e3a Physique et Chimie PSI 2010

 

eSa 10PSI13

CONCOURS ARTS ET MÉTIERS ParisTech - ESTP - ARCHIMEDE
Epreuve de Physique - Chimie PSI

Durée 4 h

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé, d'une
part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et 
poursuit sa
composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est autorisé.

Ce problème illustre la synthèse, la mise en forme et la caractérisation du _
polyméthacrylate de méthyle (PMMA) et comporte trois volets indépendants : 
cinétique
de polymérisation du PMMA (première partie), réalisation de plaques par 
injection de
polymère fondu (seconde partie) et caractérisation Optique du matériau élaboré 
(troisième
partie).

Remarques préliminaires importantes : il est rappelé aux candidat(e)s que

. les explications des phénomènes étudiés intenriennent dans la notation au même
titre que les développements analytiques et les applications numériques ; les
résultats exprimés sans unité ne seront pas comptabilisés ;

- tout au long de l'énoncé, les paragraphes en italiques ont pour objet d'aider 
à la
compréhension du problème mais ne donnent pas lieu à des questions ;

- tout résultat fourni dans l'énoncé peut être admis et utilisé par la suite, 
même s'il n'a
pas été démontré par les candidat(e)s.

Le polyméthacrylate de méthyle est plus connu sous le nom de plexiglas®. De par
sa parfaite transparence et sa remarquable tenue au temps, il est 
principalement utilisé
pour remplacer le verre : verres optiques organiques, vitres incassables, 
hublots d'avion,
vitrines, lanternerie automobile, sanitaires, baignoires,

Tournez la page S.V.P.

PREMIERE PARTIE
PMMA ET CINETIQUE DE POLYMERISATION

A ! POLYMERISATION ET MMA

Le polyméthacrylate de méthyle (PMMA) résulte de la polymérisation en chaîne du
méthacrylate de méthyle (MMA). Les formules moléculaires du monomère et du 
polymère sont
représentées sur le schéma 1 :

H CH
\c--c/ 3 +HC c/---3--
H/ > 6 ' \C @ âäâma.l
/ '\ / \\
lQ CH3 Q/ CH3
MMA PMMA (motif constitutif)

Le MMA, liquide àla température ordinaire, est un monomère vinylique.

A1. Préciser le sens de l'appellation : monomère vinylique.

Rappelons que le MMA est obtenu à partir de cyanure d'hydrogène HCN et de 
propanone
H3C--CO-CH3 ; le produit est déshydraté et hydrolysé en acrylamide en présence 
d'acide
sulfurique, puis une estérification par le méthanol donne le méthacrylate de 
méthyle, selon le
schéma 2 suivant :

H3C\ \ Na",OH' H3C\ /CN st04 H\ CCH/ st04 "\ CCH/
C=O, + HCN -------> C ----> C= ----------> C=
/ 20°C / \ 130 °c / C\ CH3OH / CC_\ \
Schema2 Q Q CH3
A_2_= Expliquer pourquoi le méthacrylate de méthyle est une base de Lewis.
A3 Ecrire deux formules mésomères de la représentation de Lewis du méthacrylate 
de '

méthyle. En déduire les types d'attaques auxquelles il peut être sensible.

A_£_l_._ Préciser (en le justifiant) sur quel atome de carbone de la double 
liaison, se fait l'addition
d'un radical carboné.

B ! CINETIQUE DE POLYMERISATION

Le PMMA peut être obtenu par polymérisation anionique ou radicalaire, mais 
c'est presque
exclusivement la voie radicalaire qui est exploitée dans l'industrie.

L'amorceur de réaction (A) généralement utilisé est un peroxyde, tel le 
peroxyde de
benzoer qui, sous l'effet de la chaleur, se décompose en radicaux libres selon 
le mécanisme

rappelé sur le schéma 3 :
----- Schém___g_ 3

OI IO\\
Cl \\C C//
\Ô--Ô/ \O
___) 2 ___) 2 +2C02

Les deux types de radicaux sont susceptibles d'amorcer la polymérisation et 
seront
indifféremment notés Ro .

