Mines Physique 1 PSI 2012

Thème de l'épreuve Résonances et plasmons de surface
Principaux outils utilisés ondes électromagnétiques, oscillateurs, induction
Mots clefs plasmons de surface, résonance, haut-parleur

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


ECOLE DES PONTS PARISTECH
SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH,
TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH,
MINES DE SAINT­ETIENNE, MINES DE NANCY,
TELECOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIERE MP)
ECOLE POLYTECHNIQUE (FILIERE TSI)
CONCOURS D'ADMISSION 2012
PREMIERE EPREUVE DE PHYSIQUE
Filiere PSI
(Duree de l'epreuve: 3 heures)
L'usage de la calculatrice est autorise
Sujet mis a disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM 
INT, TPE­EIVP

Les candidats sont pries de mentionner de facon apparente sur la premiere page 
de la copie :
PHYSIQUE I -- PSI.
L'enonce de cette epreuve comporte 5 pages.
­ Si, au cours de l'epreuve, un candidat repere ce qui lui semble etre une 
erreur d'enonce, il est invite a le
signaler sur sa copie et a poursuivre sa composition en expliquant les raisons 
des initiatives qu'il aura ete
amene a prendre.
­ Il ne faudra pas hesiter a formuler les commentaires (incluant des 
considerations numeriques) qui vous
sembleront pertinents, meme lorsque l'enonce ne le demande pas explicitement. 
Le bareme tiendra compte
de ces initiatives ainsi que des qualites de redaction de la copie.

RESONANCES & PLASMONS DE SURFACE
Le probleme se compose de trois parties largement independantes. La premiere 
partie presente un
modele qui servira dans la partie suivante pour resoudre qualitativement par 
analogie quelques questions, avec des calculs plus simples. La derivee par 
rapport au temps t d'une fonction x (t) est notee x.
Hormis j dans la partie I et i dans la partie II, les nombres susceptibles 
d'avoir une partie imaginaire
non nulle sont soulignes. La notation Re (z) signifie partie reelle du nombre 
complexe z. Les vecteurs
-v dans le cas general. Les applisont notes avec un chapeau s'ils sont 
unitaires ebx , avec une fleche 
cations numeriques peuvent toutes etre effectuees sans calculatrice, il n'est 
donc demande de fournir
qu'un ordre de grandeur correct.

I. -- Resonance en mecanique
Dans toute cette partie on notera j le nombre complexe tel que j2 = -1.

I.A. -- L'oscillateur harmonique amorti entretenu.
Une masse m supposee ponctuelle et dont l'abscisse est reperee par la fonction 
x (t),p
peut se deplacer
sur un plan horizontal sous l'action d'un ressort de raideur k0 . On posera 0 = 
k0 /m. Elle est

-
soumise a une force de frottement visqueux proportionnelle a la vitesse Fv = - 
f x ebx , creee par un
amortisseur a air comme represente sur la figure 1. En faisant apparaitre un 
facteur d'amortissement
sans dimension  > 0, le coefficient f peut etre mis sous la forme f = 2 0 m. A 
l'instant t = 0
la masse est abandonnee sans vitesse initiale d'une position x (t = 0) = x0 > 
0. On entretient les
oscillations du systeme en exercant sur la masse m et a partir de t = 0, une 
force sinusoidale de

-
pulsation  qui s'ecrit Fe = k0 x0 Re e j t ebx . L'origine de l'axe des x 
correspond a la position de la
masse lorsque le ressort n'est ni etire ni compresse.

Resonances & plasmons de surface

f
m

ex

m

k

x

F IGURE 1 ­ Oscillateur mobile amorti
1 -- Determiner l'equation differentielle verifiee par x(t) et decrivant le 
mouvement de m. On
utilisera les seuls parametres  , 0 ,  et x0 .
2 -- Resoudre l'equation obtenue a la question 1 dans le cas general. On note 
Xm l'amplitude du
mouvement dans la limite t  ( 0 )-1 , exprimer dans cette limite
­ la valeur M de  rendant maximale la fonction Xm ( ). On exprimera M en 
fonction de 0 et  ;
­ la valeur XM = Xm (M ) dans la limite   1 ;

­ la largeur de la bande passante  = |2 - 1 | avec Xm (2 ) = Xm (1 ) = XM / 2, 
toujours dans
la limite   1.

