mais dépend de -
ve .
24 Le texte de l'énoncé n'est pas très clair. En fait, on suppose que l'énergie 
supplémentaire acquise par l'électron dans la chambre proportionnelle sert pour 
moitié
à ioniser des atomes d'argon.
26 Utiliser le principe de superposition. Rappelons que la charge d'une armature
d'un condensateur est reliée à la différence de potentiel entre les deux 
armatures
par Q = C V. Les armatures sont ici les limites du fil.
27 Considérer que 105 électrons sont captés par un fil pour déterminer q1 .

Dispositifs magnétiques
I. Création de champs magnétiques
ayant des propriétés particulières
I.A

Champ uniforme : solénoïdes et bobines de Helmholtz

1 Considérons un solénoïde infini ayant n spires

h
par unité de longueur d'axe -
ez , de rayon R et parcouru par un courant électrique d'intensité I. On traD
C

-

vaille dans la base cylindrique (-
er , -
e , -
ez ). Soit M un
r2
ez

-

-
point à l'intérieur du solénoïde. Le plan (M, er , e ) est r
1
I
plan de symétrie de la distribution de courant donc,
A
B

-
comme B est un vecteur axial (ou pseudo-vecteur),

-
c'est un plan d'antisymétrie du champ magnétique B .

-

Ainsi, B (M) est orthogonal au plan (M, -
er , -
e ), il est donc porté par -
ez .

De plus, la distribution de courants est invariante par rotation autour de 
l'axe -
ez

-
et par translation selon ce même axe ; par conséquent, le champ B ne dépend que
de la coordonnée r. On sait donc

-

B (M) = B(r) -
e
z

Rappelons rapidement quelques notions pratiques sur l'utilisation des symétries 
pour calculer un champ électrique ou magnétique. Les symétries planes
qui passent par le point où l'on calcule le champ permettent d'annuler des
composantes a priori tandis que les symétries planes qui ne passent pas par ce
point autorisent seulement à réduire le domaine où l'on doit calculer le champ
(c'est donc inutile si l'on cherche le champ en un seul point par exemple).
Pour un champ électrostatique (respectivement magnétostatique) qui est un
vecteur polaire (resp. axial), un plan de symétrie des sources est un plan de
symétrie (resp. d'antisymétrie) du champ.
Appliquons le théorème d'Ampère à un contour rectangulaire de longueur h

orienté plan (orthogonal à -
e ) entièrement inclus dans le solénoïde (voir schéma
ci-dessus, r1 et r2 sont quelconques). D'après l'étude des symétries et des 
invariances
précédente, la circulation du champ magnétique est nulle sur les segments BC et 
DA.
Comme il n'y a aucun courant enlacé, le théorème d'Ampère conduit à
h B(r1 ) - h B(r2 ) = 0
d'où

B(r1 ) = B(r2 )

Comme r1 et r2 sont choisis arbitrairement, cela montre que le champ est 
uniforme à l'intérieur du solénoïde. On choisit donc de le calculer en un point 
de l'axe.
Avant de calculer le champ créé par le solénoïde entier, on détermine le champ 
créé
par une spire circulaire simple de rayon R, de centre O en un point M de son 
axe.

Tout plan contenant l'axe -
ez est plan d'antisymétrie de la distribution de courant

-

-
donc plan de symétrie du champ B . Ainsi, le champ B (M) est contenu dans 
l'inter
section de tous ces plans ; il est donc porté par l'axe -
ez de la spire. On note  l'angle
sous lequel on voit la spire depuis le point M ; on a alors
tan  =

R
z

-

-

dB(M)
La loi de Biot et Savart permet d'écrire, si P est un point
ez
courant de la spire,
M

 --
-
-

µ0 I d   PM -

-

-

O
I
dBz (M) = dB(M) · ez =
d
- 3 · ez
4 k-
P
PMk

-
-
 
-
-

Comme d  = R d -
e , kPMk2 = R2 + z 2 et (dB, -
ez ) = - , on obtient
2
µ0 R I
dBz (M) =
sin  d
4(R2 + z 2 )
L'intégration est immédiate et on obtient finalement
-

µ0 I
R

B (M) =
sin  -
ez
2
2 R + z2
Or, on a

R
sin  = 
2
R + z2

-

µ0 I

B (M) =
sin3  -
ez
2R
On considère maintenant le solénoïde constitué
d'une infinité de spires identiques. Soit M un point
de l'axe de cote zM . D'après la loi de Biot et Savart, les dN = n dz spires 
situées entre les cotes z
et z + dz et repérées par l'angle  (orienté dans le
sens horaire) créent, en M, un champ
d'où

dz
d

-

ez

M

-

µ0 I dN

dB(M) =
sin3  -
ez
2R
R
R d
De zM - z =
, on déduit
dz =
tan 
sin2 
-

µ0 n I

dB(M) = -
d(cos )-
ez
2
Pour un solénoïde infini, il reste à intégrer sachant que l'angle  varie entre 
0 et .
On en déduit l'expression du champ magnétique à l'intérieur d'un solénoïde 
infini
Ainsi,

-

-
B = µ0 n I 
ez
Rédiger complètement et proprement cette première question ne présente
pas de difficulté particulière mais est tout de même assez long. Il convient de
savoir rester concis et efficace tout en étant complet. Il ne faut jamais perdre
de vue que la première question est le premier contact avec votre correcteur :
autant faire bonne impression !