Mines Physique 1 PSI 2001

Thème de l'épreuve À propos de sismologie
Principaux outils utilisés mécanique, fonctions de transfert, induction, interférences

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


A 2001 PHYS. PSI - I

ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES,
ECOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L' AERONAUTIQUE ET DE L' ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS,
DES MINES DE PARIS, DES MTNES DE SAINT-ETIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE,
ECOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI)

CONCOURS D'ADMISSION 2001

PREMIÈRE ÉPREUVE DE PHYSIQUE

Filière PSI

(Durée de l'épreuve : 3 heures ; l'usage de la calculatrice est autorisé)

Sujet mis à disposition des concours : ENSTIM, INT, TPE - EIVP

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page 
de la copie :

PHYSIQUE I -- PSI

Cet énoncé comporte 6 pages de texte

0 Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une 
erreur d'énoncé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il est amené

à prendre.

. Tout résultat fourni dans l'énoncé peut être utilisé.

0 Il ne faudra pas hésiter à formuler tout commentaire qui vous semblera 
pertinent, même lors-
que l'énoncé ne le demande pas explicitement. Le barème tiendra compte de ces 
initiatives ainsi que

des qualités de rédaction de la copie.

Conventions typographiques : un vecteur est noté en gras (A), sa norme en 
italique (" A H = A).

À PROPOS DE SISMOLOGIE

IA Modélisation d'un sismomètre, réponse fréquentielle

M""""""

\

l
?
l
!
!
!

Fig. 1 : Sism0mètre

Le principe d'un sismomètre est schéma--
tisé sur la fig. 1. Un ressort (1) de masse négli-
geable, dont la réponse en élongation, linéaire,
est caractérisée par une raideur k, est suspendu à
un boîtier rigide. Un solide (2), de masse m, est
accroché à l'autre extrémité de ce ressort. Une
partie de ce solide est solidaire d'un amortisseur
(3) exerçant sur (2) la force de frottement fluide

dx
f - --hv, où h est une constante, v-- -- ----u la

dt
vitesse de translation de (2) par rapport au

boîtier et ux le vecteur unitaire porté par l'axe

Ox, vertical, orienté vers le haut, et fixe par rapport au boîtier. L'origine O 
de cet axe corres--

Tournez la page S.V.P.

pond au point d'attache de (2) dans sa position d'équilibre lorsque le boîtier 
est immobile sur
le sol, ce dernier formant un repère galiléen. On définit aussi un axe O'X 
vertical et fixe dans

un référentiel galiléen (celui du sol par exemple). On étudie la variable x(t) 
lorsque le

boîtier reçoit une onde sismique, supposée verticale et produisant un mouvement 
de boîtier
repéré par X (t) : l'onde sismique est ainsi caractérisée par X (t) et la 
réponse du sismomètre

est caractérisée par x(t).

D 1 --- Justifier soigneusement l'établissement de l'équation différentielle 
liant les varia--

d2x \ÆdX 2 d2X
+------+wox=-- ,
dt2 "L' dt dt2

bles x(t) et X (t) : où 600 : $ est la pulsation propre du
m

. \ ' ' . m 0 \ , .
srsmometre et, par defimüon, T : & --}1-- la constante de temps relative a ! 
amortzssement.

E] 2 -- On considère une onde sismique sinusoïdale et de pulsation a). En 
régime forcé,

la fonction x(t) est sinusoïdale elle aussi, et de même pulsation. Établir 
l'expression de la

. , . . x ' .
fonction de transfert mecanique E 1( ]60) : ÿ, ou g est la grandeur complexe 
(oc exp(]wt))
associée au signal sinusoïdal g(t) et j2 = --l. On suppose désormais que 6001" 
=] ; montrer

1

que la fonction de transfert mécanique peut s'écrire : fil (ja)) : 2 .
' 600 _\/* 600
---- -- 1 + ] 2 +--
(02 60

Cl 3 ---- Tracer l'allure des diagrammes de Bode, en amplitude et en phase, de 
cette fonc--
tion de transfert : d'une part 2010g...('H1 ( ju)

), d'autre part (p : arg(_H_ ]) en fonction du loga-

r1thme dec1mal de la frequence redu1te u = ---- ; prec15er les equaüons des 
asymptotes. Quel

a)
0 .
type d'opérateur électronique possède une réponse fréquentielle semblable '? 
Quel est son
comportement suivant les deux cas : co >> 600 ou 60 << wo '?

