Mines Physique 2 PSI 2002

Thème de l'épreuve Fonctionnement et commande d'un moteur d'une rame de TGV
Principaux outils utilisés mécanique du solide, électromagnétisme, électrocinétique, asservissement
Mots clefs moteur

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Extrait gratuit du corrigé

(télécharger le PDF)
           

Énoncé complet

(télécharger le PDF)
                          

Rapport du jury

(télécharger le PDF)
     

Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


J. 2161

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES,
ECOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE
ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI)

CONCOURS D'ADMISSION 2002
SECONDE ÉPREUVE DE PHYSIQUE
Filière PSI
(Durée de l'épreuve : 4 heures ; l'usage de la calculatrice est autorisé)
Sujet mis à disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, INT, 
TPE-EIVP

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page 
de la copie :

Physique Il -- Filière PSI

L'énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière PSI, 
comporte 9 pages.

0 Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une 
erreur d'énoncé, il le signale
sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il est amené à pren--
dre. '

0 Tout résultat fourni dans l'énoncé peut être utilisé pour les questions 
ultérieures, même S'il n'a pas
été démontré.
. Il ne faudra pas hésiter à formuler tout commentaire qui vous semblera 
pertinent, même lorsque

l'énoncé ne le demande pas explicitement. Le barème tiendra compte de ces 
initiatives ainsi que des
qualités de rédaction de la copie.

MOTEUR SYNCHRONE AUTOPILOTÉ

Ce problème concerne la traction électrique sur les locomotives. Parmi les 
procédés utilisés,
figurent les chaînes de traction à moteur à courant continu, à moteur 
asynchrone et à moteur
synchrone autopiloté. Pour les locomotives de puissance, le choix de la SNCF 
pour le TGV
Atlantique est la chaîne de traction à moteurs synchrones autopilotés étudiés 
dans ce pro-
blème.

Préliminaires : ordres de grandeur

La masse d'une rame du TGV Atlantique (deux motrices et dix voitures remorques) 
est
m = 700 t . La figure 1 représente un exemple de courbes donnant les variations 
suivant la

vitesse, notée v, d'une part de la résultante B, des actions extérieures 
s'exerçant sur la rame

(en pointillés), d'autre part de la résultante F des actions exercées par 
l'ensemble des mo--
teurs (en trait plein). On rappelle que 1 daN : 10 N.

1. La résultante extérieure se modélise classiquement par Fe = A + Bv+Cv2 O ù

(A, B et C) sont trois constantes ; proposer une interprétation physique pour 
chacun des ter-

mes de cette loi.

Page 1/9 Tournez la page S.V.P.

Physique Il -- Filière PSI -- 2002

2. Déterminer graphiquement la vitesse de la rame ainsi que la résultante de 
traction en ré--
gime permanent. Discuter la stabilité de ce régime.

F(daN) 3. Déterminer numériquement, pour
" "" Î '" " J ce régime, la puissance développée par
_] ------ -------+------------------ l'ensemble des moteurs.

, -------- [ --t--------ä 4. En envisageant le cas où cette
_ F, résultante ... _l , ----l traction est assurée par huit moteurs à
detra°"°Ï courant continu, alimentés par une
. i ' tension de 1500 V, estimer l'ordre de
15000 _ Fe, résultante _ --Î7WT"_' grandeur du courant circulant dans le

10000 des actions extérieures L_\_%<_--Î__fii rotor d'un moteur.
5. Quels problèmes peut alors poser

' ce type de dispositif?
00 50 100 150 200 250 300 k hAl)

Figure 1 v( "" On analyse dans ce qui suit le

cas où la traction électrique est assurée
par des moteurs synchrones. La première partie est consacrée à l'étude du 
moteur, la seconde

à l'étude de sa commande.

Première partie : Le moteur synchrone

Le principe du moteur synchrone repose sur l'interaction entre un champ 
magnétique
<< tournant » produit par des courants circulant dans les circuits statoriques, 
et un champ as-
socié aux courants circulant dans les bobinages du rotor.

Étude du stator

Le stator porte trois bobinages identiques, alimentés en courant triphasé. 
Chacun
d'eux est assimilé à une spire plate, parcourue par le courant ik (l) avec k 
EUR {1,2,3}.

L'alimentation triphasée est caractérisée par l'ensemble des courants (Fig. 2) :

il(t)= Icos(oet), i,(t)=lcos aut--2?" , i_,(t)= [cos wt--j4--3£ .

