e3a Physique et Chimie PSI 2015

Thème de l'épreuve Optimisation de rendements thermodynamiques. Conversion d'énergie électrostatique par les phénomènes atmosphériques et nucléaires.
Principaux outils utilisés thermodynamique générale, phénomènes diffusifs, électrostatique, thermodynamique chimique

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Centrale à charbon (West Thurrock -- Angleterre) %-

OE-I
Centrale nucléaire (Canada) "ÊOE
Centrale géothermique (Lardereflo -- Italie) "__

FIGURE 2 -- Rendements de certaines installations électriques.

B / Origine des résistances thermiques

Le cycle précédent présente un rendement optimal, le rendement de Camot. 
Cependant,
la propriété principale d'un moteur n'est pas son rendement, mais sa puissance 
maæimale :
pour cela, on diminue volontairement la température associée au contact avec la 
source
chaude de T': à Tc' < Tc. Se plaçant dans le cas pratique d'un fluide 
caloporteur circulant
dans une conduite cylindrique en contact avec la source chaude, on étudie les 
transferts
thermiques mis en jeu.

Une conduite cylindrique de cuivre de conductivité thermique A a un rayon 
extérieur
T2 en contact avec le milieu environnant à Tc et un rayon intérieur n en 
contact avec
le fluide à T2. La longueur L du cylindre sera considérée comme très grande 
devant les
autres longueurs du problème. On s'intéresse aux transferts thermiques entre 
l'intérieur et
l'extérieur de la conduite pour évaluer la perte d'énergie thermique due au 
processus de
diffusion, on note (r, 0, 2) les coordonnées cylindriques d'un point, (EUR,-, 
êg, à)) les vecteurs
unitaires correspondants et on se place en régime permanent.

BL Rappeler la loi de Fourier reliant le vecteur densité de courant thermique 
5} et
la température T en précisant l'unité de chaque grandeur présente. Donner un
ordre de grandeur des conductivités thermiques de l'eau et du béton.

_ Schématiser la géométrie du problème. Justifier que jà(r, 9, z) : jq(r)ê;.

_ On note J.,(r) le flux thermique total à travers la surface latérale du 
cylindre
d'axe (Oz), de rayon r et de longueur L. Exprimer J.,(r) en fonction de j.,(r), 
r
et L.

_ Justifier que le flux Jq(r) est indépendant de r. En déduire que jq(r) = A/r
avec A une constante à déterminer en fonction de Jq.

|æ |æ

lE

_ En déduire l'expression de la différence de température T,; -- Tc.

_ Rappeler la définition de la résistance thermique. Donner son unité. Quelle 
ana--
logie peut--on faire avec l'électrocinétique et sous quelle(s) condition(s) 
est--elle
valide ?

_ Déterminer l'expression de la résistance thermique R... de la conduite cylin--
drique.

I% !g

w
4

C / Rendement à puissance maximale

Les résistances thermiques étant décrites, on s'intéresse au fonctionnement 
général de
la machine thermique. Ce travail, réalisé dans la seconde moitié du XX" siècle 
par F. L.
CURZON et B. AHLBORN, a rencontré un fort succès eta depuis été adapté à de 
nombreuses
situations. On présente une version simplifiée des travaux initiaux, le 
résultat clef étant
conservé.
On considère le cycle thermodynamique suivant :

0 Une transformation adiabatique menant le fluide de T; à T; ;

o une transformation isotherme à. T] associée à. un transfert thermique Q f 
avec la
source froide de température T; ;

o une transformation adiabaüque menant le fluide de T; à Té;

. une transformation isotherme à Tc', associée à un transfert thermique 62° 
avec la
source chaude de température Tc. On note sa durée Atc et la résistance thermique
associée Rth-

Toutes les transformations du fluide sont supposées réversibles et la durée 
totale du
cycle est notée At... : aAt... où a est une constante. Le schéma de la figure 3 
résume la
situation.

Rth Qc Qf
M----

FIGURE 3 -- Prise en compte d'une résistance thermique.

1_ Exprimer le transfert thermique Qc en fonction notamment de la résistance
thermique Rth et de la durée Atc.

, Écrire les premier et second principes de la. thermodynamique pour le fluide
considéré.