_ -M------ll
'u'..üfl'..fl
_ .Itlfllllllfl'fllhl
flllIlll.lll'l.l-hlfl
_ nnuununnmn
ILII l II"I.'."II"I
. -fl.lI-IWl'I-I
n 0.2 ... 0.5 0.8 1 1.2 ... spectres de pulsations s1gn1ficatwes, en amphtude
et en phase, tracés en figure 3. À partir de cette

figure, exprimer le déve10ppement en série de
Fourier de x(t), sous forme d'une somme finie de cosinus : x(t) : co + 2 c,, 
cos(næt + (p").

[?

E] 4 ---- La pulsation propre du sismomètre

étant (00:20 rad.s"', cet appareil détecte une

onde sismique sous la forme de la fonction pério--
dique x(t) reproduite en fig. 2 ; l'amplitude est

en unité arbitraire. L'application d'un algorithme
de transformée de Fourier à x(t) fournit les

Fig. 2 : Signal associé à une onde sismique

D 5 ---- En utilisant la fonction de transfert _Ï_I_ 1( jeu), déduire le 
développement en série

de Fourier de l'excitation X (t) : c6 + EC,Ç cos(næt+ ça,',). Le résultat sera 
présenté en com--

17

plétant le tableau I. Pensez--vous que ce résultat puisse représenter une onde 
sismique réelle '?

Page 2 sur 6.

Amplitude _

| l |

N
|
l
------------'-------

0 10 20 30 40 50 60 70
w(rad.S'1)

Fig. 3 : Amplitude (unité arbitraire) et phase du signal représenté à la fig. 2

una-___--

"°OE"<2@3)-2"/5

Tableau [ (partiel ; à compléter sur votre copie, pour les autres valeurs de n)

D 6 ---- Tracer l'allure de X (t) sur une période.

137 --Comment devrait-on modifier les caractéristiques du sismomètre afin que
l'enregistrement de x(t) permette de déduire directement X (t) ?

D 8 -- En considérant ce que serait l'allure du diagramme de Bode en amplitude 
de la
fonction de transfert pour (DOT > 1, expliquer pourquoi ce choix (COÛT > 1) 
doit être évité.

IB Sismomètre à détection électromagnétique

On améliore le système précédent en y incluant un capteur
@ électromaguétique permettant d'enregistrer le signal x(t). Le

sismomètre de la fig. 1 est modifié conformément au schéma de
la fig. 4. Le ressort (1), de raideur k, est conservé ; le solide (2)
-\ est remplacé par un aimant permanent annulaire noté (2'), d'axe

!

W"I

de révolution vertical et de masse m. L'amortisSeur (3) est rem--
/\,\_ placé par (3'), solénoïde cylindrique coaxial avec l'aimant (2'),

'il

et fixe par rapport au boîtier.

Fig. 4 : Sismomètre modifié _ _ _
D 9 -- Souhgner le rôle _]Ollé par (2')et (3'), et précnser la

nature du signal recueilli.

Page 3 sur 6- Tournez la page S.V.P.

Caractéristiques du solénoïde (3')

Le solénoïde est constitué de N spires jointives d'un fil conducteur homogène 
fin, de
résistivité p, de longueur totale EUR et de section 3. La longueur du solénoïde 
est d.

D 10 -- Exprimer la résistance R, du solénoïde en fonction de p, EUR et s. 
Exprimer, en
négligeant les effets de bord, l'inductance L du solénoïde en fonction de EUR , 
d et u0, perméa-
bilité magnétique du vide.

Etude du fonctionnement en circuit ouvert

L'aimant (2') produit dans son entrefer un champ

magnétique radial (fig. 5). La norme de ce champ ne
dépend que de la distance à l'axe. Sur la surface du
cylindre sur lequel est enroulé le solénoïde (3'),la

norme du champ est constante et notée BO.

D 11 -- On note 6 la force électromotrice induite
dans le solénoïde par le mouvement dans l'entrefer.

Exprimer e en fonction de %, BO et EUR . La fig. 5 rap-
pelle le sens de ux. Vérifier la cohérence avec l'étude

Fig. 5 : Aimant et champ radial menée à la question 9_

D 12 -- On l'a vu, il est nécessaire d'imposer au
mouvement de l'aimant permanent (2') un amortissement important. On convient de 
réaliser

cela de façon électromécanique. Le circuit du solénoïde (3') étant fermé sur 
une résistance

R... un courant d'intensité i peut circuler ; le sens positif est défini dans 
la fig. 5. Exprimer la
résultante des forces magnétiques s'exerçant sur le solénoïde (3') en fonction 
de BO, EUR et i.

