Mines Physique 1 PSI 2005

Thème de l'épreuve Étude d'un transformateur
Principaux outils utilisés électromagnétisme dans les milieux, électrocinétique

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES,
ECOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE,
ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI)

CONCOURS D'ADMISSION 2005
PREMIÈRE ÉPREUVE DE PHYSIQUE
Filière PSI
(Durée de l'épreuve : 3 heures ; l'emploi de la calculatrice est autorisé)
Sujet mis à disposition des concours EN STIM, INT, TPE-BNP
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page 
de la copie :
PHYSIQUE [ -PSI

L'énonce' de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière PSI, 
comporte 6 pages.

0 Si un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le 
signale sur sa copie et poursuit
sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à 
prendre.

- Il ne faudra pas hésiter à formuler les commentaires qui vous sembleront 
pertinents, même lorsque
l'énoncé ne le demande pas explicitement. Le barème tiendra compte de ces 
initiatives ainsi que des
qualités de rédaction de la copie.

ÉTUDE D'UN TRANSFORMATEUR

Les trois parties de ce problème sont largement indépendantes. La première 
partie concerne
les non--linéarités du circuit magnétique, la deuxième partie concerne le 
fonctionnement pro--
prement dit du transformateur chargé par un montage redresseur et la troisième 
partie, pro-
che du cours, concerne des aspects énergétiques.

Les notations principales et des valeurs numériques utiles sont indiquées dans 
les tableaux
en fin d'énoncé (page 6). La perméabilité magnétique du vide vaut ,u0 : 472: >< 
1.0"7 H.m"l .

1 Étude d'un circuit magnétique

Ce problème porte sur l'étude de transformateurs utilisés en régime permanent 
en électro-
nique de puissance, tels que représenté à la figure 1, page 2. Le circuit est 
constitué de quatre

tronçons (l, 2, 3 et 4) d'un matériau ferromagnétique ; ces tronçons sont 
séparés par quatre
entrefers identiques, de longueur e. Les tronçons 1 et 3, de même section S], 
sont entourés

par des bobinages, qualifiés de << primaire » pour le tronçon 1 et de << 
secondaire » pour le

tronçon 2 ; ces tronçons sont parcourus par des courants d'intensités 
respectives i p et Ï_<-- La

section commune des tronçons 2 et 4 est notée 52 . La caractéristique b(h) 
idéalisée dans le

matériau magnétique est représentée figure 2. Elle est symétrique par rapport 
au point 0,
linéaire pour |h|.<.H...r et affine pour |h|ZH... Le régime saturé commence dès 
que

IhIZH

néglige les pertes par hystérésis et par courants de Foucault. Les autres 
hypothèses d'étude
sont les suivantes :

On note ha et ba les grandeurs magnétiques usuelles au niveau des entrefers. On

Sîlt '

- toutes les lignes de champ sont canalisées par le circuit magnétique ;

- le champ magnétique est uniforme séparément dans chacune des pièces 
ferromagnétiques
et dans les entrefers ;

- pour le calcul de circulation du champ excitation magnétique H, on prend, 
pour chaque
tronçon, la longueur de la ligne de champ moyenne.

Fig. ] : Circuit magnétique. Les sections 1 et 3, Fig-- 2 -' Caractéristique 
magnétique du matériau.
de section S 1, sont entourées de bobinages. Pour fixer les idées, H* = 5300 
A.m"1 et B* = l, 6 T.

E] 1 ---- La conservation du flux du champ magnétique entraîne d'une part 
l'égalité bl : be,
d'autre part une relation entre bl, b2, S1 et 52- Donner cette dernière 
relation.

Ü 2 -- Déduire du théorème d'Ampère la relation liant hlël, h2EUR 2, ehe et 8 = 
N pi }, ----N .i

.\ .\'°

Dans la suite, la grandeur 8 sera nommée force magnétomotrice du circuit.

D 3 -- Sachant que le tronçon 1 commence à se saturer pour b=Bsat =B££, donner

. , . 2 \
l'expressmn et la valeur numer1que de b : B( ) pour lesquels le tronçon 2 
commencera a se

sat
B... -- --1--'3--= 2><10"3 T.m.A" ?

