Mines Physique 1 PSI 2015

Thème de l'épreuve Aspects de la propulsion spatiale
Principaux outils utilisés thermodynamique, mécanique, électromagnétisme
Mots clefs moteur ionique, moteur chimique, propulsion, système ouvert, pulsation cyclotron, micro-onde, plasma, fusée

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Rapport du jury

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


ECOLE DES PONTS PARISTECH
SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH,
TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH,
MINES DE SAINT­ETIENNE, MINES DE NANCY,
TELECOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIERE MP)
ECOLE POLYTECHNIQUE (FILIERE TSI)
CONCOURS D'ADMISSION 2015
PREMIERE EPREUVE DE PHYSIQUE
Filiere PSI
(Duree de l'epreuve: 3 heures)
L'usage de la calculatrice est autorise
Sujet mis a disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM 
INT, TPE­EIVP

Les candidats sont pries de mentionner de facon apparente sur la premiere page 
de la copie :
PHYSIQUE I -- PSI.
L'enonce de cette epreuve comporte 6 pages.
-- Si, au cours de l'epreuve, un candidat repere ce qui lui semble etre une 
erreur d'enonce, il est
invite a le signaler sur sa copie et a poursuivre sa composition en expliquant 
les raisons des
initiatives qu'il aura ete amene a prendre.
-- Il ne faudra pas hesiter a formuler les commentaires (incluant des 
considerations numeriques)
qui vous sembleront pertinents, meme lorsque l'enonce ne le demande pas 
explicitement. Le
bareme tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualites de redaction de 
la copie.

ASPECTS DE LA PROPULSION SPATIALE
Pour les applications numeriques on utilisera 3 chiffres significatifs. Les 
vecteurs sont surmontes
d'un chapeau s'ils sont unitaires u
bx ou d'une fleche dans le cas general ~v . A l'exception de i tel
2
que i = -1, les grandeurs complexes sont soulignees : z  C.
Donnees valables dans tout le probleme
· Masse de l'electron, me = 9, 11 · 10-31 kg ;
· Charge elementaire, e = 1, 60 · 10-19 C ;
· Constante de Newton de la gravitation universelle, G = 6, 67 · 10-11 m3 · 
kg-1 · s2 ;
· Permitivite dielectrique du vide, 0 = 8, 85 · 10-12 F · m-1 ;
· Constante d'Avogadro, NA = 6, 02 · 1023 mol-1 ;
· Rayon de la Terre, Rt = 6, 37 · 103 km ;
· Masse de la Terre, Mt = 5, 97 · 1024 kg ;
· Intensite du champ de pesanteur a la surface de la Terre, g = 9, 81 m · s-2 ;
· Constante de Boltzmann, k = 1, 38 · 10-23 J · K-1 ;
· Constante de Planck, h = 6, 62 · 10-34 J · s ;
· Constante des gaz parfaits, R = 8, 31 J · K-1 · mol-1 ;

Aspects de la propulsion spatiale

Ce problème s'intéresse a la propulsion d'engins spatiaux et plus 
particulièrement au moteur
ionique, dans lequel le carburant n'est pas brûlé mais ionisé. Les ions alors 
libérés passent
par deux grilles fortement chargées électriquement et subissent ainsi une 
accélération. La force
d'accélération des ions cause une force de réaction de sens opposé : c'est la 
force de propulsion
du moteur a ions. Les différentes parties du problème sont très largement 
indépendantes.

I. -- Généralités

I.A. -- Aspect cinétique - Lois de vitesse

A l'instant t = 0 , une fusée de masse totale m0 décolle verticalement dans
le référentiel terrestre (voir figure 1). On définit le débit de masse D... > 0

des gaz brûlés, par D... = --Î,--T , m(t) désignant la masse de la fusée a un
instant t > 0 quelconque. On note ([ = --uûz avec u > 0, la vitesse d'éjection

des gaz par rapport a la fusée. On note 17 = o(t)Ûz la vitesse de la fusée dans
le référentiel terrestre supposé galiléen. On suppose que D... et u restent
constants et que le champ de pesanteur g reste uniforme lors du lancement.

