Mines Physique 2 PSI 2005

Thème de l'épreuve Écoulement de fluide dans une roche
Principaux outils utilisés cinématique des fluides, équation de Navier-Stokes, équation de diffusion

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES,
ECOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L'AERONAUTIQUE ET DE L'ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCEES, DES TELECOMMUNICATIONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINES DE NANCY,
DESTELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE,
ECOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI)

CONCOURS D'ADMISSION 2005
SECONDE ÉPREUVE DE PHYSIQUE
Filière PSI
(Durée de l'épreuve : 4 heures)

Sujet mis à disposition des concours : Cycle international, EN STIM, INT, 
TPE-EIVP
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page 
de la copie :

PHYSIQUE ][ --PSI

L'én0ncé de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière PSI, 
comporte 8 pages.

- Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une 
erreur d'énoncé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il
est amené à prendre.

0 Il ne faudra pas hésiter à formuler les commentaires (incluant des 
considérations numériques)
qui vous sembleront pertinents, même lorsque l'énoncé ne le demande pas 
explicitement.

A

. Notations : vecteur ---> V (on pourra écrire V) ; vecteur unitaire de la 
coordonnée c : c.

ÉCOULEMENTS DE FLUIDE DANS UNE ROCHE

L'objet de ce problème est de dégager des paramètres importants en 
pétrophysique. Un
gisement est constitué d'un ou de plusieurs réservoirs superposés, ou proches 
latéralement ;
le réservoir est une formation rocheuse du sous-sol, poreuse et perméable, 
renfermant une
accumulation naturelle d'hydrocarbure et limitée par une barrière de roche 
imperméable. La
caractéristique essentielle de ces réservoirs est que ce sont des milieux 
poreux : les fluides
sont stockés se déplacent dans des pores de dimensions de l'ordre du um, ce qui 
met en jeu
de forces de viscosités et de capillarité. La pétrophysique est l'étude des 
caractéristiques
physiques des roches. Pour qu'une roche puisse constituer un réservoir, il faut 
:

- qu'elle ait une certaine capacité de stockage, propriété caractérisée par la 
porosité,

- que les fluides puissent y circuler, propriété caractérisée par la 
perméabilité et

- qu'elle contienne une quantité suffisante d'hydrocarbure, avec une 
concentration suffi-
sante, propriétés caractérisées par le volume imprégné ainsi que la saturation 
des pores.

I -- Étude d'un écoulement

La pesanteur est négligée dans cette partie. On s'intéresse à l'écoulement 
incompressible
d'un fluide de viscosité dynamique 11 et de masse volumique p dans un tuyau 
cylindrique

d'axe Oz et de rayon a. Cet écoulement, considéré comme unidirectionnel, est 
caractérisé,
dans un repère de coordonnées cylindriques (r,9,z) d'axe Oz par un champ de 
vitesse

v : v(r,z,t) î satisfaisant l'équation de Navier--Stokes,

pâv

pât -----+p(v .vgrad) =---gradP+nAv. [l].
_D__p .D_p_ ê__p
L" ncom b l' t traduit ar---- -- --0, =------ v rad
1 press111ése p Dt ou-- Dr Bt +( g )p.

On trouvera en fin d'énoncé un formulaire relatif aux coordonnées cylindriques 
et une for-
mule d'analyse vectorielle qui pourra se révéler utile.

D 1 -- Rappeler la signification de chacun des quatre termes de l'équation [1]. 
Écrire
l'équation (qui sera notée [2]) traduisant, dans le cas général, la 
conservation de la matière et
simplifier cette équation pour tenir compte de l'incompressibilité de 
l'écoulement.

D 2 -- Montrer qu'en régime stationnaire le champ des vitesses ne dépend que de 
r et que sa
dérivée convective est nulle. On se placera désormais en régime stationnaire.

