Mines Physique 2 PSI 2000

Thème de l'épreuve Étude des contrôles non-destructifs par ultrasons
Principaux outils utilisés ondes mécaniques et sonores

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


A 00 PHYS. Il

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES,
ÉCOLES NATIONALES SUPEROEUBES DE L'AERÇNAU'I'IQUE ET DE L'ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCEES, DES OELECOWUMCATIONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TÊLÉCOMMUNÏCATIÛNS DE BRETAGNE,
ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIERE TSI)

CONCOURS D'ADMISSION 2000
SECONDE ÉPREUVE DE PHYSIQUE
Filière PSI
(Durée de l'épreuve : 4 heures ; l'emploi de la calculatrice est autorisé)
Sujet mis à disposition des concours ENSTIM, INT, TPE-EIVP
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page 
de la copie :
PHYSIQUE ]] --PSI

L'énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière PSI, 
comporte 11 pages.

0 Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une 
erreur d'énoncé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il est amené
à prendre.

0 Tout résultat fourni dans l'énoncé peut être utilisé pour les questions 
ultérieures, même s'il n'a
pas été démontré.
. Il ne faudra pas hésiter à formuler les commentaires (incluant des 
considérations numériques)

qui vous sembleront pertinents, même lorsque l'énoncé ne le demande pas 
explicitement. Le barème
tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la 
copie.

TEST NON DESTRUCTIF DE MATÉRIAUX COMPOSITES

Présentation

L'industrie aéronautique emploie de plus en plus souvent des matériaux dits 
composites, cons-
titués de plusieurs couches de structure différente, plus ou moins croisées, 
plus ou moins
renforcées par l'adjonction de fibres (de verre, de carbone), et orientées 
selon les efforts à
subir. Ces couches doivent être intimement liées entre elles par collage ou 
résine, par exem-
ple : contreplaqués multiplis, fibres de verre, structures en nid d'abeille, 
etc. Le matériau
utilisé doit être à la fois fiable et d'un poids minimal. Des contrôles ont 
lieu au cours de la fabri-
cation et en cours d'opérations de maintenance pour vérifier la bonne adhérence 
des couches
entre elles (risques de "délaminage") et l'absence de bulles d'air ( amorces de 
points de rup-
ture). La méthode communément utilisée est l'analyse par ultrasons ; le 
problème se propose
de présenter quelques aspects de ces méthodes de contrôle non destructzf. Il 
comprend plu--
sieurs parties entre lesquelles existent plusieurs liens de sens et des liens 
de nécessité.

Éléments de base

L'onde ultrasonore qui sonde le matériau est émise par un transducteur et 
transmise à
la pièce à analyser par l'intermédiaire d'un milieu de couplage (tel que : eau, 
graisse, gel,
caoutchouc ...) ; elle subit par la suite des transmissions, des réflexions et 
des diffisions à

chaque change ment de milieu. L'analyse des échos réfléchis permet de déduire 
la nature des
milieux rencontrés. Le récepteur est généralement identique à l'émetteur : 
lorsqu'il fonc-
tionne en émetteur, le transducteur ultrasonore est excité par une impulsion 
électrique, le
disque de céramique piézo-électrique dont il est constitué vibre selon son 
épaisseur. Les
vibrations transmettent au milieu des ondes ultrasonores. Lorsqu'il fonctionne 
en récepteur,
il transforme la surpression acoustique reçue en signal électrique. L'épaisseur 
de la cérami-
que varie selon la fréquence de travail envisagée et la nature du matériau 
utilisé. La variation
de l'épaisseur eL du disque peut ainsi varier de 0,1 à 5 mm.

