Mines Physique 1 PSI 2003

Thème de l'épreuve Étude optique et thermodynamique de la surface de la Lune
Principaux outils utilisés optique, conduction thermique, ondes électromagnétiques
Mots clefs atmosphère de la Lune, température, plasma

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Rapport du jury

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES,
ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURS DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE
DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TELECOMMUNICATIONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE
ECOLE POLYTECHNIQUE (FILIERE TSI)

CONCOURS D'ADMISSION
PREMIÈRE ÉPREUVE DE PHYSIQUE

Filière PSI
(Durée de l'épreuve : 3 heures ; l'usage de la calculatrice est autorisé)
Sujet mis à disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, INT, 
TPE-EIVP

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page 
de la copie :
Physique 1 --- Filière PSI
L'énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière PSI, 
comporte 6 pages.

- Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une 
erreur d'énoncé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il est
amené à prendre.

0 Il ne faudra pas hésiter à formuler tout commentaire qui vous semblera 
pertinent, même lors--
que l'énoncé ne le demande pas explicitement. Le barème tiendra compte de ces 
initiatives ainsi que
des qualités de rédaction de la copie.

La surface de la Lune

On se propose d'étudier quelques aspects de la surface lunaire : la température 
de surface,
le sol et l'atmosphère. Les diverses parties sont indépendantes entre elles.

.J Important : on trouvera en page 6 un ensemble de données relatives à ce 
problème ;
ces données complètent (ou, à l'occasion, répètent) celles de l'énoncé. 
Quelques-unes
de ces données pourront servir plusieurs fois ; d'autres n'ont de valeur
qu'informative. Quand l'énoncé ne les indique pas, il appartient aux candidats 
de
repérer et d'utiliser les données utiles pour la résolution de certaines 
questions.

.J Les questions numérotées avec un astérisque (par exemple Ü 1*) sont de type
essentiellement qualitatif ; elles demandent peu de calculs, voire pas du tout.

I Détermination expérimentale de la température lunaire

_A Mesures

On effectue cette détermination à l'aide d'un télescope à

a miroir sphérique de rayon R, de diamètre d'ouverture a,
0 : & situé dans un site astronomique privilégié ou en orbite, ter--

0
0

: """ restre ou lunaire. Ce télescope concentre l'image d'une par-
: ' tie de la surface lunaire sur un détecteur qui produit une ten--
,» R sion proportionnelle à la puissance lumineuse à laquelle il
; Fig. ! éleSCOPEUR est exposé. Ce détecteur est supposé ponctuel.

0
0

Deux mesures sont effectuées, la première avec un filtre qui

absorbe l'infra rouge, et la seconde sans filtre. La différence entre les deux 
mesures per-
met d'estimer la température superficielle de la région lunaire étudiée.

Cl 1* -- Expliquer en quoi le site astronomique où est situé le télescope doit 
être
« privilégié », ou pourquoi ce dernier est placé dans un satellite.

D 2* -- Où doit--on placer le détecteur ?

D 3*-- Admettons ceci: la puissance lumi-
neuse émise à la température T par un objet en
équilibre thermodynamique est maximale pour

la longueur d'onde Àm(T), qui dépend de la

température comme représenté en Fig. 2. Justi-
fier la nécessité de refroidir les télesc0pes ter-
restres (par exemple à la température de
l'azote liquide, soit environ 77 K) '?

D 4* ---- Le diamètre d'ouverture, a, des
télescopes observant la surface lunaire est de
Fig- 2 -' MÙXÎmum d'émÏS--çÏ0" l'ordre du mètre. Estimer la résolution de la
mesure effectuée depuis un télescope terrestre

ou en orbite terrestre. On rappelle que la résolution angulaire d'un télescope 
correspond

À

au rayon angulaire de la tâche d'Airy, soit 1,22--.
a

Interprétation des résultats

Les températures maximales du sol lunaire sont d'environ 120°C et les 
températures
minimales, lors de la nuit lunaire, d'environ -- 200 °C. On attribue cette 
grande variation

à la durée de la nuit lunaire et à l'absence d'atmosphère lunaire.
D 5 -- Déterminer la durée d'une nuit lunaire.

