Mines Physique 2 PSI 2003

Thème de l'épreuve Production et stockage d'hologrammes
Principaux outils utilisés optique ondulatoire, diffusion
Mots clefs holographie, cristal photoréfractif, diffusion de particules, loi de Boltzmann

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Rapport du jury

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES,
ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURS DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE
DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TELECOMMUMCATIONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE
ECOLE POLYTECHNIQUE (FILIERE TSI)

CONCOURS D'ADMISSION
SECONDE ÉPREUVE DE PHYSIQUE
Filière PSI
(Durée de l'épreuve : 4 heures ; l'usage de la calculatrice est autorisé)
Sujet mis à disposition des concours : Cycle international, EN STIM, INT, T 
PE-EIVP

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page 
de la copie :
Physique Il -- Filière PSI

L'énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats de lafilière PSI, 
comporte 7 pages.

0 Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une 
erreur d'énoncé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il est

amené à prendre.

0 Il ne faudra pas hésiter à formuler tout commentaire qui vous semblera 
pertinent, même lors-
que l'énoncé ne le demande pas explicitement. Le barème tiendra compte de ces 
initiatives ainsi que

des qualités de rédaction de la copie.

. Convention typographique : un vecteur est noté en gras, par exemple A ; le 
vecteur unitaire
pour la coordonnée et est noté ua .

PRODUCTION ET STOCKAGE D'HOLOGRAMMES

L'addition cohérente de deux ondes optiques produit une figure d'interférence, 
dont
l'enregistrement est nommé hologramme. L'holographîe consiste en l'étude de la 
production
et de l'utilisation d'hologrammes; elle diffère de l'étude classique 
d'interférences par la
complexité des ondes qui interférent et celle du dispositif expérimental. Un 
hologramme peut
produire l'image tridimensionnelle d'un objet. L'utilisation d'hologrammes est 
largement
répandue à des fins publicitaires, éducatives, techniques ou artistiques.

Les deux parties de ce problème sont indépendantes entre elles ; la partie I 
concerne la pro--
duction et la restitution d'un certain type d'hologrammes, dits épais, la 
partie Il s'intéresse à
une méthode d'enregistrement d'hologramme s'appuyant sur l'effet 
photoréfiactif, caractérisé

plus bas.
Toutes les longueurs d'onde dont il sera question sont les longueurs d'onde 
dans le vide.

Partie I : Holagrammes épais

Pour former l'hologramme d'un objet, on utilise (Fig. 1) une onde lumineuse 
plane monochro--

matique, de pulsation a), de longueur d'onde «éf, qUe l'on sépare en deux 
faisceaux. L'un des
faisceaux sert d'onde de référence ; l'autre faisceau éclaire un objet, et 
subit simultanément

réflexion, réfraction et diffusion. L'hologramme est produit en faisant 
interférer sur une
plaque photosensible l'onde de référence avec l'onde ayant éclairé l'objet. 
L'utilisation
ultérieure d'un faisceau de lecture (Fig. 2) permettra d'obtenir, en 
transmission dans ce

problème, une onde non plane, de pulsation a), caractéristique de l'objet.

On note g(M,t)= A0bj (M )exp[i(wt-- w(M))] l'amplitude complexe au point M et à 
l'instant
t de l'onde issue de l'objet. Dans le trièdre orthonormé Oxyz, l'onde de 
référence, d'amplitude
Aoe'f, de phase nulle au point O et à l'instant t = O, est caractérisée par son 
vecteur d'onde
km,}, : n;f (ux sin ça+ uZ cosa). On la note A,éf exp[i(æt-- k,éf .OM)] et l'on 
suppose, dans
tout le problème, l'amplitude A,éf de l'onde de référence très supérieure à 
celle de l'onde issue

A _
de l'objet:--"ï=--°ËL, |m|<<1.
2 A

réf
L'intensité [(M) au point M d'une onde d'amplitude complexe Q(M, t) sera 
conventionnel-

lement définie par le carré du module : I (M ): g(M, t); *(M,t)= | 5(M, t)l2.