La variation de l'épaisseur de la lame quand cette dernière subit une force 
surtacigue F

_ F p , , . . , . _
(ou press10n p) est 5e : ------eL : ----eL ou la constante Y, caracteristique 
du matenau, est
Y Y

son module de Young. Comme indiqué à la figure 1, on note P(z, !) la 
pression--, a(z, t) le
déplacement du plan d'abscisse 2 au repos (F = O) et p la masse volumique du 
matériau

D 1 --En appliquant le principe
fondamental de la dynamique à une
a(z +dz, t) tranche d'épaisseur dz à l'abscisse

! z, établir l'équation du mouvement
P(Zfl-dZ,t) aza zaza

---- =c --. Vérifier la dimen-

3t2 322

. Y .
z 2 + dz son de c = --. On ne con51dérera
@ p

dorénavant que des ondes se dépla-

Fi . ] : mouvement d 'une tranche d'é aisseur dz . .
"" " çant dans une seule direction

A Émetteur, structure de l'onde ultrason0re

Excitation de la lame de céramique

E] 2 -- Évaluer la célérité des ondes pour le titanate zirconate de plomb, 
matériau cou-
ramment utilisé, et pour lequel p = 3,5 >< 103kg.m'3, Y = 5 X 1010 N.m'2. Pour 
les ondes se
propageant dans un disque de céramique, les deux faces correspondent--elles à 
un noeud ou à
un ventre de pression ?

Cl 3 -- Déterminer eL pour v,, = 8,4 MHz puis vp = 4,2 MHz. Expéfimentalement, 
on
constate que la fréquence propre d'une lame de céramique d'épaisseur eL est v}, 
= 1850/eL.

D 4 -- La lame de céramique est excitée par un générateur émettant des 
impulsions
électriques périodiques (fréquence de répétition réglable 1% de 1 à 30 kHz) de 
durée T varia--
ble entre 40 et 900 ns, ( 1 ns = 10"9 s) et de forme E (t) que l'on considérera 
comme rectan-

gulaire (fig. 2). L'analyse de Fourier de ce signal est (1'2 = --1) :

_ ]: a(v) cos(27Wt)d v (v 2 O) , a(V) = 2E0 T %flfl
E(t) _ ... _ (: sin(m)
J_æ®(v)exp(21mä)dv ®(v) : EOT----------

7TVt

E(t)

| fiz= 1/TR

-- TO 0 + T/2
Fig. 2 : allure du signal électrique

Quel composant électrique simple doit--on placer entre le générateur et la 
céramique
pour alimenter cette dernière à une fréquence donnée à l'avance ?

On nommeP(V) =%a2(v)=2®z(v) le spectre de puissance du signal appliqué.

Décrire la déformation du spectre de puissance lorsque la période T varie, le 
produit
a = EOT restant constant.

Réponse de la lame de céramique

D 5 -- La céramique, de masse m, est modélisée par un oscillateur harmonique 
unidi-

. . , k . .
men51onnel de coordonnée X. de pulsation propre (:)0 = --_ amorti par une force 
élastique
m

(c'est--à--dire proportionnelle à l'élongation, Fa. = --Fkx) résultant du 
montage de la cérami-
que dans son support, et subissant de la part du milieu en contact un 
amortissement

dx

fluide F... = --Fv È' proportionnel à la vitesse. Montrer que cet oscillateur, 
excité par la

tension E sin(wet) est décrit par l'équation différentielle (dont on 
identifiera les termesë,

2
d X +259--£+ij : Asin(wg).
dt2 dz

a)" etA) :

. . . . 60 .
Ü 6 -- Déterminer, en régime établi et en fonction de u = --, l'amplitude '? de 
la

60

n

réponse de la céramique à cette excitation.

D 7 -- On veut produire des ultrasons de forte puissance ; comment doit--on 
choisir le
coefficient d'amortissement de la céramique ? justifier votre choix à l'aide 
des courbes mises
à disposition dans l'annexe A. On veut maintenant produire des "impulsions" 
ultrasonores de
fai ble durée, mais répétitives à fréquence de répétition variable ; comment 
doit-on choisir le
coefficient d'amortissement & ?

