Mines Physique 1 PSI 2000

Thème de l'épreuve Étude des inducteurs en métallurgie
Principaux outils utilisés électrocinétique, électromagnétisme, diffusion de la chaleur

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


A 00 PHYS. I

, ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES,
ECOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L AERONAUTIQUE ET DE L'ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNÏCATIONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT--ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY
DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE,
ECOLE POLYTECHNIQUE (FILIERE TSI)

CONCOURS D'ADMISSION 2000
PREMIÈRE ÉPREUVE DE PHYSIQUE
Filière PSI
(Durée de l'épreuve : 3 heures ; l'emploi de la calculatrice est autorisé)

Sujet mis à disposition des concours ENSTIM, INT, TPE-EIVP
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page 
de la copie :

PH Y S] Q UE 1 -PSI

L'énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière PSI, 
comporte 7 pages.

- Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une 
erreur d'énoncé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il est amené
à prendre.

- Tout résultat fourni dans l'énoncé peut être utilisé pour les questions 
ultérieures, même s'il n'a
pas été démontré.

- Il ne faudra pas hésiter à formuler les commentaires (incluant des 
considérations numériques)
qui vous sembleront pertinents, même lorsque l'énoncé ne le demande pas 
explicitement. Le barème
tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la 
copie.

Notations : vecteur --> A (gras) ;vecteur unitaire pour la coordonnée et: ua

UTILISATION DES INDUCTEURS EN MÉTALLURGIE

La production d'un champ magnétique variable à l'aide d'un inducteur est très 
répan-
due en métallurgie ; elle intervient dans des phases très diverses telles que 
la circulation, le
brassage, la fusion ou la confection des lingots. Ce problème concerne 
principalement la
fusion d'un alliage d'aluminium et sa confection en lingots. Il comprend deux 
parties, lar-
gement indépendantes entre elles, pour ce qui est de leur traitement.

La relation vectorielle suivante sera utile pour la résolution :

lâA 8 3 âA 13rA9 &
......... (.; ;) (; ,)... < >---;

r âr 99 u,

Fusion du métal à l'aide d'un four à induction à creuset

Le four est constitué (figure 1) d'un creuset cylindrique (rayon RC, hauteur 
hc) qui con-
tient l'alliage à fondre et d'un inducteur composé d'un solénoïde monocouche 
(considéré

comme infiniment long) parcouru par un courant d'intensité variable i(t). 
L'action du champ
magnétique variable sur le métal consiste d'une part en un effet thermique 
(fusion puis
maintien à l'état liquide de l'alliage), d'autre part en un effet mécanique 
(mise en mouve-
ment du bain métallique).

Inducteur

z| H

u(t )

E200

O-Q-O-Q-QQ-QO-Q
Ô'Ô'Ô'Ô'Ô'Ô'Ô--Ô'O--

Fig. 1 : four à induction Fig. 2 : schéma équivalent de ! 'inducteur

1ère partie : Étude de l'alimentation de l'inducteur à vide.

Alimentation directe par une source de tension alternative " symétrique "

L'inducteur est équivalent à un circuit série composé d'une inductance L = 7 x 
10"' H et
d'une résistance R = 0,02 Q ; afin de diminuer l'impédance du circuit on ajoute 
en série un
condensateur decapacité C = 5 >< 10" F. La tension u(t) appliquée est un 
créneau alternatif
" symétrique ", d'amplitude E = 200 V et de fréquence 1000 Hz ( figure 2).

Le développement en série de Fourier de la tension u(t) est

u(t) : îê sin(a>t) + ___--""i3w') +...Sïn(5Wl + ..
n' 3 5
D 1 -- Calculer les valeurs efficaces U. et U; de l'harmonique l, u,(t) = 
%sin(oet) et
@ sin(3wt)

de l'harmonique 3, u3(t) = de la tension u(t).

7'L'
D 2 -- Calculer les modules des impédances de l'inducteur, 21 et Z3, relatives 
aux har-

moniques 1 et 3 ; en déduire les valeurs efficaces Il et 13 des intensités des 
courants corres-
pondants et montrer que l'intensité :( t) dans l'inducteur est pratiquement 
sinusoïdale.