Faisceau
issu de l'objet

Plaque
photosensible

Plaque photosensible,
après enregistrement

...... ?...--.)

F ' . ' '
lg ] Enregistrement d un hologramme Fig. 2 Lecture en transmission d 'un 
hologramme

On établit aisément (et l'on admettra) l'expression suivante de l'intensité 
lumineuse [(M)
au point M de la plaque photosensible :

[(M ): 1...(M)+ 1,5 + 2/1 (,,,, (M )A,éf cos [w(M )- k,é,.om] [1]

On suppose dans tout le problème que l'objet dont on forme l'hologramme est 
ponctuel et
situé à l'infini sur l'axe Oz (Fig. 1); il génère alors une onde plane de 
vecteur d'onde

k ob ]. = k , u d'amplitude Aobj << Aréf, en phase avec l'onde de référence au 
point 0. La

ref 2'

phase de cette onde plane est donc: l/I(M)= w(x, y ,z ): k0bj.OM . On admettra, 
sans chercher
à l'établir, que la relation [1] donne, à l'ordre le plus bas en m :

I(M)= 10[1 + m eos(OM.Ak)], [2]

où Ak= kobj ---- kréf. La figure d'interférence est enregistrée sur une plaque 
photosensible

X X

parallélépipédique (c'est l'hologramme !). Ce parallélépipède est défini par 
--îS x S --2--,

Y Y e e
---55 ys--â- et ---2- 5 2 S -2-. On suppose e<< X et e<< Y, inégalités dont on 
ne man--

quera pas de tirer les conséquences pratiques, en termes de diffraction. La 
mémoire hologra--
phique est située dans la zone de recouvrement du faisceau de référence et du 
faisceau issu de
l'objet. En dehors de la mémoire holographique, les ondes se pr0pagent dans 
l'air, assimilé au

%
vide. On rappelle la relation :J " exp( 2i7z%Ë) dx : u sinc(£î£) .
"z

Enregistrement et lecture d'un seul hologramme.

E] 1 --- L'onde de référence et l'onde issue de l'objet (en phase au point 0) 
sont de même

longueur d'onde «;éf, et de vecteurs d'onde respectifs k,éf(sincp u, + comp 
u,) et kréf u,. Déduire
de la relation [1] que l'intensité lumineuse à laquelle le point M(x, y, z) de 
la mémoire
holographique est soumis lors de l'enregistrement s'écrit :

I(M)= [, 1+ mcos{2kw x [xcos(--Ë) --- zsin(--Ë) ]>< sin(-ËH [3]

Cl 2 -- La mémoire holograquue est éclairée, comme indiqué Fig. 2. L'élément de 
volume dt
entourant un point M de cet objet émet dans ces conditions une onde difl'ractée 
en phase avec

l'onde de lecture en M, d'amplitude dA(M)= KA," [a + bl (M)]dr, où K, a et b 
sont des

constantes positives réelles et A..., représente l'amplitude de l'onde de 
lecture. L'amplitude

diffractée à l'infini dans la direction de vecteur unitaire u., = sin9d ux + 
cos &; uz (on néglige
donc la diffraction selon Oy) s'écrit :

A(m)= jflMemmdA(M).exp{--z'A(M,ud>}

où A(M, u.,) représente le déphasage de l'onde émise en M dans la direction 
tu., par rapport à
l'onde émise dans la même direction par le point 0. La longueur d'onde de 
lecture est 2... (k1ec
= 27t/Â...) et son vecteur directeur unitaire est u,ec : sin(ü,ec )ux + cos 
(Û,ec)uz. Exprimer A(M,

u.,) en fonction de À..., et des vecteurs u.... u., et OM, puis en fonction de 
9... Bd, X..., et des
coordonnées (x, y, 2) du point M.