_| 1 -- En prenant pour système la fusée a l'instant t, exprimer sa quantité
de mouvement fi,-- aux instants t et t--l-- dt . Déterminer de même la quantité
de mouvement 5, a l'instant t--l-- dt du gaz éjecté pendant dt .

_| 2 -- On rappelle que la dérivée temporelle d'un vecteur OE(t) est définie

par la relation d_w : lim ...
dt dt-->O dt

mental de la dynamique pour l'ensemble {fusée --l-- gaz}, établir l'équation
différentielle

. En utilisant le principe fonda--

d
md--î = D...u -- mg (1)
FIGURE 1 -- Fusée
_| 3 -- Identifier, dans le second membre de l'équation (1), l'intensité F

de la force de poussée. A quelle condition la fusée décolle--t--elle ?

_| 4 -- On nomme impulsion spécifique Is d'un ergol (gaz propulseur) le temps 
pendant lequel
une masse m de cet ergol peut fournir une poussée équivalente au poids ressenti 
par m a la
surface de la terre. Exprimer L, en fonction de u et g.

_| 5 -- Déterminer l'expression de la vitesse o(t) de la fusée a l'instant t, 
en fonction de t,
m(t), g, u et de la masse de la fusée a l'instant t = 0 notée mo.

_| 6 -- On suppose le vaisseau extrait de l'attraction terrestre (mission 
interplanétaire), sa
masse totale est alors m,-- et sa vitesse 77 = v,;Ûz. On allume a nouveau un 
moteur pendant une
durée At conduisant a une variation de masse Am = m,; -- mf. Adapter 
l'expression précédente
pour obtenir la relation de T siolkovski donnant l'accroissement de vitesse 
correspondant, noté
AV = of -- e,, en fonction de u, m,; et mf.

L'exemple qui suit a pour objet de montrer l'intérêt des fusées a plusieurs 
étages. Soit une fusée
de masse totale mt = 134 tonnes constituée de deux étages. La masse totale du 
premier étage
est m... = 110 tonnes dont 100 tonnes d'ergols, et celle du second est m,, = 
24, 0 tonnes dont
20,0 tonnes d'ergols.

_| 7 -- En considérant que la vitesse d'éjection des gaz u = 4, 00 km - s_1 est 
la même lors de
la poussée de chaque étage, calculer les accroissements de vitesse apportés 
successivement par
chacun des étages de la fusée. Comparer avec le cas d'une fusée ne possédant 
qu'un seul étage
et la même répartition de masses, c'est--à--dire 14,0 tonnes de structure et 
120 tonnes d'ergols.
Les calculs seront effectués dans l'hypothèse d'une absence de pesanteur.

Page 2/6

Physique [, année 2015 -- filière PS]

Une autre manière de minimiser les dépenses en carburant est d'augmenter la 
vitesse d'éjection,
limitée a quelques kilomètres par seconde dans le cas d'une propulsion chimique 
comme nous
le verrons dans la suite de ce probléme.

Ü 8 -- Pour une charge utile de masse mu : 500 kg, calculer les masses mclet 
mc2 de carburant
(la masse initiale du vaisseau est m0 : mu + mc) a prévoir pour obtenir une 
variation de vitesse
AV : 5, 00 km - s_1, dans le cas d'une propulsion chimique (u = 4, 00 km - s_1) 
et d'une
propulsion ionique (u = 20, 0 km - s_1).

I.B. -- Aspect énergétique - Rendement propulsif du moteur fusée

Ü 9 -- Le vaisseau se déplace a une vitesse de norme ?} dans le référentiel 
d'étude galiléen.
Exprimer l'énergie cinétique dans ce référentiel de la masse dm du gaz éjectée 
pendant dt, en
déduire la puissance cinétique Pjet contenue dans le jet de gaz issu du moteur. 
Exprimer de
même la puissance reçue par le vaisseau de la part de la force de poussée. On 
exprimera ces
deux termes en fonction de D..., u et v.

Ü 10 -- On définit le rendement propulsif comme le rapport de la puissance 
cinétique gagnée
par le vaisseau sur la puissance totale dépensée. En admettant une conversion 
parfaite de
l'énergie stockée dans le vaisseau en énergie cinétique du jet et du vaisseau, 
montrer que le
rendement propulsif peut se mettre sous la forme

Za:

"(l') = @

où l'on précisera l'expression de a: en fonction des données du problème.