3

Le schéma réactionnel de la polymérisation radicalaire du PMMA comporte quatre 
étapes
principales, décrites ci--dessous : (absence totale de ramification)

Amorçage A ----f--ka----> 2 R-- (1)
Transfert R. + M --k-i--> R -- M,. (2)

R--M,-+ M--kP-->R--M,.

Propagation R -- M].- + M ----kp--> R -- M...- (3)

R-M,_,.+ M-----"--Ê------>R--Mno (1 0) vers l'extrémité du moule d'absclsse x = L où règne 
la pression Po.

Les dimensions du système dans les directions x et 2 sont très supérieures à 
l'épaisseur e
du moule ; les plans horizontaux peuvent ainsi être considérés comme infinis et 
les effets de bord
(selon les parois verticales z = i W/2) sont négligés.

Tournez la page S.V.P.

6

Le polymère fondu est assimilé à un fluide newtonien incompressible de viscosité

dynamique 77, de masse volumique p, de capacité thermique massique C et de 
conductivité
thermique /1.

L'espace est rapporté au trie'dre cartésien Oxyz, de base orthonormée directe 
(ex,ey,ez) .

Hypothèse : l'écoulement est réalisé en régime permanent

Données : moule de dimensions : L = 2 m, w = 1 m ete : 20 mm
11 (à 200 °C) = 103 Pas ; ii = 1190 kg.m"3 ; c = 1470 J.kg'1.K"1 ; x = 0,19 
W.m"1.K'1
différentiel de pression AP = 2.107 Pa.

D I ECOULEMENT DE POISEUILLE PLAN

D1. Déterminer la répartition du champ de vitesse entre les plans d'équation y 
=iel2, en

justifiant que la vitesse peut s'écrire : \7(M,t) : V(y) ë. .

L'écoulement peut être représenté comme la superposition d'une infinité de 
lames fluides
élémentaires (comme représenté sur la figure 5b), la lame comprise entre les 
ordonnées y et

y--- dy (avec dy > 0 ), attachée au point M(x, y, z) possédant une vitesse V(y).

Le frottement entre une lame et les lames supérieure et inférieure directement 
à son
contact se traduit par une force tangentielle de viscosité (dite de 
cisaillement}, parallèle à la

= 778%-- , 8 étant la surface de contact
Y

direction de l'écoulement et dont la norme s'écrit : FW.S

entre les lames adjacentes.

DZ. Que représente 11 ? Préciser ses dimensions et son unité.

gç_._ Rappeler la définition d'un fluide newtonien ; existe--HI d'autres types 
de fluides ? Citer des
exemples.

Les forces de pesanteur qui s'appliquent sur tout élément de fluide sont très 
largement
inférieures aux forces de frottement fluide et de pression. Ainsi l'action dela 
pesanteur pourra être

négligée dans la suite de cette étude.

E ! PROFIL DE VITESSSE ENTRE LES PLAQUES

Rappelons que, dans un écoulement de fluide newtonien incompressible, le champ 
de
vitesse v(M,t) et le champ de pression P(M,t) sont reliés par l'équation de 
Navier-Stokes :

617 ------------- --- --------- ----
p{--âî + (v--grad)v} = fvol --gradP + fvol, vis

E1*a. Exprimer, en considérant l'élément de fluide de volume d3r : dx dy dz 
(figure 5b), la force

volumique de viscosité fvol, vis.

E1*b. Simplifier la relation de Navier--Stokes, sachant que l'écoulement est 
stationnaire et
unidirectionnel selon Ox. En déduire l'équation différentielle vérifiée par la 
pression P puis

montrer que la quantité dP/dx est une constante K à expliciter en fonction de 
AP et L.
Justifier physiquement le signe de K.

E2*a. Préciser les conditions aux limites imposées par les parois du moule en y 
= i e/2.

