E3A Physique et Chimie PSI 2012

Thème de l'épreuve Système de refroidissement d'un réacteur nucléaire à neutrons rapides. Chimie du sodium.
Principaux outils utilisés diffusion thermique, thermodynamique, ondes sonores, électrocinétique, thermochimie, cristallographie, oxydoréduction, courbes intensité-potentiel

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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CONCOURS ARTS ET MÉTIERS ParisTech - ESTP - ARCHIMEDE
Epreuve de Physique - Chimie PSI

Durée 4 h

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé, d'une
part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et 
poursuit sa
composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est autorisé.

AVERTISSEMENT

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la 
clarté et la
précision des raisonnements entreront pour une part importante dans
l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non encadrés et non 
justifiés
ne seront pas pris en compte.

Ce problème illustre le fonctionnement du circuit de refroidissement d'un
réacteur nucléaire à neutrons rapides et comporte trois volets indépendants : 
l'étude de
l'échangeur thermique entre les deux circuits de sodium liquide (première 
partie), la
détermination du débit de sodium par débitmétrie ultrasonore (seconde partie) 
et quelques
aspects de la chimie du sodium -- production, réactivité ---- (troisième 
partie).

Remarques préliminaires importantes : il est rappelé aux candidat(e)s que

. les explications des phénomènes étudiés interviennent dans la notation au 
même titre que
les développements analytiques et les applications numériques ; les résultats 
exprimés
sans unité ne seront pas comptabilisés ; '

- tout au long de l'énoncé, les paragraphes en italiques ont pour Objet d'aider 
à la
compréhension du problème ;

. tout résultat fourni dans l'énoncé peut être admis et utilisé par la suite, 
même s'il n'a pas
été démontré par le(Ia) candidat(e).

ème

A l'heure où la 3 génération de réacteurs nucléaires (EPR, European Pressurized
Reactor) se trouve prête à prendre le relais pour répondre aux besoins 
d'extension ou de
renouvellement des parcs électronucléaires actuels, les chercheurs travaillent 
déjà sur la
conception de la 4eme génération de réacteurs qui devraient être mis en service 
vers les années

2040--2050.
Parmi les six concepts de réacteurs sélectionnés par le Forum International 
Génération IV,

le projet de réacteur à neutrons rapides, refroidi au sodium liquide, SFR 
(sodium fast reactor) est
déjà bien avancé. Ce réacteur est capable de régénérer son combustible 
fissible, ce qui augmente
considérablement son rendement et diminue d'autant la masse de déchets à 
retraiter et à stocker.
Par ailleurs, le sodium liquide est préféré à l'eau (comme dans les centrales 
actuelles) car il ne
ralentit pas les neutrons Il présente de plus de nombreux avantages : très 
bonne conductibilité
thermique, faible viscosité, large plage de température à l'état liquide, 
faible réactivité vis--à-vis des
matériaux constitutifs des échangeurs et des canalisations, grande 
disponibilité industrielle et
faible coût. Toutefois, il présente une très forte réactivité vis-à-vis de 
l'air et de l'eau, phénomène
qu'il convient de maîtriser.

PREMIERE PARTIE

ETUDE DU SYSTEME DE REFROIDISSEMENT
PAR CALOPORTEUR SODIUM

La figure 1, ci--dessous, décrit de façon simplifiée le fonctionnement du 
réacteur SFR et la
production d'énergie électrique.

Circuit Na ] Circuit Na ]] Turbmes Alternateur

Production

_ " _ . ,
d electnmte

L
3
(1)
Cl
(15
>
(1)
5 U '5
(|_) l».
o : %
0 9 C
e %
\g %
\(D O
% @
Circuit eau ]]

l
: Pompe Na H
I

Pompe eau

Figure 1

Cuve réacteur

Le circuit primaire de refroidissement, fermé et étanche, contient le coeur du 
réacteur
{juxtaposition de boîtiers contenant les aiguilles du matériau fissi/e, mélange 
d'UOZ et de PUOg) et
véhicule au moyen de circulateurs {pompes ou compresseurs} 3300 tonnes de 
sodium liquide
(noté Na !) qui transfère sa chaleur à un circuit secondaire (1460 tonnes de 
sodium, noté Na II)
via un échangeur de chaleur Na-Na comportant un nombre élevé N de modules 
concentriques
(comme décrit sur la figure 2). Ceci permet de diminuer les risques liés à 
l'éventuel/e
contamination radioactive du générateur de vapeur d'eau et de ses circuits. Le 
circuit secondaire
sort de l'îlot nucléaire pour produire dans le générateur de la vapeur d'eau à 
hautes pression et
température. Le circuit eau ] fait fonctionner un alternateur via un groupe de 
turbines (haute et
basse pression). Le circuit eau [[ évacue la chaleur inutilisée vers une source 
froide (fleuve, mer)

via un condenseur.

