E3A Physique et Chimie PSI 2014

Thme de l'preuve Isolation thermique et phonique
Principaux outils utiliss diffusion thermique, ondes sonores, cristallographie, thermochimie, cintique chimique
Mots clefs silice, rsistance thermique, barrire anti-bruit

Corrig

(c'est payant, sauf le dbut): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Extrait du corrig obtenu par reconnaissance optique des caractres



E3A Physique et Chimie PSI 2014 -- Corrig
Ce corrig est propos par Stphane Ravier (Professeur en CPGE) ; il a t relu
par Tom Morel (Professeur en CPGE) et Alexandre Hrault (Professeur en CPGE).

Conforme au nouveau programme, ce sujet, compos de trois grandes parties
indpendantes, s'intresse  quelques aspects de l'isolation.
 Dans la premire partie, on tudie l'isolation thermique d'un btiment, en 
particulier au niveau des murs. Aprs une tude analytique du mur simple, qui 
vise
 redmontrer les rsultats essentiels et  rintroduire la notion de rsistance
thermique, on s'intresse  un mur compos de plusieurs couches en vue de
le rendre beaucoup plus isolant. On termine par quelques considrations sur
les transferts radiatifs et conducto-convectifs, qui modifient  la marge les 
rsultats prcdemment obtenus, et par une analyse qualitative de l'intrt, en
montagne, d'une isolation par l'intrieur ou par l'extrieur du mur.
 L'isolation phonique d'une voie de chemin de fer constitue le thme de la
deuxime partie. On commence par le calcul des coefficients de transmission et
de rflexion en nergie lorsqu'une onde sonore rencontre un obstacle qui peut
osciller. On modlise cet obstacle par une plaque mince qui peut se dplacer
sous l'influence d'une onde sonore. Aprs avoir valid des simplifications dans 
le
calcul thorique, on tudie numriquement les effets d'une barrire anti-bruit.
 La dernire partie s'intresse  la chimie de la silice, qui est le composant 
principal de la  laine de verre , connue pour ses proprits d'isolation 
thermique.
Aprs quelques considrations sur la structure cristallographique du silicium et
de la silice, on s'intresse  la thermodynamique des ractions de fabrication 
de
la silice ultrapure. Cette partie se termine par une courte approche de 
cintique
chimique.
Ce sujet est long mais contient peu de questions difficiles et prsente 
l'avantage
d'aborder trois domaines distincts du programme. Soulignons l'importance des 
considrations numriques, toutes appuyes sur des exemples concrets et 
ralistes, ce qui
en fait un problme de travail agrable.

Indications
Partie I
ZZ

-

-
=
J th  d S

A4 Par dfinition,

S

A5 L'intensit du courant lectrique est le flux du vecteur densit de courant 
de

conduction -
  travers une section d'un conducteur.
A6 On a simplement

U=

Jth
T

B2 Vrifier que les rsistances thermiques correspondant  chaque partie du mur
sont associes en srie.
B4 Appliquer la relation analogue au diviseur de tension en lectrocintique.
C2 Utiliser  nouveau le diviseur de tension.
Partie II
E3 crire la forme linarise de l'quation d'Euler pour justifier la 
proportionnalit,
pour une onde plane progressive harmonique, des champs de pression et de
vitesse.
E5 Petite coquille dans l'nonc : la vitesse de la paroi est selon (Ox), pas 
(Oz).
Prendre en compte le fait que la paroi est  la position xM (t) et non en 0.
E7 Driver l'expression de la vitesse (obtenue  la question E5) qui fait 
intervenir At
puis la driver par rapport au temps pour obtenir l'acclration. Ne pas oublier
que xM dpend du temps.
E12 L'intensit est algbrique, compte positivement dans le sens des x 
croissants.
F3 Pour dterminer le niveau sonore global, calculer les diffrentes intensits 
sonores
puis les sommer. En effet, il n'y a pas de relation simple entre les L donns 
pour
les diffrentes octaves et LG .
F5 Le matriau n'tant a priori pas le mme, l'utilisation de la relation 
approche
pour T n'est pas garantie. Supposer que l'on peut tout de mme l'utiliser et
valider a posteriori ce choix  partir de la frquence f0 dtermine.
Partie III
G2 La coordinence est le nombre de voisins les plus proches. Dans le cas 
prsent, il
faut considrer l'atome dans un site ttradrique et ses quatre voisins.
H2 On rappelle que l'enthalpie libre de raction r G est lie  l'enthalpie 
libre
standard de raction r G et au quotient de raction Q par
r G = r G + RT ln Q
H5 La raction [4] est la mme que la raction [2] mais considre dans l'autre 
sens.

