Mines Physique 1 PSI 2008

Thème de l'épreuve Modélisation des dunes de sable
Principaux outils utilisés mécanique du point, physique des ondes

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Rapport du jury

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES.
ECOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L'AERONAUTIQUE ET DE L'ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCEES, DES TELECOMMUNICATIONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT­ETIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE,
ECOLE POLYTECHNIQUE (FILIERE TSI)
CONCOURS D'ADMISSION 2008
PREMIERE EPREUVE DE PHYSIQUE
Filiere PSI
(Duree de l'epreuve : 3 heures)
L'usage de la calculatrice est autorise
Sujet mis a disposition des concours : ENSAE ParisTech, ENSTIM, Telecom 
SudParis (ex INT),
TPE­EIVP, Cycle international

Les candidats sont pries de mentionner de facon apparente sur la premiere page 
de la copie :
PHYSIQUE I -- PSI.
L'enonce de cette epreuve comporte 5 pages.
­ Si, au cours de l'epreuve, un candidat repere ce qui lui semble etre une 
erreur d'enonce, il est invite a le
signaler sur sa copie et a poursuivre sa composition en expliquant les raisons 
des initiatives qu'il aura ete
amene a prendre.
­ Il ne faudra pas hesiter a formuler les commentaires (incluant des 
considerations numeriques) qui vous
sembleront pertinents, meme lorsque l'enonce ne le demande pas explicitement. 
La bareme tiendra compte
de ces initiatives ainsi que des qualites de redaction de la copie.

MODELISATION DES DUNES DE SABLE
Ce probleme, dont la source est la these de F. RIOUAL (2002), aborde quelques 
aspects des proprietes
des milieux granulaires. Les differentes parties de cette epreuve sont 
largement independantes entre
elles. Les deux premieres concernent la description microscopique des 
interactions entre particules de
milieux granulaires. La troisieme partie concerne la dynamique de la formation 
de rides de sable dans
les deserts. Dans toute l'epreuve, exprimer signifie donner une expression 
litterale et calculer signifie
donner une valeur numerique. La quantite x designe la derivee totale de x par 
rapport au temps t. Les
-
vecteurs sont notes avec un chapeau s'ils sont unitaires ubx , avec une fleche 
v dans le cas contraire.

I. -- Collisions sans perte d'energie : Le modele de Hertz
Lors d'un choc frontal entre deux billes spheriques homogenes, l'energie 
cinetique initiale est d'abord
convertie en energie de deformation Ed puis restituee sous forme d'energie 
cinetique.
Lorsque les deux billes sont en compression l'une par rapport a l'autre, un 
meplat circulaire de diametre a apparait
autour du point de contact initial (Fig. 1). On note 2 la longueur 
d'interpenetration des deux billes que l'on considere
identiques de masse m, de rayon R et de masse volumique
b = 3m/(4 R3 ). Dans le referentiel du centre de masse,
elles se deplacent sur un axe horizontal avec des vitesses de
meme module v et de sens opposes. Le contact avec la surface (S) se fait sans 
frottement et on neglige le mouvement
Figure 1
de rotation des billes.

MODELISATION DES DUNES DE SABLE

Quand la distance entre les deux centres de billes devient inferieure au 
diametre d'une bille, elles
entrent en contact et subissent une deformation elastique, sous l'action d'une 
force, qui n'a de sens
physique que pour   0, dont le module est note Fde . Si l'on note P la pression 
moyenne agissant
sur la surface de contact, la loi de Hooke stipule que
P=

Fde

=
2
4 a
a

ou  est une constante positive appelee module de Young de la bille et qui 
caracterise son elasticite.
Dans cette partie, la collision est supposee etre elastique, c'est-a-dire que 
l'energie mecanique totale
du systeme des deux billes est identique avant et apres le choc (apres que les 
billes se sont separees).
On considere dans toute cette partie que   R.

1 -- Verifier que est homogene a une pression. Montrer qu'a l'ordre 1 en  /R, 
le diametre du
meplat s'ecrit a = 2 2R . On conservera cette expression dans tout le probleme.