3 -- En considerant la variable  =  /0 , tracer une representation graphique 
approximative de
la fonction g ( ) = Xm ( ) /x0 pour  = 0, 05 et  = 0, 2.

I.B. -- Interaction electromecanique.

F IGURE 2 ­ Vue en coupe d'un couplage electromecanique
Une onde sonore plane sinusoidale progressive incidente se propage de la gauche 
vers la droite dans
un tube T comme represente en coupe sur la figure 2. L'onde reflechie sur une 
membrane d'aire  se
propage quant a elle de la droite vers la gauche sur cette meme figure. La 
surpression due a l'onde
incidente est notee pi , et celle due a l'onde reflechie pr . A l'exterieur du 
tube la pression p0 est
supposee constante, a l'interieur du tube elle s'ecrit p = p0 + pi + pr .
Cette membrane est solidaire d'un solenoide constitue par un fil de longueur 
totale , qui s'enfile sur

-
un aimant de telle maniere que ce fil, sur toute sa longueur, soit soumis a un 
champ magnetique B

-
radial (donc perpendiculaire au fil qui est orthoradial) d'intensite B = k B k 
uniforme dans l'espace
et constante dans le temps. L'ensemble du dispositif : tube, solenoide, aimant, 
possede la symetrie de
revolution autour de l'axe des x.
Le fil est relie a un circuit R, L, Ca . Le sens du courant choisi est tel que 
i > 0 donne une force
de LAPLACE orientee comme l'axe des x. On suppose que cette force est 
integralement transmise
Page 2/5

Physique I, annee 2012 -- filiere PSI

a la membrane qui est egalement soumise aux forces de pression mais libre de 
toute autre force.
Cette membrane coulisse librement le long de l'axe des x. On neglige tout 
frottement mecanique,
ainsi que l'emission eventuelle d'une onde sonore vers la droite par la 
membrane. La representation
complexe de l'abscisse de la membrane s'ecrit x(t) = Xe j t . On rappelle que 
pour une onde sonore,
la surpression est telle que pi =  cs vi , pour l'onde incidente se propageant 
vers la droite, et pr =
- cs vr pour l'onde reflechie se propageant la gauche. Le parametre  designe la 
masse volumique
moyenne de l'air, cs la celerite du son dans l'air et vi et vr la vitesse de 
l'air au passage des ondes
correspondantes. On pourra utiliser les representations complexes de ces deux 
vitesses vi = Vi e j t et
vr = Vr e j t .
4 -- Ecrire le principe fondamental de la dynamique en projection sur l'axe des 
x applique au
systeme membrane-solenoide en supposant que sa masse est nulle.
5 -- En effectuant un bilan de puissance, exprimer la force electromotrice 
(fem) E induite dans le
circuit en fonction de B,  et x. En deduire l'equation differentielle verifiee 
par i.
6 -- On definit le coefficient de reflexion  par la relation pr =  pi , montrer 
que
1+
Rm
=
avec ( ) = L - (Ca  )-1
1-
R + j( )
ou l'on exprimera Rm en fonction de B, ,  , cs et . On verifiera que Rm est 
homogene a une
resistance.

7 -- Interpreter les valeurs de  correspondant a B = 0 et a B  + .
8 -- Dans quelles conditions peut-on
obtenir | | = 0 ? Quel nom donner a cet
ajustement ? Calculer la valeur numerique
de B correspondant a cet ajustement pour
 = 4 m ;  = 10 cm2 ;  = 56 kg.m-3 ; cs =
1
3
-1 et R = 100 .
3 · 10 m.s
9 -- Calculer | | en fonction de
Rm , R et  ( ). Determiner la valeur
numerique de | | si Ca = 10 µ F ; L =
0, 1 H ; Rm = 150  ; R = 100  et  =

2 · 103 rad.s-1 . En utilisant les divers
resultats de la question 2, interpreter et
commenter les differentes courbes de la
figure 3 qui represente | | en fonction de
 pour Rm = 66; 100 et 150.