Un échangeur de chaleur est un système permettant de transférer un flux de 
chaleur d'un

fluide chaud à un fluide froid à travers une paroi, sans contact direct entre 
les deux fluides. Pour
une approche simple du problème, modélisons l'un des N modules par deux 
cylindres
concentriques coaxiaux, de longueur L, réalisés en acier au molybde'ne 
(conductivité thermique
Âader) : le premier, de rayon interne R1 et de rayon externe RZ dans lequel 
circule le fluide chaud
(ind/cé C), le second de rayon intérieur R3 et de rayon extérieur R... 
calorifugé. Le fluide froid
(indicé F) circule à contre--courant dans l'espace compris entre les deux 
tubes. (Figure 2)

Figure 2

___--___Ï ____

' fluide froid '

TFS Na H êTF(X) mF 4-- ËTFE
iiiiii iii
TOEË "; iTC(X) : fluide chaud ËTcs Î R3 Ren
NaI : R1 R2
_ _________ _ _ """""'""'"""""'Exède"
x = 0 X x+dx x = L symétrie

Dans l'étude proposée, les hypothèses suivantes sont retenues :

le régime d'écoulement des fluides est supposé permanent ;

l'échangeur est considéré comme adiabatique ;

aucun changement de phase n'intervient au cours du transfert ;

l'écoulement ne subit aucune perte de pression entre l'entrée et la sortie de 
l'échangeur;
les propriétés thermophysiques du sodium {conductivité thermique ÂNa, capacité 
thermique
massique CPNa, masse volumique pNa, viscosité dynamique 77%, .) restent 
constantes
dans les intervalles de température envisagés ;

les températures dans le sodium liquide ne varient que dans la seule direction 
de
l'écoulement ; en un point d'abscisse x de l'échangeur, elles seront notées 
TC(x) et T/:(X)
pour les fluides, TpC(x) et TpF(x) pour les parois d'échange au contact des 
deux fluides ;

les températures TCE, TPE, TCS et TFS désignent respectivement les températures 
des deux
fluides en entrée et sortie de l'échangeur ;

entre les rayons R, et R2, les transferts thermiques axiaux sont négligés ;

les coefficients de transfert conducto--convectifs aux parois, moyennés sur la 
longueur L de
l'échangeur et notés respectivement hc et h}:, répondent à la loi de Newton, 
qui s'écrit :

dOECC : h |:Tparoi _ Tfluide:l ds ;

les débits mass/ques dans un module sont notés respectivement mC et mF .

A I COEFFICIENT GLOBAL DE TRANSFERT DU MODULE D'ECHANGE

Afin de simplifier l'étude du module d'échange, globalisons les transferts 
conduct/fs et

conducto-convectifs entre les tubes par une conductance thermique équivalente K 
par unité de
longueur, telle que le flux échangé entre ceux-ci s'écrit : 
dOE=de[Tc(x)--TF(X)], pour une

longueur élémentaire dx. Les résistances thermiques sont définies par unité de 
longueur du
module d'échange.

A_1-

Modéliser à l'aide d'un schéma électrique équivalent, les divers échanges 
relatifs au tube
intérieur. Faire apparaître les températures TC(X), TF(X), TpC(X) et TpF(X) 
ainsi que les
résistances thermiques associées aux divers échanges, notées respectivement 
Rmc, R...acier
et R...F. Ecrire la relation entre flux, températures et résistances thermiques.

Considérons, au sein du tube intérieur, un élément cylindrique de rayon 
intérieur r, de
rayon extérieur r+dr et de longueur élémentaire dx.

A_2. Réaliser un bilan thermique sur cet élément. En déduire que la résistance 
thermique du
_ Ln(RJR,)
thacier _ ZTÛ\ '

A3. Déterminer les résistances thermiques R...ç et R...F, associées aux 
échanges conducto--
convectifs entre le tube intérieur et les fluides.

tube intérieur, associée au transfert conductif, s'écrit : R

acier

& Etablir l'expression de la conductance thermique équivalente K, par unité de 
longueur, en
fonction de hc, h.=, R1, R2, et Àacier.

ère

A5. Calculer à l'aide des données numériques {fournies en fin de 1 partie), la 
valeur de la

conductance thermique équivalente K.
B / BILAN THERMIQUE DU MODULE D'ECHANGE

Considérons une tranche (longueur dx) du module d'échange, comprise entre les
abscisses x et x+dx (voir figure 2).

& Ecrire pour cette tranche, en le justifiant, le bilan thermique du fluide 
chaud [relation ;%1].
ch(x)
dx
BZ Dresser, de même, le bilan thermique du fluide froid [relation 1% 2].
dTF(x)
dx

En déduire l'équation différentielle reliant , TC(x), TF(x), K, mc et C....

En déduire l'équation différentielle reliant , T}:(X), TC(X), K, n%, et C....

ch(x)
dx

B3 Combiner les deux équations différentielles précédentes, afin d'établir le 
lien entre

dTF(x)
dx

et

. [relation %? 3]

d2TC(X) + M dTC(X)

=D
dx2 dx

B4 Etablir l'équation différentielle vérifiée par TC(x), sous la forme

[relation % 4] et identifier la grandeur M en fonction de K, CpNa, mC et mF .

