Mines Physique 1 PSI 2013

ECOLE DES PONTS PARISTECH
SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH,
TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH,
MINES DE SAINT--ETIENNE, MINES DE NANCY,
TELECOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIÈRE MP)
ECOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI)

CONCOURS D'ADMISSION 2013
PREMIÈRE ÉPREUVE DE PHYSIQUE
Filière PSI

(Durée de l'épreuve: 3 heures)
L'usage de la calculatrice est autorisé

Sujet mis a disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM 
INT, TPE--EIVP
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page 
de la copie :

PH YSIQ UE 1 -- PSI.

L'énencé de cette épreuve comporte 6 pages.

-- Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une 
erreur d'énoncé, il est invité
a le signaler sur sa copie et a poursuivre sa composition en expliquant les 
raisons des initiatives qu'il
aura été amené a prendre.

-- Il ne faudra pas hésiter a formuler des commentaires pertinents (incluant 
des considérations numé--
riques), même lorsque l'énoncé ne le demande pas explicitement. Le barème 
tiendra compte de ces
initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la copie.

MODULATION AOOUSTO--OPTIQUE

Oe problème comporte trois parties largement indépendantes. La première partie 
fait établir
l'équation de propagation d'ondes acoustiques dans un milieu compressible. Dans 
une deuxième
partie, une modélisation d'un modulateur acousto--optique (MAO) est présentée. 
Le MAO est
un outil très utile en optique : il peut modifier la direction et la fréquence 
d'une fraction de la
lumière le traversant. La troisième et dernière partie étudie une application 
utilisant un MAO :
la méthode de détection hétérodyne.

Dans tout le problème, exprimer signifie donner l'expression littérale et 
calculer signifie
donner le meilleur ordre de grandeur possible de la valeur numérique.

Les vecteurs seront surmontés d'un chapeau s'ils sont unitaires (EUR), ou d'une 
flèche dans le cas
, , --) ' 7 . . .2 _ . ,
general (a ). A l except10n de ], tel que ] -- --l, les nombres complexes 
seront souhgnes.

Const ant es numériques :

<> constante des gaz parfaits : R = 8,31 J - mol_1 - K_1 ;

<> exposant adiabatique : v = 5/3 (resp. v = 7/ 5) pour un gaz parfait 
monoatomique (resp.
diatomique) ;

<> masse molaire moyenne de l'air : M = 29,0 g - mol--1.

Modulatian acausta--uptique

I. -- Ondes acoustiques dans un milieu compressible

FIGURE 1 * Déformation du milieu
lors du passage d'une onde sonore se
propageant selon 'e}.

_, _,
EUR(z,t) 5(z + dz,t)
On considère un milieu compressible et homogène caractérisé, au repos, par sa 
masse volumique
gg uniforme, et au sein duquel règnent une température T0 et une pression PO 
uniformes (pe--
santeur négligée). Pour décrire la. déformation du milieu, on considère une 
tranche (systéme
fermé) de section S et d'épaisseur dz initialement au repos. Sous l'effet d'une 
perturbation
se propageant dans la direction 2, la tranche élémentaire, repérée au repos par 
l'abscisse z,
est déplacée d'une distance 5(z,t) à un instant t (Voir figure 1). La grandeur 
EUR est appelée
champ de déplacement acoustique. On note P(z,t) et g(z,t) respectivement la 
pression et la

masse volumique de cette tranche élémentaire a un instant t quelconque. On 
définit enfin par
.. 5 A .
v (z,t) : % ez la Vitesse de cette tranche.

E' 1 -- Déterminer, par conservation de la masse, la relation liant Q(z,t) a go 
et (Î'
2

D 2 -- En appliquant la relation fondamentale de la dynamique a la tranche de 
fluide ini--