Cl 3 -- L'amplitude totale A( élec, &) de l'onde diffractée à l'infini par la 
mémoire hologra--
phique dans la direction ud s'exprirne en termes des trois intégrales al , a2 
et a3 :

Posons A sind, : sin(9d )-- sin(9,,,) et A cosd,l : cos (Hd )-- cos (0,86)

X Y e
al : &dxfl dy Jîdz exp {iklec(Asind',x+ Acosd,,z)}
2 2

2

. A . , A
: XY esmc[nX smd ' } x smc[7æ cosd1 }

et, de manière similaire :

( (a ça\ \
- 25in-- cos-- 25in ---

Asm Acos
d'--------------2 2J xsinc 7re '" 2J

a2 =(...)= XYesinc 7rX

lec

613 : [[ dXdde CXp{i [(k,,,Asinw + 2kSifl£ COS £) x + (klecAcosdJ--' 2kSil'l 2 
2 ) Zî'}

2 2
(Asin 2sin£ cos--EUR") {Acos 2sin22\
=XYesinc d'+----2--J-- xsinc 75e d'------2'
Â'lec Âref ÂIec Âref

Déterminer en fonction de a,, la valeur de (% pour laquelle le terme 
indépendant de m dans
A(B,ec ,Ûd) est maximal. Estimer la largeur angulaire du pic principal de 
diffraction pour ce

terme. Que dire de ce terme en dehors de son maximum principal ?

Cl 4 -- Montrer que la contribution à A(EUR,ec ,Hd) des deux termes dépendant 
de m ne prend de

valeurs notables, (compte tenu des ordres de grandeur de e, X, 2... et À,éf) 
que si les angles &,
_ 6lec et ça, tous supposés petits (devant 7[, par exemple), sont reliés par 
les relations, res--

pectivement : \ ( \
_(&£ __Qa
iÛIec--il+ÂrIéfJ 2, Ûd_L ÀrIe'f} 2}

( Â'Iec\ ( Â1ec\
lama--rfi 9d=v+z;;r'âl

Cl 5 --Quel est le nombre de pics principaux de diffraction observés lorsque 
l'angle élec
varie '?

Cl 6 --Dans cette question et dans la suivante, on suppose Â,ec : À,ef . 
Vérifier que l'on

observe, pour 6lec = ço, un pic de diffraction dans la direction (% == 0, 
correspondant à la
reconstitution de l'image de l'objet dont on enregistre l'hologramme, et 
d'intensité propor--
tionnelle à m2.

D 7 ---- On considère le terme associé à cette reconstitution de l'image. C'est 
un produit de
deux facteurs. Montrer que, lorsque les angles sont petits, l'un des facteurs 
de ce terme est

beaucoup plus sensible aux variations de Â1ec et Q,, que l'autre. Dans le cas 
où 6lec # ça,
déterminer la plus petite valeur absolue lô'l de l'écart 5 = EUR," ---- ça pour 
laquelle ce terme

s'amule dans la direction Bd = O. Remarquer que, pour une plaque donnée, |5 | 
ne dépend que
de Âref .

Deux types d'enregistrement d 'hologrammes multiples

Lorsque plusieurs hologrammes sont enregistrés dans la même mémoire, on 
admettra que les
résultats précédents sont valables pour chacun d'entre eux.

Cl 8 -- Dans un premier type d'enregistrement, la longueur d'onde Â,,ef de 
l'onde de référence

est identique pour les deux hologrammes et ça prend respectivement les valeurs 
(01 et @,
petites devant rc. L'onde de lecture est caractérisée par film = «éf et 6iec : 
(01, de manière à
reconstituer l'image associée à l'hologramme 1 dans la direction (% = 0. La 
reconstitution est
dite correcte si |9,,, -- (p;| > 2| 5 |. Quelle est la signification physique 
de cette inégalité '?

Cl 9 --- Dans un second type d'enregistrement, l'angle de référence ça est 
identique pour les
deux hologrammes et les longueurs d'onde prennent, respectivement, les valeurs 
Â. et &; .

L'onde de lecture est caractérisée par Â... = il et 9,,, : gp .