Aspects expérimentaux

E] 8 -- Les figures 3, 4, 5 et 6 (page 9) représentent les résultats des 
mesures effectuées
sur deux émetteurs identiques, excités dans les mêmes conditions mais amortis 
de façon
différente. Déterminer quelles sont les courbes associées au capteur le plus 
amorti et au
capteur le moins amorti. Mesurer dans chaque cas la largeur de bande à -- 6 dB. 
Comparer
les avantages et les inconvénients des deux émetteurs.

D 9 ----»La résolution spatiale, capacité à séparer les
défauts, est déterminée par la répartition spatiale de la
pression ultrasonore. Pour un transducteur de diamètre
D, cette répartition est spécifiée par : d'une part la
directivz'té, caractérisée par un cône de demi--angle au
sommet sin(a) = 1,22.Â/D à l'intérieur duquel est loca-

lisée la plus grande partie de l'énergie acoustique
(<< cône à -- 6 dB »), d'autre part la zone de champ pro--

Fig. 7 : Cône d'ouverture et che du faisceau, très perturbée, d'extension 20 =
champ proche d'un émetteur D2/4 À (fig. 7). Calculer a et Z0 dans l'air 
(vitesse du son

dans l'air : 330 ms" ), d'abord pour Do = 10 mm et V0 = 4,2 MHz, puis pour D, = 
DO/2 et v]
= 2v0. Quel émetteur a-t-on intérêt à choisir ?

D 10 --L'échantillon

doit être placé à la limite du
champ proche de l'émetteur
(voir annexe B). On souhaite
que l'échantillon soit le plus
rapproché possible de
l'émetteur, tout en étant hors
de la zone de champ proche.
Fig. 8 : Transducteur, relais, coupleur etmatériau Pour ce but, on place un

relais de Plexiglas contre

l'émetteur (fig. 8). Déterminer l'épaisseur er du relais permettant la 
réduction maximale de
20 et calculer sa valeur numérique pour D = 2,6 mm et v = 4,2 MHz, la vitesse 
du son dans le

Plexiglas étant cp = 2300 ms" .

Relais ' '
îCouplage (eau)

Cl 11-- En plaçant une pastille concave contre la

2 céramique (fig. 9), on peut obtenir une focalisation du
faisceau à la distance Z = fi.... Est-il intéressant d'obtenir
une focalisation en un point ? Comment faudrait-il procé-
der pour analyser un échantillon d'épaisseur ec ?

Fig. 9 .. Traitement du fais-- E] 12 -- En pratique on obtient une tache 
focale. Dans

ceau par surface concave le cas de la sonde plane, émetteur associé à une 
pastille
concave de façon que fac = Z... la tache focale à -- 6 dB peut
être assimilée à un cylindre de diamètre (Df = D/4 entre les abscisses Z' = 
(2/3)Z0 et Z2 = 220.

La focalisation par la pastille s'oppose en effet à la divergence naturelle du 
faisceau. Déter--
miner la longueur dfde la tache focale à -- 6 dB en fonction de D, v et cc, 
célérité dans

l'échantillon.

D 13 --À la distance Z de l'émetteur, le diamètre du faisceau à -- 6 dB est 
OE(Z)=ÂZ/D.
Donner l'expression de CD(Z) en fonction de D, Z et ZO. Calculer la valeur 
numérique de
l'extension df de la tache focale à -- 6 dB dans un matériau où cc : 3000 m.s"' 
dans les deux
cas suivants : v = 4,2 MHZ et D = 5 mm, puis v = 8,4 MHZ et D = 10 mm. Donner 
l'allure du
faisceau.

D 14 -- Pourquoi faut--il que la longueur df de la tache focale à -- 6 dB soit 
au moins
égale à l'épaisseur ec de l'échantillon à analyser? Déterminer D pour une 
épaisseur

d'échantillon ec = 3 mm dans les deux cas d'émetteur envisagés (amorti et peu 
amorti) de la
question 7. Lequel de ces émetteurs aura-t-il la meilleure résolution spatiale ?