Ü 11 -- Tracer la courbe 77(a:), pour quelle valeur de a: le rendement 
propulsif est--il maximal?
Pour quelles valeurs de a: le rendement est il nul ? Montrer que l'on pouvait 
prévoir ces résultats
sans calcul.

En fait, bien que des moteurs a vitesse d'éjection variable soient étudiés et 
quelquefois exploités,
le rendement énergétique de la propulsion est souvent considéré comme 
secondaire : l'énergie
fournie par une pile nucléaire ou des panneaux solaires est presque illimitée, 
ce qui n'est pas le
cas des réserves de gaz propulsif.

FIN DE LA PARTIE I

II. -- Limites de la propulsion chimique

Considérons l'écoulement d'une tranche de fluide, comprise entre les sections 
31 et 32 a l'instant
t et entre Sî et S$ a l'instant t+ dt . Durant le laps de temps dt cette 
tranche échange un
certain travail W et une certaine quantité de chaleur Q avec l'extérieur. On 
note par ailleurs
W' le travail échangé sans mettre en jeu les forces de pression.

Ü 12 -- Appliquer le premier principe de la thermodynamique a cette tranche, 
écrire, en
régime permanent, la relation entre W' , Q et les variations d'énergie massique 
de la tranche
considérée.

On se place dans la tuyère d'un moteur fusée, lorsque l'écoulement est 
permanent et s'effectue a
altitude constante sans travail autre que celui des forces de pression. Le gaz 
éjecté est considéré
comme parfait, de masse molaire M, d'indice adiabatique v = 1,4 . Il provient 
d'une chambre
de combustion, où ses température et pression sont notées T C et Pc . Le gaz 
est initialement au
repos, "UC : 0. Par ailleurs, on considère que le transit du gaz dans la tuyère 
est suffisamment
rapide et les échanges suffisamment lents pour que l'on puisse négliger les 
transferts thermiques.

Ü 13 -- Exprimer la vitesse maximale atteinte par le gaz en sortie de la tuyère 
en fonction
de v, R, T C et M. On négligera la température de sortie devant T C.

Page 3/6 Tournez la page S.V.P.

Aspects de la propulsion spatiale

Ü 14 -- Les ergols utilisés pour la propulsion sont du dihydrogène et du 
dioxygène, leur
réaction stoechiométrique permet d'obtenir une température de combustion de 
l'ordre de T C =
3, 0 - 103 K. Calculer la vitesse maximale d'éjection des gaz issus de la 
tuyère et l'impulsion
spécifique correspondante.

FIN DE LA PARTIE II
III. -- Le moteur plasma micro-ondes

III.A. -- Principe de fonctionnement

Pour diminuer la consommation de gaz propulsif, il est nécessaire d'accélérer 
fortement le gaz
éjecté par apport extérieur d'énergie . Cette accélération est rendue possible 
par l'ionisation
de ce gaz (on obtient alors un plasma), les particules chargées pouvant être 
accélérées par un
champ électrique.

Le gaz propulsif utilisé est par exemple du Xénon, il est ionisé par trois 
types de mécanismes po--
tentiels, on suppose que tous les ions produits sont Xe+. Ces trois mécanismes 
sont représentés
sur la figure 2. La première source potentielle d'ion est la collision entre un 
atome et un
électron produit par un canon a électrons (défini au début de la partie III.B). 
Il s'agit de
la voie &. Outre l'ion produit cette voie produit deux électrons lents. 
L'application d'une onde
électromagnétique micro--onde permet d'accélérer ces électrons afin qu'ils 
puissent également
ioniser d'autres atomes de Xénon. Il s'agit de la voie (7. Enfin, dans 
certaines conditions, les
photons micro--onde sont également susceptibles de photo--ioniser les atomes de 
Xénon. Il s'agit
de la voie c.

Une forte densité du plasma est assurée par la présence d'aimants permanents. 
Les ions Xe+ sont
finalement accélérés par une différence de potentiel dans une région appelée 
grille accélératrice.
Des canons a électrons assurent une neutralisation du gaz émis. L'ensemble est 
schématisé sur
la figure 2.