B5 Préciser les conditions aux limites vérifiées par la température Tc(x) afin 
de résoudre
l'équation différentielle [relation %? 4] ; formuler le résultat sous la forme :

EÉX)_--_TC_E=f(X |_ m).
TCE--TCS

BG Reprendre la même approche que pour les questions % et QQ, afin d'obtenir 
l'équation
différentielle vérifiée par TF(X) [relation @ 5], puis sa solution écrite sous 
la forme :

___Tlel--TFS =g(x,L,M).
TFS _TFE

37 Comparer les fonctions f(X,L,M) et g(X,L,M) ; en déduire une relation simple 
entre TC(x),
TF(X)l TCE7 Tcs, TFE et TF3.

Ë_$_. Tracer sommairement l'évolution des températures TF(x), du fluide froid 
et TC(x) du fluide
chaud le long de l'échangeur (utiliser, si nécessaire, les données fournies 
page suivante).

& Ecrire le bilan thermique global de l'échangeur. En déduire l'expression de 
la température

de sortie du fluide froid TF3 en fonction TFE, TCE, TCS, mC et mF .

C [ PUISSANCE ET EFFICACITE DE L'ECHANGEUR

Reprenons des résultats précédemment établis et écrivons, sous trois formes 
distinctes, la
puissance thermique élémentaire chE de l'échangeur, comportant N modules 
d'échange :

chE : Nde[Tc --TF] ; dÇDE : --ch CPNa dTC ; chE : --NmF CDNa dTF.
C1 E . . , d(TC _ TF) . . . . /
__. xpnmer la quantite ---- en fonction de K, CPNa, mC , mF . [relation ?/% 6]
TC -- TF
_(ä Intégrer la relation précédente, en supposant que le coefficient d'échange 
global NK reste

constant tout le long de l'échangeur et montrer que la puissance thermique (IDE 
peut s'écrire
sous la forme : CIDE =NKL[h(AE,ATJ], où la fonction h des grandeurs AT1 =TCE 
--TF5 et

AT2 : TCS --TFE, est appelée DTLM (moyenne logarithmique des différences de
température) ; en déduire l'expression de h(AT1,AT2) en fonction de TCE, TCS, 
TPE et TF5.

L'efficacité E de l'échangeur {nombre adimensionné) est définie comme le 
rapport du flux
de chaleur transféré du fluide chaud au fluide froid, au flux maximal 
théoriquement transmissible
(situation réalisable lorsque la longueur de l'échangeur est infinie).

& Déterminer (en justifiant votre réponse) ce flux maximal, puis l'efficacité E.

Afin de dimensionner l'échangeur, dressons la liste des données numériques qui 
lui sont
rattachées :

Module d'échan e: Sodium li uide : (valeurs moyennes dans la
R1 = 72 mm R2 = 15 mm L = 9 m gamme des températures considérées)
-- W "7 K--7 _ --3 pN =85O kg.m"3
Âacier(inox} _ 26 -m - pac/er -- 7800 kg,m & 0 28 P
hc =1,5.10" W.m'2,K4 0Na -- , m a.s_1 --1
hF : 2,010" W.m"2_K_7 CpNa =7275 J.kg .K

a... = 71 W.m".K"

Températures :
TOE : 570 K Tcs : 420 K TFE : 385 K Débits massiques (pour/échangeur} :

N mc : 5240 kg.s'1 NmF : 7000 kg.s"7

C4. Calculer, à l'aide de ces données, la température de sortie du fluide froid 
TF3, la puissance

_ thermique de l'échangeur OEE, la moyenne logarithmique des différences de 
température
(DTLM), l'efficacité E de l'échangeur et son nombre approximatif N de tubes.

DEUXIEME PARTIE

MESURE DE DEBIT D'ECOULEMENT DU SODIUM LIQUIDE
PAR DEBITMETRIE ULTRASONORE

Description du dispositif :

Un cristal piézo-électrique de niobate de lithium LiNbOa, qui vibre 
mécaniquement a la
fréquence de la tension alternative qui lui est appliquée, produit une onde 
ultrasonore qui se
propage dans le milieu environnant avec une célérité CS. Ce dispositif 
constitue un émetteur
d'ultrasons. Inversement, des vibrations mécaniques appliquées au même cristal 
donnent
naissance à une différence de potentiel alternative, de même fréquence, le 
système fonctionnant
alors en détecteur (ce convertisseur d'énergie est aussi dénommé transducteur).

Le principe des débitmétres à ultrasons repose sur l'analyse des effets 
produits par le
mouvement d'un fluide sur la propagation des ondes sonores qui le traversent. 
Ces appareils
permettent de mesurer des débits d'écoulement avec une bonne précision, sans 
introduire de
perte de charge, la section de passage de la canalisation restant libre.