Propagation en milieu non homogène

D 15 -- Un onde acoustique harmonique, plane et progressive, représentée par
l'amplitude complexe de la surpression : p(z,t) = po exp j(wt --kz) se propage 
avec la
célérité c dans un milieu homogène de masse volumique p. En revenant 
éventuellement à la

Ba

première question, déterminer la relation entre la surpression p et la vitesse 
u(z, t) = -- en

un point de côte 2.

D 16 -- Lorsque l'onde ultrasonore rencontre un milieu de nature différente, 
elle est en
partie réfléchie et en partie transmise. On admettra que la relation établie à 
la question 15
reste valable, au signe près, pour l'onde réfléchie. Etablir l'expression des 
coefficients de

réflexion r et de transmission t de la surpression p a la traversée d'une 
interface entre deux
milieux différents 1 et 2 sous incidence normale

D 17 -- Calculer les valeurs numériques de r et t pour diverses interfaces 
planes. En SI :

pc =15,5><10ñ pc =1,5><10", pc _ =2,3><10î
verre eau Plexiglas

(pc)mm : 4, 5 >< 106 (pc)... = 0,33

Quel est l'intérêt du couplage par un filet d'eau entre l'émetteur et 
l'échantillon ?
Comment s'interprète le signe (--) qui apparaît dans r ?

Dispositif expérimental

Eau D 18 -- Dans la méthode dite de

double transmission, un transducteur
- /\ - - unique (qui fonctionne donc en
Y r' ' émetteur et en récepteur) analyse
l'écho réfléchi par une plaque plane
en verre épais placée derrière
l'échantillon à contrôler (fig. 10). On
Composite mesure PR sans cet échantillon puis
' on insère ce dernier et on mesure F...
dans ces conditions. Établir
l'expression et calculer la valeur
numérique en dB de l'atténuation :

Verre P
A. = 20 log ---'ï'l
Fig. 10 : Méthode de double transmission. PR
L "ensemble est immergé dans l 'eau, ! 'échantillon est
retiré ou inséré sans autre changement dans le dispositif Ü 1 9 --- Le 
récepteur reçoit

l'onde ultrasonore (l'écho) et délivre
une tension qui est amplifiée et filtrée des signaux parasites avant d'être 
visualisée. La bande
passante de l'amplificateur est très grande devant la fréquence de l'émetteur. 
Justifier ce
choix.

D 20 -- L'utilisation d'un relais de Plexiglas entraîne des réflexions 
multiples (fig. 8).

Déterminer l'écart At au niveau de la face de sortie du relais entre les 
signaux Pc (réfléchi
par le composite) et Pr (résultant de réflexions multiples dans le relais)

D 21 -- L'épaisseur du relais étant de 3 mm et le signal PC devant être reçu 
avant le

signal P,, quelle est l'épaisseur maximale du composite que l'on peut analyser 
dans ces con-
ditions (c, = 3000 ..." et cp = 2300 ms") ?

:] 22 --Le relais étudié à la question 10 conviendrait-il pour l'analyse d'un 
composite
d'épaisseur ec = 3 mm ?

3 23 --Représenter schématiquement les trois premiers échos reçus par le 
capteur : on

n'indiquera que les instants d'arrivée des échos sur le capteur sans se 
préoccuper de leur
amplitude ni de leur forme et on négligera la durée de la traversée du milieu 
de couplage
entre le relais et l'échantillon). Comment peut--on distinguer l'écho que l'on 
veut étudier
parmi tous ceux ré émis par la pièce ?

Cl 24 -- L'absorption propre du matériau est mise en évidence par un contrôle 
en double

transmission sur un échantillon constitué de 16 couches identiques et sans 
défaut. Avec un
émetteur à 4,2 MHz et une tache focale d'extension df = 3 mm, on mesure une 
atténuation

A : 2010g'PRm/PR | = --7,5 dB. Une série de mesures sur des éprouvettes saines, 
de diffé-

rentes épaisseurs et réalisées dans le matériau de l'échantillon à contrôler, 
donne les résultats
suivants (N = nombre de couches, A en dB).