E! 13 -- Etablir l'équation différentielle, liant x(t), _X(t) et i(t), 
traduisant l'application

des lois de la mécanique au mouvement de (2').

E] 14 -- Établir l'équation différentielle, liant x(t) et i(t), en considérant 
le circuit élec--

trique fermé comprenant (3') et la résistance R,. On posera R = R,. + R,.

Cl 15 -- Déduire des deux équations différentielles obtenues précédemment un 
bilan de
puissance sous la forme :

{? %]= g(i)+â[El(l--)]%ÿ,(%fl%p,pg

où f , g, E] , E2 et E3 sont des fonctions à trouver et à interpréter 
physiquement.

Cl 16 ---- On suppose que l'onde sismique est sinusoïdale de pulsation a) et 
l'on se place

en régime forcé. A partir des deux équations différentielles obtenues aux 
questions 14 et 15,

exprimer la fonct10n de transfert electromecamque du systeme :fi2(]w) : 
--'----, en fonction de

X

135%

a), a)0,R et [O = . Etudier le comportement de cette fonction lorsque a) ----> 
0 puis lors---

Page 4 sur 6.

que co --> oo. Quel type d'opérateur a--t-on réalisé '?

D 17 --- Le réglage de l'appareil pour qu'il se comporte en suiveur n'est donc 
pas facile

à réaliser. Analyser le choix suivant, réalisé dans la pratique : l'oscillateur 
mécanique est
constitué d'un pendule fortement amorti et possédant une inertie importante ; 
ce pendule est
muni d'un système de détection électromagnétique qui lui est solidaire, 
semblable à celui qui
est décrit figure 4, en circuit ouvert.

Il Héliosismologie à
détection optique

La surface du Soleil est animée
de mouvements appelés ondes sismi-
ques. L'étude de ces ondes renseigne
sur la structure interne du Soleil.

chromateur

' L L eflet Doppler se man1feste par une
0 - r \ r 0

4--------* var1at10n de frequence a la recept10n

des ondes émises par la surface

@? D solaire. Comme on va le vorr, cette

variation de fréquence, proportionnelle
à la vitesse de déplacement de la

' surface est mesurable par un interfé--
romètre de Michelson (fig. 6).

Fig. 6 : Interféromètre de Michelson

L'interféromètre comprend deux miroirs plans perpendiculaires l'un à l'autre, 
M1f fixe
et M2... mobile en translation et une séparatrice S, semi-réfléchissante, 
d'épaisseur négligée,
inclinée à 45 " par rapport aux miroirs et qui n'introduit pas de différence de 
marche.
L'ensemble est placé dans l'air, d'indice de réfraction n considéré comme égal 
à l.

La position de M2... est repérée par son abscisse x sur un axe Ox, 
perpendiculaire à M2m.
L'origine O est à l'intersection de l'axe Ox et du miroir M2m, lorsque ce 
dernier est dans sa
position initiale, symétrique de M" par rapport à S.

Le monochromateur placé à l'entrée isole une raie dans le spectre solaire. La 
longueur
d'onde de cette raie, notée Àl, dépend de la vitesse de déplacement du point de 
la surface

solaire vers lequel le monochromateur pointe. À la sortie du monochromateur, 
une ouverture
circulaire quasi--ponctuelle est placée au foyer objet d'une lentille 
convergente L,. Un détec--
teur D est placé au foyer image d'une lentille convergente L, d'axe optique 
normal à M...

Cl 18 -- Exprimer l'intensité lumineuse Il mesurée par le détecteur, en 
fonction de À,, de
x et de l'intensité maximale 10. On admet que, pour x = 0 , la différence de 
marche est nulle.

Cl 19 -- On modifie le dispositif précédent conformément à la fig. 7 : une 
source ponc-

tuelle et monochromatique, de longueur d'onde Â, très proche de Àl, est placée 
au foyer
d'une lentille convergente L2 d'axe optique normal à celui de L]. La lame 
semi--réfléchis--
sante S', identique à S, inclinée à 45 °, permet de superposer une partie des 
faisceaux lumi--

neux issus de L1 et de L2, sans introduire de différence de marche. On suppose 
que les inten--
sités des ondes lumineuses, de longueurs d'onde respectives Àl et Â,,_ sont 
égales lorsqu'elles

arrivent sur S. Exprimer l'intensité lumineuse ] mesurée par le détecteur, en 
faisant appa--

--- . < . 2 l 1 ]
raître les grandeurs À et Ak défin1es respectwement par = : ----- + ----- et Ak 
= 27t(--L ---- ----].