D I PRINCIPE DE LA MESURE DE VITESSE

Considérons une canalisation cylindrique dans laquelle circule le sodium 
liquide, équipée
de deux transducteurs A et B, chacun fonctionnant alternativement en émetteur 
et en détecteur
d'ultrasons, afin de mesurer les durées de propagation dans les deux sens, de A 
vers B et de B

vers A (Figure 3).

Figure 3

Le sodium sera considéré comme un milieu isotrope vis à vis des ultrasons, et 
le vecteur

vitesse d'écoulement \7(M) en chaque point M du fluide est parallèle à l'axe de 
révolution de la

canalisation La fréquence des signaux émis (trains d'ondes ou impulsions) se 
situe dans le
domaine du mégahertz. Notons L la distance séparant A de B, V(M) la norme de la 
vitesse en tout

point de la ligne AB, 9 l'angle formé par la direction de l'écoulement et la 
ligne AB et Cs la célérité
du son dans le sodium au repos.

QJ_. Evaluer, pour un fluide au repos, les temps de propagation tAB (A vers B) 
et tBA (B vers A).

D2. Réaliser un schéma de la conduite illustrant la composition des différentes 
vitesses en
présence, lorsque le fluide est en mouvement. En déduire que les temps TAB et 
TBA mis par
le signal acoustique pour atteindre le transducteur opposé, ne peuvent être 
égaux.

D3. Etablir (sous forme d'intégrales sur la distance L) les expressions des 
temps TAB et TBA mis
par le signal acoustique pour atteindre le transducteur opposé. Simplifier ces 
expressions
sachant que V(lVl) est très nettement inférieur à C3.

D4. Déterminer la différence de temps de parcours AT : TBA --TAB .

-- -- 1
Définissons VL, vitesse moyenne de l'écoulement sur le trajet L, comme : VL : 
-- _[V(M) dt .
L L

D5. Ecrire la nouvelle expression de AT ; montrer que la mesure de cette 
différence de temps
permet de déterminer la vitesse moyenne VL , à exprimer en fonction de C3, AT, 
L et @.

Considérons une canalisation du circuit primaire, de diamètre D = 0,8 m, dans 
laquelle
s'écoule le sodium liquide (viscosité dynamique 77Na : 0,28 mPa.s, masse 
volumique

,oNa : 850 kg.m"3, célérité de l'onde dans ce milieu CS : 2320 m.s"' ) avec une 
vitesse moyenne

V_L de l'ordre de 12 m.s"Î L'angle 6 de mesure est fixé égal à 45°.

g_6_. Calculer la différence de temps de parcours AT. Sachant que cette mesure 
devra être
assurée à 1% près, quel temps l'appareil devra--HI être en mesure d'apprécier?

E I DEBITMETRE A MESURE DE PHASE

Les transducteurs sont excités simultanément à l'aide de trains d'ondes 
sinusoi'daux de
fréquence F... afin d'éviter l'établissement de régimes stationnaires. Les 
signaux recueillis par ces
transducteurs sont des ondes sinusoïdales de même fréquence (en phase en 
l'absence
d'écoulement}.

& Justifier que les signaux présentent un déphasage © en présence de 
l'écoulement.

E_2_= Montrer, dès lors que le signal émis est de la forme u(t)=Uosinoeot, que 
les signaux

recueillis par chaque transducteur A et B s'écrivent : 
uA(t)=Uosin[oeo(t--to)--OEl2] et
uB(t)=Uosin[oeo(t--to)+OEl2].

Exprimer (D en fonction de F0, L, VL Cs et de l'angle EUR). Conclure.

E3. Le déphasage CD ne devant pas excéder la valeur rc, en déduire la fréquence 
maximale du
signal émis. Application numérique avec les données de @.

Le déphasage CD faisant intervenir la célérité du son Cs, la mesure doit être 
rendue
indépendante de Cs afin de s'affranchir de paramètres tels que la nature du 
fluide, la température
et la pression.

& Proposer une solution pour y remédier.

Le dispositif de mesure de phase est schématisé sur la figure 4, montage 
comportant trois
amplificateurs opérationnels considérés comme idéaux et fonctionnant en régime 
linéaire. P est
une résistance variable. A l'entrée du montage, sont injectés les signaux uA(t) 
et uB(t) recueillis par
les transducteurs. Afin de fonctionner avec une amplification de mode commun 
nulle, les

résistances sont choisies de façon telle que R,R, : R2R3.

E5. Exprimer la tension us en fonction des tensions u1 et u2 ; préciser le rôle 
de l'A.O. 3.
Etablir la relation entre la différence de tension (u1--u2) et les tensions uA 
et uB, en

indiquant l'intérêt des AG. 1 et A0. 2. Analyser le rôle joué par P.

E6. Montrer comment la mesure de us permet de déterminer la phase CID.
Analyser la réponse fournie par ce montage. Conclusion.