Cl 3 -- Montrer alors que la pression ne dépend que de la variable z, puis 
établir l'équation

. . . . dP dP
d1fferent1elle liant U(r) à r et ---- .En déduire que -- est nécessairement 
constant.

dz dz

Cl 4 -- Considérant que v,(O) a une valeur finie, déduire de ce qui précède la 
loi de Poi-

seuille, vz(r)=--l-- £ (r2--a2). Tracer l'allure du graphe de v Z(r )pour 
-d--lî 0 ). Les parois 
latérales sont

étanches et il n'y a pas de réaction du fluide sur la roche (cas général) ; 
dans ces conditions,

k dP , . , . . , .. . . . ,
Q = A -----, ou k, coeffic1ent de permeab1hte est, en prem1ere approx1mat10n, 
mdependant

n dz
du fluide considéré (C'est la loi de Darcy).

Cl 11 --- Quelle est la dimension de k ?

D 12 -- En modélisant l'échantillon de roche comme un faisceau de N (N >> 1) 
cylindres

creux, de rayon & (a << «/Z), juxtaposés et d'axes parallèles à Oz, les 
interstices étant

pleins, montrer que la loi de Darcy peut être déduite de l'écoulement de
Poiseuille étudié dans la première partie ; quelle serait, dans cette modéli--
sation, et en négligeant l'aire des interstices, la valeur de la constante k ?
Quelle est sa limite pour N infini ?

Cl 13 ---- Toujours dans le modèle de la roche à tubes cylindriques parallèles

1dent1ques, quelle est la relatmn hant q) = --P ak '? Pour l'etabhr, on cons1--

VT
dèrera le triangle tracé ci--dessus et l'on négligera l'effet de bord, 
c'est-à--dire l'influence de
l'enveloppe circulaire des tubes élémentaires.