."

Déterminer la relation entre A et Nc. En déduire, en dB par couche et pour un 
trajet dou-
ble, l'atténuation AP due à l'absorption propre du matériau. L'épaisseur de 
chaque couche
étant eo = 0,13 mm, donner l'atténuation en dB par mm.

D 25 -- L'expression théorique P(d) =P(O).exp(--a. v2d), où d est l'épaisseur 
de compo-
site traversée et on un coefficient constant est-elle en accord avec la mesure 
? Si oui, calculer
(x.

E] 26 -- Déterminer l'expression de l'atténuation globale A en fonction de N, A,

(atténuation en double transmission, définie à la question 18) etAP (absorption 
propre du
matériau, définie à la question 24). Calculer A pour une plaque de 16 couches, 
la valeur
trouvée est-elle en accord avec la mesure ?

B Détection de défauts

E] 27 -- Les imperfections de surface de l'échantillon (défauts parallèles à la 
surface,

généralement dus à des bulles d'air emprisonnées entre deux couches) entraînent 
la diffrac-
tion du faisceau ultrasonore. Ce phénomène peut produire des variations de 
l'ordre de -- 3
dB. Préciser les caractéristiques de l'émetteur qu'il faut choisir dans ce cas.

Comparaison de méthodes

Eau E] 28 -- Dans la méthode par
réflexion : le même transducteur détecte
les échos réfléchis par les faces avant PEet
am'èrePs de l'échantillon (fig. 11). Quel
phénomène peut--on observer si la durée
temporelle du signal ultrasonore émis est
supérieure à son temps de parcours dans
l'épaisseur de l'échantillon ?

Composite

Cl 29 -- Déterminer le nombre
minimal de couches nécessaires pour
éviter ce phénomène, dans les deux cas
d'amortissement d'émetteur (fort et faible)

Fig. ] 1 : méthode par réflexion
présentés àla question 8.

D 30 -- Justifier théoriquement que l'on rencontre des problèmes de mesure avec 
un

émetteur peu amorti et un échantillon contenant moins de dix couches, alors que 
l'on sépare
très bien quatre couches avec un émetteur fortement amorti.

Cl 31 -- Quel avantage présente la méthode par double transmission sur la 
méthode par
réflexion ?

Cl 32 -- On considère les échos réfléchis par la face avant de l'échantillon et 
par la pla--
que de verre. L'émetteur peu amorti est utilisé pour analyser une plaque 
extrêmement mince,
contenant quatre couches. La vitesse du son dans l'eau est 0e = 1500 ms"' ; 
quelle doit être la

distance minimale entre le réflecteur et la face de sortie de la plaque ?
Délaminage (défaut « étendu ») '

E] 33 -- Le défaut à détecter par la méthode de réflexion définie à la question 
28 peut
être un délaminage, fine lamelle d'air entre deux couches de matériau. Lorsque 
l'aire, S, de
la surface du délaminage est supérieure à celle de la surface, So, de la tache 
focale, il n'y a
plus d'écho de fond (P s) ; dans le cas contraire (S < So), l'amplitude de 
l'écho de fond est
proportionnelle à (l --S/So). Comparer l'amplitude réfléchie par la face de 
sortie Ps
(matériau sain) et par le délaminage PD (S > So) en déterminant A = 20 log |PD/ 
Ps) ] . On

négligera dans le calcul l'absorption propre du matériau, mais on indiquera 
dans quel sens
cette absorption affecte la valeur de A. Comment reconnaître l'écho associé au 
délaminage ?

Cl 34 ---- L'écho PE est pris comme référence : amplitude unitaire au temps 
initial. Sur le
même repère (amplitude en fonction de l'instant d'arrivée), représenter :

. l'amplitude de l'écho de fond PS pour un échantillon sain de trente couches,

0 la courbe des échos de délaminage PD.

