Mines Physique 2 PSI 2006

Thème de l'épreuve Le chant des bulles
Principaux outils utilisés mécanique des fluides, ondes sonores

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Rapport du jury

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ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES,
ÉCOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE,
ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI)

- CONCOURS D'ADMISSION 2006
SECONDE ÉPREUVE DE PHYSIQUE
Filière PSI

(Durée de l'épreuve : 4 heures)
L'usage de la calculette est autorisé

Sujet mis à disposition des concours : ENSTIM, INT, TPE--EIVP
Les candidats sont priés de mentionner defaçon apparente sur la première page 
de la copie :

PHYSIQUE ]] -PSI

L'énonce' de cette épreuve comporte 8 pages.

0 Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une 
erreur d'énoncé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il est
amené à prendre.

0 Il ne faudra pas hésiter à formuler les commentaires (incluant des 
considérations numériques) qui
vous sembleront pertinents, même lorsque l'énoncé ne le demande pas 
explicitement.

. Notations : vecteur ----> V (gras) ; norme du vecteur V --> V (italique) ; 
vecteur unitaire ----> â.

LE CHANT DES BULLES

Ce problème étudie diverses propriétés liées à des bulles d'air dans l'eau. On 
rappelle que,
en l'absence de toute force volumique extérieure (et en particulier en 
négligeant la pesan--
teur, ce qui sera le cas dans tout ce problème), le champ des vitesses v (de 
norme U) dans

un fluide non visqueux de masse volumique p et le champ des pressions p sont 
liés entre
eux par la relation d'Euler d'une part, l'équation de conservation de la masse 
d'autre part :

p {(%) + (v.grad)v] = --grad ( p) , div (pv) + % = o.

2

Dans tout le problème, exprimer signifie donner l'expression littérale et 
calculer signi-
fie donner la valeur numérique.

{Rappel d'une identité vectorielle : (v.grad) v = --1-- grad (02 ) -- v A rot 
(v)}

Partie 1 Évolution de l'air contenu dans une bulle

I-1 Propagation du son dans l'air

Hypothèses et notations
L'air est considéré comme un fluide homogène et parfait dont le rapport des 
capacités ther-

C

miques 7 = ------"-- est constant. La masse volumique et la pression dans l'air 
au repos sont

C

V

notées respectivement Po et po. On étudie des mouvements de faible amplitude et 
de fai-

ble vitesse (approximation acoustique), de sorte que les termes du second ordre 
seront
négligés dans les équations d'évolution de la masse volumique p(r,t), de la 
pression

p(r,t) et de la vitesse V(l',t) du fluide, au point r et à l'instant t. On pose

pl(r,t)=p(r,t)--pO, ,01(r,t)=p(r,t)--p0 avec |p,|<<|pJ et |Pll<oo r----->R(t)

D 10 -- Toujours sous l'hypothèse lc," (t)l << RO, donner l'équation 
différentielle régissant

5 (t) ; on fera intervenir la pulsation de Minnaert COM : 37 = 27rfM.

Cl 11 -- Calculer wM eth pour R, =10"3 m, p, =105 Pa, p, =1,0><103 kg.m" et
7 = 1,40. Justifier l'hypothèse d'uniformité de la pression faite en I--2.
CI 12---- Donner, à l'ordre le plus bas par rapport à 5 (t) ou à ses dérivées, 
l'expression de la

vitesse U (r,!) et celle de la pression p(r,t) à la distance r du centre de la 
bulle. On cons-

tate qu'une modification de 5 (I) se répercute en une variation simultanée de 
la pression ;

quelle est l'hypothèse du modèle qui impose cette transmission instantanée des 
variations de

volume ou de pression '?