H _600

saturer lui aussi. Que représente le rapport A :

Silt

D 4 -- Donner, en fonction de A, EUR,, EUR 2, e, SI, S , #0 et (p = 19151, 
l'expression littérale de 8

sat

en régime non saturé (O 5 19 S B... ). Cette expression définit R par 8 : R(p ; 
R est appelée

re'luctance équivalente à l'ensemble du circuit magnétique lorsque celui-ci 
n'est pas saturé,
Vérifier que R s'exprime en H"1 (inverse de henry) et calculer sa valeur 
numérique.

D 5 -- On suppose ici que BSM] S 195 Bsat2 ; préciser l'état de saturation de 
chacune des par-
ties. Lorsque lh|Z H
Donner l'expression littérale de EUR en fonction de (p. Les valeurs numériques 
des constantes
C et D se déduisent des données de la Fig. 2 et l'on trouve 8 z1,06X106(p -- 
4860.

Sata on pose [7 : Ch+ D. Préciser les dimensions respectives de C et D.

D 6 -- On suppose maintenant que 19 2 BS Donner l'expression littérale de 
£(ç0). Numéri-

at2'

quement, on trouve 8 z (1,60 >< 106 )ço -- 8370.

Cl 7 ---- Quelle est, formellement, l'analogie électrocinétique de la 
caractéristique ç0(8) '? tra--

. , . . _3 ,.
cer sommairement cette caracteristique pour |£|S 8><10 Wb. Rassembler dans le 
meme
tableau les relations numériques £(ç0) et ç0(8) correspondant aux trois états 
de saturation du
circuit magnétique. Préciser les valeurs numériques des coordonnées des points 
anguleux de

2

cette caractéristique. On les notera i£(ll,i(p(ll,i£( ) et i(pl2) .

D 8 -- On pose ç0=--çomax cos(oet)=--çomax cos(9), où
ça,... =8,O> <(pSCD

sa! _

CçD _ d (p 2 (DS...

sa! '

oùe=Npip--N_Yix, a=91,0x10'H"', c=2,14><106 H°' et d=10,7><10" A.

Le transformateur alimente un mon-

tage redresseur (Fig. Sa) imposant un
courant secondaire i. de valeur

.\

moyenne dans le temps l'...... non
nulle. L'interrupteur à semi-conduc--
teur T1 est idéalisé (Fig. 5b) : chute

de tension u nulle à l'état passant,
_ courant de fuite i nul à l'état bloqué.
F1g. 5a 5 Montage redresseur. L'enroulement primaire est alimenté

par une source de tension sinusoïdale
Fig. 5b : caractéristique de i "p...: \ÆV,> sin(æt)
! 'interrupteur électronique T]. | On constate que la valeur moyenne

dans le temps de ça, (DM,, n'est pas

nulle et l'on relève expérimen--
talement la relation (p(t) : --a cos(oet)+®mm...

E] 10 -- Quelle est la valeur moyenne, 1 du courant primaire ?

;) ,nzu)' '

E] 11 ---- Exprimer 8 valeur moyenne de EUR, en fonction de [

nm)' ' s, 1710)" '

E] 12 -- Sachant que ÇÛ(f1)= --(D..., pour 91 : cor] : %, calculer (I)... et 
(Du.

Ü 13 -- Etablir les expressions littérales de £(t) pour DS oet.<. 27r, en 
fonction de a, c, d,
(I) et (Du.

nw_v

E] 14 -- Exprimer 8 en fonction de CD CD et 61 ; numériquement, on trouverait 
que

muy mu_\' , max

8 est de l'ordre de (et inférieur à ) --1500 A. Donner l'expression et la 
valeur numérique

nm_\'

de [ en convenant que 8 = --1500 A.

.s.mu_v ' muy

. , 7î , .
Cl 15 -- L'mterrupteur commande est passant pour -- S au S 7r. Donner la valeur 
numérique

6
de]

.\',maX'
3 Etude énergétique

On précise ici quelques--unes des propriétés énergétiques du circuit 
magnétique. La tension
appliquée au primaire du transformateur est sinusoïdale : i) p ( t) = V}, «5 
cos(oet).