1412

Page 5 sur 6. Tournez [a page S,V,P.

D 20 -- Exprimer la
visibilité du système
d'interférences, définie par

1 _ _
V(x) : IlïläX + 111111 ,

max min

où l et l - désignent

111 ax 111111

respectivement les inten--
sités maximale et minimale
du signal autour du point
d'abscisse x (on utilisera le
fait queÂ1 et À? sont très

Fig. 7 : Interféromètre modifié (source et détecteur nonfigurés)

voisines l'une de l'autre).

Cl 21 -- Le miroir M2... est déplacé de façon à repérer deux positions 
successives pour

lesquelles on détecte une visibilité minimale ; soit Ax l'écart entre ces 
positions. Exprimer
l'écart de fréquence Af entre les deux sources en fonction de Ax et de la 
célérité c de la
lumière.

D 22 -- Expliquer comment la connaissance de la longueur d'onde À2 dans le 
spectre

solaire et celle de la longueur d'onde modifiée par effet Doppler Â1 ={1+ÏJÂ2 
permettent,
0

grâce au dispositif étudié, d'avoir accès à la vitesse de déplacement de la 
surface du Soleil, v.
Estimez l'ordre de grandeur d'un écart mesurable entre ces longueurs d'onde.

Fin du problème

Fin de l'épreuve

Page 6 sur 6.

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Mines Physique 1 PSI 2001 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Stéphane Ravier (ENS Lyon) ; il a été relu par 
Florent
Tournus (ENS Lyon) et Vincent Fourmond (ENS Ulm).

Ce problème traite de quelques aspects de la sismologie. Il se compose de deux
parties indépendantes. Les thèmes abordés sont variés et couvrent plusieurs 
parties
distinctes du programme : mécanique, induction électromagnétique et optique.
· La première partie concerne la modélisation d'un sismomètre. Dans une 
première sous-partie, on cherche une modélisation mécanique et on étudie la 
réponse fréquentielle du filtre mécanique ainsi constitué. Dans un second temps,
on affine la modélisation en détaillant une réalisation possible de l'« 
amortisseur » : on a un couplage électromécanique.
· Dans une deuxième partie, on s'intéresse à un autre aspect de la sismologie : 
la
sismologie sur d'autres astres que la Terre, ici, le Soleil. Il faut alors 
faire appel
à des méthodes radicalement différentes et indirectes puisqu'il est impossible
de poser un sismomètre ! Cette partie fait appel à des connaissances d'optique,
sur l'interféromètre de Michelson notamment.

Indications

Partie I.A
1 Se placer dans le référentiel associé au boîtier (non galiléen) et appliquer 
la relation
fondamentale de la dynamique au solide (2) : d'abord en statique pour éliminer
la pesanteur, puis en dynamique.
5 La linéarité du filtre permet de traiter chaque composante fréquentielle 
indépendamment des autres : pour obtenir la composante de X de fréquence  
correspondant à celle de x, il suffit donc de la diviser par H1 (j ).
8 Prendre 0  > 1 revient à augmenter le facteur de qualité du système de telle
sorte que le phénomène de résonance apparaisse.
Partie I.B
10 Négliger les effets de bord revient à se placer dans l'approximation du 
solénoïde
infini. Exprimer d'abord L en fonction de plus de paramètres que ceux indiqués 
par le texte (notamment en incluant N et la section droite S du solénoïde)
puis remplacer ces paramètres superflus à l'aide de considérations géométriques
simples.
11 Appliquer la loi de Faraday. Faire attention au fait que c'est (2') qui se 
déplace.
13 Utiliser le principe de l'action et de la réaction et le résultat obtenu à 
la question 12
pour obtenir l'action du solénoïde (3') sur le solide (2').
14 Faire un schéma du circuit et appliquer la loi des mailles.
15 La question 13 a permis d'obtenir une équation pour la quantité 
d'accélération
(ou pour des forces) : du point de vue de la dimension, pour avoir une 
puissance, il
faut multiplier par une vitesse. L'équation obtenue à la question 14 a la 
dimension
d'une tension : pour obtenir une puissance, il faut multiplier par une 
intensité. Une
fois que l'on dispose des deux équations pour des termes de puissance, éliminer 
le
terme commun (c'est un terme qui couple une grandeur mécanique, la vitesse, et
une grandeur électrique, l'intensité).
16 Une petite erreur s'est glissée dans l'énoncé : il faut utiliser les 
équations établies
aux questions 13 et 14.
Partie II
19 Les deux sources sont incohérentes, donc il faut sommer les intensités.
20 Le résultat de la question 19 fait apparaître le produit de deux fonctions 
cosinus :
identifier celle à variation lente (qui intervient donc dans l'enveloppe de la 
courbe)
et celle à variation rapide.
22 Dans cette question de synthèse, on donne l'expression théorique de  (donc de
f ) : la mettre en relation avec le résultat de la question 20 permet 
d'exprimer v
en fonction de x.

