Mines Physique 1 PSI 2006

Thème de l'épreuve Énergie hydraulique
Principaux outils utilisés mécanique, dynamique des fluides parfaits, bilans, champ et dipôle magnétiques

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Rapport du jury

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES,
ÉCOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT--ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE,
ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI)

CONCOURS D'ADMISSION 2006
PREMIERE ÉPREUVE DE PHYSIQUE
Filière PSI

(Durée de l'épreuve : 3 heures)
L'usage de la calculette est autorisé

Sujet mis à disposition des concours : ENSTIM, INT, TPE-EIVP
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page 
de la copie :

PHYSIQUE 1 - PS]

L'énoncé de cette épreuve comporte 8 pages.

0 Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une 
erreur d'énoncé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il est
amené à prendre.

0 Il ne faudra pas hésiter à formuler les commentaires (incluant des 
considérations numériques) qui
vous sembleront pertinents, même lorsque l'énoncé ne le demande pas 
explicitement. Le barème
tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la 
copie.

Notations : vecteur ----> A (gras) ; norme du vecteur V --> V (italique) ; 
vecteur unitaire --> â.

ÉNERGIE HYDRAULIQUE

On étudie le principe de fonctionnement d'une microcentrale hydraulique. Ce
type de centrale permet une production souple et une adaptation rapide en

période de pointe.

L'épreuve comprend trois problèmes indépendants entre eux, et que l'on pourra

traiter dans l'ordre de son choix.
Dans toute l'épreuve, exprimer signifie donner l'expression littérale et calcu-

ler signifie donner la valeur numérique.

Description

La centrale est alimentée par une conduite d'eau cylindrique de diamètre cons-
tant D, dite conduite forcée, issue du barrage (Fig. 1). La capacité de ce bar-
rage est suffisamment importante pour que l'on considère l'eau qu'il contient

comme immobile. L'extrémité aval de la conduite, notée A, est reliée a une
tubulure de section décroissante, appelée injecteur.

L'axe vertical repérant l'altitude z est orienté vers le haut. L'altitude du 
point
A est, par convention, nulle ; on note H la dénivellation entre la surface libre
de l'eau et l'axe de l'injecteur et h la différence de niveau entre l'entrée de 
la

conduite et la sortie, en A (la différence de niveau entre la surface libre et
l'entrée de la conduite est donc h'=H--h). L'eau est considérée comme un

fluide parfait, incompressible et de masse volumique # ; elle sort de 
l'injecteur
à l'air libre, sous la pression atmosphériquefl, supposée indépendante de

l'altitude. Le jet est cylindrique d'axe horizontal et de section circulaire de 
dia-
mètre D dans la conduite puis d dans l'injecteur. Ce jet frappe la turbine et
l'anime d'un mouvement de rotation. On considère les écoulements commeper°
manents et irrotationnels. On néglige tout frottement. On néglige les variations
avec l'altitude de l'accélération de la pesanteur g .

Fig. 1 - Reten ue et conduite forcée pour installa tion hydroélectrique.
L'injecteur, en A, est schéma tisé dans le rectangle en pain tillés.

Donnéesï PO =lO5 Pa,g=lO m.s"2, D=60 cm, H=300m et ,u=lO' kg.m_'.

I -- Conduite forcée

D 1--- Dans cette question ---- et dans cette question seulement -- on suppose 
que
l'extrémité aval de la conduite n'est pas reliée à l'injecteur ; l'eau sort à 
l'air libre
au point A. En justifiant l'utilisation de la
Pression (atm_) Courbe relation de Bernoulli entre le point A et un point
de , . . . ;
vaporJSatj'on\A// quelconque de la canahsatmn et en cons1derant la
/

conservation du débit, exprimer la pression P] (2)

/
à l'intérieur de la conduite sous la forme
2 P
R(Z)=PO 1------- ,avec Z() =------"----.
20 lug

Calculer zo .

\

La pression de vapeur saturante de l'eau a la

0 100
Diagramme de phase de l'eau

température ambiante est P z 3 >< 103 Pa.

Sût

Montrer qu'au-delà d'une certaine altitude, à préciser, ce modèle de pression 
n'est
plus applicable. Le phénomène qui intervient alors (cavitation) engendre toutes

sortes de perturbation (attaque des matériaux, bruits ...).

D 2 --- Pour pallier cet inconvénient, on visse en A sur la partie finale 
horizontale
de la conduite un injecteur (encart de la Fig. 1) de section décroissante et de
diamètre de sortie d < D. Montrer que la vitesse en sortie de l'injecteur, notée

c, est c = JZgH (relation de Torricelli). Calculer c.

