Mines Physique 1 PSI 2007

A 2007 PHYS. I PSI

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUS SEES,
ÉCOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L'AERONAUTIQUE ET DE LESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TELECOMMUNIÇATIONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT--ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TELECOMMUNIÇATIONS DE BRETAGNE,
ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI)

CONCOURS D'ADMISSION 2007
PREMIÈRE ÉPREUVE DE PHYSIQUE
Filière PSI
(Durée de l'épreuve : 3 heures)

L'usage de la calculatrice est autorisé

Sujet mis à disposition des concours : ENSAE (Statistique), ENSTIM, INT, 
TPE--BNP, Cycle international
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page 
de la copie :

PHYSIQUE I -PSI

L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages.

0 Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une 
erreur d' énoncé, il est invité à le signaler sur sa copie
et à poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il 
est amené à prendre.

0 Il ne faudra pas hésiter à formuler les commentaires (incluant des 
considérations numériques qui vous sembleront perti--
nents. Le barème tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualités de 
rédaction de la copie.

LE BAIN DE BÉBÉ

Le bain est une activité quotidienne très appréciée du jeune enfant. Le 
bien-être de ce dernier lors du bain est, selon
toute vraisemblance, lié au caractère aquatique de sa vie intra-utérine. Les 
jeux qu 'il y pratique sont très dfiérents
de ceux qu 'il efiectue durant le reste de la journée. Le problème étudie, en 
deux parties indépendantes A et B,
d'une part le thermomètre utilisé pour contrôler la température, d'autre part 
le principe de fonctionnement d'un
débitmètre électromagnéfique mesurant le débit lors du remplissage de la 
baignoire. Les parties B] et B2 sont
largement indépendantes.

Dans toute l'épreuve, exprimer signifie donner l'expression littérale et 
calculer signifie donner la valeur numérique.

PARTIE A : TIOERMOMÈTRE A CRISTAUX LIQUIDES

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Physique 1 2007 : filière PS1.

Le thermomètre utilisé est en matière plastique, en forme de poisson (Fig. 1). 
Il possède une bande rectangulaire
contenant des zones à cristaux liquides. Celles--ci dessinent les températures 
comme par exemple 34°C, 36°C, 40°C
et OKBaby pour 37°C. Le principe de fonctionnement est le suivant: si l'eau est 
à 36°C, seule l'inscription 36°C
apparaît visible sur la bande rectangulaire sensible du thermomètre. Il est 
ainsi possible de contrôler rapidement la
température du bain.

On considère un miroir de longueur @, placé dans l'air assimilé au vide,
éclairé par une onde lumineuse monochromafique de longueur d'onde
_ dans le vide k (Fig. 2). La lumière incidente fait un angle @ avec le plan
"--°' li A " du miroir; on étudie la diffraction à l'infini dans l'angle 
d'émergence i,
"""""""" comme indiqué Fig. 2. Bien noter le choix de repérage des angles, par

rapport au plan du miroir.

__ D 1 -- Établir, a partir des expressions des amplitudes complexes des on--
*° fi--ä- 3 -- Üâfff'f" '""" F..." "" "" """ "'Ë des lumineuses, que 
l'intensité lumineuse diffractée est donnée par
n"r'n:ma.flmaflufe gar-rh... une d£rer'fi'un. _ ( )
7ze sm u
. 2 . \ .
11 = 10s1nc --(cos9 -- cosz) , ou s1nc(u) = --.
À M
_ D 2 -- Tracer l'allure de l'intensité diffractée en fonction de l'angle i 
dans les cas
' .Hr'm ,-,-- =!"Ü suivants : (cas a), la longueur 6 du miroir est légèrement 
supérieure a la longueur

d'onde (EUR > À, e % Â) et (cas b), e est très grand devant k. On ne manquera

Ë'ËPI I' r'

Æ T D 3 -- On étudie maintenant les interférences entre les ondes diffractées a 
l'infmi

\ __H______________ 533 ___, par deux miroirs identiques à celui des questions 
précédentes. L'étude s'effectue

: ' pour un angle d' émergence i. Ces deux nnr01rs, toujours disposés dans l' 
air, sont

p., __ \L séparés par la distance d. Ils sont éclairés de façon cohérente par 
la même source

' (Fig. 3). Pour les besoins de la modélisation, on ne se préoccupera pas d'une
Æ éventuelle « interception >> du rayon (2) par le miroir (1).