F I ECOULEMENT DU FLUIDE ET EVALUATION DU DEBIT

Le sodium liquide (viscosité dynamique 77... et masse volumique p...) s'écoule 
en régime
stationnaire dans une canalisation cylindrique horizontale, d'axe 02, de 
longueur1 et de diamètre
D : 2R. La longueur! de cette canalisation est supposée très grande devant son 
rayon.

L'écoulement, incompressible, unidirectionnel, parallèle à l'axe 02 (figure 3), 
se traduit par
la loi de vitesse .' WM) : V(r) uz ; il est imposé par une différence de 
pression AP : PWM --P...

entre les sections d'entrée et de sortie de la canalisation. La résolution de 
l'équation de Nav/er-
Stokes, compte tenu des conditions aux limites, permet d'écrire la loi de 
répartition de la vitesse

. . . AP
du flurde dans la canalisation : V(r) : ------(R2 -- r2) .
4771
El_. Exprimer V(r) en fonction de VMAX, valeur maximale de la vitesse. 
Représenter le profil de
vitesse dans la canalisation cylindrique.

Notons DV le débit volumique a travers une section droite de la canalisation.

F2. Rappeler la définition du débit volumique et justifier le fait que ce débit 
est le même à
travers chaque section droite. Donner son expression en fonction de AP, 1, me 
et R.

F3. Définir, par une phrase, la valeur moyenne (V) =% _"VZ(r)dS de la vitesse 
sur une section
2

droite de l'écoulement. Ecrire la relation existant entre DV et  .

Les techniques ultrasonores présentées précédemment utilisent deux 
transducteurs A et B

disposés dans un plan passant par l'axe. Ces capteurs mesurent donc la vitesse 
moyenne VL
dans ce plan, le long de la distance AB. La vitesse V(r) n'étant pas uniforme 
dans toute section, la

vitesse moyenne VL mesurée n'est pas égale à la vitesse moyenne  sur une 
section.

Définissons alors un coefficient hydraulique k, tel que : k : Ë/ .

F_4._ A partir du profil de vitesse de l'écoulement, exprimer la vitesse 
mesurée V ; en déduire
le coefficient hydraulique k.

F5. Evaluer l'erreur réalisée lors des mesures de vitesses par les capteurs 
ultrasonores, par
rapport à la valeur moyenne vraie de la vitesse d'écoulement. Proposer un 
dispositif
permettant de déterminer le débit avec une précision nettement supérieure.

TROISIEME PARTIE

CHIMIE DU SODIUM

G I ELABORATION DU SODIUM
1l Réduction de l'oxyde de sodium Na20

G1. Expliquer pourquoi la production de sodium par voie thermique n'est pas 
envisageable.

Le sodium est majoritairement produit par électrolyse du chlorure de sodium 
extrait de la
mer ou de mines. Etudions deux approches possibles de cette électrolyse.

2l Electrolyse d'une solution aqueuse concentrée de NaCl (saumure)

Considérons une cuve à électrolyse comportant deux compartiments séparés par une
membrane cationique (peu conductrice). Le bain électrolytique est une solution 
saturée (de l'ordre

de 320 g.L"' de NaCl) maintenue à une température d'environ 80°C ; une anode en 
graphite est
plongée dans le compartiment anodique maintenu à pH : 4 (pour éviter la 
dismutation du chlore),

tandis qu'une cathode en acier est plongée dans le compartiment cathodique, 
maintenu à pH=14.

% Ecrire les deux demi-réactions anodiques et les deux demi-réactions 
cathodiques

envisageables lors de cette électrolyse de NaCl.

Déterminer les potentiels d'oxydoréduction dans les conditions de l'expérience 
(la pression
de référence vaut p0 = 1 bar), pour chacune de ces demi--réactions. (confondre 
activité et

concentration pour les espèces en solution)

G3. Représenter, de façon schématique, les courbes intensité-potentiel de ces 
quatre demi--
réactions (prendre pour unité 1 V = 2 cm sur l'axe des potentiels et une unité 
arbitraire sur

l'axe des intensités). En déduire le bilan global de cette électrolyse.

Compte tenu de la nature des électrodes, les réactions sont lentes et il 
convient de tenir
compte des surtensions anodiques (de l'ordre de 1,6 V pour l'eau et 0,1 V pour 
le chlore) et

cathodique (de l'ordre de -- 0,4 V pour l'hydrogène).

G4. Reconsidérer la question précédente (illustrer avec un nouveau schéma) en 
tenant compte

de ces surtensions.

G5. Ecrire le nouveau bilan de l'électrolyse ; préciser les produits obtenus à 
l'issue de
l'électrolyse. Déterminer la tension minimale à appliquer. Discuter de la 
potentialité de

produire du sodium.

3/ Electrolyse du chlorure de sodium fondu

Cette électrolyse est réalisée dans une cellule
de DOWNS (figure 5) comprenant: une cuve en
acier calor/fugée a l'aide de briques réfractaires, une
anode cylindrique (A) en graphite, une cathode
annulaire (C) en acier, entourant l'anode, un
diaphragme cylindrique (D) en acier (pour empêcher
toute recombinaison entre les espèces) et un
collecteur conique (CC) en partie supérieure.