Alimentation de l'inducteur par un onduleur

La tension u(t) est fournie par un onduleur, alimenté
par un générateur continu de f.e.m E , constitué de quatre
interrupteurs électroniques K], Kz, K3 et K... Chaque inter-
rupteur est constitué par un thyristor et une diode suppo-
sés parfaits et montés en antiparalléle (figure 3). Le thy-
ristor (fig. ci-contre) est un interrupteur commandé qui
laisse passer le courant uniquement lorsque l'intensité qui
le traverse est positive (sens direct) et qui bloque le cou-

' ' < . . , , . .
'(t) > 0 [(l) 0 rant lorsque l'mtensrte est negat1ve (sens inverse)

sens direct sens inverse

Les quatre interrupteurs fonctionnent simultanément
deux à deux c'est-à-dire que pen dant une demi-période de
fonctionnement les interrupteurs K1 et K4 sont fermés
alors que les interrupteurs Kg et K3 sont ouverts ; la demi--période suivante 
K] et K4 sont
ouverts alors que les interrupteurs K; et K3 sont fermés.

Conventions pour le thyristor

} Ki ? Kz ÿ- Î
! lnducteur ' E K] K2
, :: @ --l {_ Inductmr
\ '--u(f)

l
l
i
l
@
E

10 K4

sur une demi--période

L-,... l

Fig. 3 : onduleur

D 3 -- On suppose que le courant i(t) dans l'inducteur est sinusoïdal et de la 
forme

LCÙ--_l'

i(t) : 10 sin(oet + (p), avec 10 = 2000 A et tan((p) = -TCOE--

La tension u(t) est identique à celle qui est représentée à la figure 2. 
Représenter les
intensités i(T1), i(Dl) et ig, qui traversent respectivement le thyristor Tl, 
la diode D] et le
générateur de f.e.m E, en fonction du temps.

Ü 4 -- Calculer les valeurs moyennes de ces trois intensités.
E] 5 -- En déduire la puissance moyenne fournie par la source de tension.

2è'"e partie : Étude des paramètres électromagnétiques à l'intérieur du métal
fondu.

3 6 -- Décrire les phénomènes dont le métal est le siège et qui permettent 
éventuelle-
ment sa fonte.

] 7 -- On suppose dans cette 2e... partie que l'inducteur est parcouru par un 
courant

. * CO . .
d'intensité i(t) = 20005m(oet + (0)avec une fréquence f = a = 1000 Hz. On 
utilise la

base relative aux coordonnées cylindriques (r, 0, z), (u,, u,,, u.). La masse 
de l'alliage

d'aluminium est le siège de courants induits dont le vecteur complexe densité 
de courant _]
au point M du métal, à la distance r de l'axe Oz est de la forme j= 
jl(r)exp(jcot)u9

(j2 = --l)_ Dans l'hypothèse où le champ magnétique à l'intérieur du métal 
n'est fonction

que de la variable r, justifier cette orientation du vecteur densité de courant 
j
E] 8 -- L'alliage d'aluminium étudié est considéré comme un conducteur, 
électrique-
10-9

367: '
vité )! = 5 >< 106 Q".m"'. On admettra que la vitesse locale u du bain 
métallique est suffisam-

ment neutre, défini par les constantes du vide 80 = #0 = 471? ><10'7 et par sa 
conducti-

ment petite pour que l'on puisse négliger le terme u A B dans la relation liant 
la valeur locale
de la densité de courant aux champs électrique et magnétique : j = 7/( E + u A 
B). Montrer
alors que, pour la fréquence utilisée, on peut négliger le courant de 
déplacement.

_+
D 9 -- Notant A l'opérateur laplacien vectoriel, montrer que le vecteur densité 
de cou-

31

_)
rant j vérifie l'équation différentielle Aj = rot[rot(j)] = yoyä et en déduire 
l'équation

différentielle du second ordre vérifiée par la fonction complexe jl(r); ce sera 
l'équation (1).

2 r
et u = -- (ce sera
(D)/[10

D 10 -- Exprimer (l) en termes des grandeurs réduites 5 =

l'équation l'), calculer la valeur numérique de 5.

D 11 -- On se propose d'exprimer une solution approchée de l'équation (l') pour 
une
épaisseur de bain métallique de l'ordre de 5 au voisinage de la périphé--

. R . F (u)
ne u = uc = --52 >>1 . Posant dans (l') ]l(u) : \/-- , admettant que, dans 
l'équation
u

différentielle relative à la fonction F (u) ainsi obtenue il soit légitime de 
négliger le terme en

1
--2, admettant enfin que la fonction F (u) est paire, établir une forme 
approchée de la solu-

u
tion au voisinage de la périphérie du creuset. Préciser la signification de 5.

D 12 -- Exprimer la puissance moyenne < P > dissipée par effet Joule à 
l'intérieur du

volume du bain métallique ; quelle donnée faudrait-il connaître pour déterminer 
complète-
ment la solution ? Pour améliorer l'efficacité calorifique du four vaut--il 
mieux utiliser un
courant d'alimentation de l'inducteur de fréquence faible ou de fréquence 
élevée ?