2
Établir que la vitesse en A est V : (%) J2gH.

D 3 -- Exprimer la pression P2 (2) à l'intérieur de la conduite munie 
d'injecteur.

On admet que l'entrée de la conduite est pratiquement à l'altitude H. Montrer
que les phénomènes de cavitation disparaissent dans toute la conduite si d est

inférieur à un certain do dont on établira l'expression en fonction de D , PO, 
H,

g et ,u . Vérifier que do % 26 cm.

D 4 ---- Le diamètre de sortie de l'injecteur est d = 12 cm. La vitesse du jet 
mesurée

en sortie de l'injecteur est c'=74 m.s"'. A quelle dénivellation, notée H ', 
cette
vitesse correspondrait-elle ? Exprimer et calculer le coefficient de contraction

H ' . , . . , . .
Cc : î{--. Donner quelques raisons de l'écart a l'un1te de ce coefficient.
D 5 -- Exprimer et calculer le débit volumique q de l'injecteur sans pertes, 
puis

le débit massique Dm (en litres par seconde) en fonction de d , de c et de /.1.

Exprimer et calculer la puissance cinétique réelle PC du jet en sortie (énergie

cinétique par unité de temps, pour la vitesse de sortie c' et le débit associé 
q').

D 6--Justifier que l'on nomme puissance potentielle la quantité PP... : ngH .

C

P

po!

Exprimer et calculer le rendement de la conduite 77 = en fonction de CC.

II-Étude de la turbine Pelton

La turbine Pelton est constituée par une roue munie d'augets. Un auget Pelton
est une sorte de double godet avec une cloison au milieu (penser à deux coquil-
les de noix contiguës), qui dédouble le jet en deux parties identiques (Fig. 2).
Les deux parties s'écoulent latéralement. L'eau, en provenance d'un injecteur
identique à celui du paragraphe précédent, est propulsée sur ces augets et met

la roue en mouvement. La vitesse du jet d'eau, de section s : 7rd2/4, est notée

c : 032. La section de chacun des deux demi--jets est s' : S/2. On néglige 
l'effet
de la pesanteur sur les jets.

Cl 7 -- Quel intérêt y a-t-il à dédoubler le jet qui heurte l'auget ?
Le référentiel du laboratoire, {L}, est galiléen; on note {L'} le référentiel 
lié à

l'auget frappé par le jet. La Fig. 3 présente schématiquement les paramètres de
fonctionnement d'une turbine Pelton. Le rayon R du rotor est suffisamment grand

pour que l'on puisse assimiler le déplacement des augets, dans {L}, à une 
transla-

tion suivant l'axe OX dans la zone d'action du jet. Sous l'action du jet, de 
l'air et de
la force du bâti, l'auget se déplace donc à la vitesse uniforme u : uî.

Fig. 3 ' Portion de roue et un auget iles vitesses sont représentées dans{ L } ;
dans Je référen tie] lié à ]'a uget, la vitesse du jet incidth serait c -- u .

Cl 8 --- Justifier que l'écoulement est permanent dans {L'}. Exprimer, dans 
{L'},

d'une part la vitesse du jet incident, notée c d'autre part celle des jets 
déviés

dans la direction opposée à celle du jet incident, notée CZ,. On suppose bien

entendu que la puissance du jet est conservée. Quel est le sens physique de la
quantité D; = ,us(c -- u) ?

Cl 9 -- En considérant un système fermé 2 de fluide, évaluer dans {L'}, la 
variation
de quantité de mouvement dp' du fluide entre les instants t et t+dt, en fonction

de (c ----- 11), S, ,u et dt. En déduire la composante selon OX de la force Fb 
du bâti sur

Pauget en fonction de c, u, /1 et du débit volumique Q' du jet dans {L'} ; 
remar-

quer que Q' = q' de la question 5, débit réel.

Ü lO--Et maintenant, une subtilitéî si l'auget était unique, une partie de la
puissance du jet serait perdue en raison de l'éloignement de l'injecteur et du
volume croissant du jet ; en réalité, placé sur le bâti en rotation, l'auget en 
ques-
tion est remplacé par l'auget suivant et tout se passe comme si les augets 
étaient
placés à distance fixe de l'injecteur tout en se déplaçant à la vitesse u. Pour

exprimer le couple F du jet sur le rotor, il est donc acceptable de remplacer 
Q' par
Q. Exprimer I' dans ces conditions.

