Mines Physique 1 PSI 2002

Thème de l'épreuve Transition de phase et transition ordre-désordre
Principaux outils utilisés changements d'état, dérivations partielles et         principes thermodynamiques, probabilités sur réseau cristallin
Mots clefs équation de Van der Waals, point critique, transition de phase

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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J. 2160

ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES,
ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE
DE TECHNIQUES AVANCEES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY,

DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE
ECOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI)

CONCOURS D'ADMISSION 2002
PREMIÈRE ÉPREUVE DE PHYSIQUE
Filière PSI
(Durée de l'épreuve : 3 heures ; l'usage de la calculatrice est autorisé)

Sujet mis à disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, INT, 
TPE-EIVP

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page 
de la copie :

Physique I -- Filière PSI
L'én0nce' de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière PSI, 
comporte 7 pages.

0 Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une 
erreur d'énoncé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il est amené

à prendre.

0 Tout résultat fourni dans l'énoncé peut être utilisé pour les questions 
ultérieures, même S'il n'a
pas été démontré.

. Il ne faudra pas hésiter à formuler tout commentaire qui vous semblera 
pertinent, même lors--
que l'énoncé ne le demande pas explicitement. Le barème tiendra compte de ces 
initiatives ainsi que

des qualités de rédaction de la copie.

ASPECTS DES TRAN SITIONS

Les deux parties proposées dans cette épreuve sont indépendantes. La première 
partie étudie
l'équilibre d'un fluide décrit par l'équation de VAN DER WAALS et la transition 
d'état liquide-
vapeur. La transition ordre-désordre dans un alliage solide est étudiée en 
seconde partie grâce à la
notion de paramètre d'ordre.

1 - Forces et limites de l'équation d'état de Van der Waals.

À la différence de l'équation d'état des gaz parfaits, cette équation rend 
compte des transitions de
phase liquide-vapeur et de l'existence d'un point critique. Elle permet aussi 
de modéliser l'existence de
retards aux changements d'état. Néanmoins, et particulièrement au voisinage du 
point critique, il sub-
siste des écarts notables entre ses prévisions et l'expérience.

I--A L'équation de Van der Waals et les mesures au voisinage du point critique.

L'équation de Van der Waals relie la pression P, le volume V et la température 
Td'un
fluide en introduisant deux constantes a et b, positives et caractéristiques de 
ce fluide ; pour
une mole, et en notant R la constante des gaz parfaits :

[P+%)(V--b)=RT. [I]

Page 1/7 Tournez la page S.V.P.

Physique 1 -- Filière PSI - 2002

D 1 -- Etablir l'équation de Van der Waals pour n moles de fluide en utilisant 
des consi-
dérations sur le caractère intensif ou extensif des variables. Dans la suite, 
on raisonnera sur

une mole de fluide.

D 2 -- La constante b, nommée covolume, représente l'effet de la répulsion à 
courte
distance entre deux molécules. Dans le cas de molécules de faible atomicité, 
donner un ordre
de grandeur numérique raisonnable pour b en vous appuyant sur un modèle simple.

Cl 3 -- La figure ci-contre représente, en unités réduites,
l'énergie d'interaction Wentre deux molécules, en fonc-
tion de la distance r séparant leurs centres de masse. A

. --6

grande distance, W oc r . Commenter cette figure ; sau-
riez--vous nommer, voire décrire l'origine physique de
l'interaction à grande distance ? à très courte distance ?

E] 4 -- Quel effet représente la constante a ? Comment
justifier le signe positif de a '? Comment interpréter le fait que le terme 
correctif de la pres-
sion (la référence étant le gaz parfait) soit une fonction décroissante du 
volume '?

Cl 5 --L'isotherme critique est celle qui possède dans le diagramme (P, V) un 
point

critique, point d'inflexion de pente nulle. Déterminer en fonction des 
constantes a, b et R les
coordonnées P., V et T du point critique C. Justifier le fait que Van der Waals 
ait pu prévoir
les coordonnées du point critique de l'hélium (T-- -- 5,2 K, P." ---- 2, 275 >< 
105 Pa) en 1873, bien

avant que la technique ne permette d'atteindre de telles températures. 
Aurait-il été légitime
d'exiger a priori la relation RK = RTC ?