CI 14 -- En raison de l'effet de bord, le problème de la limite de k et de 

E. Montrer que la vitesse d'écoulement en un point à la distance r de l'axe est propor-- tionnelle à 1/r ; que peut--on en déduire sur le débit Q(r) ? Admettant que la loi de Darcy s'écrive ici Q = A --k---C-l--IÎ- : 27rrh --k--Ë, appliquer cette loi entre deux cylindres de rayons r et n d r T] dr r +dr et par intégration calculer P, -- P,-- en fonction de h, k, 71, R,, Re et Q. :(_--['_--': «--------£--------> - -n --. --: --: *: --u *: °: --. ': ----,. '-4 ,-«.:\a\aka\ukx\nkn\a\n':&".«38'. u'*u""""--"*&"*u'*u'*u'*t"u'*:"n' '*a'*a"u'*a «;, gasmv.:«zæaæzæzæzæî h2 : :_ a a" & u : : % îî.û'.tîæ """ 53333" Y ': « 'u'*n' "*: ; 'i'uaäs'n q%t%n\n&&\a\qäq "»" ' *'£f£EUR--:='-'.£-'.üt'-':--'äïäi --=='-=='%='ëää$--=OE ' '- ...- ' EUR;{iÿifi-i-5-fi 5':':':':EUR. 'n'.'-.' f..'l.'lfI.'U-" '-.'-.'n.'-.' '.-_' l'..'.n5l\ï QuE-'.- ...-Juil..- k2, Q ...--"I. _ '.'."-':Ë}Ï.-- .--æ-.--æ- [C] [D] Fig. 3 : diverses géométries d'écoulements : simple en [A], parallèle en [B], série en [C] et cylindrique en [D]. Les flèches indiquent le sens des divers écoulements. rayon a creusé dans la roche poreuse et situé loin des limites de la couche géologique est notée R ; on constate qu'à partir d'un certain rayon R, (rayon de drainage) la pression ne varie plus et vaut PG (pression de gise- mentl) ; exprimer le débit du puits en fonction de P6, P], R, a, h, 17 et k. Puits de forage 1 Cette « saturation » exprime la limite de validité de la loi donnant Pe -- R en fonction des rayons. Modélisation fractale autosimilaire Pour décrire le milieu poreux de manière plus réaliste qu'avec le modèle des cylindres parallèles identiques, l'Institut Français du Pétrole a développé un modèle où le milieu est toujours représenté par un assemblage de tubes cylindriques parallèles à la direction d'écoulement, mais où les rayons des tubes sont décrits de manière itérative : le périmètre du disque initial, de rayon ro, est divisé en 2v parties égales (v est la lettre grecque « nu >>). Chacune de ces parties est prolongée par un demi disque s'appuyant sur le contour du grand cercle. L'entier vétant assez grand, on néglige la courbure du cercle de départ. On divise ensuite le contour de chaque demi--disque ainsi créé en v parties égales, sur lesquelles on ajoute des demi-dis- Une figure auto--similaire. L 'enve-- loppe est un cercle de rayon R... ' ques et ainsi de suite. A la p--ième étape on compte [) . . 7ï . , . NP =2>°° ln(£) du processus par le nombre réel positif, non nécessaire-- ment entier, Dc(v). Calculer Dc(v) en remarquant que ln M ln N lim--( ")=1im------( ") p--->°° ln(8) p-->°° ln(8) graphiquement le résultat pour 3 S v S 10. Supposant que, dans un échantillon de section A,. chacun des tubes élémentaires définit un écoulement de Poiseuille, retrouver, dans le cadre de ce modèle, l'expression de la perméabilité k de la loi de Darcy en fonction de $, v (v > 2) et ro. Sachant que l'on peut déduire de certaines mesures Dc : 1,4, faire l'application numé- rique et comparer le résultat à celui de la question 12. . La figure ci-contre illustre IV Essai de puits On considère la circulation d'un fluide unique dans la couche rocheuse poreuse (hydrocar-- bure seul, sans eau et sans gaz dissous). Le gisement est homogène et isotrope, de perméabi-- lité k et de porosité @. La température du gisement est uniforme, la roche est incompressible et l'hydrocarbure possède un coefficient de compressibilité isotherme ){T constant. La vitesse de filtration, V,", est le rapport du débit Q traversant une section à l'aire A de cette section. D 21 ---- Montrer que la loi de Darcy est compatible, pour un écoulement stationnaire hori- k . , . . zontal, avec la relation Vfi, : ------grad P. Quelle difference y a-t-1l entre la Vitesse de filtra- tion V_fi, et la vitesse v d'un point du fluide, telle qu'elle est introduite dans les premières questions ? D 22 -- Exprimant le bilan de matière dans une portion de cylindre de section A et de lon- gueur dz , écrire la loi de conservation de la masse du fluide sous la forme %Ê-= --div(pVfi,). D 23 -- Justifier qu'en première approximation l'on puisse accepter pour équation d'état du fluide la relation p= p0[1+ XT(P-- Po )] ; 5P étant la variation typique de pression envisa- gée dans la suite, quelle inégalité relative au produit 17--513 cela implique--t--il '? D 24-- Au prix de quelle inégalité supplémentaire l'équation aux dérivées partielles l . . . . . AP : ----ê--P-- se déduit-elle de ce qui précède ? Il n'est pas demandé de JUSt1fiEURI' cette méga-- K Bt lité ; exprimer K en fonction de k, 0), n et XT- Comment peut-on, par analogie, nommer K '? Cl 25 -- Calculer K pour k : 4,0><10"13 m2,

<10"9 Pa"' et n = 0,10 Pas. D 26 -- La loi de Darcy, établie pour un régime permanent, est à la base de l'équation de la question 24, qui décrit un régime transitoire de pression. Dans quelle mesure cette dernière équation est--elle admissible ? FIN DU PROBLÈME Formulaire page suivante. Coordonnées cylindriques d'axe Oz ; les vecteurs unitaires sont f, 0 et 2 Une formule utile : f étant une fonction et A un vecteur, div(fA) : fdiv(A)+ Agrad( f). FIN DE L'ÉPREUVE 1905-2005 Relation d'Einstein pour un mouvement lent La viscosité 17 d'une solution peut intuitivement être représentée par un développement en série de la concentration c du soluté : n(c)=no(l+klc+kzcz+....), ce qui entraîne n_Y=--îl---l= klc+k2c2+.... Einstein a établi pour des particules sphériques la relation 770 77.ç = 2,5qî , où d) est la fraction volumique du soluté dans la solution. Si V,,_ est le volume hydraté d'une particule de masse molaire M et NA le nombre N d'Avogadro, alors $ : Vh _]ÎÎ--C'