O

|8

_ À l'aide des questions précédentes, exprimer la puissanoe moyenne fournie par
la machine thermique P,... dans un premier temps en fonction de W et At...;
puis dans un second temps en fonction de Rth, a ainsi que des différentes tem--
pératures mises en jeu.

|8

C4_ Quelle doit être la valeur de T,; pour un fonctionnement à puissance 
maximale?

, Exprimer le rendement dans ces conditions en fonction de T': et T;, puis 
l'évaluer
pour les installations industrielles de la figure 2. Commenter.

9 \

, La machine thermique dans son ensemble ne fonctionne pas de manière réver--
sible. Proposer des sources d'irréversibüité à considérer lors d'une utilisation
pratique.

IS?

RENDEMENT THERMODYNAMIQUE DES PILES
(m1h20)

Les réactions de combustions sont principalement utilisées dans les moteurs à 
explosion.
Cependant, elles peuvent aussi produire de la lumière, comme le montrent les 
couleurs bleues
des flammes {issues de la reoembtnoisons de radicauæ), ou encore de 
l'électricité via des
réactions électrochimiques. C'est à cette dernière forme de transformation d 
'éneryz'e que
l 'on s'intéresse ici, en étudiant un équivalent pour les piles du rendement 
d'un moteur

thermique.
On s'intéresse à un système 8 siège d'une réaction chimique et on définit le 
rendement
thermodynamique par 17 : W,',.../Q, où :

. --Q est le transfert thermique fourni au milieu extérieur lorsqu'aucun 
travail élec--
trique n'est tiré de la réaction. Q est, dans ces conditions, le transfert 
thermique
algébrique reçu par le système 8 ;

. --W{nax est le travail électrique maximal fourni au milieu extérieur 
lorsqu'un travail
électrique est tiré de la réaction. W,'mm est le travail électrique 
algébriquement reçu
par 8 . '

On s'intéressera successivement à l'évaluation de ces différents termes en 
s'appuyant sur la
réaction de combustion de l'hydrogène, puis on discutera le sens physique du 
rendement

thermodynamique.

D / Expression du transfert thermique

On modélise l'évolution chimique du système lors de la combustion de 
l'hydrogène par la
réaction suivante :

1
Hm) + 502... _) H20(g)

Cette réaction a lieu à l'air libre de température To = 300 K et de pression Po 
et on note {
son avancement.

D1_ Dans quel but cette réaction peut--elle être utilisée en travaux pratiques?
D2_ Citer une application industrielle la mettant en jeu.
_ Rappeler la définition d'une grandeur de réaction et de l'enthalpie H.

_ Estimer numériquement ArH ° à. partir des énergies de liaison fournies. A,H°
sera par la suite supposé indépendant de la température.

_ Établir que Q : EURA,H ° dans le cas présent.

_ Dans quelle(s) condition(s) la température atteignable au cours de cette com--
bustion (la température de flamme) est--elle maximale?

le |æ le le le

_ Déterminer dans ce cas la valeur de cette température maximale. On se placera
dans le cas d'un milieu contenant uniquement du dihydrogène et du dioxygène en
proportions stoechiométriques et on détaillera avec soin le raisonnement 
utilisé.

E / Expression du travail électrique

11 est possible de générer un travail électrique via cette réaction chimique en 
séparant
spatialement les deux réactifs : on parle de pile à combustible Une membrane 
échangeuse de
protons mais de résistance électrique élevée sépare alors l'anode de la 
cathode, où ont lieu des
réactions d'oxydo-réduction différentes menant au même bilan global que 
précédemment.
L'évolution est supposée isobare (à pression Po) et isotherme (à température To 
: 300 K).

_ Le dihydrogène joue--t-il le rôle d'oxydant ou de réducteur? Écrire la demi--
équation d'oxydoréduction associée.

_ Le dioxygène joue--t--il le rôle d'oxydant ou de réducteur ? Écrire la 
demi--équation
d'oxydoréduction associée.

_ Quelle est la. définition d'un potentiel thermodynamique et de l'enthalpie 
libre
G ?

_ Sous quelle condition l'enthalpie libre est--elle un potentiel 
thermodynamique?
Quelle contrainte cela impose--t--il sur le signe de A,G dans le cas présent ?