Montrer, en vous inspirant de la question 8, que la reconstitution de l'image 
associée à
l'hologramme 1 peut être dite correcte si il," -- ÂQ| est supérieur à un 
certain seuil, dont on

donnera l'expression. Calculer le nombre d'hologrammes enregistrables dans une 
plage de
longueurs d'onde AÂ autour d'une valeur centrale 2.0, pour 2.0 = 500 nm, AÀ : 
10 nm,
X: 2 cm et (00 = 0,1. rad.

Partie II : Stockage d 'hologrammes

Cette partie, indépendante de la précédente, étudie une méthode 
d'enregistrement d'un holo--
gramme. On se limite à des phénomènes unidimensionnels selon l'axe Ox. 
L'intensité lumi-

neuse éclairant le milieu lors de l'enregistrement s'exprime par I (x)= I 0[1 + 
mcos(kx)}
avec 111 EUR [O,l[. L'information sur l'objet holographié est contenue dans le 
terme de modulation

spatiale [om cos(kx).

Stockage dans un cristal photoréfractif

Un cristal photoréfractif est un cristal transparent dont l'indice est

_ modifiable par éclairement. Il est modélisé par une matrice de per-
mittivité diélectrique statique EUR, dans laquelle sont présents deux
types de sites, l'un et l'autre fixes dans le réseau :

Neutre DO ]0nisé D+ . Des sites donneurs d'électrons notés (D), qui peuvent 
chacun
s'ioniser en libérant un électron, pour former un site chargé
(DJ"). On note ND la densité particulaire totale de ces sites et on

+ la suppose uniforme et constante. On note N ;; (x, t) la densité
particulaire de sites ionisés (D") à l'abscisse x et à l'instant t.
Avec les notations du tableau ci-dessous, N D = N 3 + N 5.

0 - ' -- . , .
Neutre A Iomse A 0 Des srtes accepteurs, notes (A), qu1 peuvent chacun capter un
électron pour former un site chargé (A"). La densité particulaire totale de ces 
sites, notée
N A, est uniforme et constante. Dans les conditions de cette étude, tous les 
accepteurs sont

ionisés : NA : NZ.
On suppose enfin ND très supérieur aux autres densités particulaires, en 
particulier N D % N 3 .

Le courant électrique dans le cristal est uniquement
dû aux électrons libérés par l'ionisation des don--
neurs. La densité particulaire d'électrons libres à
l'abscisse x et à l'instant t est notée N,(x, t).

Ianisation des donneurs : deux mécanismes

L'ionisation des donneurs résulte du transfert

spontané des électrons en sites (D) vers les sites
(A) ; l'inégalité N D >> N A permet donc l'ionisation
totale des accepteurs.

L'ionisation de sites D se produit aussi lorsque le
cristal est éclairé par une onde lumineuse d'intensité
[(x). A l'instant t et à l'abscisse x, le nombre de sites (D) ionisés par unité 
de temps et de

volume est donc, pour ce mécanisme, a I(x)[ND --N5 (x,t)]z a1(x)VD , où a est 
une

constante positive.

Neutralisatîon des donneurs
, - . o - - , + .
Les electrons libres peuvent se recombmer avec les srtes 10mses (D ) et les 
neutraliser. Le

nombre de recombinaisons par unité de temps et de volume est flNB (x,t)N,(x,t), 
où ,B est
une autre constante caractéristique du cristal. On a donc, pour t > 0 :

î£ : al(xXND _ N5(x,t)]-- ,BNË (x,t)Ne (x,t).

Avant irradiation, N ;; (x,0)= N A et N,,(x,0)= 0 .

Cl 10 ---- Justifier que, immédiatement après l'irradiation, l'ionisation des 
sites (D) est plus
importante dans les zones d'éclairement maximal. Rappeler la loi de F ick pour 
la diffusion
particulaire (on notera D la constante qui intervient dans cette loi). Préciser 
la direction des
courants électriques de difi'usion qui résultent de l'éclairement.