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Mines Physique 2 PSI 2005 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Benoît Lobry (Professeur en CPGE) ; il a été relu par
Julien Dumont (ENS Cachan) et Stéphane Ravier (Professeur en CPGE).

Cette épreuve porte sur la modélisation des écoulements d'hydrocarbures au sein
des roches poreuses. L'énoncé du problème forme un ensemble cohérent, progressif
et de longueur raisonnable. Il comporte quatre parties indépendantes :
· dans la première, on étudie classiquement l'écoulement de Poiseuille en 
géométrie cylindrique ;
· une deuxième partie, très simple, est consacrée à la définition et à la 
mesure de
la porosité d'une roche ;
· la troisième partie est certainement la moins aisée ; on y introduit la 
notion de
perméabilité d'une roche poreuse, que l'on étudie dans diverses configurations ;
· enfin, dans la quatrième et dernière partie, les notions de perméabilité et 
de porosité introduites précédemment permettent d'établir une équation de 
diffusion
de la pression dans les matériaux poreux.
Les concepts physiques mis en jeu dans ce problème sont peu nombreux : les
résultats ne se rapportent qu'à la cinématique et à la dynamique des écoulements
visqueux. Malgré une erreur et quelques questions plutôt elliptiques, l'énoncé 
est
suffisamment directif. À l'exception des questions relatives à la modélisation 
fractale,
il ne requiert pas de longs développements calculatoires et beaucoup de 
résultats
intermédiaires sont donnés. Ce problème est donc d'une difficulté raisonnable.

Indications
Première partie

1 Développer div (-
v ) selon le résultat du formulaire.
3 La pression P ne dépend que de z et la vitesse v ne dépend que de r.
7 Définir la notion de couche limite.
Deuxième partie
9 Prendre en compte les masses des nacelles et le volume de la nacelle de 
droite.
Les forces exercées sur chacune des nacelles sont égales quand la balance est
équilibrée. Dans la deuxième méthode, le premier temps est similaire au schéma
de gauche de la question 10.
10 Le volume de solvant déplacé correspond au seul volume solide VS .
Troisième partie
--
-
11 Les vecteurs grad P et  v ont la même dimension.
12 Dans la loi de Darcy, la variation de pression est -dP. Considérer que l'aire
apparente vérifie A = Na2 .
13 Utiliser et justifier que  correspond au quotient de l'aire réelle Ar des 
pores dans
le triangle par l'aire apparente A du triangle. On ne demande pas de calculer A.
15 Intégrer la loi de Darcy en prenant garde à l'algébrisation de dP.
16 Justifier qu'il faille sommer les débits pour l'association parallèle et les 
différences
de pression pour l'association série.

17 Considérer que div -
v = 0 et utiliser le formulaire.
19 Calculer M = Ar /A selon les formules de l'énoncé en utilisant
+

P

p=0

qp =

1
1-q

pour

|q| < 1

20 Remplacer  par p dans la définition de Dc (). Utiliser le résultat de la 
question 5
sachant qu'à chaque étape, p = 0 incluse, correspondent Np = 2 p demi-disques
de rayon rp . Faire apparaître Ar puis A à l'aide de la question 19.
Quatrième partie
21 Dans la loi de Darcy, la variation de pression est -dP.
22 La masse de fluide entre z et z + dz est Adz.
23 Effectuer un développement à l'ordre 1 de la masse volumique  par rapport à 
la
variable P, à température constante.
24 Justifier que seules les dérivées particulaires peuvent relier 
rigoureusement les
champs eulériens  et P selon l'équation d'état de la question 23. Utiliser 
l'équation
de la question 22 à l'ordre le plus bas non nul et la relation de la question 
21.