CI 35 -- On analyse l'échantillon représenté fig. 12 ; représenter par un trait 
sur le gra--

phe précédent les échos P... associé à un échantillon sans défaut détectable et 
P ... associé àla
rencontre du faisceau avec un délaminage.

CI 36 -- Une mesure effectuée en un autre endroit du même échantillon donne deux

échos : un écho d'amplitude Ps1/2 à la position de l'écho de fond Ps, et un 
deuxième écho,
d'amplitude P... /2. Que déduire de cette observation ?

D 37 -- Le diamètre de l'émetteur, du type focalisé, est D = 10 mm. Quelle est 
la sur-
face du délaminage ?

Porosité (défaut « ponctuel »)

Cl 38 -- Le défaut peut aussi bien être une porosité, ensemble de petites 
bulles d'air pié-
gées entre les couches. Du fait de la présence de ce défaut, l'amplitude de 
l'écho de fond
diminue. En s'appuyant sur l'observation faite à la question 33 dans le cas S < 
SO et en
nommant n le nombre moyen de bulles par unité de surface et O' leur surface, 
Pspl'amplitude

de fond en présence de porosité et P l'amplitude de fond d'un échantillon sain, 
proposer une
expression de A]: = 20 log IPS], / Ps r. Le résultat sera exprimé en fonction 
de SO, 11 et O'.

D 39 -- L'expérience montre que l'expression obtenue par ce raisonnement est 
valable
pour des épaisseurs de 10 à 80 couches. Peut--on être sûr qu'il s'agit bien de 
porosités ?

D 40 -- Un échantillon de 16 couches est contrôlé par la méthode de réflexion. 
Il est
placé dans l'air, le milieu de couplage est l'eau. On mesure A = 20 log |Ps /PE 
= -- 7,1 dB.

Calculer le [aux de porosité sur_facique 'tp = n0' / SO

D 41 -- On ne peut mesurer une valeur de |A | supérieure à 30 dB, quel est le 
taux de
porosité maximal mesurable pour un échantillon à 80 couches ?

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Fig. 12 : coupe d'un échantillon avec délaminage Fig, 13 : porosité concentrée

DONNÉES EXPÉRIMENTALES SUR DEUX TYPES DE CAPTEUR

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Fig. 3 : réponse temporelle Fig. 4 : réponse fréquentielle

Les figures 3 et 4 concernent un capteur de haute résolution. On lit sur la 
fig. 3 que l'amplitude du
signal de réponse s'étend de ---- 0,14 V à + 0,1 V. La durée du signal Ats à -- 
20 dB est de 0,28 us.

L'ordonnée de la figure 4 est en dB, normalisés de 0 à 10. La fréquence au 
maximum de réponse est de
4. 2 MHz.

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Fig. 5 : réponse temporelle Fig. 6 : réponse fréquentielle

Les figures 5 et 6 concernent un capteur de haute puissance. On lit sur la fig. 
5 que l'amplitude du
signal de réponse s'étend de -- 0,17 V à + 0,16 V. La durée du signal Ats à -- 
20 dB est de 0,88 us.

[ordonnée de la figure 6 est en dB, normalisés de 0 à 10. La fréquence au 
maximum de réponse est de
8, 5 MHz.

ïdal établi.

eram1que en regime Slllll80

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reponse

Annexe A

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Annexe B : Caractéristiques de transducteurs

in.-m'...--
un.-mu...-
un.--mm...-

Fig. Al ab
cd Fig. A2, concerne le transducteur Z4K

Les caractéristiques ci-dessus concernent le transducteur Z 4 K, excité par un 
faisceau ultrasonore de
diamètre 10 mm et de fréquence 4 MHz (faisceau « 4-10 »).