Le chlorure de sodium fondant à température
élevée (807°C), l'électro/yte se compose d'un
mélange (appelé eutectique) de 28 % de NaCl, 26 %
CaCI2 et 46 % BaCl2, fondant beaucoup plus bas.
Latéralement, un remplissage continu de NaCl est
assuré. La cellule renferme 8,0 t de ce mélange et
l'électrolyse est réalisée à 600°C. Chaque cellule
produit 830 kg de sodium par jour. Le générateur
auquel sont reliées les électrodes débite un courant
électrique d'intensité 45 M.

?--

remplissage

NaCl --j

...

/I/IflI/Æ

G6. Ecrire les réactions s'opérant a chaque électrode. En déduire 
l'équation--bilan de la réaction
d'électrolyse. Préciser la tension minimale à appliquer sachant que les 
potentiels
d'oxydoréduction en ce milieu de sels fondus valent respectivement :

ESF(Na' /Na) = --2, 77 V et ESF(CIZ lCl') : 0,86 V.
Proposer, compte tenu du schéma et des données fournies, les conditions de 
récupération

des produits formés.

l.9

l$

H3.

Calculer la masse de sodium théoriquement obtenue à la suite d'une journée de
fonctionnement de la cellule d'électrolyse. En déduire son rendement RE.

Discuter de la présence éventuelle d'impuretés de calcium (ou baryum) dans le 
sodium
obtenu. Proposer une technique de purification.

H I REACTIVITE DU SODIUM

1I Réactivité du sodium solide avec le dioxygène

Le sodium sol/de réagit avec le dioxygène de l'air pour donner l'oxyde de sodium
NaZO, selon la réaction : 4 Mas) + Og(g, : 2 NaZO(S) [ 1 ]

A l'aide des données thermodynamiques fournies en annexe, calculer l'enthalpie 
standard
de la réaction [1] à 298 K. Commenter.

Ecrire l'enthalpie libre standard AFGÎ(T) de cette réaction en fonction de la 
température,
puis la calculer à 298 K. En déduire la constante d'équilibre à 298 K et 
commenter.

Déterminer, puis estimer la pression de corrosion du sodium à 298 K. Commenter.

L'oxyde de sodium cristallise dans une structure dite anti--fluorine : les ions 
oxygène

forment un réseau cubique à faces centrées, dans lequel les ions sodium 
occupent la totalité des
sites tétraédn'ques.

Hi
l'E.-

H6.

Représenter (vue perspective ou projetée) la maille élémentaire de NaZO.

Dénombrer les atomes de chaque espèce constitutifs de cette structure. Préciser 
la
coordinence de chaque ion.

Exprimer la plus courte distance sur laquelle les ions sodium et oxygène sont 
au contact ;
en déduire la valeur du paramètre de maille a, puis celle dela masse volumique 
PNa,o .

2/ Réactivité du sodium "guide avec le dioxygène
Si le sodium liquide d'un circuit de refroidissement (à 450 K) se trouve au 
contact de l'air, à

la pression atmosphérique, il s'enflamme instantanément {courtes flammes de 
couleur bleue) pour
donner, dans les premiers instants et au voisinage de la surface du sodium du 
peroxyde de

sodium Na202, selon la réaction : 2 Nam-q) + Og(g) =Na202(3) [2].

!iL

flâ

A l'aide des données thermodynamiques, calculer l'enthalpie standard de la 
réaction [2] à
673 K. Commenter le résultat obtenu.

Expliquer pourquoi, expérimentalement, la température de flamme ne s'élève qu'à 
2100 K,
alors que le calcul théorique de la température maximale donne 2800 K.

Ecrire la réaction risquant de se produire dans le cas où l'air renferme des 
traces de
vapeur d'eau. Conclure sur les précautions à prendre pour assurer le bon 
fonctionnement
de l'installation.

DONNEES NUMERIQUES

Données numériques générales :
Masses molaires atomiques (en g.mol'1) : O : 16,0 ; Na : 23,0 ; Cl : 35,5

Rayons ioniques (pm) Na : 95 ; O : 140
Constante des gaz parfaits : R = 8,31 J.K"Îmol"1
Constante d'Avogadro : @ 'lÀ : 6,02.1023 mol--1

Données thermodynamigues :

, Enthalpie Entropie Capacité thermique Enthalpie
Element standard molaire molaire à pression Température standard
ou de formation standard de fusion de fusion

composé à 298 K (AfH°) à 298 K (3°) (......)