Confection des lingots d'alliages légers : "coulée électromagnéfique"

Au cours d'une coulée classique on utilisait jusqu'en 1973 une lingon'e're pour 
donner
sa forme au lingot (métal solide). Ce procédé a été abandonné au profit de la 
coulée électro--

magnéfique, inventée en URSS. par Getselev & al : dans ce procédé, le maintien 
réalisé
jadis par la paroi matérielle de la lingotière est assuré par des forces 
élecüomagnétiques de
volume. Ces forces sont produites par une spire inductrice alimentée par un 
courant électri-
que sinusoïdal de forte intensité (de l'ordre de 5 000 A) et de fréquence 
voisine de 2 000 Hz
(figure 4). Le refroidissement qui permet le changement d'état de l'alliage 
d'aluminium est
assuré par un jet d'eau dirigé sur la paroi latérale du lingot.

Arrivée du métal fondu

A
x Métal liquide
(zone 1)
--\ Métal liquide
Inducteur _, ._ Z A
_.> -_ one pateuse
% (zone 2)
_, _. _
Refroidissement _, Zone pateuse Métal solide
_» (zone 3)
_» J' Métal solide
\/
. V= vitesse de
Descente du lrngot descente du lingot
Fig. 4 : principe de la coulée électromagnétique Fig. 5 : modèle de la coulée

1"°partie : Étude des transferts thermiques.

Afin de pouvoir effectuer une étude plus aisée des transferts thermiques on 
adopte le
modèle simplifié (fig. 5) où les formes des différentes phases du métal dans le 
lingot

(liquide, pâteuse, solide) sont considérées comme cylindriques, et de rayon RL. 
La conducti-
vité thermique du métal liquide est notée ÂL, celle du métal solide est notée 
ÀS ; ces gran-

deurs sont supposées indépendantes de la température. Par l'intermédiaire d'une 
goulotte
non représentée sur la figure 5, le métal, fondu au préalable dans un four à 
creuset, arrive en

A avec une vitesse négligeable. Sa température TA est uniforme et très 
largement supérieure
à la température YZ, du jet de refroidissement latéral. On appelle P(x) le flux 
thermique qui
traverse la section S à l'abscisse x ; on pose 9(x) = T(x) -- 73. On fera 
l'hypothèse que la

vitesse du métal (liquide ou solide) est nulle (ce qui est pratiquement le cas 
lorsque la vitesse
de descente V du lingot ainsi que la vitesse de brassage à l'intérieur du bain 
métallique sont
très faibles).

D 13 -- Écrire la loi de Fourier qui traduit le transfert thermique par 
conduction dans les
zones (1) et (3) (direction Ax). Déduire une relation entre P(x) et les 
paramètres ÀL, S et
d9/dx pour la zone (1) ; on aura une relation identique pour la zone (3).

D 14 --Les pertes thermiques dues au refroidissement sont supposées pro 
portionnelles à

la surface d'échange entre le métal et le milieu extérieur ainsi qu'à l'écart 
de température
entre le métal et le milieu extérieur; on appelle h le coefficient de 
proportionnalité (ce coef-

ficient est considéré comme constant quel que soit l'état du métal). En 
considérant le bilan
thermique sur une longueur dx infiniment petite du métal, trouver une relation 
entre dP/dx et

9(x).

Cl 15 --Déduire des questions (13) et (14) les équations différentielles en 
9(x) et P(x) ;
ÂLRL

on posera a = .

2h

Ü 16 -- Les fonctions 9(x) etP(x) seront labellées 91(x) et R(x) dans la zone 1 
(métal
liquide) et 93(x), P3(x) dans la zone 3 (métal solide). Le changement d'état du 
métal se fait

dans la zone pâteuse (zone 2) ; la hauteur HL de la colonne de métal liquide est
H L = 0,1 m. Donner les expressions femelles puis numériques de 91(x) et 
deE(x). Repré-

senter sommairement la fonction 91(x).