Grille
Grille accélératrice . ,
f A \ Canon a electrons

micro--onde

de neutralisation

Xénon @ @_>@»@_Y
@

Canon à électrons
d'ionisation @
y

A A Aimants permanents
Z uoe

FIGURE 2 -- Représentation schématique du moteur ionique : les symboles @ sont 
des atomes
de Xénon, @ des ions Xe+ et e des électrons.

On considère le plasma comme un milieu électriquement neutre, de permittivité 
60 et de
perméabilité magnétique ,u0 , qui renferme n ions par unité de volume et autant 
d'électrons de
masse me et de charge --e. Au sein du plasma, les ions possèdent une vitesse 
caractéristique
bien plus faible que celle des électrons, ils peuvent ainsi être considérés 
comme immobiles.
Les électrons sont dits libres pour les distinguer de ceux qui restent attachés 
aux ions. Le

Page 4/6

Physique [, année 2015 -- filière PSI

plasma étudié ici est non--collisionnel, c'est--à--dire que l'on néglige 
l'effet des chocs entre ions
et électrons ou entre particules de même espèce. On suppose également qu'il est 
non relati--
viste ce qui signifie que la vitesse caractéristique des électrons libres est 
faible devant celle
de la lumière H"IÎEURH << c. Afin d'assurer une ionisation la plus complète 
possible, on souhaite
finalement que ce plasma soit le siège de la propagation d'un rayonnement 
micro-onde. L'onde
électromagnétique correspondante est associée a un champ électrique dont la 
représentation
complexe s'écrit É : E0e'(w"_koe)ûy.

Ü 15 -- On suppose la propagation effective. Faire l'inventaire de toutes les 
forces appliquées
a un électron libre et préciser lesquelles sont négligeables.

Ü 16 -- Déterminer, en régime de propagation établi, la représentation complexe 
fie de la
vitesse des électrons libres et en déduire la conductivité complexe g du plasma 
définie par
î = gÉ

Ü 17 -- Vérifier que dans ce régime de propagation la densité volumique de 
charge p est
bien nulle puis en revenant a la notation réelle établir l'équation de 
propagation du champ
Ê(a:,t). On rappelle que rdt(rdtÊ) : grad(divÊ) -- AÊ, en déduire l'équation de 
dispersion
dans laquelle apparaît la pulsation de plasma

ne2
w = .
}? 50me

Ü 18 -- A quelle condition l'onde appliquée au plasma peut--elle s'y propager ? 
Sinon que lui
arrive--t--il ?

Un intense champ magnétique statique axial Ë0 : BO @, supposé uniforme, est 
appliqué a
l'intérieur du plasma par des aimants permanents.

Ü 19 -- Ecrire l'équation vectorielle qui décrirait le mouvement de l'électron 
s'il n'était soumis
qu'à ce champ magnétique. Montrer que pour une vitesse initiale de l'électron 
contenue dans
le plan perpendiculaire au champ magnétique, son mouvement serait circulaire 
uniforme dans
ce plan, et que sa période de rotation serait indépendante de sa vitesse. 
Exprimer la pulsation
wc correspondante, appelée pulsation cyclotron, et calculer sa valeur numérique 
pour un champ
magnétique appliqué d'intensité BO : 0, 20 T.

Ü 20 -- Montrer qualitativement que l'application du champ micro--onde (Ê , Ë0) 
avec w % wc
permet d'accélérer les électrons en augmentant la norme de leur vitesse.

Ü 21 -- D'après ce qui précède, exprimer et calculer numériquement la densité 
particulaire
maximale que l'on peut espérer pour un champ magnétique appliqué d'intensité BO 
: 0, 20 T.

Un champ magnétique permanent intense permet donc d'obtenir une densité 
importante de
plasma et ainsi d'augmenter le courant ionique engendré par les grilles 
accélératrices. Il aide
par ailleurs a maintenir l'ionisation : les lignes de champ magnétique << 
piègent >> les électrons
en les forçant a décrire des cercles plutôt que de diffuser librement vers les 
parois ; la probabilité
qu'un électron chaud ionise une molécule est accrue en raison de l'augmentation 
de la longueur
de son trajet.

Ü 22 -- L'énergie de première ionisation du Xénon est de l'ordre de 12,0 eV. La 
configuration
précédente permet--elle d'envisager une réelle contribution de la 
photo--dissociation (voie c). On
justifiera sa réponse par un calcul.