Température
de
vapoflsafion

Masse

constante (CS ) volumique

---
___
-(æ--

Données électrochimiques :

Potentiels standard d'oxydoréduction a 298 K, classés par ordre croissant :

Couple Baf;... /Ba< Caä, /Ca(s) Naïm /Na... H<+aq) /H2(g) O2(g)/H2O Cl2(g> 
/C|Ïaq>
E°(V) --2,92
			

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



E3A Physique et Chimie PSI 2012 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Stéphane Ravier (Professeur en CPGE) et Tiphaine
Weber (Enseignant-chercheur à l'université) ; il a été relu par Vincent Freulon 
(ENS
Ulm), Aline Schmitt (ENS Lyon) et Mickaël Profeta (Professeur en CPGE).

Ce sujet composé de trois parties indépendantes aborde différents aspects
du système de refroidissement d'un réacteur nucléaire à neutrons rapides. Ce 
circuit devrait être mis en oeuvre dans les futurs réacteurs nucléaires, dits 
de quatrième
génération, qui devraient voir le jour au milieu du siècle. Une des différences 
avec
les réacteurs actuels ou à venir est l'utilisation du sodium comme fluide 
caloporteur à la place de l'eau. Même si certaines centrales l'utilisent déjà, 
ce sont plutôt
des prototypes (pas toujours très fiables en raison des propriétés du sodium) 
que
des centrales « de série ».
· La première partie aborde l'échangeur thermique entre les circuits primaire
et secondaire. Il s'agit principalement de diffusion thermique. Une des 
difficultés de cette partie aux nombreuses questions intermédiaires est de 
savoir ce
qu'il faut effectivement répondre à une question donnée. En effet, on est amené
à établir des relations identiques, présentées certes un peu différemment, dans
des questions distinctes.
· La deuxième partie s'intéresse à la mesure du débit dans une canalisation.
Le sodium étant très réactif, une méthode non intrusive et sans partie 
mécanique mobile est incontournable, c'est pourquoi on se tourne vers un 
débitmètre
ultrasonore. Le principe est de mesurer la différence de temps de transit entre
deux transducteurs piézoélectriques placés sur les parois de la canalisation en
des points qui ne sont pas sur une même section droite. Les ondes acoustiques
se propagent en effet plus vite dans le sens de l'écoulement que dans le sens
inverse. Après avoir établi la loi permettant la mesure d'une vitesse moyenne à
partir de la composition des vitesses, on procède à une étude rapide du circuit
électronique utilisé pour le traitement des signaux reçus par les transducteurs.
Enfin, une brève partie de mécanique des fluides permet de préciser la mesure
à partir du profil parabolique du champ de vitesse. Notons qu'il ne s'agit pas
d'établir ce profil mais de l'utiliser.
· La troisième partie du sujet concerne la chimie du sodium et est constituée
de deux sous-parties totalement indépendantes. Dans la première, on étudie
la possibilité d'obtenir du sodium par électrolyse, tout d'abord en solution
aqueuse puis à l'aide de sels fondus. La seconde sous-partie aborde, d'un point
de vue thermochimique, la réactivité du sodium utilisé dans les circuits de
refroidissement. Cette sous-partie offre également l'occasion de s'intéresser à 
la
structure cristallographique de l'oxyde de sodium. Cette partie ne devrait pas
poser de problème particulier à un candidat ayant révisé son cours.
Ce sujet comporte de très nombreuses questions, ce qui le rend très difficile à
traiter dans le temps imparti. En revanche, la plupart des sous-ensembles 
indépendants de questions sont très guidés. Les thèmes abordés sont nombreux 
mais les
connaissances brutes requises sont souvent limitées : l'utilisation des 
résultats donnés
et le bon sens ont toute leur place.

Indications
A.1
B.1
B.2
B.9
C.2
C.3

Partie I
Les résistances thermiques sont associées en série et la relation cherchée ne 
fait
intervenir que les températures des fluides.
Le fluide étant en écoulement, définir un système fermé tangent pour pouvoir
appliquer le premier principe de la thermodynamique.
Dans le bilan enthalpique, ne pas oublier que le fluide froid s'écoule dans le 
sens
des x décroissants.
Le bilan global d'un module redonne en fait la relation (R3). Pour l'échangeur,
il suffit de multiplier par N, ce qui est sans effet sur le bilan.
Intégrer la relation (R6) entre x = 0 et x > 0 et utiliser le cas particulier x 
= L
pour faire apparaître T2 . Éliminer alors les paramètres non désirés.
Si l'échangeur est infini, la température de sortie du fluide chaud est égale à 
la
température d'entrée du fluide froid. Comme T1 = T2 , il faut trouver, par
exemple par un développement limité, la valeur de h dans ces conditions.
Partie II