E2*b. Déterminer l'expression de la vitesse V(y) en fonction de y, K, e et et 
de la viscosité
dynamique. Exprimer la vitesse maximale Vmax de l'écoulement puis écrire la 
vitesse V(y)
en fonction de Vmax et de la quantité adimensionnée (2y/e).

E2*c. Représenter le profil de vitesse V(y)/Vmax dans un plan de coupe du moule 
(figure Sc).

E3*a. Exprimer le débit volumique Qv (pOur une largeur w du moule dans la 
direction Oz) en
fonction de V..., e et w ; en déduire la vitesse moyenne V de l'écoulement.

E3*b. Calculer, à l'aide des données fournies, la vitesse V...ax, la vitesse 
moyenne V, le débit Q,, .
Définir puis évaluer le nombre de Reynolds Re et commenter la valeur obtenue.

Le temps de séjour de la matière introduite dans le moule est défini comme le 
rapport dela
longueur de l'écoulement à sa vitesse moyenne.

E4*a. Exprimer le temps de séjour minimum t...... ?
Définir le temps de séjour moyen tnnoy en fonction du volume de matière dans le 
moule et du

débit volumique puis l'exprimer en fonction de K, 11, L et e.

t(y)

tmin
de la variable (2y/e). Analyser cette expression en traçant schématiquement ce 
rapport en
fonction de la variable (2y/e).

en fonction

E4*b. Exprimer le temps de séjour t(y) pour une tranche de fluide puis le 
rapport

E4*c. Calculer t...... et tmOy à l'aide des données fournies.

TROISIEME PARTIE

CONTROLE DE L'INDICE DE REFRACTION DU PMMA
PAR INTERFEROMETRIE OPTIQUE

L'interférométrie est une méthode de mesure très précise utilisée pour la 
détermination de
variations de longueurs, d'épaisseurs de couches ou d'indices de réfraction.

Tout comme celui de Miche/son, l'interféromètre de Mach-Zehnder (figure 6) est 
un
intefiéromètre à deux faisceaux qui fonctionne selon le principe suivant : le 
faisceau lumineux

cohérent, noté Za, issu d'un laser héIium--néon (source monochromatique, de 
longueur d'onde )...,
d'intensité ou éclairement %) est divisé en deux faisceaux de même intensité 
(bras de référence

et bras de mesure) par une lame séparatrice (LS1) ; ces derniers suivent des 
trajectoires
orthogonales, sont réfléchis par des miroirs identiques (M1) et (M2), disposés 
parallèlement, puis
sont recombinés par une seconde lame séparatrice (LSZ), identique et parallèle 
à la précédente,
dont ils émergent parallèles l'un à l'autre.

A l'émergence, ils donnent naissance à deux faisceaux orthogonaux notés 21 et 
22_ Par
construction et réglage optique les distances S1M1SZ et S1M282 sont égales. Un 
écran est disposé

odhogona/ement à la direction du faisceau Z,, àla distance D de 82.

F ! ETUDE PRELIMINAIRE

Les deux bras de l'interféromètre sont vides dans un premier temps.

Les réflexions en M1 et M2 sur les miroirs parfaitement réfléchissants 
introduisent un
déphasage de 7r. Les coefficients complexes de réflexion p et de transmission f 
(pour les

& j7t/2 \/_2--

amplitudes) de chacune des séparatrices valent respectivement : £ : Îe et ; : Î

M bras de mesure 82 /

Ecran

31 bras de référence

(LS1) (M2)

F1. Exprimer les amplitudes complexes @@ et @@ des faisceaux transmis 21 et 22 
en

fonction de l'amplitude complexe go du faisceau 20. En déduire les éclairements 
%? et Ëz
des faisceaux 21 et 22. Analyser ces résultats et préciser l'aspect de l'écran.