_ Ü 6--Commenter le diagramme ci-
contre, représentant trois isothermes du
fluide décrit par l'équation [l] pour les
températures 71 > TC, 73 = T. et 73 < TC.
La courbe en pointillés est le lieu des

points où (BP) -- '"O.

BV

Cl 7 -- Représenter dans un diagramme
analogue l'allure des isothermes pour un
fluide réel quand il ne se produit aucun
retard au changement d'état. Faire figurer sur ce dernier diagramme la courbe 
de saturation.

P V
[:| 8 ---- Quel est le facteur de compressibilité critiquez C-- "" RT prévu par 
l'équation de
Van der Waals '? On mesure en fait des coefficients z, compris entre 0,29 et 
0,31.
. ' , . P V T , .
Cl 9 -- Les var1ables redu1tes pr = P-- , vr = --- et 9, = ? permettent la 
representat1on

C C C

de tous les << fluides de Van der Waals >> par une équation unique, qui s'écrit 
:

oc6 }!

,.

Déterminer les valeurs de a, B et y (on trouvera que ce sont des nombres 
entiers).

Page 2/7

Physique 1 ---- Filière PSI - 2002

E] 10 -- Soient p la masse volumique du fluide et pc sa valeur au point 
critique. Intro-

p--a. P--R
t * :
p. e p P.

ligue 5, défini par la propriété suivante, que l'on établira :

duisant les écarts réduits p>i< : , trouver la valeur de l'exposant cri--

. . 5 ,
sur l'isotherme cr1t1que, pour lp*l << 1, p* z D| p*| , ou D est une constante.

Cl 11 -- La valeur expérimentale de 5 est ôexp = 4,80i 0,02 ; en quoi la 
différence

p -- 5l ren seigne-t-elle sur le modèle de Van der Waals '?

5

CX

[:| 12 -- Proposer un dispositif expérimental permettant de faire passer un 
échantillon de
fluide par un état trèsvoisin du point critique. Quel phénomène optique permet 
de repérer le
passage par le point critique '? Quelle en est l'origine ?

I-B Énergie interne, capacité calorifique molaire à volume constant et entropie 
d'un
gaz de Van der Waals.

Dans cette section, nous nous proposons de comparer un gaz de Van der Waals au 
gaz
parfait associé. L'énergie interne est notée U et l'entropie S.

E] 13 -- À partir de l'expression différentielle du deuxième principe de la 
thermodyna--
mique, établir l'équation de Helmholtz ci-dessous pour un fluide divariant :

ra -------------

5? ar

V

Cl 14 ---- En déduire, sous forme d'une intégrale portant sur le volume, la 
différence entre
l'énergie interne d'une mole de fluide et l'énergie interne d'une mole de gaz 
parfait pris tous
deux à la température T et dans le volume V.

Cl 15 -- Comment s'exprime cette différence dans le cas du gaz de Van der Waals 
?

Cl 16 -- Quel est le comportement d'un gaz de Van der Waals dans une détente de 
Joule--
Gay-Lussac ?

Cl 17 -- Comparer les capacités calorifiques molaires à volume constant des 
deux gaz.

El 18 -- En considérant la différentielle de l'énergie libre F = U -- TS , 
montrer que la

différence des énergies libres molaires du gaz de Van der Waals (VdW) et du gaz 
parfait
(GP) s'écrit

F@MÏJÜ--ÆJÏJÜ=a%--RTm[V;5}

Exprimer, dans la représentation (T,V) , l'équation d'une adiabatique 
réversible pour

une mole de gaz de Van der Waals.

I--C Isothermes pour T < T 6, états instables, états métastables et courbe 
spinodale.

On se propose d'établir le théorème de Maxwell qui permet de remplacer 
l'isotherme déduite de
l'équation de Van der Waals par une isotherme présentant un palier de 
changement d'état. ll s'agit
d'abord de trouver la pression à laquelle est observé le changement d'état à la 
température T, avec

T < Tc. On discutera ensuite de la signification des portions de l'isotherme 
initiale qui ont disparu.

Page 3/7 Tournez la page S.V.P.

Physique 1 -- Filière PSI -- 2002

Cl 19 -- En se référant au diagramme ci-dessous, donner sans démonstration la 
relation
liant les potentiels chimiques molaires (notés #) des deux phases : liquide au 
point A et

vapeur au point B. Établir la relation entre les aires hachurée de ce diagramme 
(ce résultat
constitue le théorème de Maxwell). On pourra, par exemple, partir de 
l'expression de la dif--

férentielle du potentiel chimique molaire dans la représentation (T,P) pour des 
grandeurs

molaires : du = ----Sd T + vd P , ou encore exprimer directement L P dv

Egg; Il

WJÆÏ'ÎÆ. .
lez/j ..».-
Ifi ""
l'...-IH
I-------?

