E3A Physique et Chimie PSI 2013

Thme de l'preuve tude et observation de l'coulement d'un glacier. Mouvement d'un glacier.
Principaux outils utiliss mcanique des fluides, viscosit, interfrences deux ondes, cristallographie, atomistique, potentiel chimique, thermodynamique, diagrammes de phases

Corrig

(c'est payant, sauf le dbut): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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nonc complet

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Rapport du jury

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nonc obtenu par reconnaissance optique des caractres


 

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S lie  la propagation du signal de 8 jusqu' 8 
aprs
rtrodiffusion en P, en fonction de d : SP, XR et (Dpropoe.

L'interfromtrie radar est base sur l'utilisation d'un couple d'images radar 
acquises
simultanment sur une mme zone et sous des incidences trs proches par deux 
satellites ER81
et ERSZ {Figure 6bl. La premire image acquise est appele image matresse 
tandis que la
seconde est l'image esclave. L'interfromtrie utilise la diffrence de phase 
entre ces deux images
de la mme zone.

L'interfrogramme est une figure d'interfrence (voir figure 7) ; c'est l'image 
des diffrences
de phase existant en chaque pixel entre l'image matresse et l'image esclave. 
Lorsque la phase
propre OEprop,e est constante, les dphasages obtenus par soustraction et 
observs sur
l'interfrogramme sont fonction uniquement de la distribution et du relief des 
points au sol.

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000 0000 000 00000800 0x...8300 80000... 0 8 00800 08080 080080 00 008080 00 
08830

0088.

00 0800_ 00000 000 000 00 08088
000808800500... 00... 80300 000 000030800
80000 00 3080080 0800 00... 000000...... 0000000...
808 00003380 008000 000 008000 00080000.
000000 0830 0056000... 00.0 303500003000 00
808 800000 00 000...8 000 88008 000... 80
00330...0 000... 0000000 000 80 08300 005608
00 000...8 0080 3080080 0...00F 00330 0000...8
...0 0008 9 38008 000 005020 00 800. 000
088080 000080... 80 0...0300 099800 0...
008888 000... 8000008300... 88800000 00 0...
00

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100.

IS

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E3A Physique et Chimie PSI 2013 -- Corrig
Ce corrig est propos par tienne Thibierge (ENS Lyon) et Tiphaine Weber
(Enseignant-chercheur  l'universit) ; il a t relu par Jrme Lambert 
(Enseignantchercheur  l'universit), Christelle Serba (ENS Lyon), Vincent 
Freulon (ENS Ulm)
et Laure-Lise Chapellet (ENS Lyon).

Ce problme propose d'tudier les glaciers sous plusieurs aspects : leur 
dynamique,
les mthodes modernes utilises par les glaciologues pour leur suivi, et la 
structure
microscopique de la glace. Il se compose de trois parties, deux portant sur la 
physique
et une sur la chimie.
 La partie I modlise la dynamique des glaciers en les considrant comme des
fluides newtoniens de trs grande viscosit cinmatique. L'objectif est 
d'obtenir
la valeur de cette viscosit  partir de relevs exprimentaux de leur avance
annuelle. On commence par dgager certaines caractristiques des coulements
de fluides trs visqueux le long d'un plan inclin infini, avant de passer  un
modle plus raliste dans lequel l'coulement est limit  un canal de largeur
finie. Les questions sont classiques, de difficult progressive et habituelle  
ce
niveau.
 On s'intresse ensuite dans la partie II au projet megator de suivi 
satellitaire
d'un glacier alpin par interfromtrie d'ondes radar. On commence par retrouver 
des rsultats sur l'exprience des trous d'Young en lumire visible, puis on
prsente le dispositif satellitaire et on explique comment une telle technique
permet de reconstruire une image tridimensionnelle du glacier. Le dbut est
proche du cours et le saut en difficult est brutal lorsque l'on aborde la 
souspartie D, qui demande une comprhension fine d'un dispositif inhabituel et 
qui
peut tre qualifie de difficile.
 La troisime partie de ce problme s'intresse  l'tude chimique de l'eau. 
Elle
aborde sa structure,  l'aide de questions d'atomistique, puis la formation de 
la
glace d'un point de vue thermodynamique et enfin cristallographique. Les 
questions sur le moment dipolaire de la liaison O-H, la structure 
cristallographique
de la glace diamant et l'utilisation en thermodynamique du diagramme de 
Clapeyron sont classiques.
L'ensemble permet d'valuer sa connaissance et sa comprhension du cours ; 
quelques questions plus ouvertes ncessitent une certaine culture scientifique. 
Pour avancer rapidement, il tait utile de connatre les principaux rsultats 
classiques.

Indications
Premire partie
A.5. Penser  une invariance par translation de l'coulement.
A.7. Pour un fluide newtonien, la contrainte de cisaillement, qui est une 
contrainte
dvx
tangentielle, est proportionnelle au taux de cisaillement
.
dz
A.10. On peut calculer le dbit volumique en imaginant que le champ des vitesses
de l'coulement est uniforme, gal  la vitesse moyenne en tout point.
A.11. On peut comparer l'nergie cintique d'un volume de fluide au travail de 
la
force visqueuse.
dv 
v 
B.3. L'nonc est imprcis. Il faut lire
au lieu de
.