RL : 0,2 m a, = 100 W.m"'_K--1 Às = 100 W.m_l.K_l
T,, = 820 °C 73 = 15 °C h =100 w.m--2.K'1

D 17 -- La vitesse de descente du lingot est notée V ; la hauteur de la zone 
pâteuse est
notée H p et la température T p dans cette zone est uniforme. La masse 
volumique du métal

est notée p,, et sa chaleur latente de fusion Lg Donner, formellement puis 
numériquement,

l'expression de P3 (x), sachant que, la longueur du lingot étant très grande, 
la fonction P3 (x)

, . . , , . -- --1
ne diverge pas lorsque x tend vers l'infini. Donnees numenques : V = 10 4 ms

H =10-2 m T, =660 °C p,, =2500 kg.m'3 LF=3OO kJ.kg"

P

D 18 --On suppose dans cette question que l'on façonne, toujours par la méthode 
de
coulée élec tromagnétique, un lingot de petit diamètre DL = 2.104 m , la 
vitesse de descente

du lingot par rapport au repère du laboratoire n'est plus négligeable : V = 
5.10"2 m.s' '. La
capacité thermique massique du métal solide est c' = 9 >< 102 J.kg "' .K'1 , sa 
masse volumique
est p" = 2700 kg.mÎ'). Ces deux grandeurs sont considérées comme indépendantes 
de la

température. Écrire pour la zone (3) c'est-à--dire la zone du métal solide, 
l'équation tradui-
sant le bilan thermique local en régime stationnaire, les conditions de 
refroidissement étant
inchangées (on fera ce bilan sur une tranche de métal d'épaisseur dx et 
d'abscisse x.

E] 19 -- Déduire le champ de températures T(x) de la zone (3) en régime 
stationnaire si

. ' 'VD
on admet que llm T(x) = 73 et que la longueur du lingot est grande devant 61 = 
pcî--L--.

4 À'h

pc DL

U 20 --Simplifier l'expression de T(x) dans le cas où V >> ; calculer numé-

riquement cette condition sur V.

D 21 -- Calculer la puissance thermique perdue par la partie solide du métal 
(on consi-

dérera que la longueur L du lingot est grande devant a). Commenter le résultat 
et effectuer
l'application numérique.

2ème partie : Étude des paramètres électromagnétiques.

Cl 22 -- On désire mesurer la valeur locale du champ magnétique à l'intérieur 
du métal

liquide à l'aide d'un capteur; quel type de capteur utiliseriez-vous ? quel en 
serait son prin-
cipe?

D 23 --On désire mesurer la valeur du champ électrique à l'intérieur du bain 
métallique
à l'aide d'un capteur ; quel type capteur utiliseriez-vous? quel en serait son 
principe?

D 24 -- Si l'on considère que les vitesses locales du métal fondu sont 
pratiquement nul--
les, quelles autres grandeurs physiques les mesures précédentes 
permettent--elles d'atteindre?

FIN DU PROBLÈME
FIN DE L'ÉPREUVE

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Mines Physique 1 PSI 2000 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Nicolas Wawresky (Mines de Paris) ; il a été relu par
François-Xavier Bor (École Supérieure de Physique et de Chimie de Paris) et Jany
Keochkerian (École Supérieure de Physique et de Chimie de Paris).

Le problème, qui se compose de trois parties indépendantes (plus trois 
questions,
formant un embryon de quatrième partie), traite de la fusion d'un alliage 
d'aluminium
et de sa confection en lingot à partir d'un dispositif produisant un champ 
électrique
variable : l'inducteur.
­ Dans la première partie, on étudie l'alimentation magnétique à vide de 
l'inducteur.
­ Dans la deuxième partie, on s'intéresse à la fusion du métal à l'aide de 
l'inducteur produisant un champ magnétique dépendant du temps. Il sera question 
de
phénomènes d'induction et de calcul de puissance moyenne dissipée par effet
Joule à l'intérieur du métal participant à sa fusion.
­ Dans la troisième partie, enfin, on étudie les phénomènes de transfert de 
chaleur
à l'intérieur d'un lingot dont on considère qu'il est constitué d'une partie 
liquide
en fusion, d'une partie pâteuse au niveau de laquelle se fait le changement
d'état, et enfin d'une partie solidifiée.

Indications

Premier problème
1 Se rappeler la définition de la valeur efficace.
2 Ne pas oublier la capacité dans le calcul des intensités efficaces.
3 Étudier globalement le montage et faire attention aux commutations des 
thyristors actionnés par une gachette, dont la période est la même que celle de 
l'intensité
donnée dans l'énoncé (qui comporte d'ailleurs une erreur). Penser au thyristor 
T2 ,
actionné sur la demi-période suivante, pour l'étude de iD1 .
7 Raisonner à partir des plans de symétrie et d'antisymétrie.
9 Passer outre l'erreur d'énoncé.
11 Remplacer l'expression proposée dans une équation déjà légèrement simplifiée.

Deuxième problème
14 Égaliser la quantité de chaleur gagnée et celle perdue par l'élément de 
longueur dx
pendant le temps dt, étant donné que l'on est implicitement en régime permanent.
16 Dans les valeurs numériques, remplacer S par TP étant donné que l'on a besoin
de deux conditions initiales.
17 Déterminer la forme de P3 (x) puis déterminer la constante à partir d'un 
bilan
HL
.
énergétique global au niveau de la zone (2) pendant le temps
V
18 Faire un bilan enthalpique entre les abscisses x et x + dx.
19 Résoudre l'équation obtenue à la question précédente.
20 Faire un développement limité au premier ordre.
21 Intégrer les pertes latérales entre 0 et L.