O. 75 . 1.75 .

0.85

0.8

0.75

0.7

0.65

0.6

Cl 20 -- On admet que les états décrits par l'équation de Van der Waals et 
correspondant
à une valeur négative du coefficient de compressibilité isotherme sont des 
états thermody--
namiquement instables. Où ces états sont-ils représentés sur l'isotherme 
dessinée plus haut '?

Cl 21 -- Quelle est l'équation P= g(V) de la courbe dite spinodale, située sous 
la

courbe de saturation, qui sépare les états instables des autres états '?

';

Cl 22 -- Pour l'eau a = 0,545 m'ÏPa.mol 72 et b = 3,05><10_5 m' .mol_l. Jusqu'à 
quelle
pression maximale, exprimée en atmosphères, peut--on espérer comprimer de l'eau 
vapeur à
T = 1000 C sans observer la fom1ation de gouttes liquides (on prendra R = 8,31 
J.K--') '?

:::--E E] 23 -- Sous pression assez

-V=_' - faible, loin des conditions de

, _ liquéfaction et dans un domaine

'A. limité de température, on peut donner
prv,«=flvr )pour T= 1,1 Tc

àla relation P = f( V) d'une mole de
gaz réel la forme, dite du Viriel :

Equation du Viriel

-- Gaz deVan der Waals
... PV: RT , A BT( )

+....

.. _ - +-- +
Gaz parfait V

VJ

0 2 4 6 8 10 12

Indiquer, sans développer le calcul, sous quelle condition la relation approchée

86, l 27 1 l _
p,,v, = l+-- 1------ --+ 2 est valide pour le gaz de Van der Waals.
3 3 89 91)

,
Commenter cette relation (sens, ordres de grandeur...).

Fin de cette partie

Page 4/7

Physique 1 -- Filière PSI -- 2002

II - Étude de la transition ordre-désordre dans un alliage.

Cette partie de l'épreuve étudie quelques aspects thermodynamiques d'un 
phénomène décrit en
1934 par Bragg et Williams et observé en particulier sur le laiton, alliage de 
cuivre et de zinc.

Au-dessous d'une température
7: nommée température criti-

que, les atomes de cuivre et de
zinc ne sont plus distribués au
hasard sur les noeuds du réseau
cristallin, mais se séparent
progressivement, sur deux
réseaux qui s'interpénètrent.
Le cristal est alors dit
ordonné. Pour rendre compte
de ce phénomène, on traite le
problème simplifié d'un
alliage binaire constitué de
50 % d'atomes de type A et de
50 % d'atomes de type B, et
doté des propriétés suivantes :

. Le réseau cristallin com
porte un nombre extrê--
mement élevé de sites (et

que l'on pourra sans peine supposer pair). Ces N sites sont répartis en deux 
types notés

respectivement sites OL et sites B. Les N/2 sites OL sont les sommets d'un 
réseau cubique

simple. À basse température, ils sont occupés par les N/2 atomes de type A. Les 
N/2 sites
de type B, situés aux centres des cubes définis par les sites de type

0t, forment eux aussi un réseau cubique simple.

À basse température, ces sites sont occupés par les N/2 atomes de type B.

0 On néglige toute interaction entre un atome donné et les atomes qui ne sont 
pas ses plus

proches voisins. On néglige également tout effet de bord dans le cristal (N est 
très grand,
de l'ordre de 1024).

- L'énergie d'interaction entre deux atomes voisins de natures distinctes est 
notée VAB.
Pour deux atomes de même nature, on la note V,... ou VBB. On néglige toute 
contribution
à l'énergie liée au mouvement des particules.

On note pa la probabilité qu'un site 0t donné soit occupé par un atome de type 
A et ;)B la pro-

babilité qu'un site B donné soit occupé par un atome de type B. Dans un cristal 
désordonné,

..._ _1

pa -- ---- --2--, ce qui signifie que l'occupation des sites est aléatoire. 
Dans un cristal
() () . , 1 ]
ordonné, p£' : p£' : 1. Dans un cristal partiellement ordonné, 5 < pa < 1 et 5 
< {25 < 1.
/7 --z7'"'
La relation P= --Qî)ï-- = 2/70, -- 1 définit le paramètre d'ordre, P. Du milieu 
totalement
/7à '

Page 5/7 Tournez la page S.V.P.