Cl 16 -- Expliquer pourquoi le flux (p dans le circuit magnétique est lui aussi 
sinusoïdal.

D 17 -- Le transformateur est refermé sur une charge résistive. Que peut-on 
dire, dans ces

conditions, sur le courant secondaire i_,'? Le courant primaire est-il 
sinusoi'dal ?

D 18 -- Donner l'expression générale de la puissance instantanée absorbée par 
le transfor-
mateur. Montrer que la valeur moyenne de la puissance fournie ne fait 
intervenir que
l'harmonique d'ordre 1, appelée fondamentale, du courant primaire.

CI 19 -- Le circuit secondaire du transformateur est ouvert. Il n'y a ni perte 
par hystérésis ni
perte joule, ni perte par courant de Foucault. Quelle est dans ce cas la 
puissance absorbée par
le transformateur '? Quel est le déphasage entre la tension primaire et 
l'harmonique ] du cou-

rant primaire '?

D 20 -- Une caractéristique b(h) du milieu magnéti--

que est représentée ci--contre, en unités relatives.
Préciser les notions de champ coercitif et
d'aimantation rémanente. Quel est l'ordre de
grandeur de la valeur minimale du champ coercitif
dans un matériau dit dur ? Faut--il, pour un
transformateur, préférer un fer dur ou un fer mou ?
Pour quelle raison ?

Remarque : le cycle ci-dessus est représenté par B: p0[,u,H i a(HÎ, -- H Z)], 
avec u, = 1000.

Mesure du rendement

On considère désormais que les pertes énergétiques ne sont plus négligeables, 
c'est--à-dire

que l'on tient compte des pertes fer et des pertes joule. La puissance nominale 
du transfor-
mateur est de 2,2 kVA.

. Essai & vide .' le secondaire est ouvert

On applique au primaire du transformateur sa tension nominale V,, = 230 V. La 
valeur effi--
cace du courant appelé au primaire est I}) =] A ; la puissance mesurée est R0 = 
80 W.

E] 21 ---- A quoi correspond cette puissance fournie au transformateur ? Quel 
est le déphasage
entre l'harmonique l du courant primaire et la tension appliquée au primaire ?

0 Essai en court--circuit : le secondaire est en court-circuit

On applique au primaire une tension VI,". (tension primaire de court--circuit) 
telle que le cou-

rant secondaire [... soit égal à la valeur nominale du courant que peut débiter 
le transfor-

mateur. Dans ces conditions, la tension au primaire est nettement plus faible 
que la tension
nominale de fonctionnement. La puissance fournie au primaire est P.... = 75 W.

D 22 -- A quoi correspond cette puissance fournie au primaire du transformateur 
?
0 Essai sur charge résistive

D 23 ---- Dans les conditions nominales de fonctionnement, on fournit à la 
charge une puis-
sance P, = 2 kW. Déduire de l'ensemble des résultats précédents le rendement du 
transfor--

mateur dans les conditions de l'essai réalisé.

Voir page suivante les tableaux de valeurs numériques.

Notations et valeurs numériques pour la partie 1

Longueur commune de la ligne de champ moyenne dans les tronçons 1 et 3.

Section commune des tronçons 1 et 3.

Champ magnétique commun aux sections 1 et 3. Variable
Excitation magnétique commune aux sections 1 et 3. Variable

Nombre de spires de l'enroulement primaire. N ,) = 1000

Intensité du courant dans l'enroulement primaire (secondaire).
5 Longueur commune de la ligne de champ moyenne dans les tronçons 2 et 4. = 13 
cm

Ê2

Notations et valeurs numériques pour la partie 2

@... = ... """ Wb
Section du circuit magnétique S1 = 43,6 cm2

Valeur efficace de la tension d'alimentation du primaire V,, = 230 V
Fréquence de la tension d'alimentation ; on pose &) = 271f . f = 50 Hz

Nombre de spires de l'enroulement primaire. N ,) = 188

Intensité du courant dans l'enroulement primaire (secondaire).
Nombre de spires de l'enroulement secondaire.

Fin du problème

"
l\.)

'
l\)

2
2

Fin de l'épreuve

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Mines Physique 1 PSI 2005 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Vincent Langlois (ENS Lyon) ; il a été relu par 
Julien
Tailleur (ENS Cachan) et Jean-Julien Fleck (ENS Ulm).