Cl 11 ----- Déterminer la puissance mécanique P reçue par le rotor dans {L}. Le 
jet

apporte une puissance cmet1que 7{ = --2-- ,uch (cf question 5) ; definir et 
calculer le
. . u

rendement ?]...t de la turbine en fonction de c et u. Pour quelle valeur de -- 
le
c

rendement est-il maximum '? Calculer ce rendement maximum.
El 12--Quelle est alors, pour ce rendement maximal, la vitesse C,. de sortie de

l'eau dans le référentiel {L} ? En déduire la puissance cinétique de l'eau 
sortant

de la turbine. Commenter le résultat obtenu d'un point de vue énergétique.

Cl 13 --- Le rotor tourne à la vitesse angulaire
de 750 tours par minute et la vitesse de sortie

du jet vaut c = 74 m.s"1 . Calculer le rayon R
du rotor pour atteindre le rendement maxi-
mum. Le résultat est-il réaliste? Pour un
débit de 1500 litres par seconde, calculer la

puissance maximale P

max '

Ü 14--Le rendement réel de la turbine est
égal à 0,87. Calculer la puissance réelle P de

la turbine. Quelles sont les raisons permettant
d'expliquer pourquoi on n'atteint pas le rendement maximum ?

Photo 1 -- Une roue grandeur nature.

\

III- Étude de l'alternateur

La turbine, dont les caractéristiques sont identiques à celles de la partie Il,
entraîne le rotor d'un alternateur à la vitesse angulaire [2 = 750 tours par 
minute

( f =12,5 Hz). Ce rotor est assimilé à une bobine

alimentée par un courant continu ] créant un
champ magnétique tournant bipolaire (deux pôles
magnétiques). Le stator est constitué de trois
enroulements identiques E1, E2 et E3 décalés l'un par

rapport à l'autre de 2%. On note û, (i=l,2,3) le

vecteur unitaire de l'axe porté par la bobine n° 1'. On
admet que le flux de B à travers chacune des trois

bobines est sinusoïdal @, (t) : @ cos([2t -- H,) , avec 9, = 0 .

Le champ B est donc dirigé selon û,, porté par l'axe OX à l'instant initial t = 
0. La

A

convention d'orientation des bobines du stator est définie par les vecteurs u.

!

correspondant à CDO positif.

E] 15 --Déterminer les forces électromotrices 61 (t), ez(t) et e3(t) dans les 
trois

enroulements. Exprimer leur valeur efficace commune E en fonction de CDG.

Cl 16 --À quelle vitesse angulaire .Ô le rotor devrait-il tourner pour que l'on
puisse coupler directement cet alternateur au réseau EDF ? Montrer que cela est
hors de question, ne serait-ce que parce que la vitesse de translation de chaque
auget serait supérieure à la vitesse de l'eau du jet.

Fig. 4 - Stator de l'alternateur :la phase à t = 0 du flux tra versant la 
bobine 1' est 6]. : 2n(1'-- 1)/3.

D 17 ---- Quelle modification faudrait-il apporter au rotor, de taille donnée, 
pour
réaliser le couplage avec le réseau '?

Cl 18 ---- Les trois enroulements ont une borne commune N, appelée neutre (Fig.
5). Les trois autres bornes, appelées phases, sont reliées par des fils 
identiques

de résistance R,, à une charge formée de trois impédances identiques ZC mon-
tées en étoile. L'impédance équivalente à l'association série (R,...ZC) est 
notée

Z : Zc + RF : ZO exp(jçp). Le neutre est relié au centre O de l'étoile par un 
fil

de résistance RR. On suppose d'abord que RF est négligeable. Exprimer en

notation complexe les intensités i1 , i2 et i3 dans chacune des impédances. En

déduire l'expression du courant iN (t) dans le fil ON. Quel est l'avantage de ce

montage par rapport à un montage où les impédances seraient reliées indépen-
damment à chaque enroulement (sans neutre) ?

Fig. 5 ' Symboles et conventions pour enroulement et charge tr1bbasés.

D 19-- On ne néglige plus la résistance RF. Exprimer les relations liant cha--

\

cune des intensités i1 , i2 et i3 a Z et à R,, . En déduire la nouvelle 
expression

de iN (t). Commenter le résultat et exprimer les courants i1 (t), i2 (t) et i3 
(t)

dans chacune des phases.