Physique 1 -- Filière PSI - 2002

désordonné au milieu totalement ordonné, P croît évidemment de 0 à l : 0 S P S 
1.

CI 23 -- Exprimer en fonction du paramètre d'ordre P et du nombre total 
d'atomes N :

o le nombre NZ d'atomes A sur un site oc, . le nombre N,f d'atomes B sur un 
site B,

o le nombre NÎ d'atomes A sur un site B, o le nombre Ng d'atomes B sur un site 
oc.

Cl 24 -- Exprimer les nombres NAA, NB}, et N,... de liaisons AA, BB et AB 
obtenues dans
le cristal en fonction du paramètre d'ordre P et de N. Pour ce calcul, on 
remarquera qu'une
liaison AA, par exemple, nécessite un atome A en site oc et un atome A dans 
l'un des 8 sites

[3 voisins. Vérifier la relation NAA + NBB + NAB = nombre total de liaisons 
dans le cristal.

Cl 25 -- On pose % = VM + VBB + 2VAB et u1 = VAA + VBB -- 2VAB . Montrer que 
l'éner--
gie interne du cristal, notée U, peut s'écrire
U = Nuo-- NP2 u].

Quelle inégalité est satisfaite entre VAA, VBB et VAE, sachant que les atomes A 
occupent
tous les sites ce au zéro absolu '?

En contact avec un thermostat qui lui impose la température T, le cristal subit 
une évo-
lution à volume constant, au cours de laquelle les atomes se redistribuent sur 
les sites. Dans

ce qui suit, on étudie cette redistribution.

Cl 26 ---- Sachant que les atomes de même nature sont indiscernables et donc 
que toute
permutation entre eux ne change rien, exprimer, en fonction de P et de N, le 
nombre de

façons distinctes de placer N ? atomes A sur les N/2 sites oc ; exprimer de la 
même manière

le nombre de façons distinctes de placer N 35 atomes B sur les N/2 sites B.

Cl 27 -- Calculer le nombre de façons distinctes Q de placer un ensemble de N j 
atomes
A et N £ atomes B sur les N/2 sites B. On devrait trouver
Æ .
2 .

__ l%l

{(1+P)%} {(l--P)%Ï-]l {(l--P)%]l {(1+P)%]f

Cl 28 -- En déduire l'expression de l'entropie statistique du cristal S = k ln 
(Q) , où k est

la constante de Boltzmann. Simplifier cette expression en appliquant la formule 
de Stirling à
toutes les factorielles ; formule de Stirling : ln( M!) = M ln( M) -- M .

E] 29 -- Admettant l'identité entre l'entropie statistique et l'entropie 
thermodynamique,
établir l'équation vérifiée par le paramètre d'ordre P à l'équilibre 
thermodynamique. Cet état

. . . . . . 2u
rend minimale l'énergie libre F = U -- TS . On mtrodu1ra la température 
critique TL = T'
, , . T
et la temperature réduite 9 = -7-: .

C

Page 6/7

Physique 1 -- Filière PSI - 2002

Cl 30 ---- Pour cette question et les suivantes, on
pourra éventuellement utiliser la courbe ci-contre.

__.-- Montrer que, au voisinage de la température criti--

que, P<TC

1----x 3

l'équation en P établie à la question 28 n'a comme
solution que P = O.

T

Cl 31 -- Établir l'expression de P(9) : P(ï] à très basse température. Donner 
l'allure

C

deP(9) pour 0 S GS 1.

Cl 32 -- On suppose que le volume du cristal ne dépend pas de la température. 
Par défi--

3Ul BU ap

-- ---- (attention, P est

"a"rÜy " ap ar

nition de la chaleur spécifique à volume constant, CV =(

le paramètre d'ordre et non pas une pression !). Calculer --io @ dT ; exprimer 
le résultat en

fonction de N, k et TC.

Cl 33 -- Calculer la variation d'entropie qui accompagne la transition de phase 
à T = TL.

Cette transition de phase est-elle du premier ordre (associée à une chaleur 
latente non nulle)
ou du deuxième ordre (associée à une chaleur latente nulle) ?