III.B. -- Poussée

On néglige la masse mEUR des électrons devant celle des ions notée ,u.

Ü 23 -- Exprimer la relation entre l'intensité du courant électrique ] dû aux 
ions traversant
le moteur, le débit D... de masse de gaz issu du vaisseau et des 
caractéristiques des ions.

Page 5/6 Tournez la page S.V.P.

Aspects de la propulsion spatiale

Ü 24 -- On suppose que les ions ont une vitesse caractéristique nulle a 
l'entrée de la grille
accélératrice. On note Va > 0 la tension présente entre les deux électrodes de 
la grille accélératrice.
Déterminer la vitesse caractéristique de sortie des ions du moteur. En déduire 
l'intensité F de
la force de poussée du moteur (identifiée a la question 3) en fonction de ], 
,u, Va et e.

Ü 25 -- La densité volumique de courant dans le moteur est liée a la tension 
d'accélération
par la loi de Ohild--Langmuir que nous admettrons

__450 2e Va3/2
"7_ 9 ,u d2

la distance d étant celle séparant les deux électrodes de la grille 
accélératrice . Exprimer F en
fonction de V... d, 60 et du diamètre D du jet de gaz.

On considère un moteur ionique utilisant du Xénon, de masse molaire M = 131 g - 
mol_1 et
possédant les caractéristiques suivantes :

. tension accélératrice Va : 700V;
. distance d entre les deux électrodes de la grille accélératrice : d = 2, 50 
mm;
. diamètre de chaque trou dans les électrodes de grille délimitant les jets 
élémentaires
D = 2, 00 mm;
0 nombre de trous en vis--à--vis dans chaque électrode : N = 2, 20 - 103
Ü 26 -- Calculer les valeurs numériques de la poussée F de ce moteur, de la 
vitesse de sortie

des ions et de la masse de Xénon consommée sur une période de 90 jours de 
fonctionnement.
Evaluer la puissance cinétique totale transmise au jet de gaz propulsé.

Ü 27 -- Justifier sans calcul la nécessité de neutraliser le jet d'ions issu du 
moteur en lui
fournissant des électrons.

IV. -- Application du moteur ionique au maintien d'un
satelhte en orb1te basse

On considère un satellite terrestre de masse m3 = 250 kg en orbite circulaire 
basse a l'altitude
h = 300 km. Cette altitude est telle que les hautes couches de l'atmosphère le 
freinent.

Ü 28 -- Exprimer l'énergie cinétique EC du satellite en fonction de son énergie 
mécanique
Erm ; en déduire que, paradoxalement, le freinage entraine une augmentation de 
la vitesse.

Ü 29 -- Lorsque le moteur est éteint, les forces de frottement font perdre au 
satellite une
altitude Ah : 20 m a chaque révolution. Exprimer la variation d'énergie 
mécanique correspon--
dante, effectuer l'application numérique.

Ü 30 -- Le moteur ionique étudié précédemment permet--il de maintenir 
l'altitude de ce sa--
tellite ?

FIN DE LA PARTIE IV

FIN DE L'ÉPREUVE

Page 6/6

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Mines Physique 1 PSI 2015 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Vincent Freulon (Professeur en CPGE) ; il a été relu
par Julien Dumont (Professeur en CPGE) et Stéphane Ravier (Professeur en CPGE).