Fusion du métal à l'aide d'un four à induction à creuset

Première partie :

Étude de l'alimentation de l'inducteur à vide

1 Les valeurs efficaces se calculent par la formule : U2eff = U(t)2 =
L'expression de u1 (t) étant (4E/) sin(t) , on obtient :
s 
2Z T
4E
4E
(sin t)2 dt = 
U1 =

2
0
De la même façon,

U3 =

Z

T

u(t)2 dt.

0

4E

3 2

2 L'inducteur est constitué d'une résistance et d'une inductance en série ; son 
impédance vaut donc Z = R + j L i . i vaut  pour l'harmonique 1, et 3  pour
l'harmonique 3. On en déduit que Z1 et Z3 , les module des Z pour la première 
et la
troisième harmoniques, valent :

Z1 = R2 + L2  2

Z3 = R2 + 9 L2  2
Pour déterminer les valeurs efficaces des intensités, il faut maintenant 
considérer tout
le montage, c'est-à-dire qu'il faut considérer en plus la capacité qui est en 
série avec
l'inducteur. Si on appelle Ztot l'impédance totale du circuit,
Ztot = R + j L i +

donc

|Ztot | =

s

R2

1
j C i

+ L i -

1
C i

2

Pour la première et la troisième harmoniques, on obtient
s
s

2

2
1
1
2
2
|Z1 tot | = R + L  -
et |Z3 tot | = R + 3 L  -
C
3C

On en déduit

4E
I1 =  q
 2 R2 + (L - 1/(C))2
4E
I3 =
 q
3  2 R2 + (3 L  - 1/(3 C ))2

Pour montrer que l'intensité i(t) dans l'inducteur est pratiquement 
sinusoïdale, il
suffit de comparer les valeurs efficaces des intensités des courants 
correspondants aux
différentes harmoniques.
Numériquement,

I1
 30
I3

I1 apparaît bien supérieur devant I3 , et même plus généralement devant toutes 
les
harmoniques qui suivent. En conclusion,
i(t) est pratiquement sinusoïdale.
3 L'énoncé comporte une erreur au niveau du schéma représentant les conventions
pour le thyristor. Lorsqu'il reçoit un courant de commande par sa gachette, ce 
dernier
laisse passer le courant à condition qu'il soit positif. Par contre, lorsqu'il 
ne reçoit
pas de courant de commande, il se comporte comme un interrupteur ouvert quel que
soit le sens de parcours du courant. On suppose que T1 est alimenté de 0 à T/2 
et
T
qu'il ne l'est pas entre
et T (T étant la période des oscillations de l'intensité dont
2
l'expression est fournie par l'énoncé).
Entre 0 et T/2, T1 laisse passer le courant tant
que ce dernier est positif. Dès qu'il s'annule, T1 se
bloque. Entre T/2 et T, le thyristor ne laisse passer
aucun courant car il n'est pas alimenté.  étant
positive avec les valeurs de R, C, L et  données
dans l'énoncé, on a ainsi le dessin ci-contre.

i (t)
T1

T/2

T

t

La diode D1 , quant à elle, ne laisse passer le courant que lorsque la 
différence de potentiel à ses bornes est positive (avec les conventions 
habituelles), c'est-à-dire quand
i(t) est négative et le thyristor T2 ne conduit pas.
En effet, quand T2 est alimenté (donc de T/2 à T)
et i(t) est négative, le courant passe par le thyristor
T2 et non plus par la diode D1 ; en effet, dès que
T2 conduit, la différence de potentiel aux bornes
de la diode est négative (puisque i(t) va dans le
sens des potentiels décroissants). On en déduit le
comportement ci-contre.

i (t)
D1

T/2
T

t

i (t)
E
Pour ce qui est de l'intensité aux bornes du générateur, on a soit i(t), soit 
-i(t), selon le chemin
emprunté par le courant. On en déduit l'allure cicontre.

T/2

T

t

4 Pour connaître la valeur moyenne de iT1 , on intègre la fonction iT1 (t) 
entre 0
et T, puis on divise par T. La première annulation de iT1 a lieu pour t +  = ,
-
c'est-à-dire en t1 =
:

Z
1 t1
hiT1 i =
I0 sin(t + ) dt
T 0
d'où

hiT1 i =

I0
(1 + cos )
2