Fin de cette partie

FIN DE L'ÉPREUVE

Page 7/7

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Mines Physique 1 PSI -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Jean-Julien Fleck (ENS Ulm) ; il a été relu par 
Jessica
Dubois (Centrale Paris), Jean-Yves Tinevez (ENS lyon) et Stéphane Ravier (ENS
Lyon).

Ce sujet est constitué de deux problèmes de thermodynamique indépendants.
Le premier problème porte sur l'équation de Van der Waals. Il se subdivise en
trois parties :
· La partie A introduit l'équation d'état de Van der Waals. Elle calcule 
notamment les coordonnées du point critique et souligne les limitations de la 
modélisation à son voisinage.
· La partie B est de loin la plus difficile. Elle démontre des propriétés 
générales
des quantités thermodynamiques, demande une bonne maîtrise des concepts de
dérivation partielle et établit des comparaisons non triviales entre gaz de Van
der Waals et gaz parfait.
· La dernière partie s'intéresse aux changements d'état modélisés par l'équation
de Van der Waals et notamment à la prédiction d'états métastables.
Le second problème (bien plus simple si l'on possède quelques rudiments de la
théorie des probabilités) traite d'une transition ordre-désordre sur un réseau. 
Il se
termine par la démonstration du fait qu'une telle transition est du deuxième 
ordre.
Ce n'est pas un énoncé facile à traiter le jour du concours. Bien que comportant
des questions de difficulté raisonnable (partie I.A, second problème), le coeur 
du sujet
(questions 13 à 19) est difficile d'accès.
Ce sujet nécessite des notions de probabilités sur les réseaux cristallins, une
connaissance des changements d'état et une bonne maîtrise des dérivations 
partielles
ainsi que des relations générales de la thermodynamique.

Indications

Partie I
4 L'attraction intermoléculaire freine l'expansion du gaz.
5 Les dérivées première et seconde de P par rapport à V doivent être nulles.
6 Faire le lien avec le point critique des diagrammes (P, T) de changements 
d'état.
10 Faire un développement de Taylor de la fonction pr = f c (vr ) au voisinage 
du
point critique en remarquant que les deux premières dérivées sont nécessairement
nulles.

U
13 Exprimer
en écrivant U en fonction de T et V puis supprimer le terme
V T

S
qui devrait apparaître en appliquant la commutation des dérivées parV T
tielles à l'expression de l'entropie en représentation (T, V).

U
14 Intégrer
entre V et V . Le comportement de gaz parfait se retrouve pour
V T
un fluide infiniment dilué.
16 La détente de Joule Gay-Lussac se fait à énergie interne constante.
17 Utiliser la définition de la capacité calorifique à volume constant

U
CV =
T V

F
18 Procéder de même qu'à la question 14 en intégrant
entre V et V .
V T
Exprimer la différentielle de l'entropie en représentation (T, V) et intégrer.
19 Trouver une expression formelle à chaque aire et montrer qu'elles sont 
égales en
utilisant l'enthalpie libre (ou les potentiels chimiques).
22 Trouver VC par résolution numérique.
Partie II
24 Veiller à ne pas compter deux fois les liaisons.
27 Une coquille s'est glissée dans l'énoncé : lire NA et non N
A.
31 Poser P = 1 -  avec   1.
33 Regarder l'expression de l'entropie statistique aux alentours de P = 0.

I.

I.A

Forces et limites de l'équation d'état de Van der Waals

L'équation d'état de Van der Waals et les mesures
au voisinage du point critique

1 Considérons n moles de fluide comprises dans un volume V, à une température T
et une pression P. V étant la seule variable extensive, une mole de ce fluide 
occupe
donc un volume V/n en restant à une température T et une pression P. 
L'application
de l'équation de Van der Waals à cette mole de fluide donne
!