2 -- Donner l'expression du module Fde de la force de deformation en fonction 
de R,  et  . En
deduire, l'energie potentielle E p dont derive cette force. On prendra E p  0.
3 -- On note x1 et x2 les abscisses respectives des centres
des billes (Fig. 2). Quand la distance entre ces centres est
inferieure au diametre, donner la relation entre  , x1 , x2 et
R. En deduire x1 = dx1 /dt en fonction de   = d  /dt.
4 -- Exprimer l'energie mecanique totale Em des deux
billes pendant le choc en fonction de R,  , m,  et   ?
5 -- Pourquoi la quantite de mouvement du systeme
constitue par les deux billes est-elle la meme avant et apres
 et
le choc ? Quelle est la relation simple liant les vitesses -
w
1
-
 des billes une fois qu'elles se sont separees ?
w
2
Figure 2
-
6 -- Quelle est la relation liant v a la norme des vecteurs 
w de la question 5 ?
7 -- Determiner la valeur maximale m atteinte par  au cours de la collision en 
fonction de b , v,
 et R. Que constatez-vous pour la deformation maximale um = m /R ?
8 -- En utilisant l'expression de l'energie mecanique totale Em , determiner la 
duree  de la collision, c'est-a-dire le temps pendant lequel les billes restent 
en contact. On exprimera  en fonction de
 , m, v, R et de l'integrale
Z 1
du
p
I=
0
1 - u5/2
9 -- Application numerique : calculer  et um pour des particules de sable de 
vitesse v = 3, 00 m.s-1 ,
de module de Young  = 7, 00×1010 Pa et de masse volumique b = 2, 50×103 kg.m-3 
dans les deux
cas suivants : R = 1, 00×10-4 m et R = 1, 00×10-3 m. On donne I  1, 47. On 
verifiera que le resultat
est exprime en secondes.
FIN DE LA PARTIE I

II. -- Collisions avec perte d'energie

Figure 3

On considere maintenant deux billes deformables
inelastiques se deplacant sur un axe horizontal avec
-
les vitesses 
v1 = v1 ubx pour la particule a gauche et

-
v2 = v2 ubx pour la particule a droite.
Page 2/5

Physique I, annee 2008 -- filiere PSI

 = w ub et
On considere v1 > v2 : il y a donc collision ; les vitesses apres le choc sont 
notees -
w
1
1 x
-
 = w ub . On suppose que la collision est instantanee ; le coefficient de 
restitution, note e, est defini
w
2
2 x
par la relation
w2 - w1
e=-
v2 - v1
10 -- La quantite de mouvement du systeme constitue par les deux billes 
est-elle la meme avant
et apres le choc ?
11 -- Exprimer, en fonction de v1 , v2 , m et e, la perte d'energie cinetique 
des deux billes causee
par la collision.
12 -- Pour toute la suite de la partie II, on suppose desormais que v1 = -v2 = 
v (choc de plein
fouet). Exprimer la perte d'energie cinetique des deux billes liee au choc, en 
fonction de m, e et v.
13 -- Au cours de la collision, la deformation rapide de la bille, d'amplitude 
maximale m , est
maintenant source de dissipation. Ce phenomene est associe a une force de 
module Fd . On suppose
que cette force est reliee a la force elastique non dissipative Fde de la 
partie I par la relation
Fd = A 

 Fde

Quelle est la dimension de la constante positive A ? Exprimer, sous la forme 
d'une integrale sur
l'intervalle [0, m ], l'energie Ud dissipee au cours de la collision en 
fonction de A,  , R,  ,   et m .
14 -- On suppose que l'energie dissipee est faible devant l'energie cinetique 
initiale. En ecrivant
un bilan energetique, justifier que pendant la collision on puisse ecrire
!

16

2R
  2 = v2 1 -
 5/2
5mv2
Exprimer   en fonction de  , R, m , m et y =  /m .
15 -- Deduire de la question precedente que l'energie dissipee lors de la 
collision est de la forme
Ud = A v f ( , R, m)
ou  est une constante a determiner et f une fonction sans interet ici. On 
verifiera que  est voisin de
2.
16 -- La theorie de Kuwabara et Kono prevoit que l'on puisse ramener la 
collision de plein
fouet des deux particules deformables dissipatives, a une collision instantanee 
avec un coefficient de
restitution effectif tres proche de 1 qui depend de la vitesse d'impact de 
telle maniere que 1 - e soit
proportionnel a v1/5 . Justifier cette theorie en considerant que la totalite 
de la perte d'energie cinetique
est dissipee lors de la collision.
17 -- Expliquer qualitativement pourquoi le coefficient de restitution tend 
vers 1 pour les faibles
vitesses. Ce coefficient est-il une propriete des particules ou une propriete 
de la collision ?
FIN DE LA PARTIE II

Page 3/5

Tournez la page S.V.P.