II-2 Propagation d'ondes acoustiques dans l'eau

Il faut donc considérer l'eau comme un fluide parfait compressible, de masse 
volumique
uniforme au repos pE ; la célérité des ondes acoustiques dans ce milieu est 
notée CE . On se

place toujours dans les conditions usuelles de l'approximation acoustique : les 
ondes sont de
faible amplitude et les équations de la dynamique des fluides sont linéarisées. 
Soit p(r,t)

la pression en un point de l'eau à la distance r ?. R(t) du centre. On admet 
que p(r,t) est

162

solution de l'équation Ap (r,t) : ----- p (r,t) et l'on cherche les solutions 
de cette équa-

e,3... "à?
"(N)

]"

tion sous la forme p (r,t) = po + p1 (r,!) = p0 + , ce qui définit 7r(r,t) .

Cl 13 ---- Établir et identifier (nommer) l'équation aux dérivées partielles 
[?] satisfaite par

1
7z(r,t). En déduire que la pression s'exprime sous la forme p(r,t) = po 
+--ça(u) , où
r

r----RO

CE

u = t-- . La fonction ç!) ne peut pas être déterminée à ce stade.

Cl 14 --- Exprimer l'accélération d'une particule d'eau, a(r,t) = a(r,t) êr , 
en fonction de

ç0(u), de sa dérivée ç0'(u) =%, de pE, CE et de r. Montrer que ça est solution 
de
u \
R d d'
l'équation différentielle, notée ci-après [1], --â---'--'î + (p(u) = pERâ f [1].
cE du du
, . . " d2 5 cF .
L'équation [l] admet la solution exacte (p(u) = pEcERO d 2 exp Î(z--u) dz, qu1
() Z 0

s'annule pour t = 0. Nous préfèrerons cependant adopter un traitement 
perturbatif du pro-
blème. On admettra que, passé le transitoire, la solution particulière de [l] 
s'écrit sous la

! ' r ' r o \ r _ R
forme d'une ser1e des der1vees successwes de g" par rapport a u [ u = t -- °) :
c
E

2 °° k Ro kd(k+2)
e(u)=eRogo<--I) [----] du...? (u).

E

E] 15 -- Sous quelle(s) condition(s) peut-on choisir pour p(r,t) l'expression 
approchée [54]

2 ] rr _R0 1 m A--R0
p(r,t)=pO+pERO{--g(1_r )_z_ë= (t--' H [31]

Cl 16 ---- On accepte la forme [$] et l'on suppose que le terme de dérivée 
troisième y est

négligeable. Exprimer sous cette hypothèse la continuité de la pression à la 
surface de sépa--
ration de la bulle d'air et de l'eau. En déduire l'équation d'évolution de 5 
(t), en faisant

intervenir à nouveau la pulsation de Minnaert (% = 3}/ introduite à la question 
10.

RâPE
Cl 17 ---- En quoi la forme des solutions {ça(r,t),p(r,t),v(r,t)} (ce sont 
toujours des

oscillations à la pulsation COM ) est-elle plus satisfaisante que la solution 
établie à la question

10 (établie sous l'hypothèse d'incompressibilité du fluide) ?

D 18 -- On considère maintenant que, dans l'équation [[A], le terme de dérivée 
troisième est

un terme correctif ; dans ces conditions, on admettra fondé d'exprimer ce terme 
comme la
dérivée troisième de la solution trouvée à la question 16. Etablir alors la 
relation

2 .--
p(rat)=po+,ÛgRâ lê"(t--r RO]+w_MÆ'(Î_r Ro]

En déduire, en relation avec la question 6, l'équation d'évolution

d25 d<Î
dt2 +2FwM--à--t+wjflë(t) :O.

D 19 ---- Discuter l'origine physique et la valeur numérique du coefficient 1". 
La Fig. 1
correspond à p() = 105 Pa et )/ = 1,40. Estimer, avec ces données, le rayon 
moyen de la

bulle.

--4-2 02 4 (: 010121410182022242'2

Fig. ] -- Forme du signal acoustique produit par une bulle d 'air dans l 'eau. 
Les abscisses sont gra--
duées en millisecondes. L'échelle verticale est en unité arbitraire (u. a. ), 
proportionnelle à l'amplitude
du signal acoustique.

(extrait de Passive acoustic bubble sizing in sparged systems, R. Menasseh et 
al., Mai 2000).