a
V
P+
- b = RT
2
n
(V/n)
d'où

n2 a
P + 2 (V - n b) = n RT
V

2 Le covolume b correspond au volume occupé par les molécules dans un état de
compression maximale. Un modèle simple permettant d'en obtenir une estimation 
est
celui des sphères dures qui ne peuvent s'interpénétrer. On peut obtenir une 
valeur
minimale en considérant un fluide d'hydrogène atomique dont le rayon 
électronique

est donné par le rayon de Bohr atomique a0 = 0, 5 A. En notant NA = 6.1023 la
constante d'Avogadro, on obtient une estimation du covolume
3

b = NA (2 a0 ) = 6.10-7 m3 .mol-1

Pour obtenir un ordre de grandeur grossier et afin d'effectuer cette 
application numérique de tête, on a considéré que chaque atome occupait le
volume d'un carré de côté 2 a0 . De plus la question 22 donne la valeur de b
dans le cas de l'eau.
L'origine de cette répulsion provient du principe d'exclusion de Pauli
qui stipule que deux fermions (électrons, protons) ne peuvent se trouver
dans le même état quantique. La probabilité que deux atomes d'hydrogène
se trouvent au même endroit est donc nulle. En revanche, pour les bosons
(comme l'hélium IV) c'est possible. Il est même possible d'atteindre 
expérimentalement l'état de condensation de Bose-Einstein où tous les atomes
d'hélium se rassemblent de manière macroscopique dans l'état fondamental,
mais les températures requises pour une telle expérience sont de l'ordre du
nanoKelvin.
La répulsion électrostatique des nuages électroniques de chaque atome,
même si elle n'est pas fondamentalement à l'origine de la répulsion observée
à courte distance, aurait été une justification valide le jour du concours.
Le volume occupé par une mole de gaz parfait dans des conditions
usuelles de température et de pression (P = 1 atm et T = 293 K) est
Vm = 24 L. Par conséquent, l'approximation de gaz parfait dans ces conditions 
est parfaitement justifiée puisque l'on a b/Vm = 2, 5.10-5 .
Le domaine de validité de l'approximation de gaz parfait est très large.
Néanmoins cette approximation n'est plus valable pour le cas des transitions

gaz/liquide, que l'équation de Van der Waals peut, au contraire, décrire dans
une certaine mesure.
3 On observe sur le graphe un mur de potentiel à courte distance (r < 1 où 
l'énergie
potentielle est décroissante) rendant compte de la répulsion citée à la 
question précédente. En revanche, la forme (croissante) de l'énergie indique 
une force attractive
entre molécules distantes (r > 1). Le puits de potentiel aux alentours de r = 1 
donne
une distance d'équilibre entre deux molécules du gaz à très basse température 
alors
que la pente quasi-nulle en l'infini indique qu'il n'y a plus d'interaction à 
très longue
distance.
En effet, ce n'est que lorsque l'énergie cinétique moyenne des particules,
proportionnelle à la température, est faible par rapport à l'énergie de cohésion
du solide que cette distance d'équilibre revêt un sens physique à l'intérieur du
fluide. Pour une énergie mécanique totale négative (Ec < -Ep ), la particule
oscille autour de la position d'équilibre. Pour une énergie mécanique totale
positive, la particule n'est pas confinée sur la droite du graphe.
On remarque au passage que pour T = 0, on a V = b et les particules
sont situées à une distance req les unes des autres, renforçant le fait que
l'application numérique précédente donne une valeur minimale.
L'interaction à grande distance est nommée force de Van der Waals. Elle 
correspond à une interaction entre les moments dipolaires électriques de chaque 
molécule.
Il en existe de trois types :
· interaction dipôle permanent/dipôle permanent ou interaction de Keesom ;
· interaction dipôle permanent/dipôle induit ou interaction de Debye ;
· interaction dipôle induit/dipôle induit ou interaction de London.
L'interaction à courte distance est due au principe de Pauli appliqué aux 
molécules
du gaz.
Justifions rapidement le fait que l'énergie d'interaction correspondant à
une force de Van der Waals évolue en 1/r6 .

-
S'il existe à un instant donné un dipôle d1 sur une molécule, il crée un
-

champ électrique E1 dont l'amplitude décroît en 1/r3 .

-
Ce champ crée un dipôle d2 sur la molécule voisine, d'amplitude pro-

portionnelle à kE1 k.
-

Ce dipôle crée lui-même un champ E2 en 1/r3 qui est donc en 1/r6 par

-
rapport au premier dipôle d1 .
 -
-

Il ne reste plus qu'à écrire l'énergie d'interaction égale à -d1 · E2 qui
évolue donc en 1/r6 .
Cette démonstration n'est correcte que dans le cas des interactions de
London et Debye mais on peut montrer que l'interaction de Keesom a aussi
une énergie potentielle évoluant en 1/r6 .
4 La constante a représente l'effet des forces attractives de Van der Waals.
Pour un gaz parfait (sans interactions), on a