IË !% % IË

Pour la suite de l'étude, on se placera dans les conditions standard.
E5. En partant des premier et second principes de la thermodynamique, montrer
que le travail électrique maximal fourni par la pile ----W,Çmx vaut --£A,G° .
À quel cas correspond la limite W' : W,'mm ?
On donne A...S'° : --163 J .K"1.mol"l. Justifier le signe de cette quantité.

Évaluer numériquement le travail maximal fourni par la réaction d'une mole de
dihydrogène.

lÈ--'3 lî'z lä

Les contraintes environnementale: actuelles ont entraîné le développement de la 
filière
hydrogène : on remarque que la combustion étudiée ici ne génère pas de dioxyde 
de carbone.

Eg_ Comment est-il possible de synthétiser du dihydrogène de manière « verte »,
c'est--à--dire notament sans produire de dioxyde de carbone ?

E10. Quelle est la principale limite à. son utilisation massive comme vecteur 
d'énergie ?

F / Rendement thermodynamique

Dans cette partie, comme dans la fin de la précédente, nous travaillons dans 
les condi--
tions standard.

F1. Quefle(s) analogie(s) et difiérence(s) existe--t--il entre la définition du 
rendement
thermodynamique pour une pile et pour une machine thermique ditherme ?

F2. Exprimer le rendement thermodynamique à partir des grandeurs de réaction
standard relatives à l'enthalpie et l'entropie et l'évaluer numériquement dans 
le
cas de la réaction étudiée.

F3. Dans les situations proposées suivantes, déterminer si la réaction chimique 
est
thermodynamiquement possible, auquel cas donner une limite inférieure au ren--
dement thermodynamique :

1.A,H>OetA,SO.

Pour certaines piles, notamment les piles de concentration, la réaction 
associée est, en
l'absence de travail autre que celui des forces de pression, athermique.

F4. Y a--t--il transformation d'énergie de liaison en travail électrique lors 
du fonc--
tionnement d'une telle pile ?

Évaluer dans ce cas la variation d'enthalpie AH au cours de la transformation :
d'où provient l'énergie électrique débitée par la pile?
Peut--on parler de rendement thermodynamique dans ce cas ?

En conclusion, le rendement thermodynamique pour une pile est--t--il associé à
des contraintes similaires à celui d'un moteur ditherme? Quel peut--être son
intérêt pratique ?

|?" |? |?

SECONDE PARTIE
Conversion d'énergie électrostatique

par les phénomènes atmosphériques et

nucléaires

L'utilisation des phénomènes électriques comme ressource énergétique peut être 
envisa-
gée dans deux domaines très difiérents de la physique dont nous cherchons à 
évaluer les
ordres de grandeur. D'une part, lors des orages, ou suite aux travaux pionniers 
de Ben--
jamin Franklin le lien entre électricité et foudre a été démontré. D'autre part 
en physique
nucléaire, où le moteur d'une réaction de fission est essentiellement 
électrostatique.

ÉNERGIE DES ÉCLAIRS (...30 min)

Document 1. Panorama de la physique, Édition Belin, 2007 :
On est souvent étonné d'apprendre l'existence d'un champ électrique permanent 
dans l'at--
mosphère. Entre la haute atmosphère, vers 50 km, et la surface terrestre, la 
différence de
potentiel est de 300 kV. [...] Quel est le générateur capable de maintenir 300 
kV entre la
surface et l'électrosphère malgré [l'existenoe d'un] courant de fuite ? Il a. 
fallu attendre 1920
pour que C.T.R Wilson, prix Nobel de physique, l'identifie. Il s'agit des 
nuages, très déve--
loppés pendant un orage, les cumulom'mbus, qui sont chargés positivement dans 
leur partie
haute et froide, et négativement dans leur partie basse et chaude. Ces charges 
électriques
apparaissent en même temps que les chutes de grêle, signe que leur formation 
est liée à. ces
précipitations. [.] Lors du développement du nuage, la charge électrique de sa 
base induit
une forte différence de potentiel avec le sol. Dès que [le champ électrique] 
atteint quelques
300 kV.m"', valeur inférieure au [champ] de claquage de l'air (2 MV.m_l), une 
décharge
apparaît.