Partie III Couplage acoustique de bulles

Introduction à la partie II]

On étudie (Fig. 2) deux bulles sphériques d'air plongées dans l'eau, et dont 
les centres sont
disposés à la distance d l'un de l'autre. Le rayon d'équilibre de chaque bulle 
est le même et
l'on s'intéresse aux oscillations de taille de ces bulles, couplées 
acoustiquement entre elles.

On pose Rk (t) = R0 +Çk (t) avec k = 1 ou 2 et
l'on suppose, ce qui est largement réalisé dans la
pratique, que RO << d. On admet que la pression

dans l'eau au point M et à l'instant t s'écrit

lug.J '? Dr 111 hui/«99 d 1.1.r dans l'eau (51(1!15f5s

par le? haut pm]vur [IP. tha'rophmw M p(M)[) : po + pl (MJ) + p2 (MJ) ,

dc5mmfe Je s1tm 91 acoustzqur5 proc/wi par les

\,.

a»ullafmnæ /brEUR@m des bu]!rêS ' _ _ ,
ou Pk (t) est la surpressmn acoust1que causee par

l'oscillation de la bulle k. Cette relation signifie que le champ de 
surpression total est la
superposition des champs produits par chacune des bulles, supposée isolée. On 
admet aussi
que, pour un point Ak de la surface de la bulle k, la relation suivante, qui 
généralise la'rela-

tion [7%] de la question 6, est applicable :

P1 (Ak=t)+pz (Ak9t) +37, ëk (I) 0.
Po Ro

On admet enfin que, à l'instar de la relation établie à la question 18, la 
surpression
pk (MJ) rayonnée par la bulle k en un point M situé à la distance rk de son 
centre satisfait

la relation :

1 " 2 r ' ---R
pk(M>t)=Pb--RË{-- k("k)+--aîM--ëk(uk)],ou uk=t--rk °

rk cE

CE

On appelle mode l'ensemble (51, 52). Le mode symétrique satisfait 51 (t) = 52 
(t) et le

mode antisymétrique EUR] (I) : --.£2 (t) . On suppose enfin vérifiée 
l'inégalité CE << a)Md .

III--1 Étude théorique du couplage

E] 20 ---- Établir le système suivant, en particulier exprimer le paramètre de 
couplage & en
fonction de d et de R0 '

51"+ 0552" + 2FwM (ëi + &) + CÙÎ451 :
52" + aël"+ 2FwM (52, + ëi) + wÏ452 : 0

Cl 21 --- Le dispositif expérimental (Fig. 3) est
agencé pour produire des oscillations symé--
triques des bulles. Déterminer dans ce cas la
pseudo-période des oscillations amorties; on
supposera bien entendu satisfaite l'inégalité
F << 
103 kg.m°3) et

en utilisant l'expression de la pulsation de Minnaert donnée à la question 10, 
calculer le
(RQ )mown correspondant à fm..." . Quel est l'écart relatif entre ce rayon 
moyen et celui des

bulles réelles ?

E] 25 -- La forme des courbes et la relation, au jugé, entre leurs pentes 
sont--elles en accord
avec les prédictions théoriques ?

Cl 26 -- Les fréquences étant exprimées en kHz, le dépouillement des courbes 
donne, avec
des notations standard

» ::
' .l/.f. ..... --mndn.&mriätrimgn---.

0.52 43 .. fig . ' _. : . 2
/'" \ ...... ............. ,,,,,, .j_},__. .l_ï_â ...3...%
: ,,,,,,,, ï ...")... 72_= @ 1--0,97 â,a _
0_44 : ..... .. . .. .. _ ....... a ,
. .'... ............. . Analysez ces résultats.

«3.40

0.00 0.04 0.08 0.12" ,
Cl 27 ---- On constate que les durees
Fig. 4 --- Emi/alim: de nmdas ab.rci.5tre : R.;yOEf et" caractéristiques de
r .: - ... r --. , 9 '
omimmee : !.{7'3 ; la__ff"tæ*(ÿïitfifætfiéj cast rm kHz. ] amortissement des 
"...des

symétrique et antisymétrique sont
quasiment identiques. Quels sont les phénomènes, non pris en compte ici, qui 
pourraient
rendre compte de ce désaccord avec la prévision théorique '?