Les parties des spires parallèles à l'axe
(0,2), positionnées dans des encoches

situées à l'intérieur du stator, se referment
en formant des cadres rectangulaires. On

note ñk la normale au cadre et ik(t) le

courant algébrique (orientation sur la fl-
gure) associés à la spire k. Le stator et le
rotor, tous deux réalisés dans un matériau
magnétique linéaire, sont séparés par une
zone d'air, d'épaisseur EUR, nommée entre--
fer. La faible valeur de EUR permet de
confondre le rayon intérieur du stator et le rayon extérieur du rotor, notés R 
l'un et l'autre.

Figure 2

La perméabilité relative du matériau magnétique, ,ur, sera considérée comme 
infinie ; celle
de l'air sera prise égale à 1 .

Page 2/9

Physique Il -- Filière PSI ---- 2002

6. Les effets de bord suivant la direction (0,2) sont négligés. Justifie le 
fait que le champ

B est radial dans l'entrefer.

L'espace est rapporté au repère cylindrique (ür,ü9 , ü,)

défini sur la figure 3 ; les angles sont repérés à partir du

_.

vecteur ñ,. On désigne par B, : B(9,l) u,, le champ dans

l'entrefer ; on néglige sa variation en fonction de r sur

l'épaisseur e de l'entrefer. Le théorème d'Ampère dans
_)

Figure 3 un milieu magnétique s'écrit É£BI -dl =i, où (C) dési--

gne un contour fermé orienté et i la somme des courants
algébriques libres traversant ce contour. Dans le cas où le contour traverse 
plusieurs mi-

lieux, on admet que la circulation de H sur les portions situées dans les 
milieux de haute
perméabilité relative est négligeable devant celle qui est calculée sur les 
portions situées

dans l'air.

7. À l'aide du contour (C) défini sur la figure 4, établir que le champ B(9,t) 
créé par le
courant il(t), satisfait la relation B01 ----B1(9,t) = fl(9) il(t), où la 
fonction f,(9) est repré--

sentée sur la figure 5 et où B... est une constante dont on précisera la 
signification. Détermi-
ner la constante [3 (Fig. 5).

3_7t 271:
2 2 Figure 5

8. De même, représenter les graphes des fonctions f,_(9) et f,(9) associées 
respective-
mentaux champs B,(9,t) et l%(9,t) produits par les courants i2(t) et i3(t), 
tels que
BOk ---- Bk(9,t) = fk(9) ik(t). Montrer qu'il existe une relation simple entre 
f2 (EUR) et

]Ï(6+ %], puis entre f_,(6) et f1{9--%)

,/

9. Les fonctions fk sont périodiques et admettent un développement en série de 
Fourier,

dont on ne retiendra que développement limité au premier harmonique. Exprimer 
fl(9). On

donne:
] 27r

f, (a) z -2; 0 f, (a) d9+ F-- {; fi(9)cos(9) de) cos(9) + F-- {: f, (9)sin(e) 
d9] sin(9)

7ï 7ï

Page 3/9 Tournez la page S.V.P.

Physique Il -- Filière PSI -- 2002

10. Exprimer le flux du champ magnétique Ë(9,t) créé par le courant i] (t) à 
travers la sur--
face fermée d'un cylindre d'axe (0,2), de base circulaire de rayon r et de 
hauteur h , la

partie latérale étant située dans l'entrefer (R < r < R + 6 z R).

11. Rappeler l'équation de Maxwell associée au flux de Ë. Que peut--on dire 
pour le flux
calculé précédemment ? En déduire l'expression du champ 3(9,t) dans l'entrefer, 
en fonc--

tion de 5, Mr) et 9. Donner enfin l'expression des champs Ë,(9,t) et Ë3(9,t).

12. À partir des résultats précédents, montrer que le champ magnétique total 
dans l'entrefer
est de la forme B(9,t) = Bocos(wt --9) (champ glissant) et donner l'expression 
de la

constante BD en fonction de B, I et ,u0, perméabilité magnétique du vide. 
Formules utiles pour

cette question :

cos(x) + cos(x ---- %] + cos{x ---- 4%) : 2cos(x),

cos(x)cos(y) -- cos(x --Æ) cos(y + E] --- cos{x -- Ë)cos{y _zr_) : â cos(x -- 
y).
3 3 3 3 2

Étude du rotor

Le bobinage porté par le rotor est modélisé par une spire rectangulaire de 
largeur 2R
et de hauteur H , solidaire du rotor, parcourue par le courant continu le 
(Figure 6). Sa posi--
tion est repérée par l'angle
9 entre ñ , vecteur normal à
la spire, et fil (défini Fig. 2).

13. On note 11 le moment
par rapport à l'axe (0,2)

des forces de Laplace
s'exerçant sur le cadre et F
sa mesure algébrique
(« couple >>). Montrer que

F = 1<1>, sin(oet --9), o ù
OEO est fonction de yo, ]
Figure6 R, Hete.