Cet énoncé présente deux méthodes de propulsion : la propulsion chimique, qui 
est
utilisée par les fusées, et la propulsion par moteur ionique, utilisée pour les 
satellites
et les sondes spatiales.
· La première partie étudie la force de poussée, indépendamment du mode de
propulsion. Son expression est obtenue par la loi de la quantité de mouvement
appliquée à un système ouvert. On justifie ensuite l'utilisation de fusées à 
deux
étages, plutôt qu'un seul : cette configuration permet d'atteindre des vitesses
plus élevées. On calcule enfin le rendement propulsif du moteur d'une fusée en
utilisant des méthodes de calcul adaptées à l'étude des systèmes ouverts.
· C'est la propulsion chimique qui fait l'objet de la seconde partie. Après 
avoir
écrit le premier principe de la thermodynamique en système ouvert, on évalue
la vitesse maximale des gaz de propulsion.
· La troisième partie étudie le mouvement de particules chargées dans un champ
électromagnétique. On abandonne la physique des systèmes ouverts pour se
concentrer, d'abord, sur le mouvement d'un électron d'un plasma froid, soumis
à une onde électromagnétique. C'est l'occasion d'utiliser la force de Lorentz,
mais aussi les équations de Maxwell. On en déduit les caractéristiques 
(puissance, consommation et force de poussée) du moteur ionique. On montre que
l'utilisation d'une onde électromagnétique permet d'accélérer les électrons du
plasma, mais limite sa densité.
· Dans la courte quatrième partie, on cherche à déterminer si le moteur ionique
qui fait l'objet de la partie précédente permet le maintien d'un satellite sur
son orbite. Cette partie fait appel au cours de mécanique sur les mouvements
à force centrale.
Ce sujet, commun aux trois filières, fait appel aux programmes de première et de
deuxième année. Le spectre des thèmes abordés n'est pas très large. Il contient 
peu
de discussions physiques et d'analyses de données, mais fait appel à des 
méthodes
de résolution particulières et à des points de cours. En ce sens, ce sujet 
constitue un
bon problème de révision.

Indications
Partie I
1 On traite la fusée comme un système ouvert.
2 Le gaz qui est éjecté durant dt fait partie de la fusée à l'instant t.
8 La masse mc1 correspond à la propulsion chimique et mc2 à la propulsion 
ionique.

9 Dans le référentiel terrestre, la vitesse des gaz éjectés est -
u +-
v . Exprimer P
jet

en fonction de Dm , v, u et dt. Utiliser l'expression de F obtenue à la 
question 3
pour obtenir PF .
10 Faire appel à la formule  = PF /(Pjet + PF ).
Partie II
12 Les quantités W, W et Q sont échangées pendant la durée élémentaire dt.
13 Ici, (h + ec ) = 0. Dans le cas d'un gaz parfait,
h =

R
T
M( - 1)

14 Le gaz éjecté est de la vapeur d'eau de masse molaire 18 g.mol-1 .
Partie III
15 La force de Lorentz magnétique peut être négligée. On le justifie en 
s'appuyant
sur une des équations de Maxwell.
16 Écrire la loi de la quantité de mouvement. Se placer en régime sinusoïdal 
forcé.
17 Utiliser l'équation de Maxwell-Gauss et la formule d'analyse vectorielle 
fournie.
18 Pour avoir propagation, il faut k réel. En déduire une propriété pour k 2 .

d-
ve
-
19 Montrer que me
= -e 
v e  B0 u
cz .
dt
20 Remarquer qu'une onde polarisée rectilignement est la somme de deux ondes 
polarisées circulairement. Repartir de l'expression de la vitesse obtenue à la 
question
précédente et appliquer la méthode de variation de la constante.
21 On veut que l'onde se propage dans le milieu lorsque sa pulsation est  c ; 
il faut
donc que k 2 ( c ) > 0.
22 L'énergie d'un photon de pulsation  est ~.
23 Raisonner par analyse dimensionnelle.
24 Traduire la conservation de l'énergie mécanique pour exprimer v en fonction
de Va , puis l'expression de F en fonction de Dm et u.
26 Se contenter d'un ordre de grandeur pour évaluer Pjet ,. On peut, par 
exemple,
utiliser la valeur de v fournie à la question 8.
Partie IV
30 Calculer la durée d'une révolution (à l'aide de l'analogue de la troisième 
loi de
Kepler). Utiliser la valeur de Pjet estimer à la question 26.