Cl 28 -- Des travaux de NYSTUEN (1999) visent à utiliser des enregistrements 
acoustiques
pour mesurer les débits de pluie dans l'océan, en utilisant des microphones 
immergés.
Comment l'enregistrement acoustique des oscillations de bulles peut-il être 
relié à la mesure

de la pluviométrie ?

Fin de l'énoncé

Notations, rappels -- Un système d'axes orthonormés direct Oxyz est associé à 
la base

A A A

directe (e e e ), voir Fig. page suivante. On lui associe un système de 
coordonnées

x' y'z

sphériques de centre O et d'axe Oz, noté (r,6,ça) et associé à la base locale 
(êr,ê9,ê(p).

En coordonnées sphériques, les expressions du gradient et du laplacien d'une 
fonction f ne
dépendant que de la distance r au centre 0 sont

grad(f) =â_f;ê' : f'(r)êr

Af : --1Î--c--l--(r2 ë--f--)
r dr dr

=f"(r)+zf'(").

r
Pour un vecteur ne dépendant que de r :

div(W) = li(r2W(r))

r2 dr

Enfin, pour tout vecteur a, rot [rot (a)] : grad [div (a)] -- Aa.

Fin du problème

Le dispositif historique de Minnaert.

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Mines Physique 2 PSI 2006 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Georges Rolland (Professeur agrégé) ; il a été relu 
par
Pierre-Marie Billangeon (ESPCI) et Stéphane Ravier (Professeur en CPGE).

Ce sujet se compose de trois parties largement indépendantes et traite 
d'oscillations de bulles d'air dans l'eau. Mis à part le début de la première 
partie, l'ensemble
du problème s'écarte très largement du cours.
· La première partie consiste en l'établissement de l'équation des ondes 
sonores,
raisonnement classique de cours, et à son application à la bulle d'air ; elle 
doit
être résolue sans problème.
· La deuxième partie introduit deux modèles d'oscillations de bulles et compare 
leurs prévisions. La sous-partie II.2, qui envisage la propagation des ondes
sonores dans l'eau à vitesse finie, est plus délicate et demande une bonne 
assimilation des phénomènes propagatifs et de leur dépendance en temps et en
espace.
· La dernière partie du problème traite du couplage acoustique de deux bulles ;
elle présente des questions qualitatives pour tester le sens physique (et 
l'imagination) du candidat. Son niveau reste abordable.
L'ensemble est d'une longueur raisonnable et ne comporte pas de question très
délicate ou trop calculatoire. De nombreux résultats sont fournis, ce qui aide 
à leur démonstration et permet de ne pas buter sur une difficulté ponctuelle. 
Il exige toutefois
du candidat attention et rigueur pour éviter quelques pièges, parfois assez 
subtils.

Indications
Partie I
3 Dériver l'équation de conservation de la masse par rapport à t, prendre la 
divergence de l'équation d'Euler de façon à éliminer les termes en v.
6 Exprimer la (petite) variation de volume de la bulle en fonction de (t) et 
utiliser
la loi de Laplace.
Partie II
7 Utiliser l'hypothèse d'incompressibilité de l'eau et donc la conservation de 
son
volume lors de la dilatation de la bulle (R - R + dR).

10 Intégrer par rapport à r l'équation obtenue à la question 8 avec les 
conditions
initiales déterminées à la question 9. Négliger le terme du second ordre pour
obtenir l'équation différentielle d'un oscillateur harmonique.
13 Utiliser le formulaire fourni pour exprimer le laplacien de p en fonction de 
.
L'équation de d'Alembert satisfaite par (t) admet deux solutions, dont une doit
être rejetée.
14 Appliquer le principe fondamental de la dynamique à une particule d'eau.
15 Utiliser le fait que r est voisin de R0 .
18 Exprimer   en fonction de   .
19 L'amortissement est faible, la période mesurée sur la figure 1 peut être 
assimilée à
la période propre. L'enveloppe du signal, une exponentielle décroissante, permet
d'accéder à .
Partie III

20 Il y a ici une erreur d'énoncé, on doit lire cE  M d.
Ne pas oublier de prouver que l'on peut confondre u1 , u2 et t pour obtenir les 
équations demandées. Pour cela, comparer la longueur d'onde des ondes de 
pression
dans l'eau à la distance séparant les deux bulles.