2[SiCl4 ]0 - [Cl2 ](t)
H8 Montrer que ln
est une fonction linaire du temps t.
2[SiCl4 ]0
H9 Dterminer la dure pendant laquelle les fluides sont chauffs (et donc la 
dure
pendant laquelle la raction d'oxydation peut se produire).

I. Isolation thermique
A.

tude du mur simple

A1 Soit une tranche de mur de section S et d'paisseur dx. En l'absence de 
source
thermique  l'intrieur du mur, ce systme reoit la puissance Jth (x) S par la 
gauche
et cde la puissance Jth (x + dx) S par la droite.
-

Jth (x)

x

-

Jth (x + dx)

x + dx

En rgime permanent, l'nergie de ce systme est constante donc
dH = 0 = Jth (x) S dt - Jth (x + dx) S dt
dJth
=0
dx

Ainsi,

-

dT -

ex
J th = -
dx

D'aprs la loi de Fourier

d2 T
=0
dx2

d'o

A2 Une double intgration de cette quation diffrentielle conduit, en notant A
et B deux constantes d'intgration, 
T(x) = A x + B
Les conditions aux limites s'crivent
T(0) = Tint
ce qui donne

et

T(x) = Tint -

T(eB ) = Text
Tint - Text
x
eB

On obtient un profil linaire de temprature, indpendant des caractristiques 
du mur.
A3 D'aprs la loi de Fourier,

d'o

-

dT -

J th = -
ex
dx
-

Tint - Text -

J th = 
ex
eB

Le flux thermique est orient selon +-
ex puisque Tint > Text , ce qui est conforme au
second principe de la thermodynamique (le flux thermique est naturellement 
orient
des sources les plus chaudes vers les plus froides).

A4 Par dfinition,

=

ZZ

-

-
J th  d S

S

Le flux tant uniforme sur toute la surface S, il vient
=

S
(Tint - Text )
eB

A5 En lectricit, on dfinit l'intensit du courant lectrique par
ZZ

-

-
I=
  dS
S

- est le vecteur densit de courant de conduction. On peut donc faire une 
analogie
o 
avec le flux thermique . L'analogue de la diffrence de temprature est la 
diffrence
de potentiel V.
I est analogue   et V  Tint - Text .
Pour avoir une analogie valide, il faut que les quations qui lient les 
grandeurs
soient de mme forme. La question prcdente montre que  est proportionnel  
Tint - Text , de la mme faon que I est proportionnel  V dans un
conducteur ohmique via la loi d'Ohm. De la mme faon, on peut dfinir
la notion de rsistance hydraulique puisque le dbit d'une canalisation est
(souvent) proportionnel  la diffrence de pression entre l'entre et la sortie.
Un des intrts de la notion de  rsistance , c'est de pouvoir raisonner avec
les associations usuelles en lectrocintique (srie/parallle).
Avec la dfinition propose,

Rth =

eB
T
=
Jth

D'aprs l'unit de , on dduit que Rth s'exprime en m2 .K.W-1.
La rsistance thermique est dfinie par
r=

T

et elle s'exprime en K.W-1 . Il ne faut pas se laisser emporter par la 
dnomination  surfacique  et affecter un simple m-2 . En effet,  diffrence 
de
temprature fixe, plus la surface est grande, plus le flux thermique est grand
donc plus la rsistance thermique est faible.
A6 Application numrique :

Jth = 298 W.m-2

La dperdition d'nergie est trs importante avec du bton brut. Si l'on 
considre une maison  un seul tage (2,50 m de haut) ayant pour dimensions au
sol 6 m  6 m, cela reprsente presque 18 kW de pertes thermiques pour les
seuls murs latraux ! Ce n'est videmment pas tenable (la puissance souscrite
auprs d'un fournisseur d'lectricit d'un foyer qui se chauffe  l'lectricit
est de 12 ou 15 kW en gnral, rarement plus.), d'autant que cette  maison 
n'offre au mieux que 36 m2 de surface habitable.