Ü 6 -- Décrivez sur un schéma les zones de pénombre et d'ombre relativement au 
Soleil
et à la Terre, lorsque la Terre éclipse le Soleil. Evaluer les durées 
respectives de pénombre
et d'ombre.

Cl 7 * -- Des mesures sont effectuées
lors d'une éclipse totale ; l'allure des
Température résultats est représentée dans la fig. 3.
On en rend compte par un modèle à

50 C{ deux couches pour la croûte lunaire :
00 Cl-- une couche supérieure, pulvérulente,

0 É très fine (épaisseur de l'ordre du milli-

-- 50 cf mètre), de densité faible et de conduc-

_ 1000 CÊ_ , . î tivité thermique très faible, et une cou-
'__<___7__--_äi Ombre ' : tem 3 che inférieure plus compacte de pro-
Pénombre priétés physiques proches de celles de

la roche ordinaire (silicates). Justifier

l'accord qualitatif entre la courbe et le

Fig. 3 ; cycle de température lunaire '
modele.

II Le sol lunaire

Modélisations

Le sol lunaire est bombardé et réduit en poussière par les météorites et le 
vent solaire,
constitué essentiellement de protons et d'électrons. La composition du sol 
lunaire est
proche de celle des silicates, dont quelques caractéristiques physiques sont 
indiquées page
6. La couche supérieure, très fine, peut être représentée par un empilement 
compact de

sphères de silicates, de rayon Rsu et de température uniforme (Fig. 4). Le 
contact entre
les sphères est supposé ponctuel. On note c la distance verticale minimale 
entre deux

2R
sphères en positions semblables c=2 RSll zl, 633 R511- Dans une telle structure 
com-

/_\ <:
E] 9* -- L'empilement précédent

Fig. 4 : Le \plan inférieur de ! 'empilement compact est est maintenant 
modélisé par un
constitué de sphères dont les centres sont notés A. Une ensemble de plans 
parallèles opa-

couche identique de sphères, dont les centres sont à ! 'à--pic
des points de type B, est superposée à ce plan. Les centres
des sphères de la troisième couche sont en sites de type A,
et ainsi de suite (empilement de type ABAB )....

pacte, le volume occupé par les
sphères est de l'ordre de 74 % du
volume de l'empilement...

Cl 8* -- Justifier qu'avec un tel
modèle les échanges thermiques
entre les sphères doivent se faire
par un autre processus que la
conduction ou la convexion.

\ /

ques, placés dans le vide, séparés
par la distance c/2. Que pensez-
vous de ce modèle '?

Cl 10 -- On peut caractériser un
tel milieu par un coefficient de conductivité thermique dépendant de la 
température de la

forme À(T) : aT', avec 01 =1,55><10_6 SI. Comparer l'ordre de grandeur de À(Î) 
obtenu

avec ce modèle à la valeur expérimentale de la conductivité des silicates à la 
température
ambiante : Ksu zl,ll W.K"'.mf

D 11 -- Comparer la densité d et la capacité calorifique massique c de la 
couche supé-
rieure avec ds,.[ et cs".

Cl 12* -- Il est généralement admis que ce sont les couches les plus profondes 
qui ont les
caractéristiques physiques les plus voisines de celles des modèles ci-dessus. 
Pourquoi '?

Influence de l'impact des météorites

On admet que les météorites heurtant la surface lunaire ont même composition 
que le sol
lunaire. On rappelle que le référentiel de Copernic, ou référentiel 
héliocentrique, est lié au
centre de masse du système solaire et que ses axes pointent vers des étoiles 
réputées fixes.
Le référentiel de Copernic est supposé galiléen.

[] 13 -- Vérifier que la vitesse d'impact d'une météorite frappant la surface 
lunaire et de
vitesse négligeable dans le référentiel de Copernic est de l'ordre de 3 ><1O4 
m.s_1

D 14 -- Montrer que l'impact d'une météorite de masse rn1 peut dégager une 
énergie

suffisante pour porter à l'état liquide une masse m2 de la surface de la Lune. 
Déterminer
puis calculer le rapport m2/ml.