MODELISATION DES DUNES DE SABLE

III. -- Le transport eolien du sable : Le modele d'Anderson

Figure 5

Figure 4
Les rides eoliennes sont des motifs qui se developpent, par
exemple dans les deserts, a partir d'un sol plat, perpendiculairement a la 
direction du vent (Fig. 4). On cherche dans
cette partie a modeliser leur formation. Regulierement, le
desert est soumis a un vent suffisamment fort pour emporter des grains de sable 
sur des distances importantes : ce
mecanisme est appele saltation. Puisque le vent les a tries,
on admettra que les grains en saltation sont tous entraines a
la meme vitesse, et ont tous a peu pres la meme masse m.
Ainsi, ils suivent tous, en moyenne, la meme trajectoire.

En particulier, leurs angles d'impact sur la surface sableuse sont en moyenne 
egaux et de l'ordre
de 14 degres. On note  cet angle caracteristique (Fig. 5). La collision d'un 
grain de sable sur le
sol produit localement l'ejection de plusieurs particules a des vitesses plus 
faibles que la vitesse
de la particule incidente. Les particules ejectees retombent sur le lit de 
sable au voisinage du point
d'impact ; ce phenomene est appele reptation. La distance caracteristique de 
parcours des grains en
reptation est notee r . On suppose que le lit de sable est forme de rides 
invariantes par translation dans
la direction perpendiculaire au vent de sable. La hauteur du lit de sable ne 
depend alors que d'une
seule variable d'espace notee x et du temps t ; on la note h(x,t). On appelle 
Q(x,t) la masse de grains
transportes a l'abscisse x et a l'instant t par unite de temps et par unite de 
largeur ; on rappelle que
[Q] = [M] [L]-1 [T ]-1 . Ce flux par unite de largeur est la somme de deux 
contributions, celle des grains
en reptation, notee Qr , et celle des grains en saltation, notee Qs . On 
suppose dans toute cette partie
que le flux des grains en saltation est constant et uniforme avec une incidence 
fixe d'angle  . On note
enfin  la masse volumique du lit de grains, que l'on suppose uniforme et 
constante.
18 -- En ecrivant la conservation locale de la masse sur une tranche de grains 
d'extension  x et
de largeur L, etablir la relation
 h(x,t) 1  Q(x,t)
+
=0
t
 x
19 -- Soit Ne (x,t) le nombre de grains ejectes a l'abscisse x par unite de 
temps et de surface ; on
rappelle que le flux de reptation est donne par
Qr (x,t) = m

Z x

x-r

Ne (u,t)du

determiner l'equation aux derivees partielles reliant les fonctions h et Ne .
Page 4/5

Physique I, annee 2008 -- filiere PSI

20 -- On note No le nombre de grains en saltation
arrivant sur une surface horizontale par unite de temps
et de surface. Soit n la densite de grains de vitesse
v arrivant sur une surface horizontale avec une inclinaison  . Le nombre de 
grains arrivant sur une surface d'aire S pendant le temps dt est donc dN = n d µ
(Voir Fig. 6). Exprimer No en fonction de n, v et  .
En deduire que le nombre Ns de grains en saltation
Figure 6 : Saltation sur un lit plat (a), et sur un
par unite de surface et de temps entrant en collision
lit de pente locale  (b). La quantite d µ repreavec le lit a l'abscisse x est 
donne par la relation
-sente un volume elementaire de grains en

saltation.
tan( )
cos( )
Ns ( ) = No 1 +
tan( )
21 -- Etablir l'equation aux derivees partielles reliant les fonctions  (x,t) 
et h(x,t).
22 -- Le modele d'Anderson consiste a supposer que le nombre de grains ejectes 
du lit est proportionnel au nombre de grains en saltation Ns : Ne (x,t) = no Ns 
(x,t) , ou no est le nombre de grains
ejectes lors d'une collision. Sous cette hypothese, et en s'appuyant sur le 
resultat de la question 19,
etablir l'equation d'evolution de h(x,t) en fonction de m, no ,  , Ns (x,t) et 
Ns (x - r ,t).
23 -- Deduire de cette etude l'equation suivante
x