Cl 20 -- Exprimer la puissance électrique moyenne PC., fournie par 
l'alternateur, en

fonction de E, Z() et ça. La turbine fournit une puissance de 3,5 >< 106 W, le 
rende-
ment de l'alternateur est égal à 0,95, E = 5000 Vet ZO = 18 Q ; calculer le

cos(ça) .

Ü 21--Chaque bobine 1' induit au niveau du rotor le champ magnétique uni-
forme IB, = az} (t) ûi, où a est une constante positive. Exprimer le champ 
magnéti-

A A

que résultant B..., en séparant les calculs des composantes selon ux et selon u 
y.

Quelles sont les caractéristiques de ce champ magnétique (axe, sens et vitesse

angulaire de la rotation) ? Exprimer en particulier l'angle qu'il fait avec le 
champ
magnétique B du rotor.

Ü 22--La bobine du rotor peut être représentée par son moment magnétique
M = Mû . Préciser la direction de ce moment magnétique. Exprimer le couple F...;

exercé par le champ magnétique induit sur la bobine. Exprimer la puissance P

l'O!

reçue par le rotor. En considérant un bilan de puissance, retrouver que la puis-

EZ
sance électrique est proportionnelle à Îcos(ç0).
0

FIN DU PROBLÈME
FIN DE L'ÊPREUVE

brevet Pe] ton (1889)

ier

les du prem

gUÏGS 01"1g1113

Fi

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Mines Physique 1 PSI 2006 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Stéphane Ravier (Professeur en CPGE) ; il a été relu 
par
Emmanuel Loyer (Professeur en CPGE) et Jean-Julien Fleck (Professeur en CPGE).

Cette épreuve a pour thème l'énergie hydraulique. Elle est composée de trois
parties très largement indépendantes les unes des autres.
· Dans la première partie, on étudie l'énergie cinétique qui peut être 
récupérée en sortie d'une canalisation placée en aval d'un barrage. Cette 
partie de
dynamique des fluides est courte et très simple : elle repose uniquement sur la
relation de Bernoulli et sur la conservation du débit volumique d'un écoulement
incompressible.
· Un type particulier de turbine, la turbine Pelton fait l'objet de la deuxième
partie. C'est principalement une étude mécanique qui est conduite dans un
référentiel mobile lié à un auget de la turbine et dans le référentiel 
terrestre.
Les questions sont assez directives mais on peut regretter des choix de 
notations
peu judicieux et quelques explications qui manquent de clarté.
· La troisième partie, quant à elle, combine des notions élémentaires 
d'électrocinétique et d'électromagnétisme. Une petite erreur d'énoncé vient 
obscurcir les
questions 18 et 19, dans lesquelles il n'est par ailleurs pas évident de 
comprendre
quelle démarche était attendue.
L'ensemble de ce problème forme un sujet relativement proche du cours et qui
n'est pas très long. Différents domaines du programme sont abordés, de façon 
simple
et souvent directive, ce qui en fait un sujet facile d'approche.

Indications
Partie I
1 Si, quelque part dans la canalisation, la pression atteint la valeur Psat 
alors il y a
formation de vapeur d'eau.
4 Penser à l'influence de la viscosité.
6 Utiliser la relation de Torricelli pour faire apparaître le coefficient de 
contraction.

Partie II
8 Dire que la puissance du jet est conservée, c'est considérer que le choc est 
supposé
élastique, c'est-à-dire que la vitesse du jet par rapport à l'auget après le 
contact
est opposée à la vitesse incidente.
9 Il s'agit d'un système ouvert en régime permanent. Vérifier que la masse dm 
qui
entre et celle qui sort du système ouvert pendant dt sont les mêmes puis faire 
un
bilan de quantité de mouvement.
Utiliser le débit volumique pour éliminer le paramètre s afin d'obtenir 
l'expression
-

cherchée de Fb · x
b.
Ne pas tenir compte de la remarque finale de l'énoncé pour cette question.

10 Le caractère permanent de l'étude permet de remplacer le débit volumique Q
mesuré dans le référentiel de l'auget par le débit mesuré dans le référentiel 
terrestre Q = cs.

Partie III
17 Pour multiplier la fréquence du champ du rotor sans changer sa vitesse 
angulaire,
on peut envisager plusieurs bobinages indépendants.
18 Petite erreur dans l'énoncé : c'est ici RR qu'il convient de négliger.

-
-

22 Un dipôle magnétique permanent M placé dans un champ magnétique B subit
 -
-
 -

un couple  = M  B .