Cl 11 -- Quel est, dans les régions d'éclairement maximal, le signe de la 
densité volumique de
charge associée à la diffusion des électrons libres ? Même question pour les 
zones

d'éclairement minimal. En déduire la direction du champ électrique EC dans une 
région située
entre une zone d'éclairement maximal et une zone d'éclairement minimal.

Cl 12 -- Quelle est l'influence de ce champ électrique sur les mouvements des 
électrons libres
dans le cristal ?

D 13 --- On pose EC = E,,(x, t) u, et on note je la densité de courant 
électrique dû aux mou--
vements des électrons libres. Quelle est l'expression de ôEJÔx en fonction de 
a, e, N,,
N A % N ,} ) et N 5 '? Exprimer la conservation de la charge (équation de 
continuité) reliant je

aux densités particulaires N,, N A et N 5. Justifier, pour un cristal 
électriquement isolé, la
nullité de je en régime permanent.

Cl 14 ---- Le flux d'électrons est la somme du flux diffusif jdif, qui suit la 
loi de Pick, et du flux

j dé, , dû au champ électrique EC dérivant du potentiel V(x). À l'équilibre 
thermodynamique, la

V x
densité des électrons est donnée par la loi de Boltzmann N, (x): NO 
eXp('e--k-LT--)J , où kB
B
représente la constante de Boltzmann, e la charge élémentaire (e > O) et T la 
température.
Quelle relation en résulte--t--il entre N, (x), dN,/dx et Ec(x) ? En déduire 
l'expression de
j &, (x) à l'équilibre en fonction de N,,(x) et Ec(x). La vitesse de dérive des 
électrons à

l'équilibre s'écrivant Vdé, : --pEC, déterminer ,u en fonction de e, D, kB et T 
; c'est la rela--
tion d'Einstein.

CI 15 ---- Admettant que la relation d'Einstein reste applicable en régime 
lentement variable
(même si N e (x) n'est plus celui qui est donné par la loi de Boltzmann), 
exprimer la densité de

courant électrique total en présence du champ électrique EC .
D 16 -- On suppose à partir d'ici qu'un état stationnaire est atteint. Déduire 
des questions

précédentes les équations suivantes modélisant le comportement du milieu en 
régime per--
manent :

a1(x)ND--flNs(xWe(x)=0 l4]

_ddîc =î[NE(X)--NA --Ne(x)] [51
d N
-,--;; = -ijNe(x)a(x) ...

CI 17 -- L'intensité lumineuse dans le cristal est ici uniforme (m = 0). Que 
vaut alors le champ
électrique E,. ? On cherche en régime permanent la solution uniforme des 
équations précé--

dentes. Établir l'équation vérifiée par Ne en fonction de (1, £, 10, ND et NA. 
Exprimer ensuite
N., dans l'hypothèse où Ne << N A. Quelle est l'inégalité relative à 10 
équivalente à cette hypo--

thèse '?

D 18 --- Le taux de modulation m est supposé ici non nul, et petit devant l. Le 
terme de modu-
lation spatiale de l'intensité apparaît alors comme une petite perturbation du 
terme principal ;

on pose Ne(x)= NO + AN cos (loc +çî), où No est la valeur de N., quand m = 0 et 
q) un dépha--

AN '

sage. Les grandeurs m et Î seront considérées comme des infiniment petits 
d'ordre 1. A
0

partir des relations [S] et [6], déterminer l'expression de E.,(x) puis de N 5 
(x) à l'ordre 1. En

reportant l'expression de N ;5 dans la relation [4], et en ne conservant que 
les termes d'ordre
au plus égal à 1, montrer que l'on retrouve pour NO l'équation vérifiée par N, 
à la question

17, ainsi qu'une équation permettant de déterminer à et AN. Dans le cas où No 
<< N A,

,ek T
exprimer AN puis le champ Ec(x) en fonction de x, m, kB, T, e, k et EUR D = e2 
; .
A

D 19 -- Le champ électrique EC (x) présent dans le matériau entraîne une 
variation locale de

3
l'indice de réfraction An(x)= ---r£;--r-Ec(x), proportionnelle à Ec(x); no 
représente l'indice

(uniforme) du milieu en l'absence du champ et r une constante caractéristique 
du milieu.
Établir l'expression de la variation d'indice An(x) en fonction de m, kB, T, e, 
k, K D et r. La

modulation An(x) d'indice du milieu qui apparaît lors de l'illumination par 
l'intensité [(x)
reproduit-elle la forme exacte de la modulation mio cos (kx) de [(x) ? Que se 
passerait--il si
1 (x) n'était pas purement harmonique ?