mno No
h
h
=-
tan( ) +
cos( )
t
 tan( )
x
x-r
24 -- Montrer que h(x,t) = ho = cste est une solution possible de l'equation de 
la question 23 (on
la nomme solution triviale).
On cherche dorenavant a analyser la stabilite de la solution triviale dans le 
regime des petites inclinaisons. On considere donc que cos( (x,t)) = cste  1
25 -- Ecrire l'equation aux derivees partielles verifiee par h en faisant 
apparaitre la constante
co = mno No / . Quelle est la dimension de co ?
26 -- On cherche la solution de l'equation de la question 25 sous la forme 
complexe
h(x,t) = ho + h1 exp [i(kx -  t] exp( t)
avec ho et h1 deux reels tels que |ho |  |h1 |, puis k,  et  trois parametres 
reels. Determiner les
expressions de  et  en fonction de u = kr et o = co /(r tan( )).
27 -- A quelle condition sur k et r la solution proposee a la question 
precedente est-elle stable ?
28 -- On note vg et v les vitesses de groupe et de phase des rides eoliennes 
dans le cadre de la
solution triviale perturbee decrite dans les questions 26 et 27. Determiner la 
relation entre vg , v ,  et
r .
29 -- On dit d'un milieu qu'il est dispersif lorsque la celerite d'une onde en 
propagation dans ce
milieu depend de sa frequence. Le sable vous semble-t-il etre un milieu 
dispersif ou non ? On justifiera
soigneusement sa reponse.
FIN DE LA PARTIE III
FIN DE L'EPREUVE

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Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Mines Physique 1 PSI 2008 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Emmanuel Loyer (Professeur en CPGE) ; il a été relu
par Gabriel Bousquet (ENS Ulm) et Stéphane Ravier (Professeur en CPGE).

Ce problème, consacré à la modélisation des dunes de sable, comporte trois 
parties.
Il fait appel à différents thèmes du programme des deux années de prépa, 
notamment
la mécanique du point et la physique des ondes.
· La première partie étudie la collision sans perte d'énergie de deux grains de
sable. On y tient compte de la déformation élastique des grains de sables au
cours du choc.
· La deuxième partie, qui prolonge la première, s'intéresse aux collisions entre
grains de sable avec perte d'énergie : la déformation des grains au cours du
choc est source de dissipation.
· La troisième partie est complètement indépendante des deux précédentes.
La formation des rides à la surface d'une étendue de sable y est abordée dans
le cadre de la physique des ondes : il s'agit notamment d'établir et d'étudier 
les
solutions d'une équation aux dérivées partielles qui régit la hauteur de sable.
Ce problème constitue un ensemble de longueur raisonnable où s'enchaînent des
questions de difficulté variable. L'énoncé fournit assez peu de résultats 
intermédiaires ; ne pas résoudre certaines questions peut ainsi s'avérer très 
pénalisant. Notons
par ailleurs que certaines questions exigent d'accorder une attention soutenue 
à la
conduite des calculs. Ces derniers sont le plus souvent d'une difficulté 
technique très
raisonnable, mais ils peuvent être longs. Cette approche technique prend 
parfois le
pas sur la compréhension physique des phénomènes mis en jeu.
Remarquons enfin que les deux premières parties ont pu déstabiliser certains
candidats, car l'étude des collisions est hors programme. Cependant, la 
résolution
de ces parties ne fait appel qu'aux connaissances du programme en mécanique.
Ces difficultés mises à part, ce problème est l'occasion d'aborder une physique 
à
la fois originale, très concrète, et relativement proche de certains sujets de 
recherche
actuels.

Indications
Partie I
1 Calculer a par le théorème de Pythagore et ne conserver que le terme dominant
en /R.
2 Établir d'abord une relation entre x1 , x2 et  (comme demandé à la question 
3).
Chercher ensuite Ep sous la forme suivante : Ep (x1 , x2 ) = Ep ((x1 , x2 )), 
et relier
cette énergie potentielle aux forces subies par les billes 1 et 2. Montrer 
enfin que
Ep =

32 2 
 2R
5

5 Le système constitué des deux billes est pseudo-isolé.
7 Utiliser la conservation de l'énergie.
d
8 Déterminer
en fonction de , puis séparer les variables pour intégrer.
dt
Partie II
11 La perte d'énergie cinétique est l'opposée de la variation d'énergie 
cinétique.
Pour la calculer, exprimer d'abord w1 et w2 en fonction de v1 , v2 et e (en 
utilisant
la définition de e et le résultat de la question précédente).

12 Montrer que -Ec = m 1 - e2 v 2 .
13 L'énergie dissipée s'écrit en fait comme la somme de deux intégrales.
14 L'expression de   2 comporte une erreur ; il faut lire
!