Énergie hydraulique
I. Conduite forcée
1 L'eau est considérée comme un fluide parfait incompressible. L'écoulement est
donc a fortiori incompressible. En outre, l'écoulement est supposé permanent et 
irrotationnel et on l'étudie dans le référentiel terrestre, supposé galiléen. 
Toutes les
conditions sont donc remplies pour pouvoir utiliser la relation de Bernoulli 
entre le
point de sortie A et un point M d'altitude z quelconque de la canalisation où la
pression est P1 (z), ce qui s'écrit :
P1 (z) vM 2
PA
vA 2
+
+ gz =
+
µ
2
µ
2
Pour être parfaitement complet pour l'application de la relation de Bernoulli,
on pourrait ajouter que le fluide n'est soumis qu'aux forces de pression et à
la pesanteur (champ de pesanteur uniforme).
Or, on a un jet libre en sortie de canalisation donc
PA = P0
On sait également que la section de la canalisation est constante. Puisque 
l'écoulement
est incompressible, la relation de conservation de la masse permet d'affirmer 
que le
débit volumique se conserve. La vitesse étant uniforme sur une section droite S 
de la
canalisation, on en déduit
vM S = vA S

d'où

vM = vA

En reportant ces deux relations dans la relation de Bernoulli, on trouve

µg
P1 (z) = P0 1 -
z
P0
Ainsi

z
P1 (z) = P0 1 -
z0

avec

z0 =

P0
= 10,0 m
µg

On retrouve bien la hauteur maximale qu'on peut faire monter dans une
fontaine comme celle de Torricelli à Florence.
Les données numériques de l'énoncé ont des nombres de chiffres significatifs 
variables sans réelle cohérence. On décide, arbitrairement, de faire toutes
les applications numériques avec trois chiffres significatifs.
Si l'écoulement n'était pas supposé irrotationnel, il faudrait se placer
impérativement le long d'une ligne de courant pour pouvoir appliquer la
relation de Bernoulli.
Profitons de cette question pour souligner une différence importante :
il convient de ne pas confondre la notion de fluide incompressible et la notion 
d'écoulement incompressible. On peut qualifier d'incompressible la plupart des 
liquides car, quelles que soient les conditions de pression imposées
(à moins de pressions gigantesques), leur masse volumique est constante.

Les gaz quant à eux sont facilement compressibles. En revanche, la notion
d'écoulement incompressible est une caractéristique de l'écoulement. 
Usuellement, un écoulement peut être considéré comme incompressible si les 
vitesses
au sein de cet écoulement restent faibles devant la célérité du son dans ce
fluide. En mécanique des fluides, c'est le caractère incompressible de 
l'écoulement qui est utile et on constate que cette approximation est très 
couramment
réalisée.
Ce calcul repose sur le fait que l'eau reste liquide. Or, la pression de vapeur
saturante représente la pression minimale sous laquelle l'eau liquide peut 
exister.
Si P1 (z) atteint la valeur Psat pour une altitude z donnée, alors il y aura 
formation
de vapeur et équilibre diphasé. Dans ce cas, où il y a cavitation, le 
raisonnement
précédent ne s'applique plus. La condition de validité du calcul s'écrit donc
P1 (z) > Psat
soit

z < z max

Psat
z max = z0 1 -
= 9,70 m
P0

avec

2 Appliquons la relation de Bernoulli entre un point B de la surface libre de la
retenue d'eau et la sortie de l'injecteur :
vB 2
P0
c2
PB
+
+ gH =
+
µ
2
µ
2
Or, au niveau du point B, la pression est P0 et la vitesse est quasi nulle 
(surface de
la retenue d'eau très grande devant la section de la canalisation). On en 
déduit bien
la relation de Torricelli :

c = 2gH = 77,5 m.s-1
Pour déterminer la vitesse V de l'écoulement en A, il suffit d'utiliser la 
conservation du débit volumique. Au niveau de l'injecteur, on peut en effet 
écrire
V

et ainsi

D2
d2
=c
4
4

V=

d
D

2

2gH

3 Écrivons une nouvelle fois la relation de Bernoulli entre un point M 
quelconque
situé à l'intérieur de la conduite et la sortie de l'injecteur :
P2 (z) vM 2
P0
c2
+
+ gz =
+
µ
2
µ
2
On a toujours
et ainsi

vM = V
"

P2 (z) = P0 - µg z - H 1 -

ou encore, en introduisant z0 ,
P2 (z) = P0

"

z
H
1-
+
z0
z0

1-

d
D

4 !#

d
D

4 !#