Montrer que la différence de marche entre les deux ondes passant par P1 et P2 
est

8 = d (sin 9 + sin i). En déduire l'expression suivante de l'intensité lumineuse

pas de commenter ces résultats.

résultant des interférences et de la diffraction de ces deux ondes d'amplitude

Fjg_ _% -- Deux Hi'Ù'HÙ'Æ' _ _
identique :

ln"cnfigæw3 m' Hïfit.ïp...'tüfiï ."

11.2 = âlmaX sinc2 {C(«9,i)] >< {1+ cos{S(â,i)]}, ... c(æ) =fiî[oes(a)_cos(i)] et S(6',i) = zfi%[sin(a)+sin(i)] E! 4 -- Vérifier que la fonction de diffraction par un miroir est maximale dans le cas où i = 9 . Comment alors choisir d pour que la fonction d'interférence entre les deux miroirs soit elle aussi maximale ? Réciproquement, i = 9 étant l'un et l'autre fixés, donner l'allure de l'intensité lumineuse 11,2 en fonction de la distance d. [_| 5 -- La relation i = 9 étant toujours satisfaite, on utilise maintenant un nombre N (grand devant 2) de miroirs identiques tous disposés àla distance d les uns des autres. Indiquer, par une représentation graphique ou par une phrase claire, comment évolue la courbe donnant l'intensité lumineuse en fonction de d . La bande sensible du thermomètre utilisé pour le contrôle de la température du bain est composée de << cristaux liquides >> présentant une structure hélicoïdale stable, dite cholestéfique. 
Les molécules constituant les cristaux li--
quides sont des molécules aflongées, représentées par des ellipsoides sur la 
Fig. 4, et qui sont disposées dans des
plans perpendiculaires à un axe Oz ; chaque molécule fait un angle fixe par 
rapport àla précédente, les extrémités
forment donc une double structure hélicoidale, de période spatiale L . Cette 
période dépend de la température T du
milieu (et bien sûr de la molécule constituant le cristal liquide). Lorsque 
l'on utilise comme cristal liquide un mé--
lange binaire de deux cristaux liquides, la période spatiale L de l'hélice 
dépend de la composition du binaire.

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Optique

Fig. 4 -- Vue d'artiste d'une structure hélicoïa'ale et

modélisation du comportement optique.

sin(9') =

Fig. 5 : Üifiëronro n'o nnnoho on

Physique 1 2007 : filière PSI.

On admet que le comportement optique du cristal

fï liquide est identique a celui des deux miroirs étudiés
@ dans les questions 1 a 4, ces miroirs étant alors plon--

gés dans un milieu d'indice nb de l'ordre de 1,50.

nh d

L
i Z D 6 -- Montrer que l'entrée dans le milieu d'indice
-------------- y ! ru, des deux rayons lumineux correspondant aux
X
.»:

rayons (1) et (2) de la Fig. 3 n'introduit pas de diffé--
rence de marche supplémentaire. Pourquoi en est--il
de même à l'émergence lorsqu'ils repassent dans
l'air ? Soit (Fig. 5) 9 ' l'angle, dans le cristal, entre

le rayon et le miroir
cos2 (EUR) _ _ ,
1-- 2 ; expnmer, en fonction de 9 , nh et a' , la
rt
h

différence de marche entre ces deux rayons dans le cas où i = 9 ' .
E! 7 -- L'éclairage incident est désormais normal («9 = (9' = 7t/ 2) et mono--

chromatique de longueur d'onde  . Exprimer les valeurs possibles de a' pour
lesquelles on obtient un maximum de lumière réfléchie. Même question pour
un minimum de lumière réfléchie.

ntronn flr" diontro : DE _ ...ïà3_ D 8-- Rappeler l'étendue du spectre visible 
ainsi que les couleurs associées

aux limites

 = 555 nm. On convient désormais que a' =

du spectre, puis justifier le choix de la longueur d'onde
L , avec 260 nm S L S 500 nm. Calculer les valeurs de L

correspondant respectivement à un maximum ou a un minimum de lumière réfléchie. 
On les notera L1 (pour un

maximum), É1 et EUR 2 (pour les minima) et l'on vérifiera que É1 < L1 < EUR 2. Il s'agit maintenant de déterminer la nature du matériau utilisé pour l'indicateur 40°C et pour l'indicateur OK Baby (37°C). L'indicateur 40°C doit apparaître à 40°C sans que l'autre soit visible et réciproquement. Pour ce but, on dispose de deux mélanges binaires ab et a 'b' des molécules (a, b) pour le premier et (a ', b ') pour le second. Pour chacun des deux mélanges, la période spatiale L de l'hélice vérifie 4nn '.: LU..." ( 37°Ë13ÏÜH1 "( {nb} ':Ïï {n'lo'} . __ ann ' " = ' 25 31] 35 40 45 50 Fig. «5 .' Période sontinio !. on_iononon of:? in r:'onoonnnnon on n (on on n'). Composé ab : L40°C = 0,68 L <=> L = 1,4 L

