Mines Physique 1 PSI 2013

Thème de l'épreuve Modulation acousto-optique
Principaux outils utilisés ondes acoustiques, ondes électromagnétiques, modulation, interférences
Mots clefs indice optique variable, milieu compressible, interférences hétérodynes, MAO

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Énoncé complet

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Rapport du jury

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


ECOLE DES PONTS PARISTECH
SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH,
TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH,
MINES DE SAINT--ETIENNE, MINES DE NANCY,
TELECOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIÈRE MP)
ECOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI)

CONCOURS D'ADMISSION 2013
PREMIÈRE ÉPREUVE DE PHYSIQUE
Filière PSI

(Durée de l'épreuve: 3 heures)
L'usage de la calculatrice est autorisé

Sujet mis a disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM 
INT, TPE--EIVP
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page 
de la copie :

PH YSIQ UE 1 -- PSI.

L'énencé de cette épreuve comporte 6 pages.

-- Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une 
erreur d'énoncé, il est invité
a le signaler sur sa copie et a poursuivre sa composition en expliquant les 
raisons des initiatives qu'il
aura été amené a prendre.

-- Il ne faudra pas hésiter a formuler des commentaires pertinents (incluant 
des considérations numé--
riques), même lorsque l'énoncé ne le demande pas explicitement. Le barème 
tiendra compte de ces
initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la copie.

MODULATION AOOUSTO--OPTIQUE

Oe problème comporte trois parties largement indépendantes. La première partie 
fait établir
l'équation de propagation d'ondes acoustiques dans un milieu compressible. Dans 
une deuxième
partie, une modélisation d'un modulateur acousto--optique (MAO) est présentée. 
Le MAO est
un outil très utile en optique : il peut modifier la direction et la fréquence 
d'une fraction de la
lumière le traversant. La troisième et dernière partie étudie une application 
utilisant un MAO :
la méthode de détection hétérodyne.

Dans tout le problème, exprimer signifie donner l'expression littérale et 
calculer signifie
donner le meilleur ordre de grandeur possible de la valeur numérique.

Les vecteurs seront surmontés d'un chapeau s'ils sont unitaires (EUR), ou d'une 
flèche dans le cas
, , --) ' 7 . . .2 _ . ,
general (a ). A l except10n de ], tel que ] -- --l, les nombres complexes 
seront souhgnes.

Const ant es numériques :

<> constante des gaz parfaits : R = 8,31 J - mol_1 - K_1 ;

<> exposant adiabatique : v = 5/3 (resp. v = 7/ 5) pour un gaz parfait 
monoatomique (resp.
diatomique) ;

<> masse molaire moyenne de l'air : M = 29,0 g - mol--1.

Modulatian acausta--uptique

I. -- Ondes acoustiques dans un milieu compressible

FIGURE 1 * Déformation du milieu
lors du passage d'une onde sonore se
propageant selon 'e}.

_, _,
EUR(z,t) 5(z + dz,t)
On considère un milieu compressible et homogène caractérisé, au repos, par sa 
masse volumique
gg uniforme, et au sein duquel règnent une température T0 et une pression PO 
uniformes (pe--
santeur négligée). Pour décrire la. déformation du milieu, on considère une 
tranche (systéme
fermé) de section S et d'épaisseur dz initialement au repos. Sous l'effet d'une 
perturbation
se propageant dans la direction 2, la tranche élémentaire, repérée au repos par 
l'abscisse z,
est déplacée d'une distance 5(z,t) à un instant t (Voir figure 1). La grandeur 
EUR est appelée
champ de déplacement acoustique. On note P(z,t) et g(z,t) respectivement la 
pression et la

masse volumique de cette tranche élémentaire a un instant t quelconque. On 
définit enfin par
.. 5 A .
v (z,t) : % ez la Vitesse de cette tranche.

E' 1 -- Déterminer, par conservation de la masse, la relation liant Q(z,t) a go 
et (Î'
2

D 2 -- En appliquant la relation fondamentale de la dynamique a la tranche de 
fluide ini--

62 ôP
tialement au repos entre les abscisses z et 2 + dz, établir la relation liant 
go, Î'Î et Î'
z
, . , . ,, . . , . . . 1 @@
D 3 -- En déduire que {(z,t) verifie lequatron dfierent1elie su1vante, ou Xs : 
? % est le
s
coefiicient de compressibfiité isentropique du milieu :
525
62EUR 1 %
at2
Xs90 (l + Ë)
ôz
, . . . . , ,. , . , 35
D 4 -- On se place dans lappro}nmatnon acoustique ou lon suppose lmegalrte Æ << 
1.

Montrer que le champ de Vitesse v(z,t) vérifie alors une équation de 
propagation de d'Alem--
bert. Exprimer la célérité cD des ondes acoustiques. Donner la forme générale 
d'une solution
sinusoïdale progressive d'amplitude 1/0, de pulsation temporelle Q et se 
propageant dans le sens
des 2 croissants avec un vecteur d'onde K : K EUR,. Exprimer la norme de K en 
fonction des
données.