Cette épreuve porte sur les aspects magnétiques, électrocinétiques et 
énergétiques
d'un transformateur :
· dans la première partie, on étudie dans un cas très général le comportement
d'un circuit magnétique de transformateur en se fondant sur les propriétés des
matériaux ferromagnétiques ;
· la caractéristique du noyau magnétique est ensuite simplifiée dans la deuxième
partie, où l'on s'intéresse à un montage complet comportant un transformateur
idéalisé et un redresseur ;
· enfin, dans la troisième partie, on aborde les aspects énergétiques du 
transformateur : conversion de puissance, étude de rendement en présence de 
pertes fer
et pertes Joule.
Le sujet n'est pas très long et les trois parties sont largement indépendantes.
Il fait appel à des résultats simples de l'électromagnétisme dans les milieux 
ferromagnétiques, ainsi qu'à l'électrocinétique, tout en traitant de notions à 
la limite
du programme, notamment la prise en compte des non-linéarités intervenant dans
le fonctionnement du transformateur. En revanche, il est dommage que l'énoncé ne
propose pas de réel objectif pour chaque partie : il n'y a pas vraiment de 
progression
au fil du sujet.
Ce problème est dans l'ensemble relativement abordable, mais comporte quelques
imprécisions ou ambiguïtés, ainsi que de petites erreurs d'énoncé qui peuvent 
déstabiliser le candidat. En particulier, la formulation du problème dans la 
deuxième
partie est très laconique et nécessite de bien connaître le cours sur les 
convertisseurs
électroniques.

Indications
2 Le schéma de l'énoncé ne donnant pas le sens d'enroulement des bobinages, il
faut en choisir un pour appliquer le théorème d'Ampère. De plus, pour obtenir
l'expression de , il faut que les deux enroulements soient de même sens.
3 C'est en fait la valeur numérique de b1 pour laquelle le tronçon 2 sature 
qu'il faut
chercher. Pour retrouver la dimension de R, utiliser le fait qu'un flux 
magnétique
est le produit d'une inductance par un courant.
5 La formule trouvée à la question 2 reste valable, mais l'expression de h1 a 
changé
en raison de la saturation des tronçons 1 et 3.
7 Il faut plutôt tracer la caractéristique pour || 6 8.10-3 Wb.
9 Le flux magnétique restant le même que celui de la question 8, la force 
magnétomotrice  est également inchangée.
12 Utiliser la loi de Faraday pour trouver a avant de calculer moy .
14 La moyenne temporelle de (t) est
moy

1
=
T

Z

T

(t) dt

0

Utilisez les expressions de (t) trouvées à la question 13 et scinder l'intégrale
suivant l'état (saturé ou non) du transformateur.
15 Montrer que la diode D1 est non-passante quand l'interrupteur commandé est
passant. Le courant is est donc celui délivré par le générateur de courant quand
T1 est fermé.
Un montage redresseur agit comme un convertisseur entre une source alternative
et une charge continue. Le générateur de courant doit donc être continu.
18 Développer ip en série de Fourier pour calculer la puissance moyenne. 
Utiliser
ensuite le fait que

Z T
T
cos(1 ) si k = 1
cos (t) cos (kt + k ) dt = 2

0
0 sinon

19 En l'absence de pertes, le transformateur doit restituer au secondaire toute 
la
puissance moyenne absorbée par le primaire.
22 La tension fournie au primaire étant très faible devant sa valeur nominale, 
le flux
magnétique et le courant primaire sont négligeables.