Cl 15* -- La solidification du matériau en fusion n'est pas sans effet sur la 
nature des
transferts thermiques ultérieurs. Vers quelle valeur se rapproche alors la 
conductivité
thermique calculée précédemment?

III Atmosphère lunaire.

Absence d'atmosphère gazeuse

Un gaz parfait, possédant par unité de volume 11 molécules de masse m, exerce 
sur une
surface une pression P. Les molécules de ce gaz sont homocinétiques, 
c'est-à-dire de vec-

teur vitesse v de norme v constante, mais d'orientation aléatoire. Les 
molécules de gaz

. , . , . . 1
subissent des chocs elast1ques sur la surface. Il s'en dedu1t l'expressmn P : 
înmvz.

D 16 -- L'atmosphère lunaire est majoritairement composée d'atomes d'argon, 
libéré
lors des réactions nucléaires au sein des roches lunaires. Sachant que la masse 
molaire M
de ce gaz vaut 40 g, et en utilisant l'équation des gaz parfaits, calculer U 
pour

T=300 K.

Cl 17 -- On note 01 la vitesse de libération lunaire; c'est la vitesse minimale 
d'un objet

pouvant échapper à l'attraction gravitationnelle lunaire. Exprimer puis 
calculer la vitesse
de libération lunaire. En déduire qu'une atmosphère lunaire ne saurait 
subsister.

Étude d'une atmosphère « ionique ». Méthode de l'occultation

Radiosource ÊÎË On suit depuis un radiotélescope terrestre le rayonnement
émis par une radiosource monochromatique lointaine, sup-
posée immobile par rapport à la Terre, et située dans le
plan de l'orbite lunaire. Cette source peut être occultée
provisoirement par la Lune (Fig. 5). La durée mesurée de
l'occultation est supérieure à la valeur attendue pour une

Terre /. TrGÏe/f'0ire Lune qui ne possèderait pas d'atmosphère. L'écart At entre
\.../ / ces deux valeurs vaut 24 secondes. En l'absence

d'atmosphère gazeuse, on examine ici l'hypothèse d'une
atmosphère dite ionique, quoique constituée essentielle-
ment d'électrons. La figure 6 représente le détail d'une

déviation, notée D dans la figure 5.

Fig. 5 : Déviation d'un rayon
lumineux près de l'occultation

La courbure du rayon lumineux est attribuée à une variation continue de 
l'indice n avec
l'altitude ; cette variation d'indice, à son tour, est due à une variation de 
la concentration
électronique de l'atmosphère avec l'altitude. On note nL la valeur de l'indice 
à la surface

de la Lune pour la fréquence d'émission de la radiosource et i l'angle de la 
tangente au
rayon avec la verticale locale. On ne tient pas compte de la courbure du sol 
lunaire et

l'on suppose que, en tout point du rayon, le produit nsin(i)est constant. On 
note io
l'angle d'incidence du rayon non dévié (Fig. 6).

Cl 18* -- Justifier, en considérant la courbure du rayon lumi--
neux, que la variation de l'indice avec l'altitude a bien le sens
indiqué dans la figure 6. Quelle est, en admettant (comme
\\:l / Surface. indiqué Fig. 6) que le rayon rase la surface lunaire, la 
relation

â
% lunaire entre sin(i0) et nL '? Quel phénomène terrestre vous suggère

io

? grad(n)

. . . , . . cette déviation lumineuse due à un radient d'indice ?
F tg. 6 Detail de la devzaizon g

E] 19 ---- Soit PTL z27,25 jours la période de révolution de la

. . , . . At 2D
Lune dans son mouvement c1rcula1re autour de la Terre. Etabhr la relat10n --=

PTL î?
Quelle est la signification de l'angle 6 défini par 9 : 2D ? Calculer sa valeur 
numérique.
7r , . . . , D2
---- 10 et _]UStlflêl' la relat10n approchee nL zl------.