D 5 -- Exprimer la célérité du son dans l'air, notée ca,-,, en fonction de 
grandeurs pertinentes
puis calculer sa valeur dans le cas d'une propagation isentropique dans l'air, 
assimilé à un gaz
parfait à la température To : 300 K. Comparer la Valeur obtenue à l'ordre de 
grandeur (que
l'on précisera) de la célérité @... des ondes sonores dans un solide.

FIN DE LA PARTIE I

Page 2/6

Physique I, année 2013 * filière PSI

II. -- Modèle du modulateur acousto--optique (MAO)

On s'intéressera dans un premier temps a la réflexion d'une onde lumineuse sur 
un dioptre plan,
préalable nécessaire a la modélisation d'un MAO. On note c la célérité de la 
lumière dans le
vide.

On considère deux milieux, diélectriques (isolants) transparents, non chargés, 
linéaires, homo--
gènes et isotropes d'indices réels respecti£s " et n' dont l'interface de 
séparation est le dioptre
plan d'équation z : O. Le milieu d'indice n occupe le demi--espace : > 0 et le 
milieu d'indice n'
le demi--espace 2 < 0 (Voir figure 2).

Une onde électromagnétique plane progressive monochromatique de pulsation 
temporelle w
se propage dans le milieu d'indice n. Dans le référentiel centré sur 0, on note 
Ë(M,t) :

En exp [j(wt * la - OÎ4)] êy la représentation complexe du champ électrique au 
point M associé

à cette onde. En notant c la célérité de la lumière dans le vide, le vecteur 
d'onde !? 1- : E'e}
:

définit l'angle d'incidence 9 par rapport a la normale au dioptre.

En notation complexe, les champs électriques réfléchis et transmis s'écrivent :

<> Ë,(M,t) : RED exp [j(wt * Iii, -- OÎ)] %, où le vecteur d'onde E, : E'e} 
définit l'angle
-- c

de réflexion 0,.
<> Ë(M,t) : TEgexp [j(wt * Î 0 en fonction de k et K puis en fonction 
de À et A.
L'angle aB existe--t-il toujours?

E' 15 -- Vérifier que, à l'incidence de Bragg, les ondes élémentaires 
réfléchies aux interfaces
z et 2 + A interférent de manière constructive.

D 16 -- On donne 9 : 2,0 mm, A : 50 pm, no : 2,0 et la longueur d'onde dans le 
vide de
l'onde lumineuse )... : 0,60 pm. Montrer que le profil de l'intensité lumineuse 
(on éclairement)
réfléchie en fonction de Sina se limite en bonne approximation a deux pics très 
étroits centrés
sur 1 sin dB et dont on précisera (littéralement et numériquement) la largeur, 
notée A sin &. On
envisage alors le cas a : +aB. Montrer que l'onde lumineuse réfléchie est 
décalée en fréquence
par rapport a l'onde incidente (et transmise). Caractériser ce décalage.

FIN DE LA PARTIE II
III. -- Interfêrométrie hétérodyne

Un faisceau laser Hélium--Néon (Àg : 632,8 nm) est envoyé sous incidence de 
Bragg (a : EME) a
travers le modulateur acousto--optique modélisé dans la partie II. Deux 
faisceaux émergent du
dispositif : le faisceau transmis (ordre 0), non dévié et de pulsation 
temporelle L.}, est séparé du
faisceau réfléchi (ordre 1 ), de pulsation w +Q. Ces faisceaux sont ensuite 
recombinés au moyen
de deux miroirs et d'une lame semi--réfléchissante (analogue à la séparati'ice 
d'un interférométre
de Michelson). On enregistre l'intensité lumineuse totale sur un détecteur 
(photodiode) dont le
temps de réponse T vérifie 2" << T << %" (Voir figure 4).

w

Page 5/6 Tourna la page S.V.P.

Modulatian acausta--aptique

Séparatrice Détecteur

)

Laser (w)

Miroir mobile

dA(t) l

FIGURE 4 * Dispositif expérimental pour l'interférométrie hétérodyne.

m

On note @ : ao exp(jwt) et à : a1 exp [j[(m +Q)t + «p(t)]] les vibrations 
scalaires complexes
respectives des champs électriques associés aux ordres 0 et 1 qui interférent 
au niveau du
détecteur. La grandeur 
			

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Mines Physique 1 PSI 2013 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Bruno Salque (ENS Lyon) ; il a été relu par Tom Morel
(Professeur agrégé) et Stéphane Ravier (Professeur en CPGE).