Une lame mince de PMMA (à faces parallèles) L1 d'indice de réfraction n et 
d'épaisseur e
est introduite dans le bras de référence entre 8, et M2, perpendiculairement au 
faisceau, le bras
de mesure étant vide. Les phénomènes de réflexion sur les faces de la lame 
ainsi que toute
absorption par le matériau ne seront pas prises en compte dans cette étude.

F2*a. Exprimer l'accroissement de chemin optique ô£1 du trajet S1M282 dû à 
l'introduction de L1,

puis le déphasage entre les deux faisceaux recomposés à la sortie de (LSZ) en 
direction de
l'écran. En déduire l'éclairement %" sur l'écran en fonction de %o, n, e et Â.Q.

F2*b. Dans quelles conditions l'éclairement de l'écran peut--il être maximal ou 
minimal, pour une
lame d'indice n donné ? Cet éclairement varie--HI d'un point à l'autre de 
l'écran ? Que se
passe--HI si la lame est déplacée entre 81 et M2. parallèlement à elle-même ?

Une lame L2, de même indice et de même épaisseur que la précédente est 
introduite dans
le bras de mesure entre M1 et 82, perpendiculairement au faisceau, tandis que 
la lame L, demeure
dans le bras de référence.

f_ç_. Décrire (en le justifiant) l'aspect de l'écran.

La lame L2, montée sur une platine
goniométrique, peut tourner grâce à un moteur de
précision, fonctionnant pas à pas, de sorte que sa
normale forme un petit angle 6 (de l'ordre de 0,1
rad) par rapport au faisceau. L'angle du faisceau
réfracté en J est noté r ; le faisceau émerge en K
(fi ure 7.

La lame L,, quant à elle, demeure toujours
perpendiculaire au faisceau qui la traverse.

F4*a. Tracer, sur une reproduction de la figure 7, les plans d'onde (notés 
respectivement H, HJ,
HK et II') avant la traversée de la lame, en J et K, puis après la traversée.

F4*b. Exprimer l'accroissement du chemin optique && du trajet S1M282, par 
l'introduction de la
lame L2 (inclinée d'un angle @) dans le bras de mesure et montrer qu'il peut 
s'écrire :

e
662 =EBËF [n ----cos(G--r)] .

L'angle 9 (et par conséquence l'angle r) étant petits, les approximations 
suivantes pourront

X2

être réalisées : sin x : x et cos x z 1 -- Î . Par ailleurs : cos(a ---- b) 
=cosa.cosb + sina.sinb.

F4*c. Ecrire ôEUR2 en fonction de e, n et @.

F4*d. Montrer que la différence de marche ôEUR entre les deux faisceaux qui 
émergent de (LSZ) en
direction de l'écran peut s'écrire : ôë : et)2 f(n), f(n) étant une fonction de 
l'indice n de la
lame, à expliciter. En déduire le déphasage ô correspondant.

F4*e. Expliquer pourquoi les deux faisceaux interférent sur l'écran. Exprimer 
l'éclairement
résultant %(9) sur l'écran, en fonction de %... n, e, 9 et ).... Décrire 
l'aspect de l'écran.

Grâce au moteur pas à pas, la lame L2 est mise en rotation, l'angle 
d'inclinaison croissant à
partir de zéro, mais en demeurant relativement petit.

F5*a. Montrer que l'éclairement sur l'écran varie entre des valeurs maximale 
%max et minimale

%... (qui seront précisées) pour deux familles d'angles respectivement notés 
(âme... et e....

Exprimer (en mrad) les trois premières valeurs 9. et 9. des différents angles en

rmax rmin

, %
fonction d'un angle noté 90 = ----Ü--1----2, puis les calculer sachant que e=20 
mm et
n--- e

ko : 632,8 nm et que n sera pris de l'ordre de 1,5.

F5*b. Représenter (tracé à main levée) les variations de l'éclairement % de 
l'écran en fonction de

l'angle 9 (exprimé en rad) pour des faibles valeurs de cet angle.
Commenter le tracé obtenu.