2

Cl 20 -- Établir la relation D = 2( 8

Cl 21 -- Dans le domaine hertzien, l'indice d'une atmosphère ionique, constituée
d'électrons de charge (---e), de masse m et de concentration ne suffisamment 
faible

2
7 r - cop \ - - . , , . . \ 2 "662
s ecr1t n(w) = 1-- --2--, ou 80 est la perm1tt1v1te electrique du v1de et ou a) 
=

a) " 17280

est

le carré de la pulsation de plasma. Déterminer la valeur numérique de la 
pulsation de
plasma pour la Lune, sachant que la fréquence de la radiosource est f = 0,5 GHz.

CI 22 -- Pour la Terre, (wp)Î= 5,65><107 rad.s"1 et (ne)7=1012 m_3. Déterminer 
la

densité volumique (ne)L de l'atmosphère lunaire. On a coutume d'assimiler ces 
électrons
à un gaz parfait ; est-ce légitime ?

D 23* -- Comparer la durée de l'occultation dans le domaine du visible et dans 
le
domaine des ondes radio. Pourquoi utilise-t-on préférentiellement le domaine 
radio pour
étudier l'atmosphère lunaire ?

D 24* -- La relation admise à la question 21 montre que l'indice est inférieur 
à 1. Si l'on

def1n1t la v1tesse du rayonnement de la radlosource dans ce m111eu par V(w)= ( 
) on
n co

obtient une vitesse supérieure à 0. Que représente V en réalité ?

' . . . Cl) Cl)
Cl 25 -- A partir de la défin1t10n de la norme du vecteur d'onde k(w)= n( ) et 
de
c
a)2
l'expression, admise plus haut, n2(a))= l---äâ--, établir l'expression de la 
vitesse de groupe

Vg(a)) dans ce milieu, en fonction uniquement de c et de n(oe). Trouver le 
lien, très

simple, entre V(w) et Vg (cu) ; conclure.

Fin du problème

Données numériques

Soleil

. Rayon RS = 7><105 km
. Température de surface T5 =5800 K

. Rayon terrestre RT z6,38><103 km
. Distance Terre-Soleil DST z1,5><108 km

0 Masse terrestre MT =6><1024 kg
0 Période du mouvement circulaire autour du Soleil PST z 365,25 jours

- Rayon lunaire RL = 1740 km
0 Masse lunaire ML = 7,4 >< 1022 kg

- Distance Terre-Lune DLT : 3,84><105 km
0 Période du mouvement circulaire autour de la Terre PTL z27,25 jours (en 
restant

dans le plan de l'orbite terrestre)
. Période de rotation propre de la Lune PL =PTL z27,25 jours. La Lune présente

ainsi toujours la même face à la Terre.
Silicates

. Densité d5u 22,51
. Conductivité thermique Ksn =1,11 W.K_l.m_1

. Chaleur spécifique CSile : 860 J.kg_l.K"1
. Ordre de grandeur du rayon Rsu z100 um

. Température de fusion du silicate ]} = 1500 K
. Chaleur latente de fusion L/ = 130 kJ.kg_1

Constantes physiques

. Célérité de la lumière dans le vide c : 3><108 m.s'1

. Constante de la gravitation G z6,67><10'11m3.kg°1.s'2

- Constante de Planck h z6,63><10'34 J.s (ñ= {£- z10'34 1.5)
71"

. Constante de Boltzmann kB z1,38><10"23 ].K'1

- Charge électrique élémentaire e = 1,6>< 10'19 C

0 Masse de l'électron me z9,11><10°31 kg

0 Nombre d'Avogadro N =6,02x1023

o Permittivité du vide 80 z 8,85X10"12 F.m"1

. Constante des gaz parfaits R= NkB : 8,311 .mol_1 .K--1

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Mines Physique 1 PSI 2003 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Benoît Lobry (Professeur en CPGE) ; il a été relu par
Vincent Langlois (ENS Lyon) et Stéphane Ravier (ENS Lyon).