Document 2. Atmosphère, océan et climat, Édition Belin, 2007 :
Description d'un cumtflonünbus
-- Hauteur basse : 400 m à 1 km
-- Epaisseur : Plusieurs km
-- Composition : liquide et glace
-- Précipitations : Forte pluie, parfois grêle
-- Aspect : Nuage dense à extension verticale considérable se développent à 
partir de

cumulus congætus. Sa partie supérieure s'étale souvent en forme d'enclume. C'est
le nuage d'orage.

Document 3. Donnée issue de Météo--France :
Nombre moyen d'impacts de foudre au sol par km2 et par an : en France 
intérieure, varie
suivant les régions entre 1 et. 2.

Document 4. La vie du rail - Hors série -- Le TGV Nord Europe, 1993 :
Fiche technique du TGV Réseau

-- Vitesse maximale en service commercial : 300 km.h"1

-- Puissance aux arbres des moteurs de traction sous 25 kV : 8800 kW
-- Puissance aux arbres des moteurs de traction sous l, 5 kV : 3 680 kW
-- Puissance unitaire des moteurs de traction : 1 100 kW
-- Nombre de moteurs de traction : 8

G / Résolution de problème

1_ Combien de temps pourrait--on faire avancer un TGV en récupérant durant un
au toute l'énergie issue des éclairs frappant une grande ville française ?

Cette résolution de problème devra présenter de manière claire une démarche 
scientifique
détaillée et basée, d'une part sur les documents fournis, et d'autre part sur 
les connaissances
du candidat. Toute tentative de réponse pertinente, même incomplète, sera prise 
en compte
lors de la notation.

ÉNERGIE D'UN NOYAU (N4o min)

La filière nucléaire représente actuellement près de 75% de l'énergie 
électrique produite
en France Bien que la physique mise enjeu lors d'une réaction de fission puisse 
s'avérer très
complexe, une modélisation simple du noyau sufi'it pour saisir l'essentiel du 
problème : on
parle du « modèle de la goutte liquide ». Nous nous intéressons uniquement à sa 
composante
électrostatique pour retrouver l'ordre de grandeur de l'énergie libérée par une 
réaction de

fission.

Le noyau atomique est modélisé par une boule de rayon R uniformément chargée en 
volume
et on note p la. densité volumique de charge électrique.

H / Champ électrostatique

Nous utilisons les coordonnées sphériques (r, 9, gb), où le centre du noyau 
constitue l'origine
0 du repère.
Æ: Lister les invariances de la distribution volumique de charge. Qu'en 
déduit--on

pour le champ électrostatique?

H2, Par l'utilisation de symétries, montrer que le champ créé en un point M à 
une
distance r du centre 0 peut s'écrire Ë(M ) : E(r)Î,.

H3_ Déterminer ce champ en un point M à. l'extérieur du noyau (r > R).

H4_ Déterminer ce champ en un point M à l'intérieur du noyau (r 5 R).

I / Énergie électrostatique

Il, Rappeler l'expression de la densité volumique d'énergie liée au champ 
électrique.

12 Montrer que dans le cas présent, l'énergie électrostatique totale 8 peut 
s'écrire
comme la somme de deux intégrales, portant respectivement sur l'intérieur et
l'extérieur du noyau.

13_ En déduire que
_ Q2
8 :
fl47OE'0R
où Q est la charge totale du noyau et B un coeflîcient numérique de l'ordre de
l'unité à. déterminer.

J / Réaction de fission

De nombreuses réactions de fission difl'érentes mettant en jeu l'uranium 235 se 
passent au
sein d'un réacteur nucléaire. Nous nous intéressons à l'une d'entre elles, dont 
le bilan est :

ËÊ5U+ân-->5Ê1Ba+sKr+3ân.

Cette réaction libère une énergie de l'ordre de 200 MeV. Les données situées 
àla fin du sujet
comprennent la constante de Coulomb ainsi que la densité volumique de nucléons 
dans le
noyau.

Quels noyaux peuvent être concernés par une réaction de fission ?

Évaluer le rayon R des difiérents noyaux impliqués.

mum
FF!"

En déduire l'énergie électrostatique libérée lors de la réaction de fission et 
com--
parer sa valeur à celle annoncée.

Cette approche permet--elle d'expliquer le phénomène de fusion nucléaire ?

L|
!.»