Cl 20 -- Résumer l'ensemble de l'étude précédente en discutant la notion, de 
mémoire que l'on
peut attacher à ce système. Comment peut--on effacer les hologrammes 
enregistrés dans ce
milieu photoréfractif ? La lecture d'un hologramme est--elle susceptible de 
l'effacer ?

D 21 -- Donner l'ordre de grandeur de Ain pour le titanate de baryum BaTiO3, où
e,, =1,7 um, r =..."9 m.V", ..., = 2,5 et T: 300 K.

L'éclairement est caractérisé par m = 0,1 et 21t/k : 3 pm.

Charge électrique élémentaire : e = 1,6.10'19 (: ; kB = 1,38.10"23 J.K"'.

FIN DE L'ÉPREUVE

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Mines Physique 2 PSI 2003 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Éric Armengaud (ENS Ulm) ; il a été relu par
Stanislas Antczak (Professeur agrégé), Cécile Ursini (Professeur agrégé) et 
Stéphane
Ravier (ENS Lyon).

Ce problème traite de quelques aspects de l'holographie. Il s'agit d'une 
technique
de production d'images en « trois dimensions », basée sur des phénomènes 
d'interférences et utilisant le laser. Il est composé de deux parties 
indépendantes.
· La première partie étudie le principe de l'enregistrement et de la lecture 
d'un
hologramme épais. Il faut utiliser ses connaissances en optique ondulatoire : 
interférences, diffraction, notation complexe, fonction sinus cardinal, etc. En 
fait,
l'énoncé donne les résultats des calculs et demande plutôt de les exploiter.
Dans ces conditions, il est nécessaire de bien lire et comprendre le texte, un
peu long, qui précède les questions.
· La seconde partie prend prétexte de l'étude du stockage d'hologrammes dans
un cristal photoréfractif pour traiter de diffusion de matière, couplée à de 
l'électrostatique. Les questions de cette partie sont assez éloignées du cours.
La longueur du problème est raisonnable, mais aucune des deux parties n'est
vraiment simple. En particulier, les questions de la première partie, souvent 
semiqualitatives, peuvent paraître déroutantes. Signalons que les résultats 
donnés par
l'énoncé dans la première partie sont partiellement démontrés dans le second 
problème de physique des Mines 2003 de la filière PC.

Indications
Partie I
1 Utiliser directement la relation [2] plutôt que la relation [1].
3 À quelle intégrale ai correspond le terme indépendant de m ?
4 Le produit de deux sinus cardinaux est non négligeable si l'on est 
simultanément
au maximum de ces deux fonctions.
6 Expliquer pourquoi l'amplitude du pic de diffraction est proportionnelle à m.
7 Le facteur le plus sensible aux variations de lec et lec est la fonction sinus
cardinal la plus « piquée ».
8 Il ne faut pas que deux pics de diffraction se superposent.

Partie II
10 Ne pas confondre courants électriques et courants de matière. La loi de Fick
concerne un courant de matière.
11 Faire un schéma avec le courant de diffusion, les charges qui en résultent 
et le

-
champ électrique E c .
13 Utiliser une équation de Maxwell. Quelle est la définition du régime 
permanent ?

14 Dériver la loi de Boltzmann par rapport à la variable x. Pour obtenir -
 , utiliser
dér

le fait que le courant total est nul en régime permanent.
18 Il s'agit d'exploiter méthodiquement les relations [6], [5] puis [4], en 
éliminant
systématiquement les termes d'ordre supérieur à 1.

I.