31

e 9

14. Le rotor tourne à la vitesse angulaire a), et la position de ñ se repère 
par l'angle

9= a),t -- (p. Pour quelle valeur de a),_ la moyenne temporelle de F est-elle 
non nulle '? Ex-
primer alors F ; dans quelle plage de valeurs de (p ce couple est-il moteur '?

15. Le moteur synchrone entraine une charge dont le couple résistant est noté 
Fr . Quelle est

la valeur maximale FM que peut prendre Fr en régime permanent ?

16. En supposant Fr < FM et 0 _<_ (p S 271", montrer qu'il existe deux points 
de fonctionne--

ment en régime permanent. Étudier la stabilité de ces régimes par rapport à 
d'éventuelles
perturbations.

Page 4/9

Physique Il -- Filière PSI ---- 2002

Forces électromotrices induites par le rotor dans les bobinages du stator

On s'intéresse aux flux  H
°° i"°"'J

Figure 12

32. Représenter les schémas des asservissements représentés sur les figures 10 
et 11 lorsque
l'on fait intervenir le couple de freinage.

33. En modélisant ce couple supplémentaire par un échelon, calculer pour les 
deux asservis--
sements précédents la nouvelle vitesse en régime permanent lorsque la consigne 
délivre le
même échelon que précédemment. Comparer les résultats et conclure sur l'intérêt 
du correc--

teur.

FIN DE L'ÉPREUVE

1 cette notion, définie en SI, correspond à g : lim [ac(1) -- ar([)] : lim 
[p(05 (p) -- a (p))].

l--)°°

Page 9/9

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Mines Physique 2 PSI -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Jessica Dubois (Centrale Paris) et Jean-Yves Tinevez
(ENS Lyon) ; il a été relu par Vincent Fourmond (ENS Ulm) et Stéphane Ravier
(ENS Lyon).

Ce problème concerne la traction électrique sur les locomotives de puissance,
utilisant des moteurs autopilotés. Il fait appel à des connaissances concernant 
la
mécanique du solide, l'électromagnétisme, l'électricité, l'électrocinétique 
ainsi que les
asservissements.
· Les questions préliminaires visent à déterminer les ordres de grandeur de la
puissance développée par les moteurs d'une rame de TGV et des courants 
utilisés. Cette partie, indépendante des autres, fait appel à des connaissances 
de
base en mécanique et à des raisonnements qualitatifs.
· La première partie est consacrée à l'étude du moteur synchrone, dont le 
principe
repose sur l'interaction entre un champ magnétique tournant produit par des
courants circulant dans les circuits statoriques, et un champ associé aux 
courants circulant dans les bobinages du rotor. On étudie dans un premier temps
le stator à l'aide de notions d'électromagnétisme (calculs de circulation et de
flux de champ magnétique, utilisation des équations de discontinuité du champ
et des équations de Maxwell sous forme intégrale). On aborde ensuite le rotor,
en calculant le couple moteur auquel son cadre est soumis du fait du champ
créé par le stator. Finalement, on utilise les lois de l'induction pour étudier
l'influence du rotor sur le stator.
· La seconde partie, largement indépendante de la première, est consacrée à
l'étude de la commande du moteur. On étudie en premier lieu le circuit 
électrique, à l'aide de connaissances en électrocinétique. Pour finir, 
l'asservissement
de vitesse est abordé, au travers de calculs de fonctions de transfert et 
d'erreurs
en régime permanent.
Ce problème ne pose pas de grosses difficultés, mais il est relativement long.

Indications
Première partie

-
6 Écrire les équations de continuité pour la composante tangentielle du champ H
aux interfaces rotor-entrefer et entrefer-stator. Utiliser pour conclure le 
fait que
e est très petit.

-
10 Pour déterminer le champ B au niveau des bases du cylindre, utiliser les 
propriétés
de symétrie du champ magnétique et le fait que les effets de bord selon la 
direction
(O, z) sont négligés.

-
13 Utiliser l'expression de B trouvée à la question 12 et l'indication de la 
question 10.
16 Raisonner graphiquement.
18 Utiliser le résultat de la question 17 et les propriétés de symétrie du 
champ magnétique.
19 Utiliser la loi de Faraday.
Seconde partie
20 Raisonner en considérant un interrupteur Kj et un interrupteur Kk fermés, les
autres interrupteurs étant ouverts.
21 Utiliser le résultat de la question 20.
22 Utiliser la loi des mailles.
24 Utiliser la définition de l'avance de phase pour des fonctions sinusoïdales 
et le
résultat de la question 19.
28 Faire appel au théorème du moment cinétique et aux résultats des questions 23
et 24.
29 Penser à décomposer (p) en éléments simples pour déterminer (t).