Le chant des bulles
I. Évolution de l'air contenu dans une bulle
1.

Propagation du son dans l'air

1 L'équation d'Euler s'écrit en introduisant 1 et p1 :
"
#

-
-

--
-
v

(0 + 1 )
+ (-
v . grad )-
v = - grad (p0 + p1 )
t
-- 

Puisque |1 |  |0 | et p0 = Cte , et en négligeant le terme convectif (-
v . grad )-
v,
du deuxième ordre, on obtient

--
-
v
0
= - grad (p1 )
t
Pour les mêmes raisons, l'équation de conservation de la masse peut se 
simplifier en
1

0 div (-
v)+
=0
t
2 L'évolution de l'air est isentropique car :
· adiabatique : transformations trop rapides pour permettre un échange de 
chaleur avec le milieu extérieur ;
· réversible : compressions-détentes de faible amplitude.

Soit une masse m d'air, occupant un volume V. Sa masse volumique vaut  = m/V,
le coefficient de compressibilité isentropique s'écrit donc :

1 V
 (m/)
(1/)
1 
0 = -
=-
= -
=
V p S
m
p
p
 p S
S
S
 
1 
Soit, en assimilant  à 0
0 =
0 p S

1 et p1 représentent respectivement les petites variations de masse volumique et
de pression lors de l'évolution isentropique de l'air contenu dans la bulle, 
donc
0 =

1 1
0 p 1

L'air, considéré comme un gaz parfait, suit, lors de sa transformation 
isentropique,
la loi de Laplace pV = Cte . En en prenant la différentielle logarithmique, il 
vient
dp
dV
+
=0
à entropie constante
p
V

V
V
d'où
=-
p S
p

1 V
1
donc
0 = -
=
V p S  p
Soit ici

0 =

1  1
=
p
 p0

3 D'après la question 2, on a 1 = p1 0 0 . La conservation de la masse s'écrit 
donc
p1

=0
0 div -
v +  0 0
t
Soit, après dérivation par rapport au temps :

 2 p1

0 (div -
v ) +  0 0 2 = 0
t
t
Les variables spatiales et temporelles sont indépendantes, on peut donc permuter
l'ordre des dérivations pour obtenir

-
v
 2 p1
0 div
+  0 0 2 = 0
t
t
La divergence de l'équation d'Euler donne

-
v
= -p1
0 div
t
Par identification de ces deux résultats, on aboutit à l'équation d'évolution 
de p1 :
p1 - 0 0

 2 p1
=0
t2

Pour des ondes planes se propageant suivant

+
- x,

celle-ci s'écrit :

 2 p1
1  2 p1
1
-
= 0 avec c = 
x2
c2 t2
 0 0
C'est une équation de d'Alembert, dont la solution générale est la 
superposition de
-

deux ondes se propageant suivant +
- ux avec la célérité c (f et g sont deux fonctions
arbitraires) :
p1 (x, t) = f (x - c t) + g(x + c t)
4 L'application numérique donne
r
 p0
c=
= 328 m.s-1
0
La plage de longueur d'onde du domaine audio est déterminée grâce à la formule
classique  = c/f :
3, 3 cm <  < 3, 3 m

2.

Étude d'une bulle d'air

5 Une éventuelle inhomogénéité de pression dans la bulle peut provenir, soit de
phénomènes statiques (augmentation de la pression avec la profondeur, tension 
superficielle), soit des variations dynamiques de pression dues aux ondes de 
pression
qui se déplacent dans la bulle.
· L'énoncé demande de négliger la tension superficielle et la variation de 
pression
hydrostatique dans l'eau. A fortiori, comme la masse volumique de l'air 0 est
très faible devant celle de l'eau E , l'augmentation statique de pression dans
l'air est elle aussi négligeable.