Aspects de la propulsion spatiale
I. Généralités

1 Par définition, la quantité de mouvement -
pf (t ) de la fusée, à l'instant t , est le

produit de sa masse m(t ) à cet instant par sa vitesse -
v (t ) au même instant, dans le
référentiel d'étude. Ainsi, en prenant successivement t = t, puis t = t + dt, 
il vient
-

pf (t) = m(t) -
v (t)

-

pf (t + dt) = m(t + dt) -
v (t + dt)

et

La masse Dm dt de gaz, éjectée entre les instants t et t + dt, possède une 
vitesse à

l'instant t + dt notée -
u par rapport à la fusée. La vitesse de la fusée par rapport au

-
sol est v (t + dt). Par composition des vitesses, la vitesse du gaz éjecté par 
rapport

au sol est -
u +-
v (t + dt). Il s'ensuit que
h
i

-

pg = Dm dt -
u +-
v (t + dt) = Dm dt [v(t + dt) - u] u
cz
L'énoncé est déroutant lorsqu'il demande de prendre « pour système la fusée
à l'instant t » (ce qui laisse penser que la fusée est vue comme un système
fermé), puis invite à la traiter comme un système ouvert. C'est bien cette
seconde approche que l'on choisit.

2 Le système {fusée+gaz} est un système fermé entre t et t + dt. On peut donc
lui appliquer la loi de la quantité de mouvement dans le référentiel terrestre 
supposé

galiléen. La somme des forces extérieures à ce système se réduit à son poids m-
g.

-
Notons  (t) la quantité de mouvement de ce système à l'instant t, dans le 
référentiel
d'étude, alors

-

 (t + dt) - -
 (t)

lim
= m-
g
()
dt0
dt

-

-

Mais
 (t) = -
p (t)
et
 (t + dt) = -
p (t + dt) + -
p
f

f

g

Remplaçons les quantités de mouvement par leur expression établie précédemment,
h
i

-

 (t + dt) - -
 (t) = -
p (t + dt) - -
p (t) + D dt -
u +-
v (t + dt)
f

f

m

h
i

-

= m(t + dt)-
v (t + dt) - m(t)-
v (t) + Dm dt 
u +-
v (t + dt)

Par conservation de la masse m(t + dt) = m(t) + Dm dt, il apparaît que
h
i

-

 (t + dt) - -
 (t) = m(t) -
v (t + dt) - -
v (t) + Dm dt -
u
Injectons cette expression dans l'équation (),

d-
v

+ Dm -
u = m-
g
m
dt

Projetons cette équation sur u
c et utilisons -
u = -u u
c,
z

z

m

dv
= Dm u - m g
dt

(1)

3 L'expression établie à la question précédente montre que la fusée est soumise 
à
deux forces : l'une est son poids et l'autre correspond au terme Dm u, qui 
s'identifie à
la poussée des gaz éjectés. Cette force est bien orientée vers le haut. Ainsi,

F = Dm u
Pour que la fusée décolle, il faut que l'accélération soit positive. On en 
déduit que
Dm u > m g
Puisque m(t) est une fonction décroissante de t, cette condition peut aussi
être réécrite en utilisant m(0) = m0 ,
Dm u > m0 g
4 L'impulsion spécifique Is est la durée pendant laquelle m est éjectée, donc
m
Dm =
Is
car le débit est constant. La poussée est supposée égale au poids utilisé pour 
définir
Is , si bien que
u
m
Dm u =
Is =
u = mg
d'où
Is
g
On doit s'assurer rapidement que Is possède bien la dimension d'un temps :
L.T-1
[Is ] =
=T
L.T-2
[ 2]5 Divisons l'équation (1) par m(t) et séparons les variables,
dv =
Comme

Dm u
dt - g dt
m(t)

dm = -Dm dt

dm u
- g dt
m
Intégrons entre l'état initial en t = 0 et l'état à l'instant t :

m0
v(t) - v(0) = u ln
- g (t - 0)
m(t)

m0
d'où
v(t) = u ln
-gt
m(t)

Il vient

dv = -

On peut également résoudre cette question en s'appuyant plus explicitement
sur la conservation de la masse : m(t) + Dm t = m0 . Cela conduit à intégrer
l'équation suivante, qui conduit bien sûr au même résultat :
dv
Dm u
Dm u
=
-g=
-g
dt
m(t)
m0 - Dm t
6 Adaptons le calcul de la question précédente. Cette fois, on prend g  0,
m0  mi , v(0)  v i , v(t)  v f et m(t)  mf . Ainsi,

mi
mi
v f - v i = u ln
d'où
V = u ln
mf
mf
7 Considérons d'abord le cas d'une fusée à deux étages. Les masses sont 
exprimées
en tonnes. Durant la phase de poussée par le premier étage, l'accroissement de 
vitesse
V1 s'écrit