z
dz 
B.6. La vitesse moyenne mesure est celle du point le plus rapide du glacier . 
. . qui
ne se dplace pas  v0 .
Deuxime partie
C.2. Le rapport z/D est un infiniment petit d'ordre 1.
D.5. Analyser soigneusement la dfinition de R en termes de chemins optiques 
pour
pouvoir dgager des analogies avec les trous d'Young. R s'interprte plutt
comme une diffrence de diffrences de marche entre un point Q et un point
de rfrence P que comme une simple diffrence de marche entre deux chemins
optiques.
D.7. Il peut tre utile de remarquer que R1 = R(z = Cte ).
D.9. Les photographies reprsentent les interfrences obtenues dans un plan (x, 
y).
La direction horizontale est x, la direction verticale est y. L'axe z sort de la
feuille.
Troisime partie
E.3 Projeter les moments dipolaires des liaisons sur le moment dipolaire total.
E.4 Calculer le moment dipolaire d'une liaison purement ionique.
F.1 Utiliser un calcul de variance.
F.3  l'quilibre de changement de phase, la relation suivante est vrifie :
g (liq) = g (s)
F.6 Attention, une mole de sel se dissocie en deux moles d'ions en se 
dissolvant.
G.3 Le centre d'un ttradre rgulier se situe aux trois quarts de sa hauteur.
G.7 L'utilisation d'un dessin projet rend beaucoup plus facile le dcompte des
atomes d'oxygne.
G.8 L'agencement local des molcules d'eau est encore ttradrique. Le contact
entre deux molcules se fait donc le long de la grande diagonale.

I. coulement d'un glacier
A.

tude prliminaire (coulement d'une couche de miel)

A.1 Le moteur de l'coulement est la pesanteur, et dans le repre choisi -
g n'a pas

-
de composante selon ey . Le systme tant en outre invariant par translation le 
long

de l'axe Oy, on en dduit que -
v (M) est inclus dans le plan (M, -
ex , -
ez ).
Par ailleurs, l'paisseur de fluide est suppose uniforme (indpendante de x et
de y) et constante (indpendante du temps). Il ne peut donc pas y avoir 
d'coulement

dans la direction z, ce qui permet de dire que -
v (M) est inclus dans le plan (M, -
ex , -
ey ).

-

-
On trouve donc que v (M) est orient paralllement  ex . Enfin, l'coulement se
fait dans le sens des x croissants : le fluide ne peut pas remonter la pente 
spontanment. Les lignes de courant tant tangentes au vecteur vitesse en tout 
point, on en
dduit que
Les lignes de courant sont les droites parallles
 l'axe des x et orientes vers les x positifs.
A.2  la question prcdente, on a montr que
-

v (M) = v(x, y, z) -
ex
Montrons maintenant que v ne dpend ni de x ni de y. Utilisons d'abord 
l'quation
de conservation de la masse, qui s'crit pour un coulement incompressible
vx
vy
vz
-
div 
v =
+
+
=0
x
y
z
Dans le cas prsent, cette quation se simplifie en
v
=0
x
ce qui indique que v ne dpend pas de x. En outre, en supposant le fluide 
infini le
long de la direction y, le problme est invariant par translation dans cette 
direction.
On en dduit que v ne dpend pas non plus de y. Ainsi, il reste seulement
-

v (M) = v(z) -
ex
A.3 crivons l'quation de Navier-Stokes en explicitant la drive particulaire,
"
#

-- -
--
-
v

-

+ ( v  grad ) v = - grad P +  -
g +  -
v
t
Cette quation se simplifie beaucoup dans le cas prsent :
 L'coulement tant stationnaire, la drive temporelle est nulle.
 Le terme d'acclration convective est nul galement. En effet,

-- -

-

-

( v  grad ) v = vx
v(z) -
ex = 0
x
 Le champ des vitesses ne dpendant que de z, son laplacien peut s'crire comme
une drive droite.

Finalement, l'quation de Navier-Stokes se simplifie en

--
-

d2 -
v
-
0 = - grad P +  
g +
dz 2
-
A.4 L'acclration de la pesanteur 
g se projette sous la forme
-

g = g sin  -
ex - g cos  -
ez
On peut s'assurer que les signes et les fonctions trigonomtriques sont les
bons en regardant les cas limites  = 0 et  = /2.
La forme du champ des vitesses trouve  la question A.2 et l'quation obtenue 
 la
--
question A.3 permettent d'exprimer les composantes de grad P comme

P
d2 v

=
g
sin

+

 x

dz 2

P
=0

y

 P = -g cos 
z
A.5 La pression dpend a priori des trois variables d'espace : P = P(x, y, z). 
Nanmoins, la nullit de sa drive partielle par rapport  y indique que le 
champ de
pression n'en dpend pas. Par ailleurs, la continuit de la pression en z = h 
impose
que pour tout x, P(x, h) = Patm . Par ailleurs,
P
= -g cos 
z
P(x, z) = -g cos  z + P1 (x)

donc

o P1 (x) est une fonction  dterminer. Or  l'interface avec l'air la 
pression dans le
fluide est gale  la pression atmosphrique Patm pour toute valeur de x. Ainsi,
P(x, h) = Patm = - g cos  h + P1 (x)
On en dduit

P1 (x) = Patm +  g cos  h

Ainsi le champ de pression dans l'coulement ne dpend que de z, et
P(z) = Patm +  g cos  (h - z)
Remarquons que ce rsultat n'est autre que la loi de l'hydrostatique formule
dans le repre tourn de l'angle . Trois caractristiques de l'coulement se
combinent pour donner ce rsultat :
 il est stationnaire ;
 aucune diffrence de pression n'est impose ;
 sa gomtrie impose la nullit du terme d'acclration convective, qui
pourrait ajouter une composante dynamique  la pression.