F5*c. L'approximation réalisée sur les expressions de cost) et cosr (question 
F4*b) ne demeurant
682 -- ôl,

ôEUR

valable que pour une variation relative d'accroissement de chemin optique
,

inférieure à 1%, quelle est la valeur limite 9 "... (exprimée en rad) 
admissible de 9 ?

G I DETERM|NATION PRECISE DE L'INDICE DE REFRACTION

L'étude précédente a montré que l'indice de réfraction était accessible à 
partir de mesures

des angles de rotation de la lame L2. Elle est toutefois limitée à de petits 
angles @. La
détermination précise de l'indice de réfraction nécessite de tourner la lame 
d'un angle nettement
supérieur aux valeurs limites précédentes.

_(_3_'_l_._ Expliquer pourquoi la précision sur n est tributaire d'une valeur 
plus élevée de l'angle 9.

Il conviendra, pour évaluer précisément n, de reprendre le calcul exact de la 
différence de
marche globale ô£ afin d'aboutir à une relation linéaire du type g(n) : O.

GZ*a. Ecrire tout d'abord le rapport --ô--EUR en fonction de n, sin 6), cos 9, 
sin r et cos r (relation R1)

e
Appliquer la loi de Descartes (relation R2) au point J (figure 8) afin 
d'exprimer (relation R3)

cos r en fonction de n, sin29 et de la quantité X = (ÊË -- 1 + cos @] .
e

Injecter coszr dans la relation R2, afin d'établir l'expression suivante, 
vérifiée par l'indice n :

An3 + En2 + On + D = 0 (relation R4).
Exprimer les paramètres A, B, C et D en fonction de X, X2 et sin29.

G2*b. Sachant qu'il est possible de repérer une pème valeur maximale (ou 
minimale) d'éclairement

pour un angle Gp mesuré avec précision, écrire Xp en fonction de p, ?..., et 
l'angle Bp, puis
montrer que les quatre paramètres A, B, C et D sont accessibles à la mesure.

La résolution de cette relation R4, de type g(n) : 0, nécessite une résolution 
informatique
{numérique) si l'indice doit être connu avec précision.

Imaginons plutôt le scénario suivant : après la fabrication d'une plaque de 
PMMA, le
contrôle qualité impose de vérifier les principales caractéristiques mécaniques 
et physiques, parmi
lesquelles l'indice de réfraction n. Deux éprouvettes de mêmes dimensions sont 
découpées dans
la plaque puis glissées respectivement dans chacun des bras de 
I'inten'éromètre. Le repérage, par
la photodiode du pème éclairement maximal (par exemple) est carré/é à une 
rotation de l'axe du
moteur et donc à une valeur 0,,.

Le contrôleur doit vérifier que l'indice du PMMA, compte tenu des conditions 
d'élaboration,
doit se situer dans la fourchette suivante : n = 1,493 $ 0,002.

Les lames utilisées dans le test ont été usinées avec précision pour que leur 
épaisseur e

soit égale à 20,00 mm. Le laser hé/ium--néon émet une longueur d'onde &, de 
632, 8 nm.

G3*a. La valeur cible de l'indice n étant fixée, reprendre la relation R4 afin 
d'établir la relation R5
vérifiée par la grandeur X précédemment définie : X2 + 2n X + sin2 Gp = 0 .

G3*b. Résoudre cette dernière équation, avec la précision requise, pour chacune 
des bornes de

. . . , &
l'intervalle de confiance de n. Calculer les valeurs correspondantes de la 
quantite -----.

e

G3*c. Quel sera le nombre p de maxima d'éclairement que l'observateur verra 
défiler sur l'écran,
pour un angle de rotation de la lame ep : 15, 52° ?

Analyser ce résultat, compte tenu de la fourchette de valeurs imposée par le 
contrôle
qualité.

Proposer un dispositif technique simple permettant d'améliorer la précision de 
cette
détermination.

FIN DE L'EPREUVE