Ce problème aborde différents aspects de la physique lunaire. Il est court et 
demande assez peu de développements calculatoires. De très nombreuses questions 
qualitatives font appel au sens physique attendu des candidats de la filière 
PSI.
· La première partie est essentiellement qualitative. Elle repose sur des 
considérations d'optique géométrique et ondulatoire élémentaires.
· Dans la deuxième partie, on envisage le comportement thermodynamique du
sol lunaire. Là encore, des questions qualitatives nécessitent une bonne 
compréhension physique des phénomènes mis en jeu.
· Enfin, la troisième aborde différents aspects de l'atmosphère lunaire. On y 
explique l'absence d'atmosphère gazeuse en s'appuyant sur le calcul de la 
vitesse
de libération lunaire. Puis, on caractérise l'atmosphère ionique grâce à son 
indice et à la déviation de rayons d'une radiosource lointaine.
La formulation des questions qui, sans être difficile, est parfois laconique, 
demande
une bonne maîtrise du cours et un certain recul de la part du candidat. Cela en 
fait
un bon problème de révision.

Indications
Première partie
2 Considérer que la lumière lunaire provient de l'infini.
5 Envisager le milieu de la nuit lunaire sur la face cachée quand le Soleil, la 
Terre et
la Lune sont alignés. Faire un schéma représentant deux alignements consécutifs
en prenant en compte la rotation de la Terre autour du Soleil et évaluer la 
période
qui les sépare pour en déduire la durée du « jour » lunaire.
6 Tracer sur un schéma les quatre rayons qui sont tangents à la fois à la Terre 
et
au Soleil afin d'y repérer les zones de pleine lumière, de pénombre et d'ombre.

Deuxième partie
9 Justifier que le modèle surévalue les transferts thermiques par rayonnement.
13 Décomposer le mouvement de la surface lunaire dans le référentiel de Copernic
en trois sous-mouvements et évaluer les vitesses associées.
14 Appliquer Ec + U = Wext + Q au système {Lune + météorite}, supposé isolé
pendant l'impact, avec U = H dans le vide. Supposer que la Lune est beaucoup
plus massive que la météorite et que la température initiale du sol lunaire est
T = 300 K comme à la question 16.

Troisième partie
17 Pour calculer v1 , considérer que l'objet s'échappe dès que Em > 0. Comparer 
v1
à v sans oublier la signification statistique de v.
18 Utiliser l'invariance de n sin i entre le vide avant l'entrée dans 
l'atmosphère et la
surface lunaire.
19 Représenter la position de la Lune sur sa trajectoire quand débute 
l'occultation
en un point M de la Terre, sans et avec atmosphère lunaire.
20 Justifier la symétrie du trajet afin de retrouver i0 sur la figure 6.
21 Avec les questions 19 et 20, évaluer l'indice lunaire nL qui correspond à la 
radiosource de fréquence f .
22 Donner un ordre de grandeur de l'énergie potentielle d'interaction 
coulombienne
pour une distance r  ne-1/3 entre deux électrons, puis la comparer à l'énergie
cinétique d'un électron dans le modèle du gaz parfait.
25 Calculer k() puis utiliser la formule
Vg () =

1
dk
()
d

I. Détermination expérimentale
de la température lunaire
1 D'une part, l'absorption et les turbulences atmosphériques dégradent la 
qualité
de l'image obtenue par un télescope terrestre. D'autre part, l'astronomie 
terrestre
est tributaire de l'absence de couverture nuageuse et de lumières parasites. Un 
site
astronomique « privilégié » répond à ces contraintes. Il est typiquement isolé, 
en
altitude et sous un climat sec. Dans un satellite, on s'affranchit de ces 
limitations.
2 La distance entre l'objet et le télescope est ici très grande devant la 
distance
focale du miroir, on peut donc considérer que la lumière lunaire provient de 
l'infini.
Si elle arrive parallèlement à l'axe optique, on doit placer le détecteur au 
foyer image
F du miroir sphérique, c'est-à-dire au milieu du segment [OC].
3 Pour un télescope qui fonctionne dans le domaine visible et dans le proche 
infrarouge aux longueurs d'onde inférieures à 10 µm, le refroidissement permet 
de dissocier
la lumière observée et le rayonnement thermique parasite, émis par le télescope 
à une
longueur d'onde de 40 µm pour T aux environs de 77 K.
4 Si la résolution angulaire est , alors, avec une distance DLT entre le 
télescope
et la surface lunaire et   0, 6 µm dans le visible, la résolution x est
x = DLT 