DONNÉES

. Énergies de liaison :
-- «DH--H = 436 kJ.mol"1
-- DO=O = 498 k.].moY1
-- DH_0 = 463 kJ.mol"l
. Capacités thermiques molaires à pression constante, supposées indépendantes 
de la
température :
-- Cp,m(H20(g)) = 34 J.K"1.mol_l.
-- ,...(H2oe) = CP,...(02(9,) = 29 J.K--l.mol--l.
. Gradient et divergence en coordonnées cylindriques :

3f4 lôfë. ôfs
gäf='ä--EURf+ 'I'ôÛe a+ô--ez.

lao--A,) 16A,, aA,
d"X= ,» a,-- +?Ê+ ôz'

. Constante de Coulomb : (41rcm)'1 = 9 - 109 N.m'l.C_2.
. Densité volumique de nucléons dans le noyau : u = 0,14fm'3.

Fin de l'épreuve

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



e3a Physique et Chimie PSI 2015 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Cyril Jean (ENS Ulm) et Claire Besson (Docteur
en chimie) ; il a été relu par Tom Morel (Professeur en CPGE), Anna 
VenancioMarques (ENS Lyon), Stéphane Ravier (Professeur en CPGE) et Alexandre 
Hérault
(Professeur en CPGE).

Cette épreuve est constituée de deux problèmes indépendants qui s'intéressent
chacun à quelques aspects de la conversion d'énergie.
Le premier problème traite de l'optimisation de rendements thermodynamiques.
Il comporte une partie de physique et une autre de chimie.
· La partie de physique concerne les machines thermiques et les phénomènes de
résistance thermique. L'approche par un cycle ditherme réversible ne rendant
pas correctement compte des rendements des centrales électriques, on affine le
modèle en tenant compte de résistances thermiques entre la source chaude et le
fluide. On calcule alors le rendement à puissance maximale, qui est à nouveau
comparé aux rendements des diverses centrales thermiques.
· La partie de chimie traite du rendement thermodynamique des piles, en 
s'attachant spécifiquement au cas de la pile à combustible, fondée sur la 
réaction du
dihydrogène et du dioxygène.
L'outil principal de cette étude est la thermodynamique chimique. À côté de
plusieurs questions de cours concernant les définitions de diverses grandeurs
thermodynamiques, on trouve un certain nombre de calculs classiques (énergies 
de liaison, application des premier et deuxième principes de la 
thermodynamique, calcul d'une température de flamme). Il est assez fréquent que 
les
résultats d'une question soient réemployés par la suite, ce qui impose une 
résolution linéaire.
Notons la présence d'un grand nombre de questions incitant à une discussion
relativement ouverte.
Le second problème, d'électrostatique, commence par une « résolution de 
problème » qui permet de mettre en regard l'énergie électrique de la foudre et 
l'énergie
nécessaire à la propulsion d'un TGV. On modélise ensuite les réactions de 
fission
nucléaire d'un point de vue électrostatique grâce au « modèle de la goutte 
liquide » :
on considère que les noyaux sont des boules uniformément chargées en volume.
Ce modèle permet d'estimer l'énergie libérée lors d'une réaction de fission.
Bien guidé, ce sujet n'est ni particulièrement difficile, ni très original. 
Seule la
dernière sous-partie, consacrée à une approche électrostatique des réactions de 
fission nucléaire, peut dérouter puisque les réactions nucléaires ne sont 
étudiées qu'en
terminale. Cependant en dehors d'une question « culturelle », aucune 
connaissance
spécifique n'était requise.

Indications
Premier problème
A.4 Ne pas oublier d'utiliser des températures en kelvins.
B.5 Intégrer la loi de Fourier.
C.1 Commencer par relier Qc , Jq et tc . Utiliser ensuite le résultat de la 
question I.B.6.
C.3 Utiliser la question I.C.1, le premier principe et le second principe.
C.4 Étudier la dérivée de la puissance moyenne Pm .
D.4 Attention aux signes !
D.5 Le seul travail est celui des forces de pression : W = -P0 dV.
D.7 Décomposer le processus en deux étapes : réaction à température fixée puis
échauffement des différents composants du milieu.
E.5 Le travail total est maintenant la somme du travail électrique et du 
travail des
forces de pression. L'application du deuxième principe donne une limite pour la
valeur de la quantité de chaleur échangée.
F.1 Le rendement thermodynamique d'une pile est défini par l'énoncé au début de
la partie D, celui d'une machine ditherme fait l'objet de la question A.2.
F.3 La réponse à la question E.4 est utile ici.
F.4 Dans une pile de concentration, la même demi-équation électronique prend 
place
aux deux pôles de la pile.
Second problème
G.1 Assimiler l'ensemble constitué par le nuage et le sol à un condensateur 
plan.
H.1 Les invariances de la distribution de charge sont les invariances d'une 
boule.
H.3 Appliquer le théorème de Gauss.
J.2 Utiliser la densité volumique de nucléons dans le noyau µ.
J.4 Quels noyaux peuvent être concernés par une réaction de fusion ?