I. Étude d'un écoulement
1 L'équation [1] correspond au principe fondamental de la dynamique appliqué à
une particule fluide de volume unitaire. On y reconnaît :

-
v
de la particule dans un écoulement non stationnaire ;
· l'accélération locale
t
-- 

· l'accélération convective (-
v · grad )-
v de la particule en mouvement dans un
écoulement non uniforme ;
--
· la résultante volumique - grad P des forces de pression ;
-
· la résultante volumique  v des forces de viscosité.
L'équation [2] de conservation de la matière (ou de la masse) s'écrit

+ div (-
v)=0
t
--
 -

+
v · grad  +  div -
v =0
t
--
--

Comme  est un scalaire, (-
v · grad ) = -
v · grad  et l'équation précédente s'écrit
soit selon le formulaire

D

+  div -
v =0
Dt
En écoulement incompressible, le premier terme étant nul, il reste

div -
v =0

2 La symétrie de révolution fait que le problème suppose a priori que -
v est indépendant de l'angle . Par ailleurs, comme le régime est stationnaire, 
les champs eulériens

,
sont indépendants du temps. Enfin, en écoulement incompressible avec -
v = v-
u
z
v
-
div 
v =
=0
z
-
donc 
v est indépendant de la cote z et ne dépend que du rayon r.
-- 

Pour montrer que la dérivée convective (-
v · grad )-
v est nulle, il suffit de considérer

, on a
qu'avec -
v = v-
u
z

--

-

v · grad = v
z
et qu'ainsi

-- 

 = -
(-
v · grad )-
v =v
v(r, t) -
u
0
z
z

-
v
-
,
est nulle et selon le formulaire, avec 
v = v(r) -
u
z
t

-
 = 1 d r dv -

v = v -
u
u
z
z
r dr
dr
 et -
:
L'équation [1] donne alors, en projection sur -
u
u
r

3 En régime stationnaire,

0=-

P
r

et

0=-

1 P
r 

 conduit à
Ainsi, P ne dépend que de z et la projection de l'équation [1] selon -
u
z

dP  d
dv
0=-
+
r
dz
r dr
dr

dP
 d
dv
soit
=
r
dz
r dr
dr
Dans cette égalité, les termes de gauche et de droite ne dépendent que de la 
cote z et
du rayon r respectivement. Comme ces deux variables sont indépendantes, les deux
termes de l'égalité sont nécessairement égaux à une même constante.
4 Partons de l'égalité précédente, sous la forme

dv
1 dP
d
r
=
r
dr
dr
 dz
et intégrons-la par rapport à r en

dv
1 dP
dv
1 dP
A
2
r
=
r +A
soit
=
r+
dr
2 dz
dr
2 dz
r
puis une nouvelle fois en
 
1 dP
v(r) =
r2 + A ln r + B
4 dz
où A et B sont deux constantes d'intégration. Physiquement, v(r) ne peut 
diverger
en r = 0 : la constante A est donc nécessairement nulle. Par ailleurs, la 
condition
d'adhérence du fluide en r = a sur la paroi fixe du tuyau impose
 
1 dP
v(a) = 0
soit
B=-
a2
4 dz
 
1 dP
Finalement,
v(r) =
(r2 - a2 )
4 dz
Comme

dP
< 0 et r 6 a, la vitesse v(r) est positive et a un profil parabolique.
dz
v(r)

v(0)
z

0

a

r

5 Le débit volumique qui s'écoule au travers de la surface (S) de la conduite 
est
ZZ
Z Z

-

-
QP =
v · dS =
v(r) × r dr d
(S)

r 

en coordonnées cylindriques. Ainsi,
  Z a
Z 2
1 dP
QP =
×
(r2 - a2 )r dr ×
d
4 dz
r=0
=0
   4
1 dP
a
=
× -
× 2
4 dz
4
 
dP
a4
On a donc
QP = - K
où
K=
dz
8