La distance focale F est la distance entre le transducteur et un petit 
réflecteur produisant l'écho de
réflexion dont l'amplitude est la plus grande.
Le constructeur indique l'extension du champ proche, N = 64 mm (N pour Near 
field). C'est la dis-
tance focale d'un transducteur non focalisé, ce qui correspond à la pression 
ultrasonore maximale au
2 2
plus loin du capteur ; pour D >> 7», N = D-- = D f
41 4c

, où f est la fiéquence et c la vitesse de propaga-

tion du son.

c Le point focal et l'extension du champ proche correspondent au domaine de 
distance où la
concentration de l'ultrason et l'identification des réflecteurs sont les 
meilleures. C'est pourquoi, il
sera nécessaire que la zone suspectée des défauts recherchés se trouve dans la 
zone de focalisation
ou du champ proche du transducteur utilisé.

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Mines Physique 2 PSI 2000 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par François-Xavier Bor (École Supérieure de Physique et
de Chimie de Paris), Yannick Alméras (ENS Ulm) et Sébastien Desreux (ENS Ulm) ;
il a été relu par Nicolas Wawresky (Mines de Paris).

L'étude d'expériences de test non destructif d'un matériau composite par ondes
ultrasonores est prétexte, dans ce sujet, à une batterie de questions sur la 
propagation
d'ondes dans les solides. Signalons que les questions ne sont, pour la plupart, 
pas
indépendantes entre elles.
Dans un premier temps, de la question 1 à la question 14, on étudie le 
fonctionnement des émetteurs d'ultrasons (ou transducteurs) et on analyse leurs 
propriétés
de résolution temporelle et spatiale.
Ensuite, les questions 15 à 17 permettent de comprendre l'intérêt de 
l'utilisation
d'un milieu de couplage, via le calcul des coefficients de réflexion et de 
transmission
à la traversée d'un dioptre acoustique.
Enfin, les questions restantes consistent en l'étude de deux méthodes de test
non destructif par ultrasons, celle dite « de double transmission » et celle 
dite « de
réflexion ». Elles demandent notamment l'application des résultats des 
questions antérieures. L'objectif est de comprendre comment on parvient à 
détecter et identifier
des défauts dans des matériaux composites (partie B).
Ce problème, relativement long, est peu calculatoire mais demande un très bon
sens physique pour être mené à bien. De plus, des imprécisions et des erreurs 
sont présentes dans l'énoncé, ce qui rend plus délicate l'analyse déjà 
difficile des expériences
de test non destructif par ultrasons.

Indications

Partie A
1 La démonstration demandée est analogue à celle vue dans le cours de 
propagation
d'ondes sonores dans les fluides, en faisant intervenir le module de Young Y au 
lieu
du coefficient de compressibilité isentropique S . C'est la méthode Lagrangienne
qui est attendue, et non la méthode Eulérienne.
2 L'énoncé dit que l'émetteur vibre.
3 Utiliser la définition de la fréquence propre.
4 Attention, l'analyse de Fourier dans l'énoncé est erronée. Il faut lire « T » 
au lieu
de « t » partout dans les expressions de a() et (). De plus, ces expressions ne
sont relatives qu'au motif rectangulaire du signal et non à l'ensemble du signal
périodique.
5 La tension d'excitation d'amplitude E est une force appliquée au ressort, non 
une
tension électrique.
13 (Z) est le diamètre du faisceau au-delà du point de focalisation. 
L'introduire
dans l'expression de Z0 de la question 9.
15 Le terme « éventuellement » est superflu.
16 Il faut démontrer les relations de continuité de la surpression et de la 
vitesse à
l'interface et les appliquer.
18 PR et PRm sont des amplitudes de surpression.
24 Vous pouvez utiliser votre calculatrice, qui dispose normalement de fonctions
prédéfinies (par exemple statline sur une calculatrice HP) pour faire les 
calculs
à partir du tableau fourni.
25 Attention, log(e) 6= 1.

Partie B
28 Que se passe-t-il quand deux trains d'ondes cohérents se recouvrent ?
32 Il faut comprendre : « distance minimale entre le fond du composite et la 
plaque
de verre ».
34 Faire attention au signe de PS sur la figure 11. La même convention est à 
choisir
pour PD .
37 Utiliser la question 12.
38 Le résultat ne fait pas intervenir S0 .
40 Il est plus judicieux de considérer le taux de porosité  = n  qui n'a pas de
dimension.
41 Même indication que pour la question 40.