62 ôP
tialement au repos entre les abscisses z et 2 + dz, établir la relation liant 
go, Î'Î et Î'
z
, . , . ,, . . , . . . 1 @@
D 3 -- En déduire que {(z,t) verifie lequatron dfierent1elie su1vante, ou Xs : 
? % est le
s
coefiicient de compressibfiité isentropique du milieu :
525
62EUR 1 %
at2
Xs90 (l + Ë)
ôz
, . . . . , ,. , . , 35
D 4 -- On se place dans lappro}nmatnon acoustique ou lon suppose lmegalrte Æ << 1. Montrer que le champ de Vitesse v(z,t) vérifie alors une équation de propagation de d'Alem-- bert. Exprimer la célérité cD des ondes acoustiques. Donner la forme générale d'une solution sinusoïdale progressive d'amplitude 1/0, de pulsation temporelle Q et se propageant dans le sens des 2 croissants avec un vecteur d'onde K : K EUR,. Exprimer la norme de K en fonction des données. D 5 -- Exprimer la célérité du son dans l'air, notée ca,-,, en fonction de grandeurs pertinentes puis calculer sa valeur dans le cas d'une propagation isentropique dans l'air, assimilé à un gaz parfait à la température To : 300 K. Comparer la Valeur obtenue à l'ordre de grandeur (que l'on précisera) de la célérité @... des ondes sonores dans un solide. FIN DE LA PARTIE I Page 2/6 Physique I, année 2013 * filière PSI II. -- Modèle du modulateur acousto--optique (MAO) On s'intéressera dans un premier temps a la réflexion d'une onde lumineuse sur un dioptre plan, préalable nécessaire a la modélisation d'un MAO. On note c la célérité de la lumière dans le vide. On considère deux milieux, diélectriques (isolants) transparents, non chargés, linéaires, homo-- gènes et isotropes d'indices réels respecti£s " et n' dont l'interface de séparation est le dioptre plan d'équation z : O. Le milieu d'indice n occupe le demi--espace : > 0 et le 
milieu d'indice n'
le demi--espace 2 < 0 (Voir figure 2). Une onde électromagnétique plane progressive monochromatique de pulsation temporelle w se propage dans le milieu d'indice n. Dans le référentiel centré sur 0, on note Ë(M,t) : En exp [j(wt * la - OÎ4)] êy la représentation complexe du champ électrique au point M associé à cette onde. En notant c la célérité de la lumière dans le vide, le vecteur d'onde !? 1- : E'e} : définit l'angle d'incidence 9 par rapport a la normale au dioptre. En notation complexe, les champs électriques réfléchis et transmis s'écrivent : <> Ë,(M,t) : RED exp [j(wt * Iii, -- OÎ)] %, où le vecteur d'onde E, : E'e} 
définit l'angle
-- c

de réflexion 0,.
<> Ë(M,t) : TEgexp [j(wt * Î 0 en fonction de k et K puis en fonction 
de À et A.
L'angle aB existe--t-il toujours?

E' 15 -- Vérifier que, à l'incidence de Bragg, les ondes élémentaires 
réfléchies aux interfaces
z et 2 + A interférent de manière constructive.

D 16 -- On donne 9 : 2,0 mm, A : 50 pm, no : 2,0 et la longueur d'onde dans le 
vide de
l'onde lumineuse )... : 0,60 pm. Montrer que le profil de l'intensité lumineuse 
(on éclairement)
réfléchie en fonction de Sina se limite en bonne approximation a deux pics très 
étroits centrés
sur 1 sin dB et dont on précisera (littéralement et numériquement) la largeur, 
notée A sin &. On
envisage alors le cas a : +aB. Montrer que l'onde lumineuse réfléchie est 
décalée en fréquence
par rapport a l'onde incidente (et transmise). Caractériser ce décalage.

FIN DE LA PARTIE II
III. -- Interfêrométrie hétérodyne

Un faisceau laser Hélium--Néon (Àg : 632,8 nm) est envoyé sous incidence de 
Bragg (a : EME) a
travers le modulateur acousto--optique modélisé dans la partie II. Deux 
faisceaux émergent du
dispositif : le faisceau transmis (ordre 0), non dévié et de pulsation 
temporelle L.}, est séparé du
faisceau réfléchi (ordre 1 ), de pulsation w +Q. Ces faisceaux sont ensuite 
recombinés au moyen
de deux miroirs et d'une lame semi--réfléchissante (analogue à la séparati'ice 
d'un interférométre
de Michelson). On enregistre l'intensité lumineuse totale sur un détecteur 
(photodiode) dont le
temps de réponse T vérifie 2" << T << %" (Voir figure 4). w Page 5/6 Tourna la page S.V.P. Modulatian acausta--aptique Séparatrice Détecteur ) Laser (w) Miroir mobile dA(t) l FIGURE 4 * Dispositif expérimental pour l'interférométrie hétérodyne. m On note @ : ao exp(jwt) et à : a1 exp [j[(m +Q)t + «p(t)]] les vibrations scalaires complexes respectives des champs électriques associés aux ordres 0 et 1 qui interférent au niveau du détecteur. La grandeur