D.2 L'onde est émise en A de façon isotrope dans le tuyau. En supposant que V(M)
est uniforme, dans quelle direction doit être émis le rayon d'onde qui atteint 
B ?
Pour faire le tracé, on peut chercher le point sur le demi-disque de rayon CS
et de centre A qui permet d'obtenir cette direction d'émission. L'angle entre
cette direction et la droite (AB) intervient dans l'intégrale définissant TAB 
mais
est supposé petit dans la suite donc n'a pas besoin d'être précisément 
déterminé.
D.3 À ce stade, le temps de parcours a bien la forme d'une intégrale puisque 
V(M)
n'est pas uniforme a priori. Sans connaître la loi de variation de V(M),
cette intégrale n'est pas calculable.
E.2 À un retard temporel t correspond un déphasage  = 0 t pour l'onde.
t0 correspond au temps de vol en l'absence d'écoulement.
E.5 La relation R1 R4 = R2 R3 permet de déduire
R1
R1 + R2
R2
=
=
R4
R3
R3 + R4
F.2 La conservation du flux à travers une section droite traduit que le champ de
vitesse est à flux conservatif.
Partie III
G.1 Penser aux ordres de grandeur des températures d'inversion pour la 
réduction d'oxydes métalliques par des composés classiques, comme le carbone par
exemple.
G.2 Faire le bilan des espèces pouvant réagir à chaque électrode, et déterminer 
les
potentiels des couples correspondants à l'aide de la loi de Nernst.
G.3 La réaction favorisée est celle qui se produit pour la plus faible 
différence de
potentiel entre les deux électrodes.
G.6 Le tableau regroupant les données thermodynamiques contient les valeurs des
masses volumiques du sodium et du mélange eutectique.
H.5 Pour la structure antifluorine, la représentation projetée est la plus 
simple.
H.6 Les ions sodium positionnés au centre des sites tétraédriques sont tangents 
avec
les ions oxygène situés aux sommets de ces tétraèdres.
H.8 Quelles approximations fait-on lorsque l'on calcule une température de 
flamme ?

I. Étude du système de refroidissement
par caloporteur sodium
A.

Coefficient global de transfert du module d'échange

A.1 Le flux thermique, qui est analogue à l'intensité du courant électrique, est
le même entre le fluide chaud et la paroi côté fluide chaud (soit à travers le 
fluide
chaud), entre la paroi côté fluide chaud et celle côté fluide froid (soit à 
travers l'acier)
et entre la paroi côté fluide froid et le fluide froid (soit à travers le 
fluide froid).
Cela justifie l'association en série des différentes résistances thermiques.
RthC
TC (x)

Racier
TpC (x)

RthF
TpF (x)

TF (x)

D'après cette association, on déduit
d(x) = (TC (x) - TF (x))

ou

K=

dx
RthC + Rthacier + RthF

1
RthC + Rthacier + RthF

A.2 Considérons un élément cylindrique du tube en acier. En régime permanent,
le flux thermique radial est indépendant de r donc

-

d = -
 · dS
est indépendant de r. Or, d'après la loi de Fourier, la densité volumique de 
courant

thermique -
 s'écrit
T -
- = -

er
acier
r
d'où

-
T

d = -
 · d S = -2 racier
dr
r

À x fixé, cette relation devient
dT =

-d
dr
2acier dx r

En intégrant entre r = R1 et r = R2 , on trouve
T(R1 ) - T(R2 ) =

d
2acier dx

ln

R2
R1

Le flux est donc bien relié à la différence de température à condition de poser 
que
la conductance thermique de l'acier par unité de longueur d'échangeur s'écrit
 
R2
Rthacier = 2acier ln
R1

A.3 Pour le fluide chaud, le flux thermique latéral est lié à la discontinuité 
de
température au niveau de la paroi (loi de Newton) puisque l'on suppose que la 
température TC (x) ne dépend pas de r. Par conséquent,

d = 2R1 hC TC (x) - TpC (x) dx
donc

RthC =

1
2R1 hC

De même,

RthF =

1
2R2 hF

A.4 On déduit des questions précédentes,
K=

2
 
1
1
R2
1
+
ln
+
R1 hC
acier
R1
R2 hF

A.5 Avec les valeurs proposées, il vient
K = 3,6.102 W.K-1 .m-1

B.

Bilan thermique du module d'échange

B.1 Le fluide situé à l'intérieur de la tranche d'épaisseur dx considéré 
constitue
un système ouvert que l'on note . Définissons un système fermé tangent  :
· à l'instant t,  (t) contient (t) et la masse élémentaire dme qui va entrer 
dans
la tranche entre t et t + dt ;
· à l'instant t + dt,  (t + dt) contient (t + dt) et la masse élémentaire dms
qui est sortie de la tranche entre t et t + dt.
Le système  étant fermé entre t et t + dt, sa masse est constante. La masse de 
(t)
est également constante, car on est en régime permanent. Un bilan de masse 
permet
donc d'écrire, en utilisant la définition du débit massique,
dme = dms = mC dt
Par extensivité de l'enthalpie,

dH = dH + CpNa mC dt TC (x + dx) - TC (x)

Or, en régime permanent, l'enthalpie de  est constante. Ainsi, en l'absence de 
travail,
le premier principe de la thermodynamique appliqué à  conduit à

dH = CpNa mC dt TC (x + dx) - TC (x) = K TF (x) - TC (x) dx dt
Finalement,

mC CpNa

dTC
(x) = K TF (x) - TC (x)
dx

(R1)