F IGURE 3 ­ Module du coefficient de reflexion  en fonction de la pulsation  
pour differentes valeurs de Rm

FIN DE LA PARTIE I

Page 3/5

Tournez la page S.V.P.

Resonances & plasmons de surface

II. -- Les plasmons de surface
Dans toute cette partie on notera i le nombre complexe tel que i2 = -1.

II.A. -- Propagation d'une onde sur un plan metallique
On considere un plan conducteur infini ( = xOz, voir figure 4) plonge dans le 
vide. Ce plan est parcouru par des ondes
electromagnetiques de celerite c caracterisees par une densite sur-

facique de courant js independante de x, et dont la representation
complexe s'ecrit

-
js = jsM ei(Kz- t) ebz
ou jsM et K sont des constantes reelles et positives.

F IGURE 4 ­ Geometrie du plan

10 -- En adaptant l'equation de conservation de la charge au cas de 
distributions surfaciques,
-

determiner la densite surfacique de charge  (z,t) associee a js .

-
11 -- Montrer que le champ electrique E cree par la densite de charges  est de 
la forme

-
E = Ey eby + Ez ebz
ou Ey et Ez sont deux fonctions des variables y, z et t.
12 -- Determiner la limite de la fonction Ey (y, z,t) lorsque y  0+ .
13 -- On suppose que k =  /c < K. Dans la region y > 0, determiner l'expression 
de Ey (y, z,t)
puis celle de Ez (y, z,t) en fonction des parametres K, jsM , 0 ,  et k et des 
variables y, z et t. Pour
cette derniere expression, on pourra calculer div~E.
14 -- Quelles sont les proprietes de l'onde qui existe dans la region y > 0 ?
On se place dans le cas ou le plan est un metal infiniment fin contenant des 
charges libres sous la
forme d'electrons (charge e < 0 et masse m). Le nombre de ces electrons par 
unite de surface est note
 , il est suppose constant. On fait l'hypothese que ces electrons peuvent se 
deplacer sans interaction
(frottement) avec le reseau cristallin constituant le metal. On suppose enfin 
que ces electrons restent
dans le plan y = 0 et que le module de leur vitesse v = k~vk est toujours 
negligeable devant la celerite
de la lumiere c.
15 -- En ecrivant la relation fondamentale de la dynamique, determiner 
l'expression de la vitesse
d'un electron dans le metal.
16 -- En deduire la relation de dispersion reliant  et K pour des ondes libres 
se propageant dans
le plan metallique. De telles ondes sont appelees plasmons de surface. On 
introduira la pulsation
S =

 e2
0 mc

17 -- Pourquoi une onde electromagnetique plane progressive incidente, dans le 
vide, ne peut-elle
pas exciter un plasmon de surface sur le metal ?

II.B. -- Excitation de plasmons grace a la reflexion totale
On considere (figure 5) un demi-cylindre de verre d'indice n. Une onde 
electromagnetique d'intensite
Ie arrive perpendiculairement au plan tangent en A a la surface du verre. Elle 
penetre donc le verre en
A sans deviation. On suppose de plus qu'elle subit une reflexion totale en O 
pour ressortir du demi
cylindre en B avec une intensite Ir .
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Physique I, annee 2012 -- filiere PSI