1. Étude d'un circuit magnétique
1 La conservation du flux magnétique entre les tronçons 1 et 2 se traduit par
ZZ
ZZ
 -
-

 -
-

1 =
B · d S 1 = 2 =
B · dS 2
On peut tracer une des lignes de champ dans le circuit
magnétique, sachant qu'elles sont supposées être parfaitement canalisées par 
celui-ci. Avec les conventions d'orientation du schéma,
ZZ
 -
-

1 =
B · dS 1
Comme le champ magnétique est supposé uniforme dans
chaque segment du circuit, dans le tronçon 1 on a

-

B =b -
n

-

n
2
S2
-

n
1

S1
-

B

1 1

Et par conséquent

1 = b1

-
-
 · d
n
S 1 = b1 S1
1

ZZ

En faisant de même pour le flux à travers le tronçon 2, on obtient finalement
b1 S1 = b2 S2
2 Dans un milieu magnétique, le théorème d'Ampère relie la circulation du champ

-
excitation magnétique H au courant enlacé :
I

 -
-
H · d = I enlacé
Le sens d'enroulement des bobinages n'est pas indiqué par l'énoncé ! Il est par
conséquent impossible d'appliquer rigoureusement le théorème d'Ampère.
Pire encore, si le sens d'enroulement n'est pas le même sur les deux bobines,
on ne peut pas trouver la relation demandée. Il faut donc faire soi-même une
hypothèse sur l'orientation. L'incertitude sur le signe n'aura cependant pas
de conséquence sur la suite puisque la caractéristique b(h) du matériau est
symétrique.

-
On calcule la circulation de H sur la courbe C orientée dans le sens 
trigonométrique
et on suppose que les bobines sont enroulées dans le même sens, comme l'indique 
la
figure suivante. Les tronçons étant identiques deux à deux, on a h3 = h1 et h4 
= h2 .
L'intensité enlacée par la courbe C est alors
I enlacé = Np ip - Ns is = 
-

d
ip

C
is
C

-
Le champ H est partout parallèle à l'élément de lon
-
gueur d définissant la courbe C et, avec la convention
choisie, orienté dans le même sens. Par conséquent, le
théorème d'Ampère se traduit par
I

 -
-
H · d = 21 h1 + 22 h2 + 4ehe = 
C

3 D'après le résultat de la question 1, le champ magnétique dans le tronçon 2 
est
b2 = b1 S1 /S2 < b1 (car S1 < S2 ). Ce matériau commence donc à saturer quand
S1
= Bsat
b1
S2
(2)

soit

b1 = Bsat =

S2
Bsat = 1,5 T
S1

L'énoncé n'est pas très clair quand il mentionne la valeur de « b » : en
effet, celle-ci n'est pas uniforme dans le circuit magnétique. Ainsi, le champ
magnétique dans le tronçon 2 quand celui-ci sature est bien sûr b2 = Bsat .
Il faut alors comprendre que la question porte sur le champ imposé par la
tension primaire, c'est-à-dire b1 .
Les valeurs numériques données par l'énoncé manquent de cohérence,
comme souvent, quant au nombre de chiffres significatifs. La plupart des
données en comportent deux, mais certaines applications numériques fournies par 
l'énoncé en ont trois ou un seul ! Pour les applications numériques
demandées, nous en donnerons deux, sauf mention contraire.
Le rapport A = Bsat /Hsat est le coefficient de proportionnalité entre le champ
magnétique B et l'excitation magnétique H en régime linéaire. Ainsi, par 
définition
A est la perméabilité magnétique du matériau.
(1)

4 Si 0 6 b 6 Bsat , aucun des tronçons n'est saturé. On peut donc écrire
b1 = Ah1
et
b2 = Ah2
De plus, on a dans l'entrefer, c'est-à-dire dans l'air, be = µ0 he . La formule 
de la
question 2 devient alors
22 b2
4e be
21 b1
=
+
+
A
A
µ0
Or, par définition, b1 = /S1 . D'après la question 1, on a aussi, d'une part, 
be = b1 ,
et d'autre part
S1

b2 = b1
=
S2
S2

1
2
2e
 = 2
+
+
D'où finalement
AS1
AS2
µ0 S1
Par conséquent, la réluctance équivalente du circuit peut s'écrire
21
22
4e
R=
+
+
AS1
AS2
µ0 S1
Sachant que  = Np ip - Ns is est un courant et que  = R, la dimension de la
réluctance est
I
[R] =
[]
Or on sait qu'une inductance est homogène à un flux divisé par un courant, ainsi
 
1
[R] =
L
La réluctance magnétique a bien la dimension de l'inverse d'une inductance : 
c'est
pourquoi elle s'exprime en H-1 .
Application numérique :

R = 1, 37.105 H-1