Hologrammes épais

1 Partons de la relation [2] à partir de la relation [1] :
-- -
I(M) = I0 [1 + m cos(OM · k)]
-
-

Explicitons le produit scalaire. Comme k = k ref (sin  -
u
x + (cos  - 1) uz ), on a :
-- -
OM · k = k ref (x sin  + z (cos  - 1))

= 2 k ref sin
x cos - z sin
2
2
2
Rappelons les formules trigonométriques utilisées ici, avec  = 2 :
sin 2 = 2 sin  cos 
2 sin2  = 1 - cos 2
On en tire la formule demandée :
n
h

 io
I(M) = I0 1 + m cos 2 k ref x cos - z sin
sin
2
2
2

[3]

2 On calcule le déphasage grâce à  = 2 /lec , où  est la différence de marche
entre le rayon issu de M et celui issu de O.

x

On lit sur la figure :

z

 = OM1 + OM2
= OM (sin 1 + sin 2 )

M
!
k

lec

2

1

M1 O

M2

d

d

lec

soit

puis

Le sinus des angles 1 et 2 est directement relié au
--
produit scalaire entre OM et les vecteurs unitaires
correspondants aux rayons incident et émergent.
On a donc
--  -
 = OM · (-
u -
u )

!
k

d

=

) =
(M, -
u
d

lec

--
2 -
--

(u
u lec ) · OM
d
lec

2
x (sin d - sin lec ) + z (cos d - cos lec )
lec

On peut aussi écrire directement la relation :

-
 --
-
 = ( k lec - k d ) · OM
pour retrouver les expressions encadrées.

3 Afin de comprendre d'où viennent les trois intégrales a1 , a2 et a3 , on part 
de
l'expression pour l'amplitude diffractée à l'infini en développant dA(M). On a 
ainsi
Z
-

) =
A(-
u
KAlec d e-i(M,ud) (a + b I0 + bm I0 cos(f ()))
d
M

Ici, f () est l'argument du cosinus dans la relation [3] de la première 
question. En développant le cosinus en exponentielles, on voit que l'on peut 
ainsi séparer trois termes.
+

· Les termes en bm I0 e-if () dépendent explicitement de . Ils donnent les 
intégrales a2 et a3 .
· Le terme restant, en (a + b I0 ), ne dépend pas de . Il donne l'intégrale a1 .
Le terme indépendant de m est aussi le terme en (a + b I0 ). Il s'agit donc de 
l'intégrale a1 . Cette intégrale, une fois calculée, donne d'après l'énoncé le 
produit de deux
fonctions sinus cardinal.

sinc u

u

0
La fonction sinc(u) = sin(u)/u présente un maximum piqué en u = 0. Elle s'annule
pour la première fois en |u| = , on peut donc dire que sa largeur angulaire 
vaut 
en ordre de grandeur. Dans notre cas, la variable générique u est directement 
reliée
à l'angle de diffusion d . On décompose a1 :
· La fonction

est piquée en  sin d,l

 sin d,l
sinc  X
lec
= 0, soit
sin d = sin lec

et a une largeur angulaire obtenue en écrivant que l'argument du sinus cardinal
vaut , ce qui fait en ordre de grandeur lec /X.
· La fonction

 cos d,l
sinc  e
lec
est, de même, piquée pour
cos d = cos lec
et a une largeur angulaire de l'ordre de grandeur de lec /e.
Finalement, on voit que l'on a bien un pic principal de diffraction centré en d 
= lec .
La largeur de ce pic est celle de la fonction sinus cardinal dont la largeur 
angulaire
est la plus faible. Comme e  X, la largeur du pic est donc lec /X.
En dehors de ce maximum principal, il y a des extremums secondaires très faibles
que l'on ne prend pas en compte. En effet, le premier extremum secondaire de la
fonction sinc(u) est obtenu pour u = 3/2 et on a alors |sinc (3/2)|  0, 2. En 
outre,
la grandeur physiquement mesurable est l'intensité, égale au carré de 
l'amplitude, ce
qui diminue encore la valeur relative des extremums secondaires.