I.A.

Modélisation d'un sismomètre, réponse fréquentielle

1 On choisit comme système le solide (2) de masse m. On se place dans le 
référentiel associé au boîtier. Ce référentiel est a priori non galiléen. Le 
problème est
unidimensionnel. On choisit en outre -
ux comme base de projection. On effectue un
bilan des actions extérieures :

· le poids : m -
g ;

-
· l'action du ressort : fk = -k (x - x0 ) -
u
x ;

-
dx -
ux ;
· l'action de l'amortisseur : f = -h
dt
· la force d'inertie d'entraînement : le boîtier est un référentiel en 
translation par
-

d2 X 
rapport au référentiel terrestre ce qui s'écrit fie = -m 2 -
ux .
dt
Le boîtier ne tournant pas, la force de Coriolis est nulle.

x0 correspond à la position de l'extrémité du ressort « à vide ». Par 
définition de
l'origine O de l'axe, on a :
-k (0 - x0 ) - m g = 0
Cette équation est simplement l'application de la relation fondamentale de
la dynamique à l'équilibre statique (où on est, par définition, en O).
Donc, on prendra en compte de manière simultanée l'action du ressort et la 
pesanteur
en écrivant le terme -k x -
u
x.

f~k
f~ie

~v
f~
m ~g

On applique ensuite la relation fondamentale de la dynamique
d2 x
dx
d2 X
= -k x - h
-m 2
2
dt
dt
dt
En divisant par m et en réordonnant les différents termes, on obtient
m

On pose

d2 x
h dx
k
d2 X
+
+ x=- 2
2
dt
m dt
m
dt
r
 m
k
0 =
et
= 2
m
h

On a bien

d2 x
2 dx
d2 X
2
+
+

x
=
-
0
dt2
 dt
dt2

Signalons une erreur grave dans le texte de l'énoncé, en haut de la page 2 :
le sol constitue un référentiel galiléen mais certainement pas un repère.
Profitons de cette coquille pour insister sur la différence entre un référentiel
et un repère. Un référentiel est un corps matériel par rapport auquel on
« observe » les phénomènes. La définition d'un référentiel, de même que 
l'écriture des grands principes de la mécanique ne fait pas appel à un repère.
Un repère est un simple outil mathématique qui sert à projeter les relations
intrinsèques issues de l'application des principes.

2 En régime sinusoïdal forcé, la solution qui nous intéresse oscille elle aussi 
à la
même pulsation , la solution de l'équation sans second membre décroissant en 
effet
rapidement vers 0. On a donc intérêt à utiliser la notation complexe.
x(t) = Re x()ej  t

Une dérivation par rapport au temps correspond, en notation complexe, à une 
multiplication par j . L'équation obtenue à la question 1 s'écrit alors
- 2 x +

j 2
x + 0 2 x =  2 X

On fait ensuite apparaître H1 par simple division et on déduit
H1 (j ) =

2
(0 2 -  2 ) + j

2

En divisant au numérateur et au dénominateur par  2 , on obtient

H1 (j ) =

1

0 2
0 2
-1+j
2
 0 

On suppose de plus, pour la suite du sujet, que 0  = 1 ; on a alors bien le 
résultat
proposé par l'énoncé.

Il n'est pas inutile de rappeler à l'occasion de cette question que l'usage de
la notation complexe n'a d'intérêt que parce que l'équation que l'on étudie
est linéaire et à coefficients réels.