18 -- Montrer qu'il existe une onde evanescente
dans le vide d'epaisseur d entre le metal et le demi
cylindre de verre. On pourra supposer que la loi
de la refraction s'applique encore, mais avec un
angle de refraction r qui est un nombre complexe
tel que cos r = i avec  reel et positif. On ecrira
la dependance en z, y, et t du champ electrique en
procedant par analogie avec le cas ou r est reel.
19 -- Montrer que cette onde, qui existe alors
dans l'espace vide entre le verre et le metal, peut
exciter un plasmon dans le metal.
20 -- Determiner l'expression de la pulsation
F IGURE 5 ­ Excitation des plasmons dans la
 de ce plasmon de surface en fonction de  , n, et
configuration de OTTO
S .
21 -- Comment va se manifester l'excitation de plasmons dans le metal ? On 
pourra par exemple
considerer le rayon emergeant en B.
Lors d'une experience on mesure le rapport gd ( ) = Ir /Ie pour differentes 
incidences  et differentes
valeurs de d dans le cas d'une plaque en argent, d'un demi-cylindre en verre, 
et d'un rayon incident
de 633 nm de longueur d'onde. Pour chacune des trois valeurs de d utilisees (d1 
= 581 nm ; d2 = 918
nm et d3 = 951 nm), on a reporte sur la figure 6 la courbe gd ( ) experimentale.
22 -- En utilisant les differents resultats de la partie I, proposer une 
explication qualitative des
resultats experimentaux rassembles sur la figure 6.

F IGURE 6 ­ Proportion d'intensite reflechie en fonction de l'angle 
d'incidence. Chaque courbe a ete
obtenue pour une valeur differente de l'epaisseur de vide d.
23 -- Si l'on place un liquide entre la surface du metal et le demi cylindre de 
verre, en quoi
les phenomenes precedents sont ils modifies. Comment un tel dispositif 
permet-il de detecter des
impuretes dans un liquide ?
FIN DE LA PARTIE II
FIN DE L'EPREUVE
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Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Mines Physique 1 PSI 2012 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Hadrien Vroylandt (ENS Cachan) ; il a été relu par
Benoît Lobry (Professeur en CPGE) et Vincent Freulon (ENS Ulm).

Le sujet comporte deux parties largement indépendantes portant sur la résonance
en mécanique et les plasmons de surface.
· Au cours de la première partie, qui porte partiellement sur le programme de
première année, on étudie les phénomènes de résonance sur deux systèmes 
mécanique et électromécanique. D'abord sur un système simple masse-ressort 
excité,
où l'on calcule divers paramètres du système. Puis on s'intéresse au 
haut-parleur
électromécanique : après établissement des équations de fonctionnement, on 
étudie la réponse du système à une excitation externe.
· La seconde partie porte sur les plasmons de surface, qui sont une des 
solutions
des équations de Maxwell à l'interface entre deux milieux. On établit la 
relation
de dispersion du plasmon de surface via l'étude du champ électrique de part et
d'autre d'une plaque. On considère enfin une méthode pour les exciter via la
réflexion totale d'une onde lumineuse sur une interface.
Ce sujet assez difficile demande une bonne maîtrise de l'induction, des ondes 
électromagnétiques et des oscillateurs. Il permet de s'entraîner à l'étude des 
phénomènes
de résonance.

Indications
Première partie
2 Se placer en régime sinusoïdale forcé pour obtenir la solution particulière.
Ne pas oublier les approximations faites par l'énoncé.
5 Effectuer un bilan de puissance électrique et électromécanique.
6 Partir de l'équation différentielle vérifiée par i et passer en 
représentation complexe. Utiliser également le résultat de la question 4.
9 C'est le module || qui est demandé et pas juste .

Seconde partie
11 Attention à la disposition des vecteurs de base. Utiliser les symétries.
12 Faire par similitude avec le cas du plan infini conducteur.
13 Considérer Ey comme une OPPM de vecteur d'onde (0, ky , K). La région y > 0
est vide de charges.
16 Égaliser la densité surfacique de courant avec le champ électrique. Le champ
électrique tangentielle est continu à la traversée de l'interface.
18 Calculer les composantes du vecteur d'onde de l'onde réfractée. L'onde 
réfractée
est dans le vide.
20 Égaliser la composante horizontale du vecteur d'onde de l'onde évanescente 
avec
le vecteur d'onde du plasmon.