soit

x = 1, 22

 DLT
 300 m
a

En pratique, à cause de la diffraction ou de la turbulence atmosphérique,
l'image d'une source ponctuelle n'est jamais ponctuelle. La résolution est
la distance minimale (ou le plus petit angle) devant séparer deux sources
ponctuelles pour que leurs images soient résolues, c'est-à-dire séparées.
5 La Lune présente toujours la même face à
la Terre. Le milieu de la nuit lunaire au centre
de la face cachée correspond à l'alignement de la
Lune avec la Terre et le Soleil comme sur la position  du schéma. Pour 
atteindre l'alignement
 suivant, la Lune doit effectuer une rotation
complète autour de la Terre à laquelle s'ajoute
l'angle  dû à la rotation de la Terre autour du
Soleil pendant le même temps. Si P est la période qui sépare ces deux 
alignements, alors
P = (2 + )

PTL
2

où  = P

2
PST

S

T
T
L

La durée Pn de la nuit lunaire est la moitié de P, soit
Pn =

PST PTL
= 14, 7 jours
2 (PST - PTL )

L

6 Considérons les quatre rayons lumi
neux tangents sur le schéma ci-contre.
L

Ils délimitent trois zones. La zone  est
accessible à tous les rayons solaires, c'est
S
T

la zone de pleine lumière. La zone  n'est

atteinte par aucun rayon solaire, c'est le

cône d'ombre. Enfin, seule une partie des
rayons solaires parvient dans la zone ,
d
DST
c'est la zone de pénombre.
Comme DST est très supérieure à RS et à RT , l'ouverture angulaire  de la zone
de pénombre peut être évaluée par
2RS
=
= 9, 3.10-3 rad
DST
et la durée Pp de la pénombre, par
PTL
Pp = 2
soit
Pp = 1, 9 heure
2
La zone de pénombre est traversée en deux étapes,  est donc doublé.
L'ouverture  du cône d'ombre vérifie

RT
RS

tan =
=

2
d
d + DST
2
RT DST
d'où
d=
= 1, 4.106 km
et
 = 9, 2.10-3 rad
RS - RT
Cela permet d'évaluer la longueur  de l'orbite lunaire dans le cône d'ombre à
 = (d - DLT ) et la durée P0 de l'ombre par

2DLT
=
soit
P0 = 2, 5 heures
P0
PTL
On peut faire ici trois remarques :
· Puisque DLT < d, la Lune peut bien traverser le cône d'ombre.
· La schématisation du problème est ici volontairement simpliste car les
mouvements de la Lune et de la Terre ne sont pas coplanaires. La Lune
peut ne traverser que partiellement le cône d'ombre (éclipse partielle)
ou rester dans la zone de pénombre (éclipse de pénombre). Mais le plus
souvent, elle reste dans la zone de pleine lumière et on observe une
simple pleine lune sans éclipse.
· Au cours d'une éclipse totale, la Lune n'est pas vraiment sombre mais
apparaît rougeâtre. Il s'agit d'un éclairage indirect dû à la diffusion de
la lumière solaire par l'atmosphère terrestre.
7 En règle générale, il faut d'autant moins d'énergie pour augmenter la 
température d'un solide que celui-ci est moins dense. Ainsi, la faible densité 
de la couche
supérieure explique que sa température évolue rapidement dès que l'apport 
d'énergie
par rayonnement est modifié. La faible conductivité thermique de cette même 
couche
lui permet, quant à elle, d'isoler la couche inférieure vis-à-vis de ces 
variations de
l'apport d'énergie et explique la lenteur de la diminution de la température 
pendant
la période d'ombre.