37°C 37°C 40°C
Composé a'b' : L40°C = 0,74 L37°C <=> L37°C = 1,35 L40°C

E] 9 -- La Fig. 6 montre comment, a 37 °C, L évolue en fonction
du pourcentage molaire de a ou de a ' dans le domaine des mé--
langes réalisables (tous les pourcentages ne sont pas représentés).
Pour l'indicateur a 37 °C (par exemple), on doit avoir un maxi--
mum de lumière réfléchie correspondant a 37 °C et un minimum
correspondant a 40 °C. Quel mélange utiliser pour ce but, et en

quelle proportion ? Quel est le meilleur choix pour l'indicateur 40
°C ?

D 10 -- La loi d'évolution de la période de l'hélice en fonction de
la température T au voisinage de T1 = 310 K (37°C)

estL(T) = LO exp (--ocT) , où LO est une constante; calculer

ocab et aa . b. . La valeur de oz est extrêmement variable d'un matériau à 
l'autre et elle peut atteindre jusqu'à

100 °C"1 ! Pour quel(s) genre(s) d'appfication(s) une telle sensibilité 
peut--elle être utile ?

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Physique 1 2007 : filière PSI.

PARTIE B : DÉBITMÈTRE ÉLECTROMAGNÊTIQÙE

BI Débitmêtre

- ' Le principe du débitmètre élecüomagnéfique (Fig. 7) s'appuie sur le
phénomène d'induction électromagnéfique. Les bobines de Helmholtz
sont disposées de part et d'autre du tuyau d'alimentation en eau (chaude
ou froide) de la baignoire. Le rayon du tuyau esta : 5 mm. On consi--
dère que le champ magnétique créé par les bobines est uniforme dans

toute la région de l'écoulement et on le note B1 = B1 }? . On suppose

que le tuyau et le fluide qu'il contient ne modifient pas la structure des
lignes du champ B1 . Sur la Fig. 7, on utilise une base cylindrique adap-

"'Ë1'" " tée àla description de l'écoulement de l'eau. Cette base n'a rien a 
voir
avec celle qui nous a permis d'étudier le champ magnétique dans les
questions précédentes. Il suffit que le fluide circulant dans le tuyau soit
très légèrement conducteur pour que le débitmètre fonctionne correctement. 
C'est a travers la mesure de la force

Fig. ? -- .-'*.-'umrfwu ,rmnr le ::.l'éhiæ'më'fi'E.

électromotfice induite entre les deux électrodes C et D (isolées électriquement 
du tuyau), eCD , que l'on peut mesu--
rer le débit.

On suppose que l'écoulement se fait en régime permanent. La vitesse de l'eau en 
un point M (r, 0) est donnée par
9 = VO f (r) 2 où le profil de vitesse f (r) est une fonction qu'on n'expficite 
pas pour l'instant mais qui satisfait
l'inégalité 0 S f (r) 51 dans l'intervalle [O, a]. Pratiquement, le débitmètre 
électromagnéfique n'est utilisable que
pour les fluides en écoulement possédant un nombre de Reynolds Re supérieur a 
2000.

E! 11 -- Établir l'expression suivante du débit volumique DVol. : Dm. = 27zv0 
[: r f (r) dr. La vitesse débi--

débit
moy

tante, notée v , est la vitesse fictive telle que, si tous les points de 
l'écoulement possédaient cette vitesse, le débit

débit
moy

volumique serait D ' exprimer v

Vol_ , en faisant intervenir une intégrale dans laquelle figure la fonction f 
(r).

On note enfin vmoy la moyenne des vitesses le long d'un rayon d'une section 
droite du tuyau. Exprimer vmoy en

faisant intervenir une intégrale dans laquelle figure la fonction f (r) .