I. Résonance en mécanique
I.A

L'oscillateur harmonique entretenu

1 Effectuons le bilan des forces appliquées à la masse m :

-

· la force de rappel du ressort F ressort = -k 0 x(t) -
ex ;
-

-

· la force de frottement visqueux Fv = -f xex = -2  0 mx(t) -
ex ;
-

· la force d'entretien des oscillations F = k x Re (e jt ) -
e .
e

0 0

x

Appliquons ensuite le principe fondamental de la dynamique à la masse m que l'on

projette directement sur -
ex
m x(t) = -k 0 x(t) - 2  0 m x(t) + k 0 x0 Re (ejt )
on simplifie par m et on réorganise pour obtenir
x(t) + 2  0 x(t) + 0 2 x(t) = 0 2 x0 Re (ejt )
2 Il s'agit ici de résoudre l'équation différentielle du second ordre
x(t) + 2  0 x(t) + 0 2 x(t) = 0 2 x0 Re (ejt )
avec pour conditions initiales
x(0) = x0 et x(0) = 0
Il faut donc obtenir une solution homogène et une solution particulière. La 
solution
générale de l'équation est la somme de ces deux solutions.
· Obtention de la solution homogène
Résolvons

x(t) + 2  0 x(t) + 0 2 x(t) = 0

Posons le polynôme caractéristique de l'équation différentielle
r2 + 2  0 r + 0 2 = 0
dont le discriminant est  = 40 2 ( 2 - 1). Si  > 0, alors les solutions sont
p
p
r1 = - 0 +  0  2 - 1 et r2 = - 0 -  0  2 - 1
et la solution est une combinaison linéaire d'exponentielles réelles. Si  = 0,
la racine est double et la solution de l'équation est de la forme
xh (t) = (A + Bt) e -0 t
Et si  < 0, les racines sont
p
r1 = - 0 + j 0 1 -  2

et r2 = - 0 - j 0

p
1 - 2

et la solution est de la forme

p
p

xh (t) = A cos  0 1 -  2 t + B sin  0 1 -  2 t e -0 t
où A et B sont deux constantes à déterminer à l'aide des conditions initiales.
Intéressons-nous plus particulièrement à ce dernier cas, car dans la suite on se
place plus particulièrement dans le cas où  < 1.

· Obtention d'une solution particulière
On souhaite trouver une solution particulière à l'équation
x(t) + 2  0 x(t) + 0 2 x(t) = 0 2 x0 Re (ejt )
considérant qu'il s'agit d'une force excitatrice sinusoïdale, on se place en 
représentation complexe, et l'on suppose que la solution particulière est de la 
forme
Re (X0 e jt ) ; en l'introduisant dans l'équation, on obtient
- 2 X0 e jt + 2j  0 X0 e jt + 0 2 X0 e jt = 0 2 x0 e jt
Après simplification,
d'où

X0 =

xp (t) =

0 2 x0
0 2 -  2 + 2j  0 

(1 -

x0 e
 2 /0 2 )

jt

+ 2 j / 0

est une solution particulière de l'équation.
Ainsi la solution générale de l'équation différentielle est

p
p

x(t) = A cos  0 1 -  2 t + B sin  0 1 -  2 t e -0 t + Re (X0 e jt )
Pour t  0  1, la solution homogène, qui correspond au régime transitoire, est
très fortement atténuée et est alors négligée. L'amplitude du mouvement dans 
cette
limite est donc
Xm = |X0 |
=

(1 -

x0
2
 /0 2 ) +
x0

2j/ 0

Xm = p
(1 -  2 /0 2 )2 + (2/ 0 )2

Ensuite,  M est solution de X m ( M ) = 0, ce qui conduit à résoudre
-4 / 02 + 4 (/ 0 )2 + 8 / 02
3/2 = 0
(1 -  2 /0 2 )2 + (2 / 0)2
soit

- / 02 + (/ 0 )2 + 2 / 0 2 = 0

On a   0 /Q où Q le facteur de qualité vaut ici Q = 1/(2). Par suite pour   1
p
 M =  0 1 - 2 2  0
x0
XM = Xm ( M ) 
2
  2 0
g ()
p
3 On trace g () = 1/ (1 - 2 )2 + 4()2
pour  = 0,05 et  = 0,2. On observe que
lorsque le coefficient d'amortissement diminue, l'amplitude XM de la résonance 
augmente
et la largeur de la bande passante  diminue.

 = 0,05
 = 0,2