Optimisation de rendements
thermodynamiques
Rendement à puissance maximale
A.1 Le moteur fournit du travail à l'extérieur. Par conséquent,
W<0
Par ailleurs, pour un moteur, le système reçoit un transfert thermique de la 
source
chaude (combustion de l'essence) et en cède à la source froide (l'extérieur), 
d'où
Qf 6 0

et

Qc > 0

Dans un moteur ditherme, la source chaude apporte l'énergie thermique 
nécessaire au fonctionnement de la machine. La source froide permet d'évacuer
le surplus de chaleur, ce sont des pertes thermiques.
A.2 Le rendement  de ce moteur est le rapport de l'énergie mécanique fournie à
l'extérieur sur l'énergie thermique nécessaire, soit
=

-W
Qc

Le rendement maximal  max est obtenu pour un cycle réversible et s'écrit
 max = 1 -

Tf
Tc

A.3 Lors d'une transformation isotherme, l'équilibre thermique est toujours 
réalisé :
les transferts thermiques sont donc infiniment lents, ce qui implique une
machine thermique de puissance nulle.
En outre, pour que le fluide et le thermostat soient à la même température lors 
des
phases isothermes, il faut que les transferts thermiques soient parfaits. En 
d'autres
termes, les parois de l'échangeur thermique entre le fluide et le thermostat
doivent être parfaitement diathermanes : elles ne doivent pas présenter de 
résistance thermique, ce qui n'est pas raisonnable industriellement. En effet, 
il est très
difficile de concevoir une paroi qui présente à la fois une résistance 
thermique nulle
(donc infiniment fine) et une bonne résistance mécanique.
A.4 Calculons le rendement maximal  max de ces trois centrales électriques.
Centrale

Tf

Tc

 obs

 max

charbon

298 K

838 K

0,36

0,64

nucléaire

298 K

573 K

0,3

0,48

géothermique

353 K

523 K

0,16

0,33

On constate que le rendement effectivement observé est près de deux fois 
inférieur au
rendement maximal pour un cycle réversible. De nombreuses sources 
d'irréversibilité sont présentes dans ces installations industrielles : les 
transferts thermiques
et les frottements mécaniques notamment.

Par ailleurs, le rendement maximal est atteint à puissance nulle ce qui est
en contradiction avec l'objectif d'une centrale électrique.
B.1 La loi de Fourier est une relation de proportionnalité entre la densité de 
courant
thermique et le gradient de température. Elle s'écrit
--
-

q = - grad T
La température s'exprime en kelvins (K), la densité de courant thermique est une
puissance par unité de surface, elle s'exprime en W.m-2 . On en déduit la 
dimension
de la conductivité thermique :
-

  -2

q
P L
 =  --  =
= P L-1 T-1
-1
TL
grad T
L'unité de la conductivité thermique  est le W.m-1.K-1 . De plus, l'eau
et le béton ont une conductivité thermique de 0,6 et 1 W.m-1 .K-1 
respectivement.
B.2 On représente la canalisation dans le plan yOz et dans le plan xOy :
Tc

-

ey

-

e

-

er
r2

Tc

r1 Tc

-

ex

Tc
z=0

z=L

La longueur L du cylindre est grande devant les autres dimensions du problème, 
ce
qui revient à considérer que les grandeurs physiques sont indépendantes de la 
coordonnée z. Par ailleurs, l'invariance par rotation d'angle  de la géométrie 
cylindrique
du problème permet d'établir que la distribution de température T(r) est 
purement
radiale. On montre ainsi que
--
-

q (r, , z) = - grad T(r)
= -

d'où

dT(r) -

er
dr

-

q (r, , z) = j q (r) -
er