Le sujet porte sur l'étude d'un procédé de modulation de la lumière appelé 
modulation acousto-optique (MAO).
· Dans la première partie du problème, on étudie le principe de propagation 
d'une
onde acoustique dans un milieu compressible. Contrairement au cas habituel
du cours, l'approximation acoustique, postulant la linéarité de la relation de
dispersion, n'est pas introduite au début du raisonnement.
· Dans la deuxième partie, nécessitant plus de maîtrise des calculs, on 
travaille
sur un modèle de modulateur acousto-optique avec la propagation d'ondes 
électromagnétiques sur un milieu isolant à indice optique variable. Cette 
variation
d'indice est induite par des ondes acoustiques propagées dans le milieu.
· Enfin, on s'intéresse dans la troisième partie à l'utilisation d'un 
dispositif de
MAO : la méthode de détection hétérodyne. Les noeuds et ventres des ondes
acoustiques dans le milieu constituent un réseau qui diffracte les ondes 
lumineuses tout en modifiant leurs phases et leurs fréquences. En superposant
l'ordre 0 et l'ordre 1 du signal lumineux, on identifie les variations de chemin
optique entre les deux ordres. Un tel dispositif permet, par exemple, de 
mesurer des déplacements très petits devant la longueur d'onde de la source 
laser
utilisée. Des notions de traitement du signal sont abordées dans les dernières
questions.
Ce problème, d'une difficulté raisonnable, permet de tester ses connaissances 
sur
l'acoustique et l'optique ondulatoire. Les calculs doivent être soignés pour 
pouvoir
terminer ce sujet.

Indications
Partie I
1 Adopter un point de vue lagrangien et traduire la constance de la masse d'une
tranche du milieu.
2 Faire un bilan de quantité de mouvement sur une tranche de fluide.

1 
.
3 On rappelle la définition de s =
 P S
5 Utiliser les lois de Laplace pour exprimer S en fonction de  et p.
Partie II
6 Utiliser l'équation de Maxwell-Gauss.
7 Ne pas oublier le déphasage de  pour la réflexion d'une onde 
électromagnétique.
8 Utiliser la loi de Maxwell-Faraday et la continuité du champ.
9 Utiliser le développement limité sin(a + a) = sin(a) + a cos(a).
10 Se rappeler que tan2  + 1 = 1/ cos2 .
12 Utiliser le théorème de Malus sur deux rayons arrivant en z = 0 et en z > 0.
13 Développer sin(t - K z) en exponentielles complexes.

14 Où la fonction sinus cardinal atteint-elle son maximum ?
16 Comparer la valeur du terme croisé par rapport aux autres.
Partie III
17 « Hétéro » signifie « différent ».
2

18 Utiliser la formule I = |A0 + A1 | .

20 Utiliser cos(A + B) = cos A cos B - sin A sin B.

21 Par définition du décibel : 20 log (S1 /S0 ) = -60.

Modulation acousto-optique
I. Ondes acoustiques dans un milieu compressible
1 Effectuons un bilan de masse dans le système fermé suivant : une tranche du
milieu au repos, placée entre z et z + dz. À l'instant t, cette tranche se 
déforme et
ses limites sont z + (z, t) et z + dz + (z + dz, t).

dz

z

(z, t)

(z + dz, t)

En notant dm la masse de cette tranche, il vient :
dm = 0 S dz = (z, t) S[dz + (z + dz, t) - (z, t)]

Avec le développement de Taylor à l'ordre 1 de (z + dz, t) = (z, t) +
(z, t)dz, on
z
arrive à

dm = (z, t)
(z, t) + 1 S dz
z
soit la relation demandée après simplification par S dz,

(z, t) + 1
0 = (z, t)
z
Attention à ne pas utiliser l'équation eulérienne de la conservation de la masse
D

=
+ div (-
v)=0
Dt
t
qui ne permet pas de trouver la relation entre  et 0 .
2 Appliquons le principe fondamental de la dynamique à une tranche de fluide
de masse dm = 0 S dz. Les forces qui s'appliquent sont uniquement les forces de
pression en amont et en aval de la tranche.

-
v

m
= S P(z, t)-
ez - S P(z + dz, t) -
ez
t

-
v
P

0 S dz
=-
S dz -
ez
t
z

-
Projetons la relation précédente selon 
ez , en simplifiant par S dz, on arrive à
0

2
P
(z, t) = -
(z, t)
2
t
z

3 Travaillons sur le terme P/z en faisant apparaître le coefficient de 
compressibilité isentropique du milieu s .

1 
1  z
s =
=
 P S
 z P
Utilisons l'expression de  trouvée à la question 1 :

1+
z  z
s =
0
z P

2
1
+
1
P

2

0
z
donc
=
 = -  z  

z
s 0 z
s
1+
1+
z
z
En réinjectant dans l'expression obtenue dans la question précédente, on trouve 
bien
2
2
 
1
 z 
=
2

t
 s 0
1+
z
2

La relation obtenue indique, par son caractère non linéaire, une propagation
dispersive des ondes acoustiques.
4 Négligeons le terme en /z devant 1 et dérivons par rapport à t cette équation 
:
3
1
3
=
t3
s 0 tz 2
Comme v = /t, il vient bien
1 2v 2v
- 2 =0
c0 2 t2
z

avec

1
c0 = 
 s 0

La forme générale de la vitesse d'une onde acoustique, pour une propagation

-

dans le sens des z croissants avec un vecteur d'onde K = K-
ez , de pulsation  et
d'amplitude v0 , est
v(z, t) = v0 sin(t - K z + )

en notant  la phase à l'origine. Si l'on réinjecte cette expression dans 
l'équation de
propagation précédente, on trouve, après simplification par v0 ,

soit

2
= K2
c0 2

|K| =  s 0