32
2
R
2
 = v2 1 -
  5/2
5 m v2
Cette relation a été établie à la question 8.
15 Ne pas chercher à simplifier l'expression de f .

Partie III
19 On rappelle que la dérivée de f (x) =

Z

x

g(u) du est f  (x) = g(x).

a

20 Sur les figures (6a) et (6b), l'angle  n'a pas la même valeur, alors que 
l'énoncé
indique que  = 14 pour tous les grains (en moyenne). La grandeur Ns correspond
à un nombre de grains par unité de surface de la dune et par unité de temps.
21 Noter que tan (x, t) est la pente à la courbe h(x, t).
26 Erreur d'énoncé, sans conséquence pour la résolution du problème : |h1 |  h0 
.
28 Calculer explicitement v et v g .

I. Collisions sans perte d'énergie :
le modèle de Hertz
1 Les grandeurs  et a sont des longueurs ; ainsi, P et  ont même dimension :
 a la dimension d'une pression.
On peut s'étonner de cette définition de la pression. En effet, il aurait pu
sembler naturel de la définir comme le quotient de la force par la surface du
méplat, soit
Fde
P=
(a/2)2
Cependant, il convient de conserver la formule proposée par l'énoncé.
a/2

d

R

En raisonnant sur le schéma ci-contre, le théorème de Pythagore
permet d'écrire
 a 2
R2 = d2 +
avec
d=R-
2
dont on déduit

a p 2
= R - (R - )2 = 2  R 1 -
2
2R

En effectuant un développement limité de (1 - /(2 R))

a = 2 2R

à l'ordre 0 en /R, il vient

2 Commençons par déterminer l'expression de Fde

Fde = (4 a2 )  = 4 a  
a

Fde = 8   2  R
soit
Pour les billes 1 et 2, on obtient respectivement

-

-
F 1 = -8   2  R u
bx
et
F 2 = 8   2  R u
bx

Par ailleurs, l'énergie potentielle Ep dépend des positions x1 et x2 au travers 
de  :
Ep = Ep (x1 , x2 ) = Ep ((x1 , x2 ))

avec

x2 - x1 = 2(R - )

soit

 =R-

x2 - x1
2

Les forces exercées sur les billes 1 et 2 s'en déduisent
-
--

Ep
dEp 
1 dEp

bx = -
u
bx = -
u
bx
 F1 = - grad 1 Ep = - x u
d x1
2 d
1

--
-

dEp 
1 dEp

 F2 = - grad 2 Ep = - Ep u
bx = -
u
bx =
u
bx
x2
d x2
2 d
Le jury attire l'attention des candidats sur les paramètres par rapport 
auxquels on dérive l'énergie potentielle.

En identifiant les expressions des forces, il vient
1 dEp
2 d

dEp
Ainsi,
= 16   2  R
d
32 2 
qui s'intègre en
Ep =
 2R+K
5
où K est une constante d'intégration arbitraire. Choisissons K = 0 ; on obtient
ainsi une énergie potentielle positive comme demandé. De plus, l'énergie 
potentielle
est nulle pour  = 0, résultat qui se prolonge lorsque les deux billes ne sont 
plus
en contact. Finalement, on retient
Fde =

Ep =

32 2 
 2R
5

On peut proposer une démonstration alternative de ce résultat. Pour cela,
considérons la bille 1, immobile, et amenons la bille 2 depuis l'infini jusque
dans l'état représenté dans la figure 1. On a alors
-
 -
W = F2 · d2
Ce travail élémentaire est nul tant que les billes ne sont pas en contact. Quand
le contact est réalisé
W = (Fde u
bx ) · (-2 d  u
bx )
car quand  varie de d, la bille 2 s'est déplacée de 2 d vers les x négatifs.
Ainsi,

W = -16    2   R d 
d'où, en intégrant pour   variant de 0 à 
32 2 
W=-
 2R
5
Or, W = -Ep ; en prenant Ep = 0 à l'infini, il vient
32 2 
Ep =
 2R
5
3 De la figure 2 de l'énoncé, on déduit directement la relation
x2 - x1 = 2(R - )
qui se dérive en x2 - x1 = -2   . Or, dans le référentiel du centre de masse, 
on a la
relation vectorielle

-

v = --
v
2

qui donne en projection

x2

=

-x1 ,

1

d'où

x1 =  
4 L'énergie mécanique Em est la somme des énergies cinétique Ec et potentielle 
Ep .
L'énergie cinétique s'écrit
1
1
2
2
2
Ec = m x1 + m x2 = m  
2
2