D 12 -- En réalité, le champ magnétique, tout en restant uniforme, est 
sinuso'r'dal, de fréquence

fo = 600 /27z = 40 Hz; on le note Br = E... cos(æ0t)x, où B... = 0,1 T. 
Vérifier que le champ É au

point M (F, (9) du plan Oxy peut dériver du potentiel vecteur K = B... rcos(9) 
cos(æ0t) î = AZ (r, «9, t) î .
1 ÔA A ÔA A

= -- ' r -- Z 0.
r @@ Ôr

Les composantes utiles du rotationnel en coordonnées cylindriques sont ici rot 
(Â)

. --> , . , . . . _) _) ÔA _)
Cette expressron de A permet d'etabhr que la force electromotnce 1ndurte eCD = 
V /\ B -- ô_ - dl peut se
t

ramener à eCD = LCD] (? /\ fi) - dl , l'intégrale étant calculée le long du 
segment [CD] . En d'autres termes, le

problème se ramène à un phénomène d'induction concernant un conducteur mobile 
(le fluide) dans un champ
magnétique statique, bien que celui--ci soit (lentement) variable.

E! 13-- Établir la relation eCD = 2vay aBlm cos(æ0t) = eM cos(æ0t) , où vmoy = 
(l/a)Jf (r)dr . Cette
()

force électromotfice est--elle proportionnelle au débit volumique ? Calculer eM 
pour vmoy = 5 m. s'1 .

D 14 -- Pourquoi ne pas utiliser un champ magnétostafique ? Pourquoi ne pas 
alimenter les bobines avec une ten--
sion alternative de 50 Hz ?

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Physique 1 2007 : filière PSI.

D 15 -- On modélise l'écoulement du fluide par la relation empirique
P
r
représentée Fig. 8 f (r) = l -- (--J , avec [) > 0. Rappeler la défini--
a

tion de la couche limite de fluide. Proposer une évaluation de son épais--
seur, 5 , en fonction de a et p (on pourra, par exemple, définir le domaine

\

OU.

dr

>> -- , ou considérer les abscisses des points A p de la Fig. 8).
a

Fig. H -- Trm'.u pmfie'r .:.fiï '|«'i'ÏË.HÏË.

E] 16 -- Établir les expressions de vmoy et de vâ'îÇ' en fonction de V0 et

de p. À partir de quelle valeur de p peut--on confondre les deux vitesses à 
mieux que 1% près ? Cette évaluation est-
elle cohérente avec le domaine d'utilisation du débitmètre évoqué plus haut (Re 
> 2000) ? Pour cette question,

on admettra que des considérations qualitatives conduisent à l'estimation 5 = 
61 (Re) 2 .

E! 17 -- Admettons maintenant que l'on puisse confondre vmoy et vâË' . Établir 
alors l'expression de la force

électromoüice induite eCD en fonction du débit volumique DV0l. . La valeur 
maximum de la tension mesurée entre

les électrodes C et D est 7 mV. Combien faut-il de temps pour que la baignoire 
contienne 100 L d'eau ?

BZ Mesure

Dans la suite de cette étude, on s'intéresse à la mesure de la force 
électromoüice, que l'on écrira désormais
eCD = ,BDVOl_ cos (a)0t) . Dans la pratique, le signal détecté Ve (I) se 
présente comme la somme de cette force
électromoüice et d'une tension de bruit Vb (t) : Ve (t) = eCD + Vb (t) . Le 
spectre de la tension de bruit comporte

une multitude de fréquences f ,, > f0 .

Afin de réduire l'influence du bruit, on utilise la méthode de détection 
synchrone dont le principe est décrit sur la
Fig. 9. L' amplificateur opérationnel, supposé idéal, fonctionne en régime 
linéaire. le circuit mulüpheur >< , en grisé ft": sur la Fig. 9, est lui aussi idéal. Sa tension de sortie est VX = le (t)V2 (t). La tension V2 (t) = Acos(wot) est synchrone avec eCD . En sortie, on dispose un filtre RC dont la fré- quence de coupure est fc = 1 Hz . if" I" ,... [|_ 18 -- Quelle est la relation liant V1 (t) et V6 (t) ? Quelle est la nature du filtre utilisé en sortie ? Proposer des valeurs de R et de C. Don-- ner, sans calcul, l'allure du diagramme de Bode asymptotique pour le gain de ce filtre. F {g. 9 -- Prùær.fer de &: d&Ufï'.f}'fHæ ,ï_1'Hf'hf'üflfî D 19 -- Montrer que, en ce qui concerne la tension de bruit Vb (t) , le dispositif est quasiment équivalent à un passe--bande centré en fo et de facteur de qualité Q = 40. Conclure quant à l'intérêt du montage et donner l'expression de la tension de sortie Vs en fonction du débit volumique. FIN DU PROBLÈME FIN DE L'ÉPREUVE Page 5/5