A

Émetteur, structure de l'onde ultrasonore

1 On isole le système fermé constitué du solide qui est situé, en l'absence 
d'onde,
entre les abscisses z et z + dz.
  a(z, t)
A
P(z, t)
z

 a(z + dz, t)

G
P(z + dz, t)
z + dz

L'énoncé demande d'utiliser une méthode Lagrangienne pour répondre à cette
question et non la méthode Eulérienne, vue dans le cours de propagation
d'ondes sonores dans les fluides.
La masse dm du système fermé est conservée et son évaluation peut être faite en
l'absence de l'onde :
dm = S dz = Cte
Appliquons le principe fondamental de la dynamique à la tranche en projection 
suivant la direction z dans deux situations distinctes : en l'absence de l'onde 
puis en sa
présence.
­ En l'absence d'onde, la tranche est immobile entre les positions z et z + dz 
et
est soumise au champ de pression, noté P0 , d'où, à tout instant t,
0 = -S P0 (z + dz, t) + S P0 (z, t)

(a)

­ En présence de l'onde, le champ de pression est donné par
P(z, t) = P0 (z, t) + p(z, t)
où p représente la surpression liée au passage de cette onde. Ainsi, le principe
fondamental de la dynamique donne à l'instant t, pour la tranche se trouvant
entre les abscisses z + a(z, t) et z + dz + a(z + dz, t) et de centre de 
gravité G,
 S dz e
a(G, t) = -S P(z + dz + a(z + dz, t)) + S P(z + a(z, t))

(b)

Des équations de physique ont été écrites. Il reste à les simplifier 
mathématiquement en remarquant que le déplacement a et dz sont des 
infinitésimaux
du premier ordre et en utilisant des développements de Taylor.
P0 (z, t)
=0
(a')
z
Pour simplifier l'équation (b), on note tout d'abord que son premier membre est 
tel
que
L'équation (a) donne

S dz e
a(G, t)  S dz e
a(A, t) = S dz

 2 a(z, t)
t2

Ensuite, pour traiter son second membre, on écrit

a(z, t)
P(z + dz + a(z + dz, t))  P z + dz + a(z, t) + dz
,t
z

a(z, t)
 P z + a(z, t) + dz 1 +
,t
{z }
| z
1

 P (z + a(z, t) + dz, t)

z

z }| {
P(z + a(z, t), t)
 P(z + a(z, t)) + dz
z
P(z + dz + a(z + dz, t))  P(z + a(z, t)) + dz

P(z, t)
z

L'équation (b) devient, par conséquent,

 2 a(z, t)
P(z, t)
=-
2
t
z

(b')

On introduit la surpression p en utilisant l'équation (a'), d'où
 2 a(z, t)
p(z, t)
=-
(c)
t2
z
Il est important de faire intervenir la surpression car c'est sous l'effet de 
celle-ci que
le solide se déforme d'après la relation d'état

e
p
=-
eL
Y
Il s'agit de l'équation analogue à celle vue en cours pour la propagation des
ondes sonores dans les fluides

1 V
S = -
V p S
Dans le cas présent, le module de Young Y est analogue à

1
.
S

Pour la tranche de solide étudiée, la relation d'état s'écrit
a(z + dz, t) - a(z, t)
p(z, t)
=-
dz
Y
donc

a(z, t)
p(z, t)
=-
z
Y

(d)

Finalement, la combinaison des équations (c) et (d) permet d'éliminer le terme 
de
surpression :

 2 a(z, t)

a(z, t)
 2 a(z, t)
=
-
-Y
=
+Y

t2
z
z
z 2
En posant c2 = Y/ , ce qui est légitime car Y et  sont strictement positifs, 
cette
relation se réécrit sous la forme d'une équation de propagation :