Préliminaires
Ordres de grandeur
1 La résultante des actions extérieures s'exerçant sur la rame du TGV se 
modélise classiquement par Fe = A + B v + C v 2 où A, B et C sont trois 
constantes.
On reconnaît en fait le développement en puissance de v au second ordre. On peut
identifier chacun des termes.
Le premier terme, constant, représente physiquement les frottements solides 
s'appliquant sur la rame, entre autres au niveau des rails et sur les 
roulements des essieux.
Les deux autres termes modélisent les frottements dus à l'écoulement de l'air
autour de la rame, appelé force de traînée. À faible nombre de Reynolds, 
lorsque la
vitesse est faible, la force de traînée est proportionnelle à la vitesse de la 
rame. Pour
de grands nombres de Reynolds, lorsque la vitesse est grande, la force de 
traînée
devient proportionnelle au carré de la vitesse.
2 Le principe fondamental de la dynamique s'écrit

-
 -

d-
v
= F - Fe
dt
En régime permanent, la vitesse de la rame est constante. On doit donc 
déterminer
graphiquement la vitesse de la rame pour laquelle la résultante extérieure est 
égale à
la force de traction. D'après la figure 1 de l'énoncé,
m

v = 275 km.h-1
Cette vitesse correspond à une résultante de traction de
F = 9 000 daN
Envisageons la stabilité de ce régime. Supposons que la vitesse augmente 
légèrement ; la résultante des actions extérieures devient supérieure à la 
force de traction,
et le principe fondamental de la dynamique nous indique alors que la vitesse 
décroît,
rejoignant le régime permanent. Il en est de même si la vitesse diminue : la 
force de
traction devient supérieure à la résultante des actions extérieures, et la rame 
accélère.
Le régime est donc stable.
3 La puissance développée par l'ensemble des moteurs s'exprime par
P = Fv
Pour le régime permanent, on obtient numériquement
P = 6, 9 MW
Attention aux unités ; F doit être exprimée en N et v en m.s-1 .
4 On suppose que la traction est assurée par huit moteurs à courant continu.
La puissance développée par chaque moteur s'exprime donc par P moteur = P/8. Or,
l'intensité du courant circulant dans le rotor d'un moteur est I = P moteur/U 
où U est
la tension d'alimentation. On obtient numériquement
I  5, 7.102 A

On n'a pas tenu compte des pertes fer ou sous forme d'effet Joule,
ce qui n'a pas vraiment sa place dans un calcul d'ordre de grandeur.
On retiendra de ce calcul que les courants à considérer dans les rotors sont
de l'ordre de 600 A.
D'autre part, le candidat averti, qui lit la totalité de l'énoncé avant de
rédiger, aura pu s'assurer à la page 6 de l'énoncé de la justesse de ses 
calculs.
5 Les courants envisagés sont très importants. Les hautes intensités peuvent 
induire
un échauffement dans les câbles, entraînant s'ils sont mal choisis, outre une 
perte non
négligeable
d'énergie
sous
forme
d'effet
Joule,
leur
destruction.
De plus, dans le circuit électronique de commande décrit dans la seconde partie,
il faut concevoir un dispositif capable de gérer de telles intensités.

I.

Le moteur synchrone

Étude du stator
6 Comme il n'y a pas de densité de courants surfaciques aux interfaces, 
l'équation

-
de continuité pour la composante tangentielle du champ H s'écrit
· à l'interface rotor-entrefer
ent
-
Ht
· à l'interface entrefer-stator
stat
-
Ht

r=R

r=R+e

-
- H rot
t

-
- H ent
t

r=R

-
= 0

r=R+e

-
= 0

Or, on considère que le rotor et le stator sont réalisés dans un matériau 
magnétique

-

-

-
B
de perméabilité relative infinie. Comme H =
, le champ H est donc nul dans
µ0 µr
le rotor et le stator.

ent
-
-

 H t r=R = 0
Par conséquent

-

-

 H ent
= 0
t
r=R+e

Comme l'entrefer est de faible épaisseur (e  R), on déduit de ces observations

-
 -
-

-
que la composante tangentielle du champ H , donc du champ B ( B = µ H avec µ

-
fini dans l'entrefer), est nulle partout dans l'entrefer. Le champ B y est donc 
radial.
La plupart des questions de ce type se résout en invoquant des arguments de
symétrie. Ici, la conclusion n'est pas aussi aisée : en l'état actuel des 